高階微分方程應(yīng)用習(xí)題課第七章微分方程二、二階微分方程的實(shí)際應(yīng)用

一、兩類高階微分方程的解法

1.可降階微分方程的解法2.二階線性微分方程的解法高階微分方程應(yīng)用習(xí)題課第七章微分方程二、二階微分方程的實(shí)1一、兩類高階微分方程的解法

1.可降階微分方程的解法——降階法令令逐次積分求解

一、兩類高階微分方程的解法1.可降階微分方程的解法——22.二階線性微分方程的解法常系數(shù)齊次情形——代數(shù)法特征方程:實(shí)根特征根通解以上結(jié)論可推廣到高階常系數(shù)線性微分方程.2.二階線性微分方程的解法常系數(shù)齊次情形——代數(shù)法特32.二階線性微分方程的解法常系數(shù)非齊次情形——代數(shù)法為常數(shù)其中為實(shí)數(shù),為m次多項(xiàng)式.1）此結(jié)論可推廣到高階常系數(shù)線性微分方程.當(dāng)是特征方程的k重根時(shí),可設(shè)特解將此式代入原方程比較系數(shù)即可確定該特解.2.二階線性微分方程的解法常系數(shù)非齊次情形——代數(shù)法42.二階線性微分方程的解法常系數(shù)非齊次情形——代數(shù)法為常數(shù)2）型則可設(shè)特解:其中為特征方程的

k

重根(k=0,1),上述結(jié)論也可推廣到高階方程的情形.將此式代入原方程比較系數(shù)即可確定該特解.2.二階線性微分方程的解法常系數(shù)非齊次情形——代數(shù)法5的解.例1設(shè)函數(shù)內(nèi)具有連續(xù)二階導(dǎo)1)試將x＝x(y)所滿足的微分方程變換為y＝y(tǒng)(x)所滿足的微分方程;2)求變換后的微分方程滿足初始條件數(shù),且解

上式兩端對(duì)x求導(dǎo),得1)由反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式知(2003考研)的解.例1設(shè)函數(shù)內(nèi)具有連續(xù)二階導(dǎo)1)試將x＝x(y)6代入原微分方程得①2)方程①的對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為設(shè)①的特解為代入①得A＝0,從而得①的通解:由初始條件得故所求初值問題的解為代入原微分方程得①2)方程①的對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為設(shè)7二、微分方程的應(yīng)用

1.建立數(shù)學(xué)模型—列微分方程問題建立微分方程(共性)利用物理規(guī)律利用幾何關(guān)系確定定解條件(個(gè)性)初始條件邊界條件可能還有銜接條件2.解微分方程問題3.分析解所包含的實(shí)際意義二、微分方程的應(yīng)用1.建立數(shù)學(xué)模型—列微分方程問題8例2解

欲向宇宙發(fā)射一顆人造衛(wèi)星,為使其擺脫地球引力,初始速度應(yīng)不小于第二宇宙速度,試計(jì)算此速度.設(shè)人造地球衛(wèi)星質(zhì)量為m,地球質(zhì)量為M,衛(wèi)星的質(zhì)心到地心的距離為h,由牛頓第二定律得:②(G為引力系數(shù))則有初值問題:又設(shè)衛(wèi)星的初速度③例2解欲向宇宙發(fā)射一顆人造衛(wèi)星,為使其擺脫地球引力,初9②③代入原方程②,得兩邊積分得利用初始條件③,得因此注意到②③代入原方程②,得兩邊積分得利用初始條件③,得因此注意10為使因?yàn)楫?dāng)h=R(在地面上)時(shí),引力=重力,即④代入④即得這說明第二宇宙速度為為使因?yàn)楫?dāng)h=R(在地面上)時(shí),引力=重力,11練習(xí)題從船上向海中沉放某種探測(cè)儀器,按探測(cè)要求,

需確定儀器的下沉深度

y與下沉速度v之間的函數(shù)關(guān)系.設(shè)儀器在重力作用下從海平面由靜止開始下沉,在下沉過程中還受到阻力和浮力作用,設(shè)儀器質(zhì)量為

m,體積為B,海水比重為,儀器所受阻力與下沉速度成正比,比例系數(shù)為k(k>0),試建立y與v所滿足的微分方程,并求出函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=y(v).(1995考研)提示:

建立坐標(biāo)系如圖.質(zhì)量m體積B由牛頓第二定律重力浮力阻力練習(xí)題從船上向海中沉放某種探測(cè)儀器,按探測(cè)要求,需確定儀12初始條件為用分離變量法解上述初值問題得得質(zhì)量m體積B注意:初始條件為用分離變量法解上述初值問題得得質(zhì)量m注意:13在閉合回路中,所有支路上的電壓降為0.例3

有一電路如圖所示,電阻

R和電～解

列方程.已知經(jīng)過電阻R的電壓降為Ri;經(jīng)過L的電壓降為因此有即初始條件:由回路電壓定律:其中電源求電流強(qiáng)度感L都是常量,在閉合回路中,所有支路上的電壓降為0.例3有一電路14解方程:由初始條件:得利用一階線性方程解的公式可得～解方程:由初始條件:得利用一階線性方程解的公式可得～15暫態(tài)電流穩(wěn)態(tài)電流因此所求電流函數(shù)為解的意義:～暫態(tài)電流穩(wěn)態(tài)電流因此所求電流函數(shù)為解的意義:～16求電容器兩兩極板間電壓練習(xí)題

聯(lián)組成的電路,其中R,L,C為常數(shù),所滿足的微分方程.解設(shè)電路中電流為i(t),的電量為q(t),自感電動(dòng)勢(shì)為由電學(xué)知根據(jù)回路電壓定律:設(shè)有一個(gè)電阻R,自感L,電容C和電源E串極板上在閉合回路中,所有支路上的電壓降為0‖~求電容器兩兩極板間電壓練習(xí)題聯(lián)組成的電路,其中R,17串聯(lián)電路的振蕩方程:化為關(guān)于的方程:故有‖~如果電容器充電后撤去電源(E=0),則得串聯(lián)電路的振蕩方程:化為關(guān)于的方程:故有‖~如果電容器18當(dāng)重力與彈性力抵消時(shí),物體處于平衡狀態(tài),例4

質(zhì)量為m的物體自由懸掛在一端固定的彈簧上,力與阻力作用下作往復(fù)運(yùn)動(dòng),解阻力的大小與運(yùn)動(dòng)速度向下拉物體使它離開平衡位置后放開,若用手物體在彈性取平衡時(shí)物體的位置為坐標(biāo)原點(diǎn),建立坐標(biāo)系如圖.設(shè)時(shí)刻t物位移為x(t).①自由振動(dòng)情況.彈性恢復(fù)力物體所受的力有:(虎克定律)成正比,方向相反.1）建立位移滿足的微分方程.當(dāng)重力與彈性力抵消時(shí),物體處于平衡狀態(tài),例4質(zhì)量為19據(jù)牛頓第二定律得則得有阻尼自由振動(dòng)方程:阻力②強(qiáng)迫振動(dòng)情況.若物體在運(yùn)動(dòng)過程中還受鉛直外則得強(qiáng)迫振動(dòng)方程:力據(jù)牛頓第二定律得則得有阻尼自由振動(dòng)方程:阻力②強(qiáng)迫振動(dòng)情況202）解在無(wú)外力作用下做自由運(yùn)動(dòng),求物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律為初始設(shè)t=0時(shí)物體的位置的定解問題為由1）知,位移滿足方程:特征方程:特征根:方程通解:①無(wú)阻尼自由振動(dòng)情況(n=0)利用初始條件得:2）解在無(wú)外力作用下做自由運(yùn)動(dòng),求物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律為21故所求特解:簡(jiǎn)諧振動(dòng)

A:振幅,:初相,周期:固有頻率(僅由系統(tǒng)特性確定)解的特征:故所求特解:簡(jiǎn)諧振動(dòng)A:振幅,:初相,周期:固22方程:特征方程:特征根:小阻尼:n<k這時(shí)需分如下三種情況進(jìn)行討論:②有阻尼自由振動(dòng)情況大阻尼:n>k臨界阻尼:n=k解的特征解的特征解的特征方程:特征方程:特征根:小阻尼:n<k這時(shí)需分如下三23小阻尼自由振動(dòng)解的特征:由初始條件確定任意常數(shù)后變形運(yùn)動(dòng)周期:振幅:衰減很快,隨時(shí)間t的增大物體趨于平衡位置.小阻尼自由振動(dòng)解的特征:由初始條件確定任意常數(shù)后變形運(yùn)動(dòng)24大阻尼解的特征:(n>k)1)無(wú)振蕩現(xiàn)象;此圖參數(shù):2)對(duì)任何初始條件即隨時(shí)間t的增大物體總趨于平衡位置.大阻尼解的特征:(n>k)1)無(wú)振蕩現(xiàn)象;此25臨界阻尼解的特征:(n=k)任意常數(shù)由初始條件定,最多只與t軸交于一點(diǎn);即隨時(shí)間t的增大物體總趨于平衡位置.2)無(wú)振蕩現(xiàn)象;此圖參數(shù):臨界阻尼解的特征:(n=k)任意常數(shù)由初始條件定,263）的作用，求物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律.解問題歸結(jié)為求解無(wú)阻尼強(qiáng)迫振動(dòng)方程

當(dāng)p

≠k時(shí),齊次通解:非齊次特解形式:因此原方程④之解為若設(shè)物體只受彈性恢復(fù)力f和鉛直干擾力代入④可得:④3）的作用，求物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律.解問題歸結(jié)為求解無(wú)阻尼強(qiáng)27當(dāng)干擾力的角頻率p

≈固有頻率k時(shí),自由振動(dòng)強(qiáng)迫振動(dòng)

當(dāng)

p

=k時(shí),非齊次特解形式:代入④可得:方程④的解為④當(dāng)干擾力的角頻率p≈固有頻率k時(shí),自由振動(dòng)強(qiáng)迫振動(dòng)28若要利用共振現(xiàn)象,應(yīng)使p與k盡量靠近,或使隨著t的增大,強(qiáng)迫振動(dòng)的振幅這時(shí)產(chǎn)生共振現(xiàn)象.可無(wú)限增大,若要避免共振現(xiàn)象,應(yīng)使p遠(yuǎn)離固有頻率k;p

=k.自由振動(dòng)強(qiáng)迫振動(dòng)對(duì)機(jī)械來說,共振可能引起破壞作用,如橋梁被破壞,電機(jī)機(jī)座被破壞等,但對(duì)電磁振蕩來說,共振可能起有利作用,如收音機(jī)的調(diào)頻放大即是利用共振原理.若要利用共振現(xiàn)象,應(yīng)使p與k盡量靠近,或使隨著t29練習(xí)1容器內(nèi)溶液的含糖量問題

一容器內(nèi)有糖水100L，含糖量為100克，現(xiàn)以5L/min的速度注入濃度為10克/L的糖水，同時(shí)將均勻混合的糖水以5L/min的速度排出.求含糖量對(duì)時(shí)間變化的函數(shù)？分析:

在時(shí)間微量dt內(nèi)容器含糖量的改變量解得－該時(shí)間內(nèi)排出鹽水的含鹽量＝該時(shí)間內(nèi)注入鹽水的含鹽量微量平衡原理練習(xí)1容器內(nèi)溶液的含糖量問題一容器內(nèi)有糖水1030練習(xí)2污水治理問題

某湖泊水量為V,每年均勻排入含污染物A的污水量V/6,流入不含污物A的水量也是V/6,同時(shí)每年以勻速將V/3的水量排出湖泊.經(jīng)測(cè)m(0)=5m0,為治理執(zhí)行限排標(biāo)準(zhǔn).排入湖泊中的污染物含A濃度不得超過每年m0/V.假定湖中含A總是均勻的,問幾年后A含量不超過m0？湖中A的改變量＝流入A的量－排出A的量解得練習(xí)2污水治理問題某湖泊水量為V,每年均勻31

君子之學(xué)，不為則已，為則必要其成，故常百倍其功.—宋·朱熹

希望同學(xué)們抓緊時(shí)間、克服困難，認(rèn)真復(fù)習(xí)，祝大家在考試中取得更好的成績(jī)！

最后，預(yù)祝各位同學(xué)及你們的家人過一個(gè)祥和、溫馨的春節(jié)！

謝謝大家，再見！對(duì)各作業(yè)組組長(zhǎng)的出色工作表示感謝！君子之學(xué)，不為則已，為則必要其成，故常百倍其功.—32高階微分方程應(yīng)用習(xí)題課第七章微分方程二、二階微分方程的實(shí)際應(yīng)用

一、兩類高階微分方程的解法

1.可降階微分方程的解法2.二階線性微分方程的解法高階微分方程應(yīng)用習(xí)題課第七章微分方程二、二階微分方程的實(shí)33一、兩類高階微分方程的解法

1.可降階微分方程的解法——降階法令令逐次積分求解

一、兩類高階微分方程的解法1.可降階微分方程的解法——342.二階線性微分方程的解法常系數(shù)齊次情形——代數(shù)法特征方程:實(shí)根特征根通解以上結(jié)論可推廣到高階常系數(shù)線性微分方程.2.二階線性微分方程的解法常系數(shù)齊次情形——代數(shù)法特352.二階線性微分方程的解法常系數(shù)非齊次情形——代數(shù)法為常數(shù)其中為實(shí)數(shù),為m次多項(xiàng)式.1）此結(jié)論可推廣到高階常系數(shù)線性微分方程.當(dāng)是特征方程的k重根時(shí),可設(shè)特解將此式代入原方程比較系數(shù)即可確定該特解.2.二階線性微分方程的解法常系數(shù)非齊次情形——代數(shù)法362.二階線性微分方程的解法常系數(shù)非齊次情形——代數(shù)法為常數(shù)2）型則可設(shè)特解:其中為特征方程的

k

重根(k=0,1),上述結(jié)論也可推廣到高階方程的情形.將此式代入原方程比較系數(shù)即可確定該特解.2.二階線性微分方程的解法常系數(shù)非齊次情形——代數(shù)法37的解.例1設(shè)函數(shù)內(nèi)具有連續(xù)二階導(dǎo)1)試將x＝x(y)所滿足的微分方程變換為y＝y(tǒng)(x)所滿足的微分方程;2)求變換后的微分方程滿足初始條件數(shù),且解

上式兩端對(duì)x求導(dǎo),得1)由反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式知(2003考研)的解.例1設(shè)函數(shù)內(nèi)具有連續(xù)二階導(dǎo)1)試將x＝x(y)38代入原微分方程得①2)方程①的對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為設(shè)①的特解為代入①得A＝0,從而得①的通解:由初始條件得故所求初值問題的解為代入原微分方程得①2)方程①的對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為設(shè)39二、微分方程的應(yīng)用

1.建立數(shù)學(xué)模型—列微分方程問題建立微分方程(共性)利用物理規(guī)律利用幾何關(guān)系確定定解條件(個(gè)性)初始條件邊界條件可能還有銜接條件2.解微分方程問題3.分析解所包含的實(shí)際意義二、微分方程的應(yīng)用1.建立數(shù)學(xué)模型—列微分方程問題40例2解

欲向宇宙發(fā)射一顆人造衛(wèi)星,為使其擺脫地球引力,初始速度應(yīng)不小于第二宇宙速度,試計(jì)算此速度.設(shè)人造地球衛(wèi)星質(zhì)量為m,地球質(zhì)量為M,衛(wèi)星的質(zhì)心到地心的距離為h,由牛頓第二定律得:②(G為引力系數(shù))則有初值問題:又設(shè)衛(wèi)星的初速度③例2解欲向宇宙發(fā)射一顆人造衛(wèi)星,為使其擺脫地球引力,初41②③代入原方程②,得兩邊積分得利用初始條件③,得因此注意到②③代入原方程②,得兩邊積分得利用初始條件③,得因此注意42為使因?yàn)楫?dāng)h=R(在地面上)時(shí),引力=重力,即④代入④即得這說明第二宇宙速度為為使因?yàn)楫?dāng)h=R(在地面上)時(shí),引力=重力,43練習(xí)題從船上向海中沉放某種探測(cè)儀器,按探測(cè)要求,

需確定儀器的下沉深度

y與下沉速度v之間的函數(shù)關(guān)系.設(shè)儀器在重力作用下從海平面由靜止開始下沉,在下沉過程中還受到阻力和浮力作用,設(shè)儀器質(zhì)量為

m,體積為B,海水比重為,儀器所受阻力與下沉速度成正比,比例系數(shù)為k(k>0),試建立y與v所滿足的微分方程,并求出函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=y(v).(1995考研)提示:

建立坐標(biāo)系如圖.質(zhì)量m體積B由牛頓第二定律重力浮力阻力練習(xí)題從船上向海中沉放某種探測(cè)儀器,按探測(cè)要求,需確定儀44初始條件為用分離變量法解上述初值問題得得質(zhì)量m體積B注意:初始條件為用分離變量法解上述初值問題得得質(zhì)量m注意:45在閉合回路中,所有支路上的電壓降為0.例3

有一電路如圖所示,電阻

R和電～解

列方程.已知經(jīng)過電阻R的電壓降為Ri;經(jīng)過L的電壓降為因此有即初始條件:由回路電壓定律:其中電源求電流強(qiáng)度感L都是常量,在閉合回路中,所有支路上的電壓降為0.例3有一電路46解方程:由初始條件:得利用一階線性方程解的公式可得～解方程:由初始條件:得利用一階線性方程解的公式可得～47暫態(tài)電流穩(wěn)態(tài)電流因此所求電流函數(shù)為解的意義:～暫態(tài)電流穩(wěn)態(tài)電流因此所求電流函數(shù)為解的意義:～48求電容器兩兩極板間電壓練習(xí)題

聯(lián)組成的電路,其中R,L,C為常數(shù),所滿足的微分方程.解設(shè)電路中電流為i(t),的電量為q(t),自感電動(dòng)勢(shì)為由電學(xué)知根據(jù)回路電壓定律:設(shè)有一個(gè)電阻R,自感L,電容C和電源E串極板上在閉合回路中,所有支路上的電壓降為0‖~求電容器兩兩極板間電壓練習(xí)題聯(lián)組成的電路,其中R,49串聯(lián)電路的振蕩方程:化為關(guān)于的方程:故有‖~如果電容器充電后撤去電源(E=0),則得串聯(lián)電路的振蕩方程:化為關(guān)于的方程:故有‖~如果電容器50當(dāng)重力與彈性力抵消時(shí),物體處于平衡狀態(tài),例4

質(zhì)量為m的物體自由懸掛在一端固定的彈簧上,力與阻力作用下作往復(fù)運(yùn)動(dòng),解阻力的大小與運(yùn)動(dòng)速度向下拉物體使它離開平衡位置后放開,若用手物體在彈性取平衡時(shí)物體的位置為坐標(biāo)原點(diǎn),建立坐標(biāo)系如圖.設(shè)時(shí)刻t物位移為x(t).①自由振動(dòng)情況.彈性恢復(fù)力物體所受的力有:(虎克定律)成正比,方向相反.1）建立位移滿足的微分方程.當(dāng)重力與彈性力抵消時(shí),物體處于平衡狀態(tài),例4質(zhì)量為51據(jù)牛頓第二定律得則得有阻尼自由振動(dòng)方程:阻力②強(qiáng)迫振動(dòng)情況.若物體在運(yùn)動(dòng)過程中還受鉛直外則得強(qiáng)迫振動(dòng)方程:力據(jù)牛頓第二定律得則得有阻尼自由振動(dòng)方程:阻力②強(qiáng)迫振動(dòng)情況522）解在無(wú)外力作用下做自由運(yùn)動(dòng),求物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律為初始設(shè)t=0時(shí)物體的位置的定解問題為由1）知,位移滿足方程:特征方程:特征根:方程通解:①無(wú)阻尼自由振動(dòng)情況(n=0)利用初始條件得:2）解在無(wú)外力作用下做自由運(yùn)動(dòng),求物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律為53故所求特解:簡(jiǎn)諧振動(dòng)

A:振幅,:初相,周期:固有頻率(僅由系統(tǒng)特性確定)解的特征:故所求特解:簡(jiǎn)諧振動(dòng)A:振幅,:初相,周期:固54方程:特征方程:特征根:小阻尼:n<k這時(shí)需分如下三種情況進(jìn)行討論:②有阻尼自由振動(dòng)情況大阻尼:n>k臨界阻尼:n=k解的特征解的特征解的特征方程:特征方程:特征根:小阻尼:n<k這時(shí)需分如下三55小阻尼自由振動(dòng)解的特征:由初始條件確定任意常數(shù)后變形運(yùn)動(dòng)周期:振幅:衰減很快,隨時(shí)間t的增大物體趨于平衡位置.小阻尼自由振動(dòng)解的特征:由初始條件確定任意常數(shù)后變形運(yùn)動(dòng)56大阻尼解的特征:(n>k)1)無(wú)振蕩現(xiàn)象;此圖參數(shù):2)對(duì)任何初始條件即隨時(shí)間t的增大物體總趨于平衡位置.大阻尼解的特征:(n>k)1)無(wú)振蕩現(xiàn)象;此57臨界阻尼解的特征:(n=k)任意常數(shù)由初始條件定,最多只與t軸交于一點(diǎn);即隨時(shí)間t的增大物體總趨于平衡位置.2)無(wú)振蕩現(xiàn)象;此圖參數(shù):臨界阻尼解的特征:(n=k)任意常數(shù)由初始條件定,583）的作用，求物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律.解問題歸結(jié)為求解無(wú)阻尼強(qiáng)迫振動(dòng)方程

當(dāng)p

≠k時(shí),齊次通解:非齊次特解形式:因此原方程④之解為若設(shè)物體只受彈性恢復(fù)力f和鉛直干擾力代入④可得:④3）的作用，求物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律.解問題歸結(jié)為求解無(wú)阻尼強(qiáng)59當(dāng)干擾力的角頻率p

≈固有頻率k時(shí),自由振動(dòng)強(qiáng)迫振動(dòng)

當(dāng)

p

=k