-.z.不定積分解題方法總結(jié)摘要：在微分學(xué)中，函數(shù)求它的導(dǎo)數(shù)或微分是需要解決的根本問題。而在實際應(yīng)用中，很多情況需要使用微分法的逆運算——積分。不定積分是定積分、二重積分等的根底，學(xué)好不定積分十分重要。然而在學(xué)習(xí)過程中發(fā)現(xiàn)不定積分不像微分那樣直觀和"有章可循〞。本文論述了筆者在學(xué)習(xí)過程中對不定積分解題方法的歸納和總結(jié)。關(guān)鍵詞：不定積分；總結(jié)；解題方法不定積分看似形式多樣，變幻莫測，但并不是毫無解題規(guī)律可言。本文所總結(jié)的是一般規(guī)律，并非所有相似題型都適用，具體情況仍需要具體分析。希望本文能起到拋磚引玉的作用，為讀者在學(xué)習(xí)不定積分時提供思路。文中如有錯誤之處，望讀者批評指正。1換元積分法換元積分法分為第一換元法〔湊微分法〕、第二換元法兩種根本方法。而在解題過程中我們更加關(guān)注的是如何換元，一種好的換元方法會讓題目的解答變得簡便。當(dāng)出現(xiàn)，形式時，一般使用，，三種代換形式。當(dāng)根號內(nèi)出現(xiàn)單項式或多項式時一般用代去根號。但當(dāng)根號內(nèi)出現(xiàn)高次冪時可能保存根號，3.當(dāng)被積函數(shù)只有形式簡單的三角函數(shù)時考慮使用萬能代換法。使用萬能代換，對于萬能代換法有些同學(xué)可能覺得形式和計算麻煩而排斥使用，但是萬能代換可以把三角函數(shù)直接轉(zhuǎn)變?yōu)橛欣砗瘮?shù)形式，其后可以直接參照有理函數(shù)的積分法。這不失為解題的一種好方法。2不定積分中三角函數(shù)的處理不定積分的計算中三角函數(shù)出現(xiàn)的次數(shù)較多，然而有些形式類似的題目的解法卻大相徑庭。在這里我們有必要對含有三角函數(shù)的不定積分的解法進(jìn)展總結(jié)。除了之前提到的萬能代換的方法，我們可以對被積函數(shù)進(jìn)展適當(dāng)?shù)淖冃魏娃D(zhuǎn)換。因此，我們對被積函數(shù)中的三角函數(shù)的變形和轉(zhuǎn)換與三角函數(shù)的降次進(jìn)展歸納和總結(jié)。1.分子分母上下同時加、減、乘、除*三角函數(shù)。被積函數(shù)上下同乘變形為令，則為2.只有三角函數(shù)時盡量尋找三角函數(shù)之間的關(guān)系，注意的使用。三角函數(shù)之間都存在著轉(zhuǎn)換關(guān)系。被積函數(shù)的形式越簡單可能題目會越難，適當(dāng)?shù)氖褂萌呛瘮?shù)之間的轉(zhuǎn)換可以使解題的思路變得清晰。3.函數(shù)的降次①形如積分〔m，n為非負(fù)整數(shù)〕當(dāng)m為奇數(shù)時，可令，于是，轉(zhuǎn)化為多項式的積分當(dāng)n為奇數(shù)時，可令，于是，同樣轉(zhuǎn)化為多項式的積分。當(dāng)m，n均為偶數(shù)時，可反復(fù)利用以下三角公式：不斷降低被積函數(shù)的冪次，直至化為前兩種情形之一為止。②形如和的積分〔n為正整數(shù)〕令，則，，從而已轉(zhuǎn)化成有理函數(shù)的積分。類似地，可通過代換轉(zhuǎn)為成有理函數(shù)的積分。③形如和的積分〔n為正整數(shù)〕當(dāng)n為偶數(shù)時，假設(shè)令，則，于是已轉(zhuǎn)化成多項式的積分。類似地，可通過代換轉(zhuǎn)化成有理函數(shù)的積分。當(dāng)n為奇數(shù)時，利用分部積分法來求即可。4.當(dāng)有*與三角函數(shù)相乘或除時一般使用分部積分法。3有理函數(shù)積分法的總結(jié)有理函數(shù)積分法主要分為兩步：1.化有理假分式為有理真分式；2.化有理真分式為局部分式之和。有理假分式化為有理真分式的方法由我們已經(jīng)掌握的代數(shù)學(xué)的方法可得，這里不做討論。1.有理真分式化為局部分式之和求解①簡單的有理真分式的拆分②注意分子和分母在形式上的聯(lián)系此類題目一般還有另外一種題型：2.注意分母〔分子〕有理化的使用4特殊題型該類題目一般被積函數(shù)形式比擬復(fù)雜，一般在競賽中較常出現(xiàn)。但在平時訓(xùn)練這些題型有助于提高數(shù)學(xué)的思維邏輯能力。1.善于利用，因為其求導(dǎo)后不變。這道題目中首先會注意到，因為其形式比擬復(fù)雜。但是可以發(fā)現(xiàn)其求導(dǎo)后為與分母差，另外因為求導(dǎo)后不變，所以容易想到分子分母同乘以。2.*些題正的不行倒著來這道題換元的思路比擬奇特，一般我們會直接使用，然而這樣的換元方法是解不出此題的。我概括此類題的方法為"正的不行倒著來〞，當(dāng)這類一般的換元法行不通時嘗試下。這種思路類似于證明題中的反證法。3.注意復(fù)雜局部求導(dǎo)后的導(dǎo)數(shù)注意到:此題把被積函數(shù)拆為三局部：，的分子為分母的導(dǎo)數(shù)，的值為1，的分子為分母因式分解后的一局部。此類題目出現(xiàn)的次數(shù)不多，一般在競賽中出現(xiàn)。4.對于型積分，