.10/10高中函數(shù)定義域和值域的求法總結(jié)一、常規(guī)型即給出函數(shù)的解析式的定義域求法,其解法是由解析式有意義列出關(guān)于自變量的不等式或不等式組,解此不等式〔或組即得原函數(shù)的定義域。例1求函數(shù)的定義域。解：要使函數(shù)有意義,則必須滿足由①解得或。 ③由②解得或④③和④求交集得且或x>5。故所求函數(shù)的定義域?yàn)?。?求函數(shù)的定義域。解：要使函數(shù)有意義,則必須滿足由①解得③由②解得④由③和④求公共部分,得故函數(shù)的定義域?yàn)樵u(píng)注：③和④怎樣求公共部分？你會(huì)嗎？二、抽象函數(shù)型抽象函數(shù)是指沒有給出解析式的函數(shù),不能常規(guī)方法求解,一般表示為已知一個(gè)抽象函數(shù)的定義域求另一個(gè)抽象函數(shù)的解析式,一般有兩種情況。已知的定義域,求的定義域。其解法是：已知的定義域是［a,b］求的定義域是解,即為所求的定義域。例3已知的定義域?yàn)椋郏?,2］,求的定義域。解：令,得,即,因此,從而,故函數(shù)的定義域是。〔2已知的定義域,求f<x>的定義域。其解法是：已知的定義域是［a,b］,求f<x>定義域的方法是：由,求g<x>的值域,即所求f<x>的定義域。例4已知的定義域?yàn)椋?,2］,求f<x>的定義域。解：因?yàn)?。即函?shù)f<x>的定義域是。三、逆向型即已知所給函數(shù)的定義域求解析式中參數(shù)的取值范圍。特別是對(duì)于已知定義域?yàn)镽,求參數(shù)的范圍問題通常是轉(zhuǎn)化為恒成立問題來(lái)解決。例5已知函數(shù)的定義域?yàn)镽求實(shí)數(shù)m的取值范圍。分析：函數(shù)的定義域?yàn)镽,表明,使一切x∈R都成立,由項(xiàng)的系數(shù)是m,所以應(yīng)分m=0或進(jìn)行討論。解：當(dāng)m=0時(shí),函數(shù)的定義域?yàn)镽；當(dāng)時(shí),是二次不等式,其對(duì)一切實(shí)數(shù)x都成立的充要條件是綜上可知。評(píng)注：不少學(xué)生容易忽略m=0的情況,希望通過此例解決問題。例6已知函數(shù)的定義域是R,求實(shí)數(shù)k的取值范圍。解：要使函數(shù)有意義,則必須≠0恒成立,因?yàn)榈亩x域?yàn)镽,即無(wú)實(shí)數(shù)①當(dāng)k≠0時(shí),恒成立,解得；②當(dāng)k=0時(shí),方程左邊=3≠0恒成立。綜上k的取值范圍是。四、實(shí)際問題型這里函數(shù)的定義域除滿足解析式外,還要注意問題的實(shí)際意義對(duì)自變量的限制,這點(diǎn)要加倍注意,并形成意識(shí)。例7將長(zhǎng)為a的鐵絲折成矩形,求矩形面積y關(guān)于一邊長(zhǎng)x的函數(shù)的解析式,并求函數(shù)的定義域。解：設(shè)矩形一邊為x,則另一邊長(zhǎng)為于是可得矩形面積。。由問題的實(shí)際意義,知函數(shù)的定義域應(yīng)滿足。故所求函數(shù)的解析式為,定義域?yàn)椤?,。例8用長(zhǎng)為L(zhǎng)的鐵絲彎成下部為矩形上部為半圓的框架,如圖,若矩形底邊長(zhǎng)為2x,求此框架圍成的面積y與x的函數(shù)關(guān)系式,并求定義域。解：由題意知,此框架圍成的面積是由一個(gè)矩形和一個(gè)半圓組成的圖形的面積,如圖。因?yàn)镃D=AB=2x,所以,所以,故根據(jù)實(shí)際問題的意義知故函數(shù)的解析式為,定義域〔0,。五、參數(shù)型對(duì)于含參數(shù)的函數(shù),求定義域時(shí),必須對(duì)分母分類討論。例9已知的定義域?yàn)椋?,1］,求函數(shù)的定義域。解：因?yàn)榈亩x域?yàn)椋?,1］,即。故函數(shù)的定義域?yàn)橄铝胁坏仁浇M的解集：,即即兩個(gè)區(qū)間［－a,1－a］與［a,1+a］的交集,比較兩個(gè)區(qū)間左、右端點(diǎn),知〔1當(dāng)時(shí),F〔x的定義域?yàn)?；?當(dāng)時(shí),F〔x的定義域?yàn)?；?當(dāng)或時(shí),上述兩區(qū)間的交集為空集,此時(shí)F〔x不能構(gòu)成函數(shù)。六、隱含型有些問題從表面上看并不求定義域,但是不注意定義域,往往導(dǎo)致錯(cuò)解,事實(shí)上定義域隱含在問題中,例如函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是其定義域的子集。因此,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,必須先求定義域。例10求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。解：由,即,解得。即函數(shù)y的定義域?yàn)椤玻?,3。函數(shù)是由函數(shù)復(fù)合而