專題四第一講一、選擇題1．(文)(2013山·東文，4)一個四棱錐的側(cè)棱長都相等，底面是正方形，其正(主)視圖如圖所示，則該四棱錐側(cè)面積和體積分別是()8A．45，8B．45，38C．4(5＋1)，3D．8,8[答案]B[剖析]由正視圖知四棱錐底面是邊長為2的正方形，高為2，又因?yàn)閭?cè)棱長相等，所以棱錐是正四棱錐，斜高h(yuǎn)′＝22＝1×2×5＝41×2×2×22＋15，側(cè)面積S＝4×5，體積V＝23＝8.3(理)(2013紹·興市模擬)某四棱錐的底面為正方形，其三視圖以下列圖，則該四棱錐的體積等于()A．1C．3

B．2D．4[答案]

B[剖析]

由三視圖知，該幾何體底面是正方形，對角線長

為2，故邊長為2，幾何體是四棱錐，有一條側(cè)棱與底面垂直，其直觀圖如圖，由條件知PC13，AC＝2，PA＝3，體積V＝13×(2)2×3＝2.2．(文)(2014長·春市三調(diào))若一個圓柱的正視圖與其側(cè)面張開圖相似，則這個圓柱的側(cè)面積與全面積之比為()A.πB.2ππ＋12π＋1C.2D.1π＋1π＋12[答案]B[剖析]2r＝hπ，則S＝2πr·h＝4πr2π，設(shè)圓柱的底面半徑為r，高為h，則h2πr側(cè)22，故圓柱的側(cè)面積與全面積之比為4πr2π2＝2π，應(yīng)選B.S全＝4πrπ＋2πr22π＋14πrπ＋2πr(理)(2014吉·林市質(zhì)檢)某由圓柱切割獲得的幾何體的三視圖以下列圖，其中俯視圖是中心角為60°的扇形，則該幾何體的側(cè)面積為()A．12＋10B．6＋103π3πC．12＋2πD．6＋4π[答案]

C[剖析]

由三視圖可知，該幾體何是沿圓柱的底面夾角為

60°的兩條半徑與中心軸線相交獲得平面為截面截下的圓柱一角，其中兩個側(cè)面都是矩形，矩形一邊長為半徑

2，一邊長為柱高

3，另一側(cè)面為圓柱側(cè)面的

1，因此該幾何體的側(cè)面積為6

S＝2×3＋2×3＋1×(2π×6

2×3)＝12＋2π.3．(文)一個幾何體的三視圖以下列圖，則該幾何體的體積為

(

)A．12－πB．12－2πC．6－πD．4－π[答案]A[剖析]由三視圖知，該幾何體是一個組合體，由一個長方體挖去一個圓柱構(gòu)成，長方體的長、寬高為4,3,1，圓柱底半徑1，高為1，∴體積2V＝4×3×1－π×11＝12－π.(理)若某棱錐的三視圖(單位：cm)以下列圖，則該棱錐的體積等于()A．10cm3B．20cm3C．30cm3D．40cm3[答案]B[剖析]由三視圖知該幾何體是四棱錐，可視作直三棱柱ABC－A1B1C1沿平面AB1C1截去一個三棱錐A－A1B1C1余下的部分．111×4×3)×5＝20cm3.∴VA－BCC1B1＝VABC－A1B1C1－VA－A1B1C1＝×4×3×5－×(2234．(文)如圖，直三棱柱的正視圖面積為2a2，則側(cè)視圖的面積為()A．2a2B．a(chǎn)2232C.3aD.4a[答案]C[剖析]由正視圖的面積為2a2，則直三棱柱的側(cè)棱長為2a，側(cè)視圖為矩形，一邊長為322a，另一邊長為2a，因此側(cè)視圖的面積為3a.(理)(2013東·城區(qū)模擬)已知一個幾何體的三視圖以下列圖(單位：cm)，那么這個幾何體的側(cè)面積是()A．(1＋2)cm2B．(3＋2)cm2C．(4＋2D．(5＋22)cm2)cm[答案]C1[剖析]由三視圖可畫出該幾何體的直觀圖如圖，其側(cè)面積為1×1＋2×(1＋2)×1＋21×12＋12＝4＋2cm2.5．(文)(2013?！さ率心M)一個幾何體的三視圖以下列圖，則該幾何體的表面積為()A．6＋23B．6＋42C．4＋23D．4＋42[答案]D11[剖析]其直觀圖如圖，表面積S＝2×(2×2×2)＋(2×22×2)×2＝4＋42.(理)(2013江·西師大附中、鷹潭一中聯(lián)考)已知一個三棱錐的正視圖與俯視圖以下列圖，則該三棱錐的側(cè)視圖面積為()33A.2B.41C．1D.2[答案]B[剖析]由題意知，此三棱錐的底面為有一個角為30°的直角三角形，其斜邊長AC＝2，一個側(cè)面PAC為等腰直角三角形，DE＝1，BF＝3，其側(cè)視圖為直角三角形，其兩直角邊與DE、2BF的長度相等，面積S＝1×1×3＝3.2246．(2014新·鄉(xiāng)、許昌、平頂山調(diào)研)在三棱錐P－ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，D為側(cè)棱PC上的一點(diǎn)，它的正視圖和側(cè)視圖以下列圖，則以下命題正確的選項(xiàng)是()8A．AD⊥平面PBC，且三棱錐D－ABC的體積為38B．BD⊥平面PAC，且三棱錐D－ABC的體積為316C．AD⊥平面PBC，且三棱錐D－ABC的體積為316D．AD⊥平面PAC，且三棱錐D－ABC的體積為3[答案]C[剖析]∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC，又∵AC⊥BC，PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC，又∵AD?平面PAC，∴BC⊥AD，由正視圖可知，AD⊥PC，又PC∩BC＝C，∴AD⊥平面1111×4×4)＝16.PBC，且VD－ABC＝VP－ABC＝××4×(32232二、填空題7．(文)(2014天·津文，10)一個幾何體的三視圖以下列圖(單位：m)，則該幾何體的體積為________m3.20π[答案]3[剖析]本題觀察三視圖及簡單幾何體的體積計(jì)算，觀察空間想象能力和簡單的計(jì)算能力．由三視圖知，該幾何體下面是圓柱、上面是圓錐．21220π∴V＝π×14＋π×22＝.33(理)(2013陜·西理，12)某幾何體的三視圖以下列圖，則其體積為________．π[答案]3[剖析]由三視圖可知，此幾何體是底面半徑為1，高為2的半個圓錐．∴V＝112π×(π×12)＝.2338．(文)(2013金·華一中月考)某幾何體的三視圖(單位：cm)以以下列圖，則這個幾何體的表面積為________cm2.[答案]12＋23[剖析]由三視圖知，該幾何體為正三棱柱，1底面積S1＝2×(2×2×3)＝23，側(cè)面積S2＝3×(2×2)＝12，2∴表面積S＝S1＋S2＝12＋23cm.(理)(2013天·津十二區(qū)縣聯(lián)考)某幾何體的三視圖以下列圖，則該幾何體的體積為________．[答案]108＋3π[剖析]由三視圖知，該幾何體由上下兩個全等的正四棱柱及中間的圓柱構(gòu)成的組合2體，體積V＝2×(6×6×1.5)＋π×13＝108＋3π.9．(2013·蘇，江8)如圖，在三棱柱A1B1C1－ABC中，D、E、F分別是AB、AC、AA1的中點(diǎn)，設(shè)三棱錐F－ADE的體積為V1，三棱柱A1B1C1－ABC的體積為V2，則V1V2＝________.[答案]111V1＝×S×h[剖析]V錐F－ADE＝342＝1.V柱ABC－ABC三、解答題10．(文)在四棱錐P－ABCD中，PC⊥平面ABCD，DC∥AB，DC＝1，AB＝4，BC＝23，CBA＝30°.(1)求證：AC⊥PB；(2)當(dāng)PD＝2時，求此四棱錐的體積．[剖析](1)∵PC⊥平面ABCD，∴PC⊥AC，又∠CBA＝30°，BC＝23，AB＝4，AC＝AB2＋BC2－2AB·BCcos∠CBA＝16＋12－2×4×23×23＝2，AC2＋BC2＝4＋12＝16＝AB2，∴∠ACB＝90°，故AC⊥BC.又∵PC、BC是平面PBC內(nèi)的兩條訂交直線，故AC⊥平面PBC，∴AC⊥PB.(2)當(dāng)PD＝2時，作CE⊥AB交AB于E，1在Rt△CEB中，CE＝CB·sin30°＝23×＝3，2又在Rt△PCD中，DC＝1，PC＝3，1115∴VP－ABCD＝·PC·SABCD＝×3×(1＋4)×3＝.3322(理)(2014山·西太原檢測)如圖，在多面體ABCDEF中，底面ABCD是邊長為2的正方形，四邊形BDEF是矩形，平面BDEF⊥平面ABCD，BF＝3，G和H分別是CE和CF的中點(diǎn)．(1)求證：AC⊥平面BDEF；(2)求證：平面BDGH//平面AEF；(3)求多面體ABCDEF的體積．[剖析](1)證明：因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形，因此AC⊥BD.又因?yàn)槠矫鍮DEF⊥平面ABCD，平面BDEF∩平面ABCD＝BD，且AC?平面ABCD，因此AC⊥平面BDEF.(2)證明：在△CEF中，因?yàn)镚、H分別是CE、CF的中點(diǎn)，因此GH∥EF，又因?yàn)镚H?平面AEF，EF?平面AEF，因此GH∥平面AEF.設(shè)AC∩BD＝O，連接OH，在△ACF中，因?yàn)镺A＝OC，CH＝HF，因此OH∥AF，又因?yàn)镺H?平面AEF，AF?平面AEF，因此OH∥平面AEF.又因?yàn)镺H∩GH＝H，OH，GH?平面BDGH，因此平面BDGH∥平面AEF.(3)解：由(1)，得AC⊥平面BDEF，又因?yàn)锳O＝2，四邊形BDEF的面積SBDEF＝3×22＝62，因此四棱錐A－BDEF的體積V1＝13×AO×SBDEF＝4.同理，四棱錐C－BDEF的體積V2＝4.因此多面體ABCDEF的體積V＝V1＋V2＝8.一、選擇題11．(文)(2013眉·山市二診)一個棱錐的三視圖以下列圖，則這個棱錐的體積是()A．6B．12C．24D．36[答案]B[剖析]由三視圖知該幾何體為有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐，體積V＝1×(4×3)×33＝12.(理)(2013榆·林市一中模擬)已知某幾何體的三視圖以下列圖，若該幾何體的體積為24，則正視圖中a的值為()A．8B．6C．4D．2[答案]B1[剖析]由V＝3×(a×3)×4＝24得，a＝6.12．(文)(2013江·西八校聯(lián)考)某幾何體的三視圖(單位：m)以下列圖，則其表面積為()A．(96＋322)m2B．(64＋323)m2C．(114＋162＋163)m2D．(80＋162＋163)m2[答案]D[剖析]由三視圖知該幾何體是一個組合體，中間是一個棱長為4的正方體(由正、側(cè)視圖中間部分和俯視圖知)，上部是一個有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐，下部是一個正四棱錐，表面積S＝2(12×4×4＋12×4×42＋42)＋4×42＋4×(12×4×23)＝80＋162＋163(m2)．(理)(2013德·陽市二診)已知某幾何體的三視圖以下列圖，其中正視圖，側(cè)視圖均是由三角形與半圓構(gòu)成，俯視圖由圓與內(nèi)接三角形構(gòu)成，依照圖中的數(shù)據(jù)可得此幾何體的體積為()2π14π1A.3＋2B.3＋62π12π1C.＋6＋26D.3[答案]C[剖析]由三視圖知，該幾何體為組合體，下部為一個半球，半球的直徑為2，上部為三棱錐，有一側(cè)棱與底面垂直，∴體積11×1＋4π2311＋2πV＝×(×1×1)3×(2)×＝6.322613．(文)(2013遼·寧文，10)已知直三棱柱ABC－A1B1C1的6個極點(diǎn)都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，則球O的半徑為()317B．210A.213C.2D．310[答案]

C[剖析]

過C，B分別作

AB、AC

的平行線交于

D，分別過

C1、B1作

A1B1，A1C1的平行線交于

D1，連接

DD1，則

ABDC－A1B1D1C1

恰為該球的內(nèi)接長方體，故該球的半徑

r＝32＋42＋122＝13，應(yīng)選C.22(理)一個半徑為1的球體經(jīng)過切割后，剩下部分幾何體的三視圖以下列圖，則剩下部分幾何體的表面積為()13π15πA.3B.49πC．4πD.2[答案]D[剖析]由三視圖知該幾何體是一個球體，保留了下半球，上半球分為四份，去掉了對頂?shù)膬煞?，故表面積為球的表面積，去掉1球表面積加上6個1的圓面積．442121292，∴S＝4πR－(4πR)＋6×πR＝πR442又R＝1，∴S＝92π.二、填空題14．(文)(2013天·津市六校聯(lián)考)某幾何體的三視圖以下列圖，該幾何體的體積為________．[答案]48[剖析]由三視圖知，該幾何體是一個組合體，其上部為長方體，下部為橫放的四棱柱，其底面是上底長12，下底長6，高為2的等腰梯形，柱高為4，其體積V＝2×4×2＋(2＋6)×2×42＝48.(理)(2013內(nèi)·江市一模)矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，沿BD將矩形ABCD折成一個直二面角A－BD－C，則周圍體ABCD的外接球的表面積是________．[答案]100π[剖析]設(shè)矩形ABCD對角線BD的中點(diǎn)為O，則OA＝OB＝OC＝OD，∴折起后空間四邊形ABCD的外接球球心為O，∴球O的半徑R＝182＋62＝5，∴球O的表面積S＝4πR22100π.三、解答題15．(文)(2013北·京文，17)如圖，在四棱錐P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和F分別是CD、PC的中點(diǎn)，求證：(1)PA⊥底面ABCD；(2)BE∥平面PAD；(3)平面BEF⊥平面PCD.[剖析](1)因?yàn)槠矫鍼AD⊥底面ABCD，且PA垂直于這兩個平面的交線AD，因此PA⊥底面ABCD.(2)因?yàn)锳B∥CD，CD＝2AB，E為CD的中點(diǎn)，因此AB∥DE，且AB＝DE.因此四邊形ABED為平行四邊形．因此BE∥AD.又因?yàn)锽E?平面PAD，AD?平面PAD，因此BE∥平面PAD.(3)因?yàn)锳B⊥AD，而且ABED為平行四邊形，因此BE⊥CD，AD⊥CD.由(1)知PA⊥底面ABCD.因此PA⊥CD.因此CD⊥平面PAD.因此CD⊥PD.因?yàn)镋和F分別是CD和PC的中點(diǎn)，因此PD∥EF.因此CD⊥EF，又因?yàn)镃D⊥BE，BE∩EF＝E，因此CD⊥平面BEF.因此平面BEF⊥平面PCD.(理)(2013浙·江理，20)如圖，在周圍體A－BCD中，AD⊥平面BCD，BC⊥CD，AD＝2，BD＝22.M是AD的中點(diǎn)，P是BM的中點(diǎn)，點(diǎn)Q在線段AC上，且AQ＝3QC.(1)證明：PQ∥平面BCD；(2)若二面角C－BM－D的大小為60°，求∠BDC的大小．[剖析]方法1：(1)取BD的中點(diǎn)O，在線段CD上取點(diǎn)F，使得DF＝3FC，連接OP、OF、FQ.1因?yàn)锳Q＝3QC，因此QF∥AD，且QF＝AD.因?yàn)镺、P分別為BD、BM的中點(diǎn)，因此OP是△BDM的中位線，1因此OP∥DM，且OP＝2DM.1又點(diǎn)M為AD的中點(diǎn)，因此OP∥AD，且OP＝4AD.從而OP∥FQ，且OP＝FQ，因此四邊形OPQF為平行四邊形，故PQ∥OF.又PQ?平面BCD，OF?平面BCD，因此PQ∥平面BCD.(2)作CG⊥BD于點(diǎn)G，作GH⊥BM于點(diǎn)H，連接CH.因?yàn)锳D⊥平面BCD，CG?平面BCD，因此AD⊥CG，又CG⊥BD，AD∩BD＝D，故CG⊥平面ABD，又BM?平面ABD，因此CG⊥BM.又GH⊥BM，CG∩GH＝G，故BM⊥平面CGH，因此GH⊥BM，CH⊥BM.因此∠CHG為二面角C－BM－D的平面角，即∠CHG＝60°.設(shè)∠BDC＝θ.在Rt△BCD中，CD＝BDcosθ＝22cosθ，CG＝CDsinθ＝22cosθsinθ，BC＝BDsinθ＝22sinθ，BG＝BCsinθ＝22sin2θ.在Rt△BDM中，∵GH⊥BM，∴△BGH∽△BMD，∴HG＝BG·DM＝22sin2θ.BM3CG3cosθ在Rt△CHG中，tan∠CHG＝HG＝sinθ＝3.因此tanθ＝3.從而θ＝60°.即∠BDC＝60°.方法2：(1)如圖，取BD的中點(diǎn)O，以O(shè)為原點(diǎn)，OD、OP所在射線為y、z軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz.由題意知A(0，2，2)，B(0，－2，0)，D(0，2，0)．設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為→→，(x0，y0,0)．因?yàn)锳Q＝3QC3231)．因此Q(x0，＋y0，4442因?yàn)镸為AD的中點(diǎn)，故M(0，2，1)．又P為BM的中點(diǎn)，故P(0,0，1)，2→323y0,0)．因此PQ＝(x0，4＋44又平面BCD的一個法向量為u＝(0,0,1)，→故PQ·u＝0.又PQ?平面BCD，因此PQ∥平面BCD.(2)設(shè)m＝(x，y，z)為平面BMC的一個法向量．→→2，1)，由CM＝(－x0，2－y0,1)，BM＝(0,2－x0x＋2－y0y＋z＝0，知2y＋z＝0.取y＝－1，得m＝(y0＋2，－1,22)．x0又平面BDM的一個法向量為n＝(1,0,0)．|y0＋2于是|cos〈m，n〉|＝|m·n|＝|＝1，x0|m||n|9＋y0＋222x0y0＋22＝3.①即()x0→→又BC⊥CD，因此CB·CD＝0，故(－x0，－2－y0,0)·(－x0，2－y0,0)＝0，即x20＋y20＝2.②x0＝0，x0＝±6，(舍去)或2聯(lián)立①②，解得y0＝－2.2.y0＝2x0因此tan∠BDC＝|2－y0|＝3.又∠BDC是銳角，因此∠BDC＝60°.16．(文)(2013北·京西城區(qū)模擬)在以下列圖的幾何體中，面CDEF為正方形，面ABCD為等腰梯形，AB∥CD，AC＝3，AB＝2BC＝2，AC⊥FB.(1)求證：AC⊥平面FBC；(2)求周圍體FBCD的體積；(3)線段AC上可否存在點(diǎn)M，使得EA∥平面FDM？證明你的結(jié)論．[剖析](1)證明：在△ABC中，AC＝3，AB＝2，BC＝1，∴AC⊥BC.又∵AC⊥FB，∴AC⊥平面FBC.(2)解：∵AC⊥平面FBC，∴AC⊥FC.CD⊥FC，∴FC⊥平面ABCD.在等腰梯形ABCD中可得∠BCD＝120°，CB＝DC＝1，∴FC＝1.∴S△BCD＝3，413∴周圍體FBCD的體積為：VF－BCD＝3S△BCD·FC＝12.(3)線段AC上存在點(diǎn)M，且M為AC中點(diǎn)時，有EA∥平面FDM，證明以下：連接CE，與DF交于點(diǎn)N，連接MN.因?yàn)镃DEF為正方形，因此N為CE中點(diǎn)．因此EA∥MN.因?yàn)镸N?平面FDM，EA?平面FDM，因此EA∥平面FDM.因此線段AC上存在點(diǎn)M，使得EA∥平面FDM建立．(理)如圖，三棱柱ABC－A1B1C1的底面是邊長為2的正三角形且側(cè)棱垂直于底面，側(cè)棱長是3，D是AC的中點(diǎn)．(1)求證：B1C∥平面A1BD；(2)求二面角A1－BD－A的大小；(3)求直線AB1與平面A1BD所成的角的正弦值．[剖析]解法一：(1)設(shè)AB1與A1B訂交于點(diǎn)P，則P為A