2017年全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題及參考答案一、選擇題?設(shè)非零實(shí)數(shù)a,b,c滿(mǎn)足；1(x「x2f一2為x2b2-1(x「x2f一2為x2b2-2ac11222222103+3‘一60|2a+3b+4c=0,a+b+cTOC\o"1-5"\h\z11（A）（B）0（C）（D）12【答案】A【解答】由已知得ab^（2a3b4c）一（a?2b?3c）=0，故（a?b?c）2=0.于是abbeabbe一如2b2c2)，所以abbcca222-abc2.已知a,b,c是實(shí)常數(shù)，關(guān)于x的一元二次方程ax2bx，c=0有兩個(gè)非零實(shí)根捲,X2，則下列關(guān)于X2，則下列關(guān)于x的一元二次方程中，以g，~2為兩個(gè)實(shí)根的是（).(A)(A)c2x2(b2-2ac)xa2=0(C)c2x2(b2-2ac)x-a2=0【答案】B(B)c2x2-(b2-2ac)xa2=0(D)c2x2「(b2-2ac)x「a2=0XjX2XjX2=c，且x1x^=0，所以c=0，且a2

a~，c【解答】由于ax2?bx?c=0是關(guān)于x的一元二次方程，則a=0.因?yàn)閤<x^--，a于是根據(jù)方程根與系數(shù)的關(guān)系，以2，X1-1為兩個(gè)實(shí)根的一元二次方程是b2-2aca22x

cc=0，即c2x2_(b2_2ac)xa2=0.(第3題)(第3題)3.如圖，在RtAABC中，已知O是斜邊AB的中點(diǎn)，CD丄AB,垂足為D，DE丄OC,垂足為E.若AD，DB，CD的長(zhǎng)度都是有理數(shù)，則線(xiàn)段OD,OE,DE,AC的長(zhǎng)度中，不一定是有理數(shù)的為（）.(A)OD(B)OE(C)DE(D(C)DE【答案】【解答】因AD，DB，CD的長(zhǎng)度都是有理數(shù)，所以，OA=OB=OC=ADBD是有理數(shù).于是，OD=OA—AD是有理2數(shù).（第【解答】因AD，DB，CD的長(zhǎng)度都是有理數(shù)，所以，OA=OB=OC=ADBD是有理數(shù).于是，OD=OA—AD是有理2數(shù).（第3題答題）由RtADOEsRt△COD，知OE,OCDEDCDO都OC是有理數(shù)，而AC=AD?B不一定是有理數(shù).點(diǎn)D在線(xiàn)段AC上，點(diǎn)4.如圖，已知△ABC的面積為24,在線(xiàn)段BC的延長(zhǎng)線(xiàn)上，且BC=4CF,圖中陰影部分的面積為（）.(A)3(B)4(C)6(D)8DCFE是平行四邊形，則(第4題)【答案】C因此原來(lái)陰影部分的面積等于厶ACE的面積.6.（第4題答題）且因此原來(lái)陰影部分的面積等于厶ACE的面積.6.（第4題答題）且xyz二xy■-z，則20132012[I]32的值為(/、60718215463(A)(B)(C)-967967967【答案】C).(D)16389967所以DE//CF，且EF//DC所以DE//CF，且EF//DC.連接CE,因?yàn)镈E//CF,即卩DE//BF，所以Sadeb=Sadec，連接AF，因?yàn)镋F//CD，即EF//AC，所以Ssce=&acf.因?yàn)锽C=4CF，所以Saabc=4S^acf.故陰影部分的面積為5.對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，y，z，定義運(yùn)算“*”為:3x3y+3x2y2+xy3+45xy3—(x+1)+(y+1)_60【解答】設(shè)20132012川4二m，則20132012川43=m3，叫33赤」^=9m3+3m2+3m+1+64—6054635463967于是20132012III32=929323922292345、填空題6?設(shè)a=V3,b是a2的小數(shù)部分，則(b+2)3的值為.【答案】9【解答】由于仁:a:::2:：:a2:：:3，故b二a2-2=：9-2，因此(b2)^(39)^9.7?如圖，點(diǎn)D,E分別是△ABC的邊AC,AB上的點(diǎn)，直線(xiàn)BD與CE交于點(diǎn)F,已知△CDF，△BFE,ABCF的面積分別是3,4，57?如圖，點(diǎn)D,E分別是△ABC的邊AC,AB上的點(diǎn)，直線(xiàn)BD與CE交于點(diǎn)F,已知△CDF，△BFE,ABCF的面積分別是3,4，5,貝U四邊形AEFD的面積是【答案】20413（第7題）【解答】如圖，連接AF，則有:S也ef+4=S慮ef+S唐feBFS.AFDS.AFDFDS.CDF3'解得SAEFS.AFD3SAEF10813，_S.AFD■S.CDF_CFFESBEF496所以，四邊形AEFD的面積是20413(第7題答題)8.已知正整數(shù)a,b,c滿(mǎn)足ab2-2c-2=0,3a2-8b?c=0，貝Uabc的最大值為.【答案】2013【解答】由已知a，b2-2c-2=0,3a2-8b，c=0消去c,并整理得222b-86a^66.由a為正整數(shù)及6a2a<66,可得Ka<3.*2若a=1，貝Ub-8i=59，無(wú)正整數(shù)解；2若a=2，貝U(b_8)=40，無(wú)正整數(shù)解；2若a=3，貝Ub-8=9，于是可解得b=11,b=5.(i)若b=11，則c=61，從而可得abc=31161=2013；(ii)若b=5，則c=13，從而可得abc=3513=195.綜上知abc的最大值為2013.實(shí)數(shù)a,b,c,d滿(mǎn)足：一兀二次方程x2?ex?d=0的兩根為a,b,—兀二次方程x2+ax+b=0的兩根為e,d,則所有滿(mǎn)足條件的數(shù)組（a,bed）為.【答案】（1,一2,1-2）,（t,0-1,0）（t為任意實(shí)數(shù)）ab=—c,【解答】由韋達(dá)定理得曲二*e+d=—a,cd二b.由上式，可知b=_a_c=d.若b=d=0，貝Ua--1,c--1，進(jìn)而b=d--a-c--2.bd若b=d=0,貝Uc=-a，有（a,bcd）=（t,0-1,0）（t為任意實(shí)數(shù)）.經(jīng)檢驗(yàn)，數(shù)組（1,-2,1,-2）與（t,0-1,0）（t為任意實(shí)數(shù)）滿(mǎn)足條件.小明某天在文具店做志愿者賣(mài)筆，鉛筆每支售4元，圓珠筆每支售7元.開(kāi)始時(shí)他有鉛筆和圓珠筆共350支，當(dāng)天雖然筆沒(méi)有全部賣(mài)完，但是他的銷(xiāo)售收入恰好是2017元.則他至少賣(mài)出了支圓珠筆.【答案】207【解答】設(shè)x,y分別表示已經(jīng)賣(mài)出的鉛筆和圓珠筆的支數(shù)，則AxTyj013，x+y<350,所以x=2013—7y=（503_2y）』1,4于是1是整數(shù).又2013二4（xy）3y：：43503y,4所以y.204，故y的最小值為207,此時(shí)x=141.V0\jjEV0\jjE(第11題)三、解答題如圖，拋物線(xiàn)y=ax2?bx—3，頂點(diǎn)為E,該拋物線(xiàn)與x軸交于A,B兩點(diǎn)，與y軸1交于點(diǎn)C,且0B=OC=30A.直線(xiàn)y=一一xT與y軸交于點(diǎn)D.3求/DBC-/CBE.【解答】將x=0分別代入y=T,y=ax2?bx-3知，3D(0,1)，C(0，-3)，所以B(3,0),A(-1,0).直線(xiàn)y=-一x1過(guò)點(diǎn)B.3將點(diǎn)C(0,-3)的坐標(biāo)代入y二a(x?1)(x一3)，得a=1.拋物線(xiàn)y=x2-2x-3的頂點(diǎn)為E(1,V).于是由勾股定理得BC=3.2,CE=、2,BE=25.因?yàn)锽C2+CE2=BE2，所以，△BCE為直角三角形，.BCE=90.因此tan.CBE=CE=-.又tan/DBO^0^二一，則/DBOCB3OB3CBE.所以，.DBC-?CBE"DBC-?DBO"OBC=45.12?設(shè)△ABC的外心，垂心分別為O,H，若B,C,H,O共圓，對(duì)于所有的△ABC,求.BAC所有可能的度數(shù).【解答】分三種情況討論.(i)若厶ABC為銳角三角形.因?yàn)?BHC=180一.A.BOC=2.A,所以由.BHC=.BOC，可得180,=2.A，于是.A=60.C(第12題答題(C(第12題答題(ii))(ii)若厶ABC為鈍角三角形.當(dāng).A90時(shí)，因?yàn)?BHC=180-?A,.BOC=2180-A,所以由.BHC.BOC=180，可得3180"-/A=180，于是A=120當(dāng).A:：:90時(shí)，不妨假設(shè)?B?90，因?yàn)?BHC=/A,?BOC=2.A,所以由.BHC?.BOC=180，可得3.A=180，于是.A=60.(iii)若厶ABC為直角三角形.當(dāng).A=90時(shí)，因?yàn)镺為邊BC的中點(diǎn)，B,C,H,O不可能共圓，所以.A不可能等于90;當(dāng).A<90時(shí)，不妨假設(shè)?B=90，此時(shí)點(diǎn)B與H重合，于是總有B,C,H,O共圓,因此.A可以是滿(mǎn)足0-A：：：90的所有角.綜上可得，?A所有可能取到的度數(shù)為所有銳角及120.13.設(shè)a,b,c是素?cái)?shù)，記x=bc—a,y=ca—b,z=ab—c，當(dāng)Z=y、,x—、.y=2時(shí)，a,b,c能否構(gòu)成三角形的三邊長(zhǎng)？證明你的結(jié)論.【解答】不能.、111依題意，得a=—(y?z),b(xz),c(xy).222因?yàn)閥=z2，所以a=1(y?z)=1(z2?z)=丿.222又由于z為整數(shù)，a為素?cái)?shù)，所以z=2或-3,a=3.當(dāng)z=2時(shí)，y二z2=4,x=(、.y2)2=16.進(jìn)而，b=9,c=10，與b,c是素?cái)?shù)矛盾；當(dāng)z=-3時(shí)，ab-c<0，所以a,b,c不能構(gòu)成三角形的三邊長(zhǎng).14.如果將正整數(shù)M放在正整數(shù)m左側(cè)，所得到的新數(shù)可被7整除，那么稱(chēng)M為m的“魔術(shù)數(shù)”(例如，把86放在415的左側(cè)，得到的數(shù)86415能被7整除，所以稱(chēng)86為415的魔術(shù)數(shù)).求正整數(shù)n的最小值，使得存在互不相同的正整數(shù)a1,a2,…，an，滿(mǎn)足對(duì)任意一個(gè)正整數(shù)m,在a-i,a2,…，an中都至少有一個(gè)為m的魔術(shù)數(shù).【解答】若n<6,取m=1,2,…，7,根據(jù)抽屜原理知，必有q,a2,…，an中的一個(gè)正整數(shù)M是i,j(1Wivj<7)的公共的魔術(shù)數(shù)，即7|(10Mi),7|(10Mj).則有7|(j-i)，但0vj-i<6,矛盾.故n>