教學(xué)內(nèi)容和學(xué)時(shí)分配第四章n維向量教學(xué)內(nèi)容學(xué)時(shí)數(shù)§4.1n維向量空間2§4.2向量組的線性相關(guān)性4§4.3子空間的基和維數(shù)2§4.4向量的內(nèi)積2§4.5線性方程組的解的結(jié)構(gòu)2§4.7用Matlab解題

1思考題請(qǐng)定義{調(diào)味品集合(含這7種成分)}的1.線性組合、線性表示、兩集合的等價(jià)、線性相關(guān)2.線性相關(guān)、線性無(wú)關(guān)并說(shuō)明其性質(zhì)請(qǐng)定義{調(diào)味品集合(含這7種成分)}的1.線性組合、線性表示、兩集合的等價(jià)、線性相關(guān)2.線性相關(guān)、線性無(wú)關(guān)并說(shuō)明其性質(zhì)線性組合：取一定量的調(diào)味品將其混合在一起線性表示：若一個(gè)調(diào)味品可以由一些調(diào)味品混合而成，則稱(chēng)其可由這組調(diào)味品線性表示；調(diào)味品集A,B等價(jià)：若A中調(diào)味品都可由B中調(diào)味品混合而成，B中調(diào)味品都可由A中調(diào)味品混合而成.調(diào)味品集A可由調(diào)味品集B線性表示：若A中任意一個(gè)調(diào)味品都可由B中某些調(diào)味品混合而成；調(diào)味品集A線性相關(guān)：若A中存在一個(gè)調(diào)味品可由A中其他調(diào)味品混合而成.調(diào)味品集A線性無(wú)關(guān)：若A中任何一個(gè)調(diào)味品都不能由A中其他調(diào)味品混合而成.調(diào)味品集A線性相關(guān)：若A中存在一個(gè)調(diào)味品可由A中其他調(diào)味品混合而成.調(diào)味品集A線性無(wú)關(guān)：若A中任何一個(gè)調(diào)味品都不能由A中其他調(diào)味品混合而成.唯一表示定理:Il.i.,{I,}l.d.可由I唯一線性表示.Th4.3大向量組由小向量組線性表示大向量組l.d.調(diào)味品集A線性無(wú)關(guān)，{A,}線性相關(guān),則調(diào)味品一定可由調(diào)味品集A中的某些調(diào)味品混合而成，而且這種混合方式是唯一的。設(shè)兩個(gè)調(diào)味品集A,B滿(mǎn)足|A|>|B|，若A中每種調(diào)味品都可由B中某些調(diào)味品混合而成，則A中必存在某個(gè)調(diào)味品可由A中其他調(diào)味品混合而成。調(diào)味品集的線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān)如果想做一個(gè)適合自己口味的調(diào)味品，至少要選擇哪幾種基本調(diào)味品呢？(能讓每個(gè)人都能做)調(diào)味品集的線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān)調(diào)味品集A線性相關(guān)：若A中存在一個(gè)調(diào)味品可由A中其他調(diào)味品混合而成.調(diào)味品集A線性無(wú)關(guān)：若A中任何一個(gè)調(diào)味品都不能由A中其他調(diào)味品混合而成.這樣的基本調(diào)味品集唯一嗎？不同的基本調(diào)味品集含有調(diào)味品的種類(lèi)數(shù)一樣多嗎？如何尋找這樣的基本調(diào)味品集呢嗎？問(wèn)題式預(yù)習(xí)1.什么是向量組的極大無(wú)關(guān)組和秩？2.向量組等價(jià)關(guān)系下的不變量和最簡(jiǎn)形是什么？3.向量組的秩有哪些性質(zhì)？4.如何求一個(gè)向量組的極大無(wú)關(guān)組？調(diào)味品集簡(jiǎn)化模型A1A2A3A4A5油12101鹽12210醋24311辣12210如果想做一個(gè)適合自己口味的調(diào)味品，至少要選擇哪幾種基本調(diào)味品呢？(能讓每個(gè)人都能做)這樣的基本調(diào)味品集唯一嗎？不同的基本調(diào)味品集含有調(diào)味品的種類(lèi)數(shù)一樣多嗎？如何尋找這樣的基本調(diào)味品集呢嗎？A2=2A1,A4=A1+A3，A5=2A1

A3基本調(diào)味品集:{A1,}{A2,}A3A3{A4,}A5No.A1=.5A2,A4=.5A2+A3,A5=A2

A3A1=A4+A5,A2=2A4+2A5,A3=2A4+A5符合實(shí)際的:設(shè)向量組I:1,2,3,4,5線性相關(guān).比如2能由其余的線性表示設(shè)1,3,4,5線性相關(guān)去掉4仍與I等價(jià)設(shè)2,3,

5線性無(wú)關(guān)去掉2仍與I等價(jià)比如4能由其余的線性表示第四章n維向量§4.2線性組的線性相關(guān)性問(wèn)題：能否找到一個(gè)盡可能小的子集來(lái)代表I

呢？等價(jià)一個(gè)不能少代表：與原向量組等價(jià)的一個(gè)部分向量組，且是一個(gè)含有向量最多的線性無(wú)關(guān)的向量組。

“最多的線性無(wú)關(guān)組”的衡量：將其他任意一個(gè)向量加進(jìn)來(lái)就變成線性相關(guān)的了二.向量組的極大無(wú)關(guān)組和秩

定義1

部分組I0I為I的一個(gè)極大(線性)無(wú)關(guān)組,如果(i)向量組I0是線性無(wú)關(guān)的;

(ii)I中任一向量都可由I0線性表示.如果(i)向量組I0是線性無(wú)關(guān)的;

(ii)I\I0,{I0,}都線性相關(guān).定義2

部分組I0I為I的一個(gè)極大(線性)無(wú)關(guān)組,例5.求的極大無(wú)關(guān)組.解:I0={1,2}

或者{2,3}

或者{1,3}

第四章n維向量§4.2線性組的線性相關(guān)性二.向量組的極大無(wú)關(guān)組

定義1

部分組I0I為I的一個(gè)極大(線性)無(wú)關(guān)組,

(ii)I中任一向量都可由I0線性表示.如果(i)向量組I0是線性無(wú)關(guān)的;

(ii)I\I0,{I0,}都線性相關(guān).注1:向量組的極大無(wú)關(guān)組不是唯一的.

注2:

任意極大無(wú)關(guān)組都與原向量組等價(jià).第四章n維向量§4.2線性組的線性相關(guān)性定理4.4向量組的任意兩個(gè)極大無(wú)關(guān)組含有相同個(gè)數(shù)的向量.注3:

任意兩個(gè)極大無(wú)關(guān)組都等價(jià).極大無(wú)關(guān)組I0中向量的個(gè)數(shù)稱(chēng)為向量組I的秩.記為秩(I)或r(I).注1:定義3注2:注3:在3維幾何空間中，注4:第四章n維向量§4.2線性組的線性相關(guān)性共面但有不共線向量共線且有非零向量基本調(diào)味品集——極大無(wú)關(guān)組A1A2A3A4A5油12101鹽12210醋24311辣12210如果想做一個(gè)適合自己口味的調(diào)味品，至少要選擇哪幾種基本調(diào)味品呢？(能讓每個(gè)人都能做)這樣的基本調(diào)味品集唯一嗎？不同的基本調(diào)味品集含有調(diào)味品的種類(lèi)數(shù)一樣多嗎？如何尋找這樣的基本調(diào)味品集呢嗎？A2=2A1,A4=A1+A3，A5=2A1

A3基本調(diào)味品集:{A1,}{A2,}A3A3{A4,}A5No.A1=.5A2,A4=.5A2+A3,A5=A2

A3A1=A4+A5,A2=2A4+2A5,A3=2A4+A5符合實(shí)際的:秩極大無(wú)關(guān)組1,…,t

可由1,…,s

線性表示

q

p

i1

ip

,…,

,…,

j1

jq

可由線性表示,即r{1,…,t}r{1,…,s}.

Cor4.1若I可由II線性表示,I線性無(wú)關(guān)t

s.定理4.5.若向量組I:1,2,…,t

可由向量組II:1,2,…,s線性表示,則秩(I)秩(II).定理4.3.若I:1,2,…,t

可由1,2,…,s線性表示,并且

t

>s,則向量組I是線性相關(guān)的.定理4.5.若向量組I:1,2,…,t

可由向量組II:1,2,…,s線性表示,則秩(I)秩(II).推論4.3.若這兩個(gè)向量組等價(jià),則秩(I)=秩(II).問(wèn)題：若兩個(gè)秩相同的向量組一定等價(jià)嗎？

反例：向量組{}和{}的秩都為1，但它們不能相互線性表示.

命題.若向量組I:1,2,…,t

可由II:1,2,…,s線性表示,且秩(I)=秩(II)，則II可由I線性表示.第四章n維向量§4.2線性組的線性相關(guān)性問(wèn)題：兩個(gè)秩相同的向量組在什么情況等價(jià)？

定理4.5.若向量組I:1,2,…,t

可由向量組II:1,2,…,s線性表示,則秩(I)秩(II).推論4.3.若這兩個(gè)向量組等價(jià),則秩(I)=秩(II).命題.若向量組I:1,2,…,t

可由II:1,2,…,s線性表示,且秩(I)=秩(II)，則II可由I線性表示.設(shè)I,II的極大無(wú)關(guān)組為I0:j1,…,jr,

II0:i1,…,ir

.證明：因?yàn)镮可由II線性表示,則I0可由II0線性表示

.{i,j1,

,jr}可由II0線性表示.i,j1,

,jr線性相關(guān).因II0含r個(gè)向量,i可由j1,

,jr線性表示.所以II可由I0線性表示.所以II可由I線性表示.iII,第四章n維向量§4.2線性組的線性相關(guān)性從調(diào)味品集看向量組的等價(jià)關(guān)系向量組等價(jià)關(guān)系的不變量是向量組的秩。向量組等價(jià)關(guān)系的最簡(jiǎn)形是極大無(wú)關(guān)組.極大無(wú)關(guān)組是與原向量組等價(jià)的最簡(jiǎn)代表.A1A2A3A4A5油12101鹽12210醋24311辣12210基本調(diào)味品集:{A1,}{A2,}A3A3{A4,}A5任意兩種線性無(wú)關(guān)的調(diào)味品都可以作為基本調(diào)味品集。性質(zhì)：在秩為r的向量組中任意r個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量都是其極大無(wú)關(guān)組

.證法1：

取任意r個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量若不是極大無(wú)關(guān)組，則存在另一個(gè)向量,使得

線性無(wú)關(guān)，由定理4.2知，因此向量組的秩至少為r+1,與已知矛盾。證法2：

秩為r的向量組I中任意r+1個(gè)向量線性相關(guān).取任意r個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量I0:I\I0,都能由I0線性表示，I0為極大無(wú)關(guān)組.性質(zhì).若向量組I:1,2,…,s的秩為r,則I中任意r個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量組都是其極大無(wú)關(guān)組

.不能由線性表示，第四章n維向量§4.2線性組的線性相關(guān)性第四章n維向量§4.2線性組的線性相關(guān)性(i)I0l.i.;

(ii)I\I0,{I0,}l.d.I可由I0線性表示Th4.5.若I可由II線性表示,則秩(I)秩(II);且這兩個(gè)向量組等價(jià)

秩(I)=秩(II).若I可由II線性表示,秩(I)=秩(II)，則II可由I線性表示.反之不成立向量組等價(jià)關(guān)系的不變量：向量組的秩向量組等價(jià)關(guān)系的最簡(jiǎn)形：向量組的極大無(wú)關(guān)組在秩為r的向量組中任意r個(gè)l.i.的向量都是其極大無(wú)關(guān)組

.例6.若I:1,2,…,s,II:1,2,…,s是n維向量組，則r(1+1,2+2,…,s+s)

r(1,2,…,s)+r(1,2,…,s).r(A+B)r(A)+r(B)定理4.5.若向量組I:1,2,…,t

可由向量組II:1,2,…,s線性表示,則秩(I)秩(II).推論4.3.若這兩個(gè)向量組等價(jià),則秩(I)=秩(II).命題.若向量組I:1,2,…,t

可由II:1,2,…,s線性表示,且秩(I)=秩(II)，則II可由I線性表示.第四章n維向量§4.2線性組的線性相關(guān)性例7.設(shè)1,2,3Rn.1=1+2+3,2=2+3,3=3.證明:1,2,3線性無(wú)關(guān)1,2,3線性無(wú)關(guān).I與II(相同個(gè)數(shù))等價(jià)r(I)=r(II)I,II同時(shí)線性無(wú)關(guān)同型矩陣A,B等價(jià)A,B的列向量組同時(shí)線性無(wú)關(guān)A,B同型且r(A)=r(B)線性無(wú)關(guān),則n維向量組8.設(shè)n維向量組I:(A).I可由II線性表示;(D).矩陣與等價(jià).D線性無(wú)關(guān)的充要條件為()II:(B).II可由I線性表示;(C).I與II等價(jià);r(I)=r(II)線性無(wú)關(guān),則n維向量組注:n維向量組I:線性無(wú)關(guān)的充要條件為()II:r(I)

r(II)r(II)

r(I)r(II)=

r(I),但反之不成立.

r(I)=r(II)同型矩陣A,B等價(jià)線性無(wú)關(guān)的充要條件為()選擇題9.向量組(A).中任意向量都不是零向量;(B).中任意兩個(gè)向量的分量都不成比例;構(gòu)成的矩陣中有一個(gè)s階子式0;(C).由構(gòu)成的矩陣中任意s階子式0;(D).由線性無(wú)關(guān)的充要條件為()10.向量組(A).全為0的數(shù)使得;(B).中任意向量都不能由其余向量線性表示;(C).(D).當(dāng)時(shí),不全為0;中存在某向量不能由其余向量線性表示;CC秩為r的充要條件為()11.向量組(A).中任意r個(gè)向量線性無(wú)關(guān);(B).中存在r個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量;(C).(D).中任意r+1個(gè)向量線性相關(guān);中存在r個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量，但任意r+1個(gè)向量線性相關(guān).秩為r,則以下錯(cuò)誤的為()1