第七講立體幾何知識概要直線、平面之間的位置關(guān)系立體幾何中的位置關(guān)系，主要考查直線與直線的平行和垂直，直線與平面的平行和垂直，平面與平面的平行和垂直。在證明這些平行和垂直關(guān)系時，常?？梢酝ㄟ^以下三個方面入手：（1）利用定義或判定證明。如證明直線與平面平行，可利用定義：如果一條直線與一個平面沒有公共點，則這條直線與這個平面平行（可用于反證）。也利用判定：如果平面外一條直線與這個平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和這個平面平行。（2）利用平行或垂直關(guān)系證明。如證明線線垂直常用三垂線定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果它和這個平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直。（3）利用向量法證明。如對于直線和，可設(shè)，的方向向量為，。當(dāng)，時//；當(dāng)時，。二、空間中的角和距離（1）求異面直線所成角①平面法：過點P作//，//,則與的夾角就是與的夾角。②向量法：設(shè)，的方向向量為，，則與的夾角為。注意：兩條異面直線所成角的范圍是。（2）求直線與平面所成角①定義法：若直線在平面內(nèi)的射影是直線，則與的夾角就是與的夾角。②向量法：設(shè)直線的方向向量為，是平面的法向量，則直線與平面所成的角為。最小角定理：平面的斜線和它在平面內(nèi)的射影所成的角，是這條斜線和這個平面內(nèi)的直線所成角中最小的角。（3）求二面角①定義法：在二面角-AB-的半平面任取一點P，過P作AB的垂線，垂足為C，再過P作的垂線，垂足為D。連結(jié)CD，則，故為二面角-AB-的平面角。②面積射影定理：設(shè)二面角-AB-的大小為，平面內(nèi)一個平面圖形M的面積為S,M,在內(nèi)的射影圖形的面積為，則，當(dāng)為鈍角時取“-”號，否則取“+”。③三面角的余弦定理：三面角P-ABC中，，，,又二面角B—PA—C=,則。④向量法：設(shè)，分別是二面角-AB-的面，的法向量，則<，>就是二面角-AB-的平面角或其補角的大小，其中（4）求兩點間距離①將其置于某個三角形中，通過解三角形進行計算。②建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間兩點間的距離公式計算。③用異面直線上兩點間的距離公式，如圖，，其中，是二面角-AB-的平面角，點M,N分別在半平面，內(nèi)且，，有|AB|=d,|MA|=m，|NB|=n（5）求點到直線的距離①作出垂線段，直接計算。②利用平面幾何知識，如轉(zhuǎn)化為求三角形的高。（6）求點到平面的距離①定義法：先作出垂線段，再求其長度。②體積法：轉(zhuǎn)化為求一個棱錐的高，其中V為棱錐的體積，S為底面面積，h為底面上的高。③向量法：設(shè)P為平面外一點，PA是平面的一條斜線（A為斜足），是平面的法向量，則點P到平面的距離（7）求異面直線距離①定義法：作出兩直線的公垂線段，再求其長度。②轉(zhuǎn)化法：將異面直線的距離轉(zhuǎn)化為平行線面間的距離或平行平面間的距離。③極值法：構(gòu)造異面直線上兩點間距離的函數(shù)，然后求函數(shù)的最小值。④向量法：設(shè)是異面直線，的法向量，點A,B分別在直線，上，則兩直線的距離多面體棱柱和棱錐是兩種基本的多面體，它們的基本概念和性質(zhì)，高中課本已作了詳盡的介紹，在此不再重述。這里主要介紹幾個出現(xiàn)頻率較高的多面體的有關(guān)性質(zhì)以及關(guān)于多面體的一些重要定理。長方體的性質(zhì)Ⅰ.長方體對角線的平方等于長、寬、高的平方和。Ⅱ.長方體的一條對角線與其一端點上三條棱的夾角是，則Ⅲ.長方體的一條對角線與過其一端點的三個面的夾角分別是，則②四面體的性質(zhì)Ⅰ.任何一個四面體都有外接球和內(nèi)切球。Ⅱ.設(shè)四面體ABCD表面積為S，內(nèi)切球半徑為r，則它的體積為V=Sr/3Ⅲ.設(shè)四面體ABCD各面上的高分別為，內(nèi)切球半徑為r，則Ⅳ.(斯坦納定理)在四面體ABCD中，體積為V，記AB與CD所成角為，距離為d，則,其中，正四面體（四個面都是全等的正三角形的四面體）又具有以下特殊性質(zhì)：Ⅰ.設(shè)正四面體的棱長為a，高為h，外接球半徑為R，內(nèi)切球半徑為r，體積為V，則，，，，且R+r=h，R=3rⅡ.正四面體相鄰兩面的二面角為。Ⅲ.正四面體對棱間的距離是棱長的倍。③歐拉定理