9-線性代數(shù)實驗9-線性代數(shù)實驗第1章

矩陣與行列式

【矩陣與行列式簡介】在計算機日益發(fā)展的今天，線性代數(shù)起著越來越重要的作用。線性代數(shù)起源于解線性方程組的問題，而利用矩陣來求解線性方程組的Gauss消元法至今仍是十分有效的計算機求解線性方程組的方法。矩陣是數(shù)學研究和應用的一個重要工具，利用矩陣的運算及初等變換可以解決求解線性方程組等問題。特殊的矩陣方陣的數(shù)字特征之一是方陣的行列式，使用行列式可以描述方陣的一些重要的性質。通過計算行列式可求逆矩陣，n個第1章矩陣與行列式

【矩陣與行列式簡介】最新9-線性代數(shù)實驗課件最新9-線性代數(shù)實驗課件最新9-線性代數(shù)實驗課件最新9-線性代數(shù)實驗課件最新9-線性代數(shù)實驗課件最新9-線性代數(shù)實驗課件第1章

矩陣與行列式>>G=inv(A)運行結果：G=1/41/4-1/41-21-3/45/4-1/4>>H=A^5運行結果：H=149210061460155810691558191413311946第1章矩陣與行列式>>G=inv(A)第1章

矩陣與行列式（2）>>A=sym('[ab;cd]');>>B=sym('[1a;1b]');>>C=A+B運行結果：C=[a+1,b+a][c+1,d+b]>>AB=A*B運行結果：AB=[b+a,a^2+b^2][c+d,c*a+d*b]第1章矩陣與行列式（2）>>A=sym('[ab;c第1章

矩陣與行列式>>D=6*A運行結果：D=[6*a,6*b][6*c,6*d]>>symc;>>cA=c*A運行結果：cA=[c*a,c*b][c^2,c*d]第1章矩陣與行列式>>D=6*A第1章

矩陣與行列式>>F=A'運行結果：F=[conj(a),conj(c)][conj(b),conj(d)]%conj為復數(shù)共軛即>>G=inv(A)運行結果：G=[d/(a*d-c*b),-b/(a*d-c*b)][-c/(a*d-c*b),a/(a*d-c*b)]即

．第1章矩陣與行列式>>F=A'第1章

矩陣與行列式實驗二矩陣的初等變換【實驗目的】1．理解矩陣初等變換的概念2．掌握矩陣的初等變換及用初等變換求矩陣的逆矩陣【實驗要求】掌握矩陣的表示、符號變量說明syms、逆矩陣inv等命令第1章矩陣與行列式實驗二矩陣的初等變換【實驗內容】1．已知矩陣，求對矩陣實施如下的初等變換后所得矩陣。矩陣的第2行乘以m；矩陣的第3列的n倍加到第1列上去；矩陣的第1行與第2行交換。2．已知矩陣，提取矩陣的第2、3、4行與第3、4列的元素構成矩陣B，提取矩陣的第2、3、4行與第1、4列的元素構成矩陣C．第1章

矩陣與行列式【實驗內容】第1章矩陣與行列式3.用初等變換求矩陣的逆矩陣。4．已知，，且，求．第1章

矩陣與行列式第1章矩陣與行列式【實驗過程】1．（1）>>symsm;>>A=sym('[abcd;efgh;ijkl]');>>A(2,:)=m*A(2,:)運行結果：A=[a,b,c,d][m*e,m*f,m*g,m*h][i,j,k,l]（2）>>symsn;>>A=sym('[abcd;efgh;ijkl]');>>A(:,1)=A(:,1)+n*A(:,3)運行結果：A=[a+n*c,b,c,d][e+n*g,f,g,h][i+n*k,j,k,l]第1章

矩陣與行列式【實驗過程】第1章矩陣與行列式（3）>>A=sym('[abcd;efgh;ijkl]');>>A([2,1],:)=A([1,2],:)運行結果：A=[e,f,g,h][a,b,c,d][i,j,k,l]2．>>A=[1234;5678;9101112;13141516];>>B=A(2:4,3:4)運行結果：B=7811121516第1章

矩陣與行列式（3）>>A=sym('[abcd;efgh;>>C=A(2:end,[1,4])運行結果：C=5891213163．>>A=[012;114;2-10];>>E=eye(3);>>B=[A,E]運行結果：B=0121001140102-10001第1章

矩陣與行列式>>C=A(2:end,[1,4])第1章矩陣與行列式>>B([12],:)=B([21],:)運行結果：B=1140100121002-10001>>B(3,:)=B(3,:)-2*B(1,:)運行結果：B=1140100121000-3-80-21

第1章

矩陣與行列式>>B([12],:)=B([21],:)第1章>>B(3,:)=B(3,:)+3*B(2,:)運行結果：B=11401001210000-23-21>>B(2,:)=B(2,:)+B(3,:);>>B(1,:)=B(1,:)+2*B(3,:)運行結果：B=1106-320104-2100-23-21第1章

矩陣與行列式>>B(3,:)=B(3,:)+3*B(2,:)第1章>>B(1,:)=B(1,:)-B(2,:);>>B(3,:)=-1/2*B(3,:)運行結果：B=1002-110104-21001-3/21-1/24．>>A=[101;-111;2-11];>>B=[11;01;-10];>>X=inv(A)*B運行結果：X=3152-20第1章

矩陣與行列式>>B(1,:)=B(1,:)-B(2,:);第1章矩實驗三Gauss消元法【實驗目的】掌握解線性方程組的Gauss消元法【實驗要求】掌握矩陣賦值命令、初等變換相關命令、簡化矩陣為階梯形式rref等命令【實驗內容】1．用Gauss消元法解線性方程組：（1）；（2）．第1章

矩陣與行列式實驗三Gauss消元法第1章矩陣與行列式【實驗過程】1．（1）解法一：Gauss消元法．>>A=[1218;12310;23113;1229];>>A(2,:)=A(2,:)-A(1,:);>>A(3,:)=A(3,:)-2*A(1,:);>>A(4,:)=A(4,:)-A(1,:)運行結果：A=121800220-1-1-30011>>A([2,3],:)=A([3,2],:)運行結果：A=12180-1-1-300220011第1章

矩陣與行列式【實驗過程】第1章矩陣與行列式>>A(2,:)=(-1)*A(2,:);>>A(3,:)=1/2*A(3,:)運行結果：A=1218011300110011>>A(4,:)=A(4,:)-A(3,:);>>A(1,:)=A(1,:)-A(3,:);>>A(2,:)=A(2,:)-A(3,:)運行結果：A=1207010200110000第1章

矩陣與行列式>>A(2,:)=(-1)*A(2,:);第1章矩陣與行>>A(1,:)=A(1,:)-2*A(2,:)運行結果：A=1003010200110000由上可知，方程組有惟一解．解法二：>>A=[1218;12310;23113;1229];>>A=rref(A)運行結果：A=100301020011000由上可知，結果同解法一。第1章

矩陣與行列式>>A(1,:)=A(1,:)-2*A(2,:)第1章矩（2）解法一：Gauss消元法．>>A=[24115;-1-2-21-4;12-121];>>A([1,3],:)=A([3,1],:)運行結果：A=12-121-1-2-21-424115>>A(2,:)=A(2,:)+A(1,:);>>A(3,:)=A(3,:)-2*A(1,:)運行結果：A=12-12100-33-3003-33第1章

矩陣與行列式（2）解法一：Gauss消元法．第1章矩陣與行列式>>A(3,:)=A(3,:)+A(2,:)運行結果：A=12-12100-33-300000>>A(2,:)=-1/3*A(2,:)運行結果：A=12-121001-1100000>>A(1,:)=A(1,:)+A(2,:)運行結果：A=12012001-1100000由上可知，方程組有解，其中是自由未知量。第1章

矩陣與行列式>>A(3,:)=A(3,:)+A(2,:)第1章矩陣解法二：>>A=[24115;-1-2-21-4;12-121];>>A=rref(A)運行結果：A=12012001-1100000由上可知，結果同解法一。第1章

矩陣與行列式解法二：>>A=[24115;-1-2-2實驗四行列式及應用【實驗目的】1.了解行列式的概念，掌握行列式的性質2．掌握行列式的計算方法3．掌握Gramer法則求解線性方程組【實驗要求】掌握計算行列式det、解線性方程組solve、生成Vandermonde行列式vander等命令【實驗內容】1．計算下列行列式的值：（1）；（2）；第1章

矩陣與行列式實驗四行列式及應用第1章矩陣與行列式（3）．2．已知，，驗證．3．用Gramer法則解線性方程組．4．c為何值時，齊次線性方程組有非零解？第1章

矩陣與行列式（3）【實驗過程】1．（1）>>A=[-25-13;1-9137;3-15-5;28-7-10];>>det(A)運行結果：ans=312（2）>>A=sym('[abbbb;babbb;bbabb;bbbab;bbbba]');>>det(A)運行結果：ans=a^5-10*a^3*b^2+20*a^2*b^3-15*a*b^4+4*b^5即行列式的值為．（3）>>A=[1,2,3,4];>>V=vander(A);>>det(V)運行結果：ans=12第1章

矩陣與行列式【實驗過程】第1章矩陣與行列式3．解法一：>>A=[21-51;14-76;1-30-6;02-12];>>A1=[81-51;04-76;9-30-6;-52-12];>>A2=[28-51;10-76;190-6;0-5-12];>>A3=[2181;1406;1-39-6;02-52];>>A4=[21-58;14-70;1-309;02-1-5];>>a=det(A);>>a1=det(A1);a2=det(A2);a3=det(A3);a4=det(A4);>>X=[a1/a,a2/a,a3/a,a4/a]運行結果：X=3-4-11即得方程組的解為，，，．第1章

矩陣與行列式3．解法一：>>A=[21-51;14-76;解法二：>>A=[21-518;14-760;1-30-69;02-12-5];>>A1=[A(:,5),A(:,2:4)];>>A2=[A(:,1),A(:,5),A(:,3:4)];>>A3=[A(:,1:2),A(:,5),A(:,4)];>>A4=[A(:,1:3),A(:,5)];>>a=det(A(:,1:4));>>a1=det(A1);a2=det(A2);a3=det(A3);a4=det(A4);>>X=[a1/a,a2/a,a3/a,a4/a]運行結果：X=3-4-11第1章

矩陣與行列式解法二：>>A=[21-518;14-764．>>symsc;>>A=[c-1-2-2;-2c-1-2;-2-2c-1];>>a=det(A);>>[c]=solve(a,'c')運行結果：c=[5][-1][-1]即當或時，原線性齊次方程組有非零解。第1章

矩陣與行列式4．>>symsc;第1章矩陣與行列式實驗五向量【實驗目的】理解向量、向量的線性組合與線性表示、向量組的線性相關與線性無關的概念掌握向量組線性相關、線性無關的有關性質及判別法理解向量組的極大線性無關組和向量組的秩的概念會求向量組的極大線性無關組和秩5．掌握矩陣秩的求法【實驗要求】掌握簡化矩陣為階梯形式rref、計算行列式det、計算矩陣的秩rank等命令【實驗內容】設向量：，，，，問b能否由線性表示？第1章

矩陣與行列式實驗五向量第1章矩陣與行列式2．判斷下列向量組是否線性相關：（1），，；（2），，．3．求向量組，，，的一個極大線性無關組，并把其余向量用極大線性無關組中的向量線性表示。4．求矩陣的秩。第1章

矩陣與行列式2．判斷下列向量組是否線性相關：第1章矩陣與行列式5．求向量在基，，下的坐標．【實驗過程】1．解法一：>>A=[-131;044;1-20;259];b=[5;4;-4;1];B=[A,b];r=[rank(A),rank(B)]運行結果：r=12由上可知，故方程組有解。第1章

矩陣與行列式第1章矩陣與行列式解法二：設，即有>>A=[-1315;0444;1-20-4;2591]運行結果：A=-131504441-20-42591>>B=rref(A)運行結果：B=102-2011100000000由上可知，，故方程組有解，即b可由線性表示，且。第1章

矩陣與行列式解法二：第1章矩陣與行列式2．（1）>>A1=[1;0;5;7];>>A2=[-1;1;-2;3];>>A3=[2;-1;7;4];>>A=[A1,A2,A3];>>r=rank(A)運行結果：r=2此向量組的秩等于2，故此向量組線性相關。（2）>>A1=[1;1;1];>>A2=[0;2;5];>>A3=[1;3;6];>>A=[A1,A2,A3];>>a=det(A)運行結果：a=0此向量組組成的矩陣的行列式的值為0，故此向量組線性相關。第1章

矩陣與行列式2．（1）>>A1=[1;0;5;7];第1章矩陣與行3．>>A=[2314;1-13-3;3241;-10-21];>>B=rref(A)運行結果：B=102-101-1200000000由上可知，，是向量組的一個極大線性無關組，且，．4．解法一：>>A=[12-14;2435;-1-26-7];>>r=rank(A)運行結果： r=2第1章

矩陣與行列式3．>>A=[2314;1-13-3;32解法二：>>formatrat>>A=[12-14;2435;-1-26-7];>>B=rref(A)運行結果：B=12017/5001-3/50000由上可知，矩陣A的秩為2．第1章

矩陣與行列式解法二：>>formatrat第1章矩陣與行列式5.即求滿足方程的解。>>A1=[1;1;0];>>A2=[1;0;1];>>A3=[0;1;1];>>A=[A1,A2,A3];>>b=[3;-5;9];>>X=inv(A)*b輸出X=-5.50008.50000.5000第1章

矩陣與行列式5.即求滿足方程設計性實驗Cayler-Hamilton定理【實驗目的】1．理解特征多項式的概念2．掌握Cayler-Hamilton定理【實驗要求】掌握生成Vandermonde矩陣的vander命令、求矩陣特征多項式系數(shù)的poly()命令、求矩陣范數(shù)的norm命令及矩陣多項式運算的polyvalm命令【實驗內容】Cayler-Hamilton定理是矩陣理論中的一個比較重要的定理，其內容為：若矩陣A的特征多項式為則有亦即假設矩陣A為Vandermonde矩陣，試驗證其滿足Cayler-Hamilton定理。第1章

矩陣與行列式設計性實驗第1章矩陣與行列式【實驗方案】Matlab提供了求取矩陣特征多項式系數(shù)的函數(shù)poly()，但是poly()函數(shù)會產(chǎn)生一定的誤差，而該誤差在矩陣多項式求解中可能導致了巨大的誤差，從而得出錯誤的結論。在實際應用中還有其他簡單的數(shù)值方法可以精確地求出矩陣的特征多項式系數(shù)。例如，下面給出的Fadeev-Fadeeva遞推算法也可以求出矩陣的特征多項式。第1章

矩陣與行列式【實驗方案】第1章矩陣與行列式可以直接由下面的Matlab語句編寫一個函數(shù)實現(xiàn)：Functionc=poly1(A)[nr,nc]=size(A);ifnc==nr%給出若為方陣，則用Fadeev-Fadeeva算法求特征多項式

I=eye(nc);R=I;c=[1zeros(1,nc)];fork=1:nc,c(k+1)=-1/k*trace(A*R);r=A*R+c(k+1)*I;endelseif(nr==1\nc==1)%給出為向量時，構造矩陣

A=A(isfinite(A));n=length(A);%出去非數(shù)或無界的特征根

c=[1zeros(1,n)];forj=1:nc(2:(j+1))=c(2:(j+1))-A(j).*c(1:j);endelse%參數(shù)有誤則給出錯誤信息

error(’Argumentmustbeavectororasquarematrix.’)end.第1章

矩陣與行列式可以直接由下面的Matlab語句編寫一個函數(shù)實現(xiàn)：第1章【實驗過程】>>A=vander([1234567]);運行結果：A=111111164321684217292438127931409610242566416411562531256251252551466567776129621636611176491680724013434971

>>A運行結果：aa1=1.0e+009*0.0000-0.0000-0.00020.02871.1589-6.2505-2.42230.0249第1章

矩陣與行列式【實驗過程】第1章矩陣與行列式如調用新的poly1()函數(shù)，則可以得出如下的精確結果。>>aa1=poly1(A);b1=polyvalm(aa1,A);norm(B1)運行結果：ans=0可見，由此得出的B矩陣就會完全等于0，故該矩陣滿足Cayley-Hamilton定理。第1章

矩陣與行列式如調用新的poly1()函數(shù)，則可以得出如下的精確結果。第1第2章

線性方程組

【線性方程組簡介】線性方程組的求解問題促進了線性代數(shù)的產(chǎn)生和發(fā)展，利用矩陣、行列式和向量這三個基本工具可較好的解決線性方程組的求解問題。利用解向量所構成的基礎解系可方便的描述解空間的基本特征及寫出通解，從而較好地描述了線性方程組解的結構問題。第2章線性方程組

【線性方程組簡介】第2章

線性方程組驗證性實驗實驗一線性方程組【實驗目的】理解齊次線性方程組的基礎解系、通解及解空間的概念掌握齊次線性方程組的基礎解系和通解的求法3．理解非齊次線性方程組解的結構及通解的概念【實驗要求】掌握分數(shù)數(shù)據(jù)格式formatrat、求基礎解系null、簡化矩陣為階梯形式rref、解方程組solve等命令第2章線性方程組驗證性實驗第2章

線性方程組【實驗內容】1.求齊次線性方程組

的基礎解系及通解。2.判斷方程組

是否有解？第2章線性方程組【實驗內容】第2章

線性方程組3.求方程組

的基礎解系及通解。4.求方程組

的基礎解系及通解。第2章線性方程組第2章

線性方程組【實驗過程】1．解法一：>>formatrat>>A=[1111;1324;201-1];>>B=rref(A)運行結果：B=101/2-1/2011/23/20000第2章線性方程組【實驗過程】第2章

線性方程組由上可知，方程組有解

，其中

，

是自由未知量。故得方程組的基礎解系為

，

．通解為

，其中

為任意常數(shù)。第2章線性方程組第2章

線性方程組解法二：>>formatrat>>A=[1111;1324;201-1];>>B=null(A,'r')運行結果：B=-1/21/2-1/2-3/21001>>symsk1k2>>X=k1*B(:,1)+k2*B(:,2)第2章線性方程組解法二：第2章

線性方程組運行結果：X=[-1/2*k1+1/2*k2][-1/2*k1-3/2*k2][k1][k2]即原方程組的通解為

，其中

為任意常數(shù)。第2章線性方程組運行結果：第2章

線性方程組2．解法一：>>A=[11111;12345;23456];>>b=[1;2;4];>>r=[rank(A),rank([A,b])]運行結果：r=23即系數(shù)矩陣的秩為2，增廣矩陣的秩為3，故原方程組無解。第2章線性方程組2．解法一：>>A=[1111第2章

線性方程組解法二：>>A=[11111;12345;23456];>>b=[1;2;4];>>B=rref([A,b])運行結果：B=10-1-2-30012340000001從上面所得階梯形矩陣可以看出系數(shù)矩陣的秩為2，增廣矩陣的秩為3，故原方程組無解。第2章線性方程組解法二：>>A=[11111;第2章

線性方程組3．解法一：>>A=[111;-10121;1-912];>>b=[66;77;99];>>r=[rank(A),rank([A,b])]運行結果：r=33即系數(shù)矩陣的秩等于增廣矩陣的秩3，且等于未知量的個數(shù)，故原方程組有惟一解。>>X=inv(A)*b%X=A\b運行結果：X=212223第2章線性方程組3．解法一：>>A=[111;-10第2章

線性方程組解法二：>>symsx1x2x3;>>f1=x1+x2+x3-66;>>f2=-10*x1+12*x2+x3-77;>>f3=x1-9*x2+12*x3-99;>>[x1x2x3]=solve(f1,f2,f3,'x1','x2','x3')運行結果：

x1=21x2=22x3=23第2章線性方程組解法二：>>symsx1x2x3第2章

線性方程組4．解法一：>>A=[11-213;2-1226;32-4-3-9];>>b=[1;2;3];>>rA=rank(A)運行結果：rA=3>>rAb=rank([A,b])運行結果：

rAb=3即系數(shù)矩陣的秩等于增廣矩陣的秩3，故原方程組有解。第2章線性方程組4．解法一：>>A=[11-21第2章

線性方程組>>x0=A\b運行結果：x0=10000即原線性方程組的一個特解

．第2章線性方程組>>x0=A\b第2章

線性方程組>>B=rref(A)運行結果：B=1000001-20000013由上可知，原方程組的導出組的解為

，即可得其導出組的基礎解系為，

．故原方程組的通解為

，其中

為任意常數(shù)。第2章線性方程組>>B=rref(A)第2章

線性方程組解法二：>>A=[11-213;2-1226;32-4-3-9];>>b=[1;2;3];>>X=A\b運行結果：X=10000第2章線性方程組解法二：第2章

線性方程組>>B=null(A,'r')運行結果：B=0020100-301故原方程組的通解為

，其中

為任意常數(shù)。第2章線性方程組>>B=null(A,'r')第2章

線性方程組設計性實驗小行星軌道問題【實驗目的】1.掌握線性方程組求解2.加深對正交變換的理解3.掌握Matlab軟件中的ezplot、zplot命令的區(qū)別和適用范圍【實驗要求】掌握繪制隱函數(shù)曲線ezplot命令和彗星狀軌跡圖comet命令第2章線性方程組設計性實驗第2章

線性方程組【實驗內容】天文學家要確定一顆小行星繞太陽運行的軌道，在軌道平面內建立以太陽為原點的直角坐標系，在兩坐標軸上取天文測量單位（一天文單位為地球到太陽的平均距離：9300萬里）。在五個不同的時間點對小行星作了觀察，測得軌道上五個點的坐標數(shù)據(jù)如下:表2-1小行星觀測數(shù)據(jù)x4.55965.08165.55465.96366.2756y0.81451.36851.98952.69253.5265第2章線性方程組【實驗內容】x4.55965.08165第2章

線性方程組由開普勒第一定律知，小行星軌道為一橢圓。設方程為

試確定橢圓的方程并在軌道的平面內以太陽為原點繪出橢圓曲線。并應用坐標平移變換和正交變換將上例題中的二次曲線方程化為標準方程，繪橢圓軌道圖，完成小行星運行的動態(tài)模擬。第2章線性方程組由開普勒第一定律知，小行星軌道為第2章

線性方程組【實驗方案】（1）二次曲線方程中有五個待定系數(shù)：

，

，

，

，

。將觀察所得的五個點坐標數(shù)據(jù)

，

代入二次曲線方程得到關于

，

，

，

，

的線性方程組

求解該方程組得橢圓方程的系數(shù)：[，

，

，

，

]。第2章線性方程組【實驗方案】第2章

線性方程組（2）將橢圓的一般方程寫成矩陣形式通過變量變換（平移變換和旋轉變換）化為橢圓標準方程。首先化去一次項，然后將二次型化為標準型。為了用平移變換消去一次項，令

，

（

，

待定），代入方程整理，得第2章線性方程組（2）將橢圓的一般方程寫成矩陣形式第2章

線性方程組其中，

。要化簡消去一次項，只須選擇

，

使?jié)M足二階線性方程組將

，

代入橢圓的一般方程，得令

求出特征值

極其對應的特征向量

?？梢匀∨c

等價的正交單位向量

。構造正交矩陣

，利用正交變換第2章線性方程組其中，第2章

線性方程組得橢圓的標準方程：

。橢圓長半軸和短半軸分別為，

。第2章線性方程組第2章

線性方程組【實驗過程】(1)MATLAB程序如下：x=[4.5596;5.0816;5.5546;5.9636;6.2756];y=[0.8145;1.3685;1.9895;2.6925;3.5265];A=[x.^2,2*x.*y,y.^2,2*x,2*y];b=-[1;1;1;1;1];a=A\b;symsxya1a2a3a4a5fun=a1*x^2+2*a2*x*y+a3*y^2+2*a4*x+2*a5*y+1;fun=subs(fun,a1,a(1));fun=subs(fun,a2,a(2));fun=subs(fun,a3,a(3));第2章線性方程組【實驗過程】第2章

線性方程組fun=subs(fun,a4,a(4));fun=subs(fun,a5,a(5));ezplot(fun,[-1.4,7,-1.5,6.5])運行結果：a=-0.33780.1892-0.38180.46090.4104結果表明：二次曲線方程中的各項系數(shù)為=-0.3378，

=0.1892，

=-0.3818，

=0.4609，

=0.4104。

第2章線性方程組fun=subs(fun,a4,a(4)第2章

線性方程組圖2-2小行星繞太陽運行的軌道第2章線性方程組第2章

線性方程組(2)MATLAB程序如下：x=[4.5596;5.0816;5.5546;5.9636;6.2756];y=[0.8145;1.3685;1.9895;2.6925;3.5265];A=[x.^2,2*x.*y,y.^2,2*x,2*y];b=-[1;1;1;1;1];ak=A\b;C=[ak(1),ak(2);ak(2),ak(3)];X=-C\[ak(4);ak(5)];x0=X(1);y0=X(2);X=[X;1];D=[ak(1),ak(2),ak(4);ak(2),ak(3),ak(5);ak(4),ak(5),1];F=X'*D*X;[Ud]=eig(C);第2章線性方程組(2)MATLAB程序如下：第2章

線性方程組a=sqrt(-F/d(1,1));b=sqrt(-F/d(2,2));t=2*pi*(0:5000)/5000;u=a*cos(t);v=b*sin(t);V=U*[u;v];x1=V(1,:)+x0;y1=V(2,:)+y0;plot(x1,y1,x,y,'*',x0,y0,'rO'),holdonx2=[x1,x1,x1];y2=[y1,y1,y1];comet(x2,y2)disp([x0,y0])disp([a,b])第2章線性方程組a=sqrt(-F/d(1,1));b=第2章

線性方程組圖2-3橢圓軌道圖第2章線性方程組第2章

線性方程組運行結果：2.72132.42342.42994.3799。結果表明：橢圓標準方程為：第2章線性方程組運行結果：【矩陣的特征值與特征向量簡介】

矩陣的特征值與特征向量是矩陣的數(shù)字特征，利用矩陣的特征值與特征向量可判斷矩陣的相似、解決矩陣對角化及實對稱矩陣正交化等問題，促進了矩陣理論的進一步發(fā)展及應用。

第3章矩陣的特征值與特征向量【矩陣的特征值與特征向量簡介】第3章矩陣的特征值與特征驗證性實驗

矩陣的特征值與特征向量【實驗目的】理解矩陣的特征值和特征向量的概念會求矩陣的特征值和特征向量掌握將矩陣化為相似對角矩陣的方法【實驗要求】掌握求矩陣的特征多項式poly、求矩陣的特征值和特征向量eig、矩陣的范數(shù)norm、值空間正交化orth、單位陣eye等命令第3章矩陣的特征值與特征向量驗證性實驗第3章矩陣的特征值與特征向量【實驗內容】設，求矩陣A的特征多項式和特征值。求矩陣的特征值和特征向量。求矩陣的特征值和特征向量。第3章矩陣的特征值與特征向量【實驗內容】第3章矩陣的特征值與特征向量判斷矩陣是否可以對角化，若能，將其對角化。5．設矩陣，求正交矩陣T，使得為對角矩陣。第3章矩陣的特征值與特征向量第3章矩陣的特征值與特征向量【實驗過程】1．>>>>A=[100;018;013];>>poly(A)運行結果：ans=1-5-15即矩陣A的特征多項式為．>>lamda=eig(A)運行結果：lamda=5-11即矩陣A的特征值為，，．第3章矩陣的特征值與特征向量【實驗過程】第3章矩陣的特征值與特征向量2．>>A=[122;212;221];>>[kesai,lamda]=eig(A)運行結果：kesai=0.60150.55220.57740.1775-0.79700.5774-0.77890.24480.5774lamda=-1.0000000-1.00000005.0000即矩陣A的特征值為，，．對應的特征向量為：，，．第3章矩陣的特征值與特征向量2．>>A=[122;212;221];第3章3．>>A=sym('[00a;0b0;c00]');>>[kesai,lamda]=eig(A)運行結果：kesai=[1/c*(c*a)^(1/2),-1/c*(c*a)^(1/2),0][0,0,1][1,1,0]lamda=[(c*a)^(1/2),0,0][0,-(c*a)^(1/2),0][0,0,b]即矩陣A的特征值為，，．對應的特征向量為：，，．第3章矩陣的特征值與特征向量3．>>A=sym('[00a;0b0;c004．>>A=[011;101;110];>>[kesai,lamda]=eig(A)運行結果：kesai=-0.71520.39380.57740.0166-0.81630.57740.69870.42250.5774lamda=-1.0000000-1.00000002.0000>>inv(kesai)*A*kesai-lamda運行結果：ans=1.0e-015*0.66610000-0.1943-0.44410.22200第3章矩陣的特征值與特征向量4．>>A=[011;101;110];第3章因1.0e-015<<1，故A能相似于對角矩陣。>>kesai'*A*kesai運行結果：ans=-1.00000-0.00000-1.00000.0000-0.0000-0.00002.0000即存在正交矩陣使得第3章矩陣的特征值與特征向量因1.0e-015<<1，故A能相似于對角矩陣。第3章5．解法一：>>A=[7-3-11;-371-1;-117-3;1-1-37];>>[kesai,lamda]=eig(A)運行結果：kesai=-0.00000.70710.5000-0.5000-0.00000.7071-0.50000.50000.7071-0.00000.50000.50000.70710-0.5000-0.5000lamda=4.000000004.000000008.0000000012.0000即所求正交矩陣為．第3章矩陣的特征值與特征向量5．解法一：>>A=[7-3-11;-371->>kesai'*A*kesai運行結果：ans=4****4**0*8*0**12

即經(jīng)驗證有．>>norm(kesai'*kesai-eye(4))運行結果：ans=9.7171e-016由上可知，所求正交矩陣精度很高。第3章矩陣的特征值與特征向量>>kesai'*A*kesai第3章矩陣的特征值與特解法二：>>A=[7-3-11;-371-1;-117-3;1-1-37];>>T=orth(A)運行結果：T=-0.50000.5000-0.707100.5000-0.5000-0.7071-0.00000.50000.50000.00000.7071-0.5000-0.5000-0.00000.7071>>norm(T'*T-eye(4))運行結果：ans=7.6679e-016由上可知，所求正交矩陣精度很高。第3章矩陣的特征值與特征向量解法二：>>A=[7-3-11;-371-1;設計性實驗實驗一矩陣相似變換在控制理論中的應用【實驗目的】1.掌握矩陣的相似變換2.利用矩陣相似變換方法，將控制理論中一般的狀態(tài)方程變換成某種特殊的形式，以便于更好地進行系統(tǒng)的性質分析3.掌握控制系統(tǒng)的可控標準型、可觀察標準型和Jordan標準型【實驗要求】掌握Matlab軟件中有關相似變換的命令【實驗內容】

給出系統(tǒng)的相似變換的概念，介紹基于矩陣相似變換的各種標準及變換方法，并用MATLAB編程實現(xiàn)。試求出下面系統(tǒng)的可控標準型:+，并求該狀態(tài)方程模型的可觀測標準型以及Jordan標準型。第3章矩陣的特征值與特征向量設計性實驗第3章矩陣的特征值與特征向量【實驗方案】1.線性系統(tǒng)的相似變換假設存在一個非奇異矩陣，且定義了一個新的狀態(tài)變量使得，這樣關于新狀態(tài)變量的狀態(tài)方程模型可以寫成，且式中，，，。在矩陣下的狀態(tài)變換稱為相似變換，稱為相似變換矩陣。第3章矩陣的特征值與特征向量【實驗方案】第3章矩陣的特征值與特征向量

2.單變量控制系統(tǒng)的可控、可觀測標準型轉換對單變量系統(tǒng)（1）來說，若系統(tǒng)的特征多項式可以寫成+

則可以夠造出變換矩陣這樣就可以將原來系統(tǒng)變換成可控制標準型。可以用容易地寫出變換矩陣

;%求特征多項式系數(shù)，建議用ploy1()取代ploy()

第3章矩陣的特征值與特征向量2.單變量控制系統(tǒng)的可控、可觀測標準型轉換第3章矩陣的3.控制系統(tǒng)的Jordan標準型轉換系統(tǒng)的Jordan標準型可以由函數(shù)直接求出。值得指出的是，若系統(tǒng)的矩陣含有復數(shù)特征值，則用函數(shù)不能得出正確結果，應該結合前面Jordan變換的方法手工構造變換矩陣，得出合適的變換系統(tǒng)。第3章矩陣的特征值與特征向量3.控制系統(tǒng)的Jordan標準型轉換第3章矩陣的特征值與實驗二矩陣的三角分解【實驗目的】1.理解矩陣的三角分解（又稱為LU分解）2.掌握

函數(shù)的兩種調用方法【實驗要求】掌握Matlab軟件中有關矩陣LU分解的命令【實驗內容】分別用兩種方法調用MATLAB中的

函數(shù)，實現(xiàn)矩陣LU分解問題。第3章矩陣的特征值與特征向量實驗二矩陣的三角分解第3章矩陣的特征值與特征向量【實驗方案】矩陣的三角分解又稱為LU分解，它的目的是將一個矩陣分解成一個下三角矩陣L和一個上三角矩陣U的乘積，亦即A=LU,其中L和U矩陣可以分別寫成

由這兩個矩陣可以簡單的寫出一個矩陣

,其中第3章矩陣的特征值與特征向量【實驗方案】第3章矩陣的特征值與特征向量這樣產(chǎn)生的矩陣與原來的A矩陣的關系可以寫成