行列式與矩陣

Donotworryabouttomorrow,fortomorrowwillbringworriesofitsown.Today'stroubleisenoughfortoday.

行列式與矩陣Donotworryaboutt1用消元法解二元線性方程組行列式的引入定義的引出用消元法解二元線性方程組行列式的引入定義的引出2方程組有唯一解為行列式的引入方程組有唯一解為行列式的引入3當(dāng)時(shí)方程組有唯一解如果規(guī)定則有行列式的引入當(dāng)時(shí)方程組有唯一解如果規(guī)定則有行列式的引入4解所以行列式例解所以行列式例5三元線性方程組定義：三元線性方程組定義：6線性方程組的一般形式稱為系數(shù)行列式(1)線性方程組的一般形式稱為系數(shù)行列式(1)7

二階行列式定義解:例二階行列式定義解:例8全排列引例:

用1,2,3三個(gè)數(shù)字,可以組成多少個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？這是一個(gè)大家熟知的問(wèn)題，答案是：3!=6。123 132 213 231 312 321定義:

把n個(gè)不同的元素排成一列,叫做這n個(gè)元素的全排列(或排列)。n個(gè)不同的元素的所有排列的種數(shù),通常用Pn

表示,稱為排列數(shù)。

Pn=n

(n–1)(n–2)···21=n!

全排列引例:用1,2,3三個(gè)數(shù)字,可以組成多少個(gè)沒(méi)9排列的逆序和逆序數(shù)定義：在一個(gè)排列i1

i2···

is

···it

···in

中，若數(shù)is>it，則稱這兩個(gè)數(shù)組成一個(gè)逆序。例如:

排列32514中，

我們規(guī)定各元素之間有一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)次序，以n個(gè)不同的自然數(shù)為例,規(guī)定由小到大為標(biāo)準(zhǔn)次序。32514逆序逆序逆序定義:

一個(gè)排列中所有逆序的總數(shù)稱為此排列的逆序數(shù)，記為：排列的逆序和逆序數(shù)定義：在一個(gè)排列i1i2···i10三級(jí)排列的逆序和逆序數(shù)排列逆序逆序數(shù)排列的奇偶性123無(wú)0偶排列132321奇排列213211奇排列23121，312偶排列31231，322偶排列32132，31，213奇排列排列的逆序和逆序數(shù)三級(jí)排列的逆序和逆序數(shù)排列逆序逆序數(shù)排列的奇偶性123無(wú)0偶11每一乘積項(xiàng)都是由n個(gè)元素組成，行標(biāo)為自然排列，列標(biāo)作全排列，代數(shù)和共有n!項(xiàng)每一項(xiàng)的符號(hào)由列標(biāo)排列的逆序數(shù)所決定n個(gè)元素中任意兩個(gè)元素都位于不同行不同列三階行列式每一乘積項(xiàng)都是由n個(gè)元素組每一項(xiàng)的符號(hào)由列標(biāo)n個(gè)元素中任意兩12

解：例三階行列式解：例三階行列式13

行列式表示的是一個(gè)數(shù)n階行列式是由n!項(xiàng)組成，且正號(hào)項(xiàng)和負(fù)號(hào)項(xiàng)各占一半一階行列式|a|=a不要與絕對(duì)值記號(hào)相混淆n階行列式

注：行列式表示的是一個(gè)數(shù)n階行列式注：14行列式的性質(zhì)1.

行列式轉(zhuǎn)置后，其值不變。2.

互換行列式的兩行(列)，行列式變號(hào)。推論：如果行列式D有兩行(列)相同，則D=0。3.行列式的某一行(列)的所有元素都乘以同一數(shù)K，等于用數(shù)K乘此行列式。推論2：如果行列式D有一行(列)的元素全為零，則D=0推論3：如果行列式D有兩行（列）的元素對(duì)應(yīng)成比例，則D=0推論1：行列式中某一行（列）的元素的公因數(shù)可以提到行列式符號(hào)的

外面。行列式的性質(zhì)1.行列式轉(zhuǎn)置后，其值不變。2.互換行列式的15定義1由個(gè)數(shù)排成的行列的數(shù)表,

稱為行列的矩陣,簡(jiǎn)稱矩陣.

記作:矩陣的定義m行n列定義1由個(gè)數(shù)排成的行列的數(shù)表,稱為行16矩陣是一個(gè)矩形的矩陣“數(shù)表”，行列式是在一個(gè)方形數(shù)表中根據(jù)定義規(guī)則進(jìn)行運(yùn)算的代數(shù)式，結(jié)果是一個(gè)數(shù)值。行列式n行n列，矩陣m行n列矩陣與行列式的區(qū)別行列式矩陣矩陣是一個(gè)矩形的矩陣“數(shù)表”，行列式是在一個(gè)方形數(shù)表中根據(jù)17幾種特殊形式的矩陣

1.行矩陣與列矩陣

2.同型矩陣與矩陣的相等兩個(gè)矩陣行數(shù)相等、列數(shù)也相等時(shí)，稱為同型矩陣。如果矩陣與矩陣是同型矩陣，且它們的對(duì)應(yīng)元素相等,即那么就稱這兩個(gè)矩陣相等.記作幾種特殊形式的矩陣1.行矩陣與列矩陣2.同型矩陣與矩183.零矩陣元素都是零的矩陣稱為零矩陣.記作注意：不同型的零矩陣是不同的.或4.方陣行數(shù)與列數(shù)都等于

的矩陣稱為階矩陣或階方陣階方陣的元素稱為主對(duì)角線元素幾種特殊形式的矩陣

3.零矩陣注意：不同型的零矩陣是不同的.或4.方陣的矩陣195.上(下)三角矩陣

6.對(duì)角矩陣

幾種特殊形式的矩陣

5.上(下)三角矩陣6.對(duì)角矩陣幾種特殊形式的矩陣207.單位矩陣

幾種特殊形式的矩陣

7.單位矩陣幾種特殊形式的矩陣21矩陣的運(yùn)算

矩陣的加法

1.定義

2.運(yùn)算規(guī)律注：只有同型矩陣才可以加減矩陣的運(yùn)算矩陣的加法1.定義2.運(yùn)算規(guī)律注：只有223.負(fù)矩陣

4.矩陣的減法

例1矩陣的運(yùn)算

3.負(fù)矩陣4.矩陣的減法例1矩陣的運(yùn)算23數(shù)與矩陣的乘法1.定義

數(shù)與矩陣的乘積記作或規(guī)定為注：與為同型矩陣2.運(yùn)算規(guī)律數(shù)與矩陣的乘法1.定義數(shù)與矩陣的乘24設(shè)求解:

數(shù)與矩陣的乘法例設(shè)求解:數(shù)與矩陣的乘法例25矩陣與矩陣的乘法1.定義

其中注意:矩陣與矩陣的乘法1.定義其中注意:26設(shè)求解:

記則設(shè)則:矩陣的乘法例設(shè)求解:記則設(shè)則:矩陣的乘法例27注：矩陣的乘法一般不滿足交換律，即一般來(lái)說(shuō)進(jìn)行矩陣乘法時(shí),一定要注意乘的次序，不能隨意改變

設(shè)求與.解:

矩陣與矩陣的乘法例注：設(shè)求與.解:矩陣與矩28

設(shè)求與解:

注意:矩陣與矩陣的乘法例設(shè)求與解:注意:矩陣與矩陣的292.運(yùn)算規(guī)律(假定運(yùn)算都是可行的):(其中為數(shù))(左分配律)(右分配律)矩陣與矩陣的乘法2.運(yùn)算規(guī)律(假定運(yùn)算都是可行的):(其中為數(shù))(左303.矩陣的冪為正整數(shù).矩陣的冪滿足下列運(yùn)算規(guī)律:注:一般來(lái)說(shuō)矩陣與矩陣的乘法3.矩陣的冪為正整數(shù).矩陣的冪滿足下列運(yùn)算規(guī)律:注:31線性方程組

若設(shè)則其矩陣形式為：矩陣與矩陣的乘法例線性方程組若設(shè)則其矩陣形式為：矩陣與矩陣的乘法例32矩陣的轉(zhuǎn)置1.定義

設(shè)稱為矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣。即把矩陣的行換成同序號(hào)的列得到的一個(gè)新矩陣。

矩陣的轉(zhuǎn)置1.定義設(shè)稱為矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣。即把矩陣的行換成332.運(yùn)算規(guī)律(假定運(yùn)算都是可行的):如矩陣的轉(zhuǎn)置2.運(yùn)算規(guī)律(假定運(yùn)算都是可行的):如矩陣的轉(zhuǎn)置34解：

.

矩陣的轉(zhuǎn)置例解：.矩陣的轉(zhuǎn)置例353.定義

設(shè)矩陣為階方陣，如果滿足即

那么稱為對(duì)稱矩陣；如果滿足即

那么稱為反對(duì)稱矩陣。注：(1)對(duì)稱矩陣的特點(diǎn)是：它的元素以主對(duì)角線為對(duì)稱軸對(duì)應(yīng)相等；(2)反對(duì)稱矩陣的特點(diǎn)是：它的元素以主對(duì)角線為軸對(duì)應(yīng)互為相反數(shù)，且主對(duì)角線元素全為零。矩陣的轉(zhuǎn)置3.定義設(shè)矩陣為階方陣，如果滿足即那么稱為對(duì)稱矩陣；如36方陣的行列式1.定義2.方陣的行列式滿足的運(yùn)算規(guī)律：3.奇異矩陣與非奇異矩陣方陣的行列式1.定義2.方陣的行列式滿足的運(yùn)算規(guī)律：37逆矩陣

逆矩陣的定義及性質(zhì)定義

設(shè)為階方陣，若存在階方陣，使，則稱方陣可逆，稱為的逆矩陣。

注：逆矩陣逆矩陣的定義及性質(zhì)定義設(shè)為階方陣，若存在階方陣381、計(jì)算行列式(1)2、若矩陣試求AB和BA作業(yè)(2)1、計(jì)算行列式(1)2、若矩陣試求AB和BA作業(yè)(2)39行列式與矩陣

Donotworryabouttomorrow,fortomorrowwillbringworriesofitsown.Today'stroubleisenoughfortoday.

行列式與矩陣Donotworryaboutt40用消元法解二元線性方程組行列式的引入定義的引出用消元法解二元線性方程組行列式的引入定義的引出41方程組有唯一解為行列式的引入方程組有唯一解為行列式的引入42當(dāng)時(shí)方程組有唯一解如果規(guī)定則有行列式的引入當(dāng)時(shí)方程組有唯一解如果規(guī)定則有行列式的引入43解所以行列式例解所以行列式例44三元線性方程組定義：三元線性方程組定義：45線性方程組的一般形式稱為系數(shù)行列式(1)線性方程組的一般形式稱為系數(shù)行列式(1)46

二階行列式定義解:例二階行列式定義解:例47全排列引例:

用1,2,3三個(gè)數(shù)字,可以組成多少個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？這是一個(gè)大家熟知的問(wèn)題，答案是：3!=6。123 132 213 231 312 321定義:

把n個(gè)不同的元素排成一列,叫做這n個(gè)元素的全排列(或排列)。n個(gè)不同的元素的所有排列的種數(shù),通常用Pn

表示,稱為排列數(shù)。

Pn=n

(n–1)(n–2)···21=n!

全排列引例:用1,2,3三個(gè)數(shù)字,可以組成多少個(gè)沒(méi)48排列的逆序和逆序數(shù)定義：在一個(gè)排列i1

i2···

is

···it

···in

中，若數(shù)is>it，則稱這兩個(gè)數(shù)組成一個(gè)逆序。例如:

排列32514中，

我們規(guī)定各元素之間有一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)次序，以n個(gè)不同的自然數(shù)為例,規(guī)定由小到大為標(biāo)準(zhǔn)次序。32514逆序逆序逆序定義:

一個(gè)排列中所有逆序的總數(shù)稱為此排列的逆序數(shù)，記為：排列的逆序和逆序數(shù)定義：在一個(gè)排列i1i2···i49三級(jí)排列的逆序和逆序數(shù)排列逆序逆序數(shù)排列的奇偶性123無(wú)0偶排列132321奇排列213211奇排列23121，312偶排列31231，322偶排列32132，31，213奇排列排列的逆序和逆序數(shù)三級(jí)排列的逆序和逆序數(shù)排列逆序逆序數(shù)排列的奇偶性123無(wú)0偶50每一乘積項(xiàng)都是由n個(gè)元素組成，行標(biāo)為自然排列，列標(biāo)作全排列，代數(shù)和共有n!項(xiàng)每一項(xiàng)的符號(hào)由列標(biāo)排列的逆序數(shù)所決定n個(gè)元素中任意兩個(gè)元素都位于不同行不同列三階行列式每一乘積項(xiàng)都是由n個(gè)元素組每一項(xiàng)的符號(hào)由列標(biāo)n個(gè)元素中任意兩51

解：例三階行列式解：例三階行列式52

行列式表示的是一個(gè)數(shù)n階行列式是由n!項(xiàng)組成，且正號(hào)項(xiàng)和負(fù)號(hào)項(xiàng)各占一半一階行列式|a|=a不要與絕對(duì)值記號(hào)相混淆n階行列式

注：行列式表示的是一個(gè)數(shù)n階行列式注：53行列式的性質(zhì)1.

行列式轉(zhuǎn)置后，其值不變。2.

互換行列式的兩行(列)，行列式變號(hào)。推論：如果行列式D有兩行(列)相同，則D=0。3.行列式的某一行(列)的所有元素都乘以同一數(shù)K，等于用數(shù)K乘此行列式。推論2：如果行列式D有一行(列)的元素全為零，則D=0推論3：如果行列式D有兩行（列）的元素對(duì)應(yīng)成比例，則D=0推論1：行列式中某一行（列）的元素的公因數(shù)可以提到行列式符號(hào)的

外面。行列式的性質(zhì)1.行列式轉(zhuǎn)置后，其值不變。2.互換行列式的54定義1由個(gè)數(shù)排成的行列的數(shù)表,

稱為行列的矩陣,簡(jiǎn)稱矩陣.

記作:矩陣的定義m行n列定義1由個(gè)數(shù)排成的行列的數(shù)表,稱為行55矩陣是一個(gè)矩形的矩陣“數(shù)表”，行列式是在一個(gè)方形數(shù)表中根據(jù)定義規(guī)則進(jìn)行運(yùn)算的代數(shù)式，結(jié)果是一個(gè)數(shù)值。行列式n行n列，矩陣m行n列矩陣與行列式的區(qū)別行列式矩陣矩陣是一個(gè)矩形的矩陣“數(shù)表”，行列式是在一個(gè)方形數(shù)表中根據(jù)56幾種特殊形式的矩陣

1.行矩陣與列矩陣

2.同型矩陣與矩陣的相等兩個(gè)矩陣行數(shù)相等、列數(shù)也相等時(shí)，稱為同型矩陣。如果矩陣與矩陣是同型矩陣，且它們的對(duì)應(yīng)元素相等,即那么就稱這兩個(gè)矩陣相等.記作幾種特殊形式的矩陣1.行矩陣與列矩陣2.同型矩陣與矩573.零矩陣元素都是零的矩陣稱為零矩陣.記作注意：不同型的零矩陣是不同的.或4.方陣行數(shù)與列數(shù)都等于

的矩陣稱為階矩陣或階方陣階方陣的元素稱為主對(duì)角線元素幾種特殊形式的矩陣

3.零矩陣注意：不同型的零矩陣是不同的.或4.方陣的矩陣585.上(下)三角矩陣

6.對(duì)角矩陣

幾種特殊形式的矩陣

5.上(下)三角矩陣6.對(duì)角矩陣幾種特殊形式的矩陣597.單位矩陣

幾種特殊形式的矩陣

7.單位矩陣幾種特殊形式的矩陣60矩陣的運(yùn)算

矩陣的加法

1.定義

2.運(yùn)算規(guī)律注：只有同型矩陣才可以加減矩陣的運(yùn)算矩陣的加法1.定義2.運(yùn)算規(guī)律注：只有613.負(fù)矩陣

4.矩陣的減法

例1矩陣的運(yùn)算

3.負(fù)矩陣4.矩陣的減法例1矩陣的運(yùn)算62數(shù)與矩陣的乘法1.定義

數(shù)與矩陣的乘積記作或規(guī)定為注：與為同型矩陣2.運(yùn)算規(guī)律數(shù)與矩陣的乘法1.定義數(shù)與矩陣的乘63設(shè)求解:

數(shù)與矩陣的乘法例設(shè)求解:數(shù)與矩陣的乘法例64矩陣與矩陣的乘法1.定義

其中注意:矩陣與矩陣的乘法1.定義其中注意:65設(shè)求解:

記則設(shè)則:矩陣的乘法例設(shè)求解:記則設(shè)則:矩陣的乘法例66注：矩陣的乘法一般不滿足交換律，即一般來(lái)說(shuō)進(jìn)行矩陣乘法時(shí),一定要注意乘的次序，不能隨意改變

設(shè)求與.解:

矩陣與矩陣的乘法例注：設(shè)求與.解:矩陣與矩67

設(shè)求與解:

注意:矩陣與矩陣的乘法例設(shè)求與解:注意:矩陣與矩陣的682.運(yùn)算規(guī)律(假定運(yùn)算都是可行的):(其中為數(shù))(左分配律)(右分配律)矩陣與矩陣的乘法2.運(yùn)算規(guī)律(假定運(yùn)算都是可行的):(其中為數(shù))(左