《數(shù)值分析》課程實驗一：插值與擬合一、實驗目的理解插值的基本原理，掌握多項式插值的概念、存在唯一性；編寫MATLAB程序實現(xiàn)Lagrange插值和Newton插值，驗證Runge現(xiàn)象;通過比較不同次數(shù)的多項式擬合效果，理解多項式擬合的基本原理；編寫MATLAB程序實現(xiàn)最小二乘多項式曲線擬合。二、實驗內容1.用Lagrange插值和Newton插值找經(jīng)過點(-3,-1),(0,2),(3,-2),(6,10)的三次插值公式，并編寫MATLAB程序繪制出三次插值公式的圖形。2.設f(x)=1：x2,xG[—5'5]如果用等距節(jié)點x.=-5+10i/n(i=0,1,2,…,n)上的Lagrange插值多項式Ln(x)去逼近它。不妨取n=5和n=10，編寫MATLAB程序繪制出L5(x)和L10(x)的圖像。"3.在某冶煉過程中，根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)的含碳量與時間關系如下表，試求含碳量與時間t的擬合曲線。t(min)0510152025303540455055y(X10-5)01.272.162.863.443.874.154.374.514.584.024.64用最小二乘法進行曲線擬合；編寫MATLAB程序繪制出曲線擬合圖。三、實驗步驟1,i=j,0,i豐j1.(1)1,i=j,0,i豐jl(x)=8..=的一組基函數(shù)如)匕，"的表達式為tx—xl(x)=Hj(i=0,1,,n).尸0,j，.Xifj有了基函數(shù)^.(x)￡0，n次插值多項式就可表示為L(x)=咒yl(x)

niii=0(2)Newton插值法：設x0,x1,…,xn是一組互異的節(jié)點，y,.=f(x)(i=0,1,2,…,n)，fx)在處的n階差商定義為

f[x,x，…，x]-f[x,x，…，x]TOC\o"1-5"\h\zf[x,x,???,x]=1—2n0~1i-01nx一x則n次多項式N(x)=f(x)+f[x,x](x-x)+f[x,x,x](x-x)(x-x)

n001001201+…+f[x,x，…x](x-x)(x-x)…(x-x)01n01n-1差商表的構造過程:x.f(x)一階差商二階差商三階差商四階差商Lx0f(x0)x1f(x1)fx0,x1]x2f(x2)f[x1,x2]fx0,x1'x2]x3f(x3)f[x2,x3]f[x1,x2,x3]f[x0,x1,x2,x3]x4fx4)fx3,x4]fx2,x3,x4]f[x,,x2,x3,x4]fx0,x1,x2,x3,x4]MATLAB程序實現(xiàn):

1819一一一一一一一一一一一一一一-一-1819一一一一一一一一一一一一一一-一-一一一-<11-■12-■13-44一forj=2:lenfori=2:lenif(i>=j)CStable(ijj)=(CStable(ijj-1)-CStable(i-ljj-1))/(x(i)endend-endfv=diag(CStable);Nns=0;□fori=1:len

mid=1;forj=1:i-1mid=conv(midj[1-l*x(j)]);endendmid=fv(i)*mid;midlen=size(midj2)-size(NnXj2);Hnx=[zeros(midlen)Nns];Nns=Nns+mid;-endpolystr=poly2str(NnXjJ);disp(strcatCNevtonmethod:J3polystr));■15%%%plotLagrangemethodandNewtonmethodfigure一figure(1)<13一holdon一plot(Xj力JroJ);-xx=-3:0.1:6;-yy=polyval(LnXjxx);-plot(xxjyy/bJ);一holdoff一boxon一set(gcfjJcolorJjJ;5657exmp2p7pl.mx|lablAl.mx|script|~~Ln~~1Col~~1|OVR試驗結果:2.MATLAB程序實現(xiàn):試驗結果:3.多項式擬合的一般方法可歸納為以下幾步：由已知數(shù)據(jù)畫出函數(shù)粗略的圖形一一散點圖，確定擬合多項式的次數(shù)n；列表計算藝x](j=0,1,…,2n)和j(j=0,1,…,n)；i=0i=0寫出正規(guī)方程組，求出ak(k=0,1,...,n)；(4)寫出擬合多項式p(x)=n(4)寫出擬合多項式p(x)=nMATLAB程序實現(xiàn):-B=[Msum(2);Msujr(6);Msum(7)]一Nfit=ira(A)#B;-Nfit二flipud(Nfit);-polystr=poly2str(NfitjJ);一display(polystr);一figure(2)一holdon一plot(Xjy3JobJ);-xx=0:0.1:55;-yy=polyval(Nfitjxx);一plot(xXjyyj'