.18/183－1畫出級聯型網絡結構。解：3－2畫出級聯型網絡結構。解：3－3已知某三階數字濾波器的系統(tǒng)函數為,試畫出其并聯型網絡結構。解：將系統(tǒng)函數表達為實系數一階,二階子系統(tǒng)之和,即：由上式可以畫出并聯型結構如題3-3圖所示：題3-3圖3－4已知一FIR濾波器的系統(tǒng)函數為,畫出該FIR濾波器的線性相位結構。解：因為,所以由第二類線性相位結構畫出該濾波器的線性相位結構,如題3-4圖所示：題3-4圖3－5已知一個FIR系統(tǒng)的轉移函數為：求用級聯形式實現的結構流圖并用MATLAB畫出其零點分布及其頻率響應曲線。解：由轉移函數可知,,且偶對稱,故為線性相位系統(tǒng),共有5個零點,為5階系統(tǒng),因而必存在一個一階系統(tǒng),即為系統(tǒng)的零點。而最高階的系數為+1,所以為其零點。中包含項。所以：。為一四階子系統(tǒng),設,代入等式,兩邊相等求得,得出系統(tǒng)全部零點,如圖3-5〔b所示。系統(tǒng)流圖如題3-5〔a圖所示。題3-5〔a圖MATLAB程序如下,結果如題3-5〔b圖所示：b=[11.25-2.75-2.751.251];a=[1];figure<1>zplane<b,a>;figure<2>;OMEGA=-pi:pi/100:pi;H=freqz<b,a,OMEGA>;subplot<2,1,1>,plot<OMEGA,abs<H>>;subplot<2,1,2>,plot<OMEGA,180/pi*unwrap<angle<H>>>;題3-5〔b圖3－6給定,確定模擬濾波器的系統(tǒng)函數。解：根據給定的平方幅度響應,得與比較,得到。取左半平面的三個極點,得,極點；,極點；因此由,得對共軛極點,有代入上式,得3－7模擬低通濾波器的參數如下：,,,,用巴特沃斯近似求。解：已知,,,,確定巴特沃斯濾波器的階數如下：取。本題由于正好是,故低通濾波器的截止頻率為：或者,由下式來求取。將代入五階巴特沃斯模擬低通傳遞函數3－8已知,使用脈沖響應不變法和雙線性方法分別設計數字低通濾波器,使得截止頻率為=。解：〔1雙線性變換法：3截止頻率為=,于是=0.2920參數不參與設計〔2脈沖響應不變法：3截止頻率為=,于是因為脈沖響應不變法是由下面的映射完成的：所以3－9用脈沖響應不變法將轉換為,采樣周期為,其中為任意整數解：上式遞推可得：3－10要求設計一個數字低通濾波器,在頻率低于的范圍內,低通幅度特性為常數,并且不低于0.75,在頻率和之間,阻帶衰減至少為20。試求出滿足這些指標的最低階巴特沃斯濾波器的傳遞函數,采用雙線性變換。解：令為模擬濾波器的平方幅度函數,且由于采用雙線性變換,若,故我們要求因此巴特沃斯濾波器的形式為：所以因此：指標放松一點,可以取,代入上式得對于這個值,通帶技術指標基本達到,阻帶技術指標剛好滿足,在s平面左半部由三個極點對,其坐標為。極點對1：；極點對2：；極點對3：。于是以代入上式,最后可得3－11試設計一巴特沃斯數字低通濾波器,設計指標為：在0.3通帶頻率范圍內,通帶幅度波動小于1,在0.5阻帶頻率范圍內,阻帶衰減大于12。解：由題意可以得出：＝0.3,＝1＝0.5,＝12〔1頻率預畸變＝＝＝1.019/＝＝＝2/〔2確定濾波器階數：＝＝＝0.1321＝＝＝1.9627＝－＝－＝3.002,?。?〔3查表求歸一化低通濾波器函數＝〔4求模擬濾波器系統(tǒng)函數〔＝＝<5>求系統(tǒng)函數將代入得：=3－12用雙線性變換法設計數字低通濾波器,等效模擬濾波器指標參數如下：輸入模擬信號的最高頻率；選用巴特沃斯濾波器,3截止頻率,阻帶截止頻率,阻帶最小衰減20。解：〔1因為采用雙線性變換法設計,數字頻率與相應的模擬頻率之間為非線性關系。但采樣數字濾波器要求其中的數字濾波器與總等效模擬濾波器之間的頻率映射關系為線性關系＝。所以,不能直接按等效模擬濾波器技術指標設計相應模擬濾波器,再將其雙線性變換法映射成數字濾波器。因此,我們必須按將等效模擬濾波器指標參數轉換成采樣數字濾波器系統(tǒng)中數字濾波器指標參數,再用雙線性變換法的一般步驟設計該數字濾波器。通帶邊界頻率：＝＝＝；通帶最大衰減：＝3阻帶截至頻率：＝＝＝；阻帶最小衰減：＝20以下為雙線性變換法設計數字濾波器的一般過程?！?預畸變校正,確定相應的模擬濾波器指標參數：＝＝800＝800,＝3＝＝800＝1931.37,＝20〔3確定濾波器階數：＝＝＝0.1003＝＝＝2.414＝＝＝2.609?。??！?查表求歸一化低通濾波器函數＝〔5求模擬濾波器系統(tǒng)函數＝＝<6>求系統(tǒng)函數＝＝3－13試設計一個數字高通濾波器,要求通帶下限頻率rad。阻帶上限頻率為,通帶衰減不大于3,阻帶衰減不小于20。解：〔1已知數字高通濾波器指標：＝0.8rad,＝3＝0.44rad,＝20〔2由于設計的是高通數字濾波器,所以采用雙線性變換法,所以要進行預畸變校正,確定相應的模擬高通濾波器指標〔為了計算方便,取T＝2s：＝＝＝3.0777rad/s＝＝＝0.8273rad/s〔3將高通濾波器指標轉換成模擬低通指標。高通歸一邊界頻率為〔本題＝：＝＝1＝低通指標為：＝＝1＝＝3.7203〔4設計歸一化低通:＝＝＝0.1003＝＝3.7203＝－＝1.75,?。?查表可得＝〔5頻率變換,求模擬高通：＝＝〔6用雙線性變換法將轉換成：＝|s＝＝3-14一個數字系統(tǒng)的抽樣頻率,試設計一個為此系統(tǒng)使用的帶通數字濾波器,希望采用巴特沃斯濾波器,通帶范圍為到,在帶邊頻率處的衰減不大于3；在以下和以上衰減不小18。解：〔1確定帶通濾波器技術指標：因為,所以得出：,,通帶內最大衰減,阻帶內最小衰減?！?確定相應模擬濾波器技術指標。為計算簡單,設。＝＝＝＝＝＝＝＝通帶中心頻率＝帶寬＝－將以上邊界頻率對歸一化,得到相應歸一化帶通邊界頻率：＝,＝＝,＝＝〔3由歸一化帶通指標確定相應模擬歸一化低通技術指標。歸一化阻帶截止頻率為：＝歸一化通帶截止頻率為,〔4設計模擬歸一化低通＝＝＝－－取,因為1.9394很接近2,所以取基本滿足要求,且系統(tǒng)簡單。查表可得歸一化低通系統(tǒng)函數：＝〔5頻率變換,將轉換成模擬帶通＝＝＝〔6用雙線性變換公式將轉換成＝3-15一個數字系統(tǒng)的抽樣頻率為1000,已知該系統(tǒng)受到頻率為100的噪聲干擾,現設計一帶阻濾波器去掉該噪聲。要求3的帶邊頻率為95和105,阻帶衰減不小于14,阻帶的下邊和上邊頻率分別為99和101。解：〔1確定帶阻濾波器技術指標：因為,所以得出：,,通帶內最大衰減,阻帶內最小衰減?！?確定相應模擬濾波器技術指標。為計算簡單,設。＝＝＝＝＝＝＝＝阻帶中心頻率＝帶阻帶寬＝－將以上邊界頻率對歸一化,得到相應歸一化帶阻邊界頻率：＝,＝＝,＝＝〔3由歸一化帶阻指標確定相應模擬歸一化低通技術指標。歸一化阻帶截止頻率為：,取,。〔4設計模擬歸一化低通,＝＝＝－－取,因為1.055很接近1,所以取,基本滿足要求,且系統(tǒng)簡單。查表可得歸一化低通系統(tǒng)函數：＝〔5頻率變換,將轉換成模擬帶阻＝〔6用雙線性變換公式將轉換成=3－16試用矩形窗口設計法設計一個FIR線形相位低通數字濾波器,已知,。畫出和曲線,再計算正、負肩峰值的位置和過渡帶寬度。解：寫出理想的頻響為求得理想沖激響應為計算得加矩形窗：所以即正、負肩峰值的位置如題3-16表所示。題3-16表軸上的位置值正肩峰〔A點臨界頻率〔B點負肩峰〔C點過渡帶寬度為利用MATLAB演示其結果如題3-16圖所示：N=21;a=<N-1>/2;Wc=0.5*pi;n=[0:1:<N-1>];m=n-a+eps;避免被零除hd=sin<Wc*m>./<pi*m>;[H1,W]=freqz<hd,1>;figure<1>;subplot<211>;stem<n,hd>;xlabel<'n'>;ylabel<'h<n>'>;subplot<212>;plot<W/pi,20*log10<abs<H1>/max<H1>>>;xlabel<'頻率'>;ylabel<'幅頻響應'>;題3-16圖加矩形窗時的脈沖響應及其頻譜圖3－17試用窗函數法設計一個第一類線性相位FIR數字高通濾波器,已知,,,對于矩形窗,過渡帶寬度為?！?確定的長度；〔2求的表達式；〔3？解：〔1偶數,取=65<2><3>3－18用矩形窗設計線性相位數字低通濾波器,理想濾波器傳輸函數為：〔1求出相應的理想低通濾波器的單位脈沖響應?！?求出用矩形窗函數法設計的FIR濾波器的表達式。解：〔1〔2為滿足線性相位條件,要求,為矩形窗函數的長度。加矩形窗函數得。。3－19用矩形窗設計線性相位高通濾波器,逼近濾波器傳輸函數為＝求出相應于理想低通的單位脈沖響應；求出矩形窗設計法的表達式,確定與之間的關系；的取值有什么限制？為什么？解：〔1直接IDTFT[]計算：＝＝＝＝＝＝表達式中第2項正好是截止頻率為的理想低通濾波器的單位脈沖相應。而對應于一個線性相位全通濾波器：＝即高通濾波器可由全通濾波器減去低通濾波器實現。〔2用N表示＝＝為了滿足線性相位條件：＝要求滿足＝〔3必須取奇數。因為N為偶數時〔情況2,＝0,不能實現高通。3－20使用頻率取樣設計法〔第一種形式取樣設計一個FIR線性相位低通數字濾波器。已知。解：理想低通0到和到處幅度函數為1,其余為0。采樣頻率間隔為,的位置在,即和之間,其對稱點位置是,即和之間。對理想低通采樣,可得第一類FIRDF的相位特性為綜合幅度和相位,FIRDF的離散頻域抽樣值為3－21用頻率采樣法設計第一類線性相位FIR低通濾波器,要求通帶截止頻率=,阻帶最大衰減25,過渡帶寬度=,問濾波器長度至少為多少才可能滿足要求．解：因為阻帶最大衰減為25所以需要一個過渡點即,所以得出濾波器長度為3－22利用頻率采樣法設計線性相位FIR低通濾波器,設N＝16,給定希望逼近濾波器的幅度采樣為＝解：有希望逼近的濾波器幅度采樣可構造出的：＝＝＝IDFT[]＝==阻帶最小衰減接近－40dB。3－23一個IIR網絡的差分方程為＝,當輸入序列＝時。試求在無限精度運算下網絡輸出,以及時的輸出穩(wěn)態(tài)值。當網絡采用位字長的定點運算時,尾數采取截尾處理,試計算以內點輸出值。并求其穩(wěn)態(tài)響應。解：〔1由題中已知條件,可以得到該系統(tǒng)的系統(tǒng)函數因此＝故〔2為了求,我們首先求出,可以用下式進行迭代未量化則有：量化后,有可見其穩(wěn)態(tài)響應值為,所以實際實現時穩(wěn)態(tài)值為。3－24在用模型表示數字濾波器中舍入和截尾效應時,把量化變量表示,式中表示舍入或截尾操作,表示量化誤差。在適當的假定條件下,可以假設是白噪聲序列,即。舍入誤差的一階概率分別是如題3-24〔a圖所示的均勻分布,截尾誤差是如題3-24〔b圖所示的均勻分布。題3-24圖求輸入噪聲的均值和方差。求截尾噪聲的均值和方差。解：〔1舍入噪聲的均值和方差分別為：〔2用相似的方法可以求得,截尾噪聲的均值和方差分別為＝＝＝－＝＝－＝－＝3－25一因果LTI系統(tǒng)有系統(tǒng)函數為該系統(tǒng)穩(wěn)定嗎？若對系統(tǒng)系數小數點后第二位按"四舍五入"舍入,所得系統(tǒng)是穩(wěn)定的嗎？解：matlab演示程序如下：%系統(tǒng)穩(wěn)定性演示程序%設a,b分別是系統(tǒng)的零點極點系數%設z,p,k為系統(tǒng)的零點,極點和增益系數a=[1,0,0];b=[1,-0.08,0.96];%求系統(tǒng)的零點極點[z,p,k]=tf2zp<a,b>；%畫出系統(tǒng)的零點極點圖figure<1>zplane<a,b>;%系統(tǒng)系數經過四舍五入a=[1,0,0];b=[1,-0.08,0.96];%對小數后第二位四舍五入后零點極點系數a1,b1temp_a=a*10;temp_b=b*10;a1=round<temp_a>/10;b1=round<temp_b>/10;%求系統(tǒng)的零點極點[z,p,k]=tf2zp<a1,b1>；%畫出系統(tǒng)的零點極點圖figure<2>zplane<a1,b1>;程序結果顯示：原系統(tǒng)極點為：,經過四舍五入之后：,極點零點如題3-25圖所示,原系統(tǒng)兩極點在單位圓內,系統(tǒng)穩(wěn)定。當系統(tǒng)經過四舍五入,系統(tǒng)極點位于單位圓上,系統(tǒng)處于非穩(wěn)定的臨界狀態(tài)。題3-25〔a圖題3-25〔b圖3－26理想離散時間Hilbert變換器是一個對引入-90°相移,而對引入+90°相移的系統(tǒng),其頻響幅度為常量〔單位1,這類系統(tǒng)也稱為90°移相器。<1>試舉出一個理想離散時間Hilbert變換器的理想頻率響應,并畫出該系統(tǒng)在的相位響應曲線。<2>可用哪類FIR線性相位系統(tǒng)來逼近<1>中的理想Hilbert變換器？<3>假設用窗函數法設計一個逼近理想Hilbert變換器的線性相位系統(tǒng),若FIR是當和時,,試利用<1>中給出的求理想脈沖響應。<4>當時該系統(tǒng)的延遲是多少？若采用矩形窗,試畫出在這種情況下的FIR逼近的頻率響應之幅度曲線。解：〔1〔2只能用Ⅲ,Ⅳ型FIR去進行逼近,因為必然是奇對稱的?！彩翘撈鎸ΨQ的〔3〔4當時,系統(tǒng)的延遲為個樣本,采用矩形窗的FIR逼近頻響幅度,相位曲線如題3-26圖所示。補充一個采用21點〔,的Kaiser窗設計結果,以便與〔3中所得結果進行比較。,%3－20clearall;closeall;M=21;n1=0:M;h1=<<n1-<M/2>>*pi/2>.*<sinc<<n1-<M/2>>/2>.^2>;n11=0:<100*<M+1>-1>;H1=fft<h1,100*<M+1>>;figuresubplot<3,1,1>stem<n1,h1,'.'>;gridontitle<'M=21點時FIR逼近的時域特性'>subplot<3,1,2>plot<n11,abs<H1>>gridontitle<'M=21點時FIR逼近的幅度特性'>subplot<3,1,3>plot<n11,angle<