《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》1教材：《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》（第二版）葉鷹李萍劉小荗等編華中科技大學(xué)出版社教材：2學(xué)習(xí)《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》的意義1、重要的專業(yè)基礎(chǔ)課：是各工科(農(nóng)、林、醫(yī)、生物工程、經(jīng)濟類)專業(yè),理科專業(yè),以及各種文理交叉學(xué)科等專業(yè)主干課的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)。2、考研的重要內(nèi)容：考研的數(shù)學(xué)試卷150分，其中概率論與數(shù)理統(tǒng)計內(nèi)容34分。占22.7%.3、今后工作的重要工具：工作中遇到的大量問題，要用概率論與數(shù)理統(tǒng)計的方法去處理。學(xué)習(xí)《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》的意義1、重要的專業(yè)基礎(chǔ)課：是3

一、歷史背景：

17、18世紀，數(shù)學(xué)獲得了巨大的進步。數(shù)學(xué)家們沖破了古希臘的演繹框架，向自然界和社會生活的多方面汲取靈感，數(shù)學(xué)領(lǐng)域出現(xiàn)了眾多嶄新的生長點，而后都發(fā)展成完整的數(shù)學(xué)分支。除了分析學(xué)這一大系統(tǒng)之外，概率論就是這一時期“使歐幾里得幾何相形見絀”的若干重大成就之一一、歷史背景：4二、概率論的起源：三四百年前在歐洲許多國家，貴族之間盛行賭博之風(fēng)。擲骰子是他們常用的一種賭博方式。

因骰子的形狀為小正方體，當它被擲到桌面上時，每個面向上的可能性是相等的，即出現(xiàn)1點至6點中任何一個點數(shù)的可能性是相等的。有的參賭者就想：如果同時擲兩顆骰子，則點數(shù)之和為9與點數(shù)之和為10，哪種情況出現(xiàn)的可能性較大？

17世紀中葉，法國有一位熱衷于擲骰子游戲的貴族德·梅耳，發(fā)現(xiàn)了這樣的事實：將一枚骰子連擲四次至少出現(xiàn)一個六點的機會比較多(0.5182)，而同時將兩枚骰子擲24次，至少出現(xiàn)一次雙六的機會卻很少(1-(35/36)24=0.48)。

這是什么原因呢？后人稱此為著名的德·梅耳問題。二、概率論的起源：5

又有人提出了“分賭注問題”：兩個人決定賭若干局，事先約定誰先贏得6局便算贏家。如果在一個人贏3局，另一人贏4局時因故終止賭博，應(yīng)如何分賭本？(0.25:0.75)

諸如此類的需要計算可能性大小的賭博問題提出了不少，但他們自己無法給出答案。

數(shù)學(xué)家們“參與”賭博

參賭者將他們遇到的上述問題請教當時法國數(shù)學(xué)家帕斯卡，帕斯卡接受了這些問題，他沒有立即回答，而把它交給另一位法國數(shù)學(xué)家費爾馬。他們頻頻通信，互相交流，圍繞著賭博中的數(shù)學(xué)問題開始了深入細致的研究。這些問題后來被來到巴黎的荷蘭科學(xué)家惠更斯獲悉，回荷蘭后，他獨立地進行研究。又有人提出了“分賭注問題”：6

帕斯卡和費爾馬一邊親自做賭博實驗，一邊仔細分析計算賭博中出現(xiàn)的各種問題，終于完整地解決了“分賭注問題”，并將此題的解法向更一般的情況推廣，從而建立了概率論的一個基本概念——數(shù)學(xué)期望，這是描述隨機變量取值的平均水平的一個量。而惠更斯經(jīng)過多年的潛心研究，解決了擲骰子中的一些數(shù)學(xué)問題。1657年，他將自己的研究成果寫成了專著《論擲骰子游戲中的計算》。這本書迄今為止被認為是概率論中最早的論著。因此可以說早期概率論的真正創(chuàng)立者是帕斯卡、費爾馬和惠更斯。這一時期被稱為組合概率時期，計算各種古典概率。帕斯卡和費爾馬一邊親自做賭博實驗7在他們之后，對概率論這一學(xué)科做出貢獻的是瑞士數(shù)學(xué)家族——貝努利家族的幾位成員。雅可布·貝努利在前人研究的基礎(chǔ)上，繼續(xù)分析賭博中的其他問題，給出了“賭徒輸光問題”的詳盡解法，并證明了被稱為“大數(shù)定律”的一個定理，這是研究等可能性事件的古典概率論中的極其重要的結(jié)果。大數(shù)定律證明的發(fā)現(xiàn)過程是極其困難的，他做了大量的實驗計算，首先猜想到這一事實，然后為了完善這一猜想的證明，雅可布花了20年的時光。雅可布將他的全部心血傾注到這一數(shù)學(xué)研究之中，從中他發(fā)展了不少新方法，取得了許多新成果，終于將此定理證實。

在他們之后，對概率論這一學(xué)科做出貢獻的是瑞士數(shù)8

1713年，雅可布的著作《猜度術(shù)》出版。遺憾的是在他的大作問世之時，雅可布已謝世8年之久。雅可布的侄子尼古·貝努利也真正地參與了“賭博”。他提出了著名的“圣彼得堡問題”：甲乙兩人賭博，甲擲一枚硬幣到擲出正面為一局。若甲擲一次出現(xiàn)正面，則乙付給甲一個盧布；若甲第一次擲得反面，第二次擲得正面，乙付給甲2個盧布；若甲前兩次擲得反面，第三次得到正面，乙付給甲4個盧布。一般地，若甲前n－1次擲得反面，第n次擲得正面，則乙需付給甲2n-1個盧布。問在賭博開始前甲應(yīng)付給乙多少盧布才有權(quán)參加賭博而不致虧損乙方？1713年，雅可布的著作《猜度術(shù)》出版。遺憾9

尼古拉同時代的許多數(shù)學(xué)家研究了這個問題，并給出了一些不同的解法。但其結(jié)果是很奇特的，所付的款數(shù)竟為無限大。即不管甲事先拿出多少錢給乙，只要賭博不斷地進行，乙肯定是要賠錢的。

走出賭博

隨著18、19世紀科學(xué)的發(fā)展，人們注意到某些生物、物理和社會現(xiàn)象與機會游戲相似，從而由機會游戲起源的概率論被應(yīng)用到這些領(lǐng)域中，同時也大大推動了概率論本身的發(fā)展。尼古拉同時代的許多數(shù)學(xué)家研究了這個問題，10

法國數(shù)學(xué)家拉普拉斯將古典概率論向近代概率論進行推進，他首先明確給出了概率的古典定義，并在概率論中引入了更有力的數(shù)學(xué)分析工具，將概率論推向一個新的發(fā)展階段。他還證明了“狄莫弗——拉普拉斯定理”，把狄莫弗的結(jié)論推廣到一般場合，還建立了觀測誤差理論和最小二乘法。拉普拉斯于1812年出版了他的著作《分析的概率理論》，這是一部繼往開來的作品。這時候人們最想知道的就是概率論是否會有更大的應(yīng)用價值？是否能有更大的發(fā)展成為嚴謹?shù)膶W(xué)科法國數(shù)學(xué)家拉普拉斯將古典概率論向近代概率論11

概率論在20世紀再度迅速地發(fā)展起來，則是由于科學(xué)技術(shù)發(fā)展的迫切需要而產(chǎn)生的。1906年，俄國數(shù)學(xué)家馬爾科夫提出了所謂“馬爾科夫鏈”的數(shù)學(xué)模型。1934年，前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家辛欽又提出一種在時間中均勻進行著的平穩(wěn)過程理論。

如何把概率論建立在嚴格的邏輯基礎(chǔ)上，這是從概率誕生時起人們就關(guān)注的問題，這些年來，好多數(shù)學(xué)家進行過嘗試，終因條件不成熟，一直拖了三百年才得以解決。概率論在20世紀再度迅速地發(fā)展起來，則是由12三、概率論理論基礎(chǔ)的建立：20世紀初完成的勒貝格測度與積分理論及隨后發(fā)展的抽象測度和積分理論，為概率公理體系的建立奠定了基礎(chǔ)。在這種背景下柯爾莫哥洛夫1933年在他的《概率論基礎(chǔ)》一書中首次給出了概率的測度論式定義和一套嚴密的公理體系。他的公理化方法成為現(xiàn)代概率論的基礎(chǔ)，使概率論成為嚴謹?shù)臄?shù)學(xué)分支。三、概率論理論基礎(chǔ)的建立：13四、概率論的應(yīng)用：

現(xiàn)在，概率論與以它作為基礎(chǔ)的數(shù)理統(tǒng)計學(xué)科一起，在自然科學(xué)，社會科學(xué)，工程技術(shù)，軍事科學(xué)及工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)等諸多領(lǐng)域中都起著不可或缺的作用。四、概率論的應(yīng)用：14

直觀地說，衛(wèi)星上天，導(dǎo)彈巡航，飛機制造，宇宙飛船遨游太空等都有概率論的一份功勞；及時準確的天氣預(yù)報，海洋探險，考古研究等更離不開概率論與數(shù)理統(tǒng)計；電子技術(shù)發(fā)展，影視文化的進步，人口普查及教育等同概率論與數(shù)理統(tǒng)計也是密不可分的。

根據(jù)概率論中用投針試驗估計π值的思想產(chǎn)生的蒙特卡羅方法，是一種建立在概率論與數(shù)理統(tǒng)計基礎(chǔ)上的計算方法。借助于電子計算機這一工具，使這種方法在核物理、表面物理、電子學(xué)、生物學(xué)、高分子化學(xué)等學(xué)科的研究中起著重要的作用。直觀地說，衛(wèi)星上天，導(dǎo)彈巡航，飛機制造，152．概率論的公理化

俄國數(shù)學(xué)家伯恩斯坦和奧地利數(shù)學(xué)家馮.米西斯(R.vonMises,1883-1953)對概率論的嚴格化做了最早的嘗試。但它們提出的公理理論并不完善。事實上，真正嚴格的公理化概率論只有在測度論和實變函數(shù)理論的基礎(chǔ)才可能建立。測度論的奠基人，法國數(shù)學(xué)家博雷爾(E.Borel,1781-1956)首先將測度論方法引入概率論重要問題的研究，并且他的工作激起了數(shù)學(xué)家們沿這一嶄新方向的一系列搜索。特別是原蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家科爾莫戈羅夫(Kolmogorov)的工作最為卓著。他在1926年推出了弱大數(shù)定律成立的充分必要條件。后又對博雷爾提出的強大數(shù)定律問題給出了最一般的結(jié)果，從而解決了概率論的中心課題之一——大數(shù)定律，成為以測度論為基礎(chǔ)的概率論公理化的前奏。2．概率論的公理化

161933年，科爾莫戈羅夫出版了他的著作《概率論基礎(chǔ)》，這是概率論的一部經(jīng)典性著作。其中，科爾莫戈羅夫給出了公理化概率論的一系列基本概念，提出了六條公理，整個概率論大廈可以從這六條公理出發(fā)建筑起來?？茽柲炅_夫的公理體系逐漸得到數(shù)學(xué)家們的普遍認可。由于公理化，概率論成為一門嚴格的演繹科學(xué)，并通過集合論與其它數(shù)學(xué)的分支密切聯(lián)系著?？茽柲炅_夫是20世紀最杰出的數(shù)學(xué)家之一，他不僅僅是公理化概率論的建立者，在數(shù)學(xué)和力學(xué)的眾多領(lǐng)域他都做出了開創(chuàng)或奠基性的貢獻，同時，他還是出色的教育家。由于概率論等其它許多領(lǐng)域的杰出貢獻，科爾莫戈羅夫榮獲80年的沃爾夫獎。1933年，科爾莫戈羅夫出版了他的著作《概率論基礎(chǔ)》，這是概173．進一步的發(fā)展

在公理化基礎(chǔ)上，現(xiàn)代概率論取得了一系列理論突破。公理化概率論首先使隨機過程的研究獲得了新的起點。1931年，科爾莫戈羅夫用分析的方法奠定了一類普通的隨機過程——馬爾可夫過程的理論基礎(chǔ)?？茽柲炅_夫之后，對隨機過程的研究做出重大貢獻而影響著整個現(xiàn)代概率論的重要代表人物有萊維(P.Levy,1886-1971)、辛欽、杜布(J.L.Doob)和伊藤清(Ito)等。1948年萊維出版的著作《隨機過程與布朗運動》提出了獨立增量過程的一般理論，并以此為基礎(chǔ)極大地推進了作為一類特殊馬爾可夫過程的布朗運動的研究。3．進一步的發(fā)展181934年，辛欽提出平穩(wěn)過程的相關(guān)理論。1939年，維爾(J.Ville)引進“鞅”的概念，1950年起，杜布對鞅概念進行了系統(tǒng)的研究而使鞅論成為一門獨立的分支。從1942年開始，日本數(shù)學(xué)家伊藤清引進了隨機積分與隨機微分方程，不僅開辟了隨機過程研究的新道路，而且為隨機分析這門數(shù)學(xué)新分支的創(chuàng)立和發(fā)展奠定了基礎(chǔ)。像任何一門公理化的數(shù)學(xué)分支一樣，公理化的概率論的應(yīng)用范圍被大大拓廣。1934年，辛欽提出平穩(wěn)過程的相關(guān)理論。1939年，維爾(J194.概率論的內(nèi)容概率論作為一門數(shù)學(xué)分支，它所研究的內(nèi)容一般包括隨機事件的概率、統(tǒng)計獨立性和更深層次上的規(guī)律性。概率是隨機事件發(fā)生的可能性的數(shù)量指標。在獨立隨機事件中，如果某一事件在全部事件中出現(xiàn)的頻率，在更大的范圍內(nèi)比較明顯的穩(wěn)定在某一固定常數(shù)附近。就可以認為這個事件發(fā)生的概率為這個常數(shù)。對于任何事件的概率值一定介于0和1之間。4.概率論的內(nèi)容20有一類隨機事件，它具有兩個特點：第一，只有有限個可能的結(jié)果；第二，各個結(jié)果發(fā)生的可能性相同。具有這兩個特點的隨機現(xiàn)象叫做“古典概型”。在客觀世界中，存在大量的隨機現(xiàn)象，隨機現(xiàn)象產(chǎn)生的結(jié)果構(gòu)成了隨機事件。如果用變量來描述隨機現(xiàn)象的各個結(jié)果，就叫做隨機變量。有一類隨機事件，它具有兩個特點：第一，只有有限個可能的結(jié)果；21隨機變量有有限和無限的區(qū)分，一般又根據(jù)變量的取值情況分成離散型隨機變量和非離散型隨機變量。一切可能的取值能夠按一定次序一一列舉，這樣的隨機變量叫做離散型隨機變量；如果可能的取值充滿了一個區(qū)間，無法按次序一一列舉，這種隨機變量就叫做非離散型隨機變量.隨機變量的平均值也叫數(shù)學(xué)期望，差異度也就是標準方差隨機變量有有限和無限的區(qū)分，一般又根據(jù)變量的取值情況分成離散22?第一部分概率論概率論是研究什么的？隨機現(xiàn)象：不確定性與統(tǒng)計規(guī)律性概率論——研究和揭示隨機現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律性的科學(xué)

?第一部分概率論隨機現(xiàn)象：不確定性與統(tǒng)計規(guī)律性概率論——研究23概率的概念起源于中世紀以來的歐洲流行的用骰子賭博，當時有一個“分賭本問題”曾引起熱烈的討論，并經(jīng)歷了長達一百多年才得到正確的解決。在這過程中孕育了概率論一些重要的基本概念，舉該問題的一個簡單情況：甲、乙二人賭博，各出賭注30元，共60元，每局甲、乙勝的機會均等，都是1/2。約定：誰先勝滿3局則他贏得全部賭注60元，現(xiàn)已賭完3局，甲2勝1負，而因故中斷賭博，問這60元賭注該如何分給2人，才算公平，初看覺得應(yīng)按2：1分配，即甲得40元，乙得20元，還有人提出了一些另外的解法，結(jié)果都不正確.正確的分法應(yīng)考慮到如在這基礎(chǔ)上繼續(xù)賭下去，甲、乙最終獲勝的機會如何，至多再賭2局即可分出勝負，這2局有4種可能結(jié)果：甲甲、甲乙、乙甲、乙乙。前3種情況都是甲最后取勝，只有最后一種情況才是乙取勝，二者之比為3：1，故賭注的公平分配應(yīng)按3：1的比例，即甲得45元，乙15元。概率的概念起源于中世紀以來的歐洲流行的用骰子賭博，當時有一個24第一章隨機事件及概率隨機試驗隨機事件及其運算概率的定義及其運算條件概率事件的獨立性

第一章隨機事件及概率隨機試驗251.1隨機事件及運算一.幾個概念1.隨機試驗及統(tǒng)計規(guī)律舉例自然界現(xiàn)象分為兩類:必然現(xiàn)象隨機現(xiàn)象隨機現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律性:通過大量次重復(fù)觀測,隨機現(xiàn)象的各種可能結(jié)果所呈現(xiàn)的某種規(guī)律性1.1隨機事件及運算一.幾個概念26概率，又稱幾率，或然率，指一種不確定的情況出現(xiàn)可能性的大小，例如，投擲一個硬幣，“出現(xiàn)國徽”（國徽一面朝上）是一個不確定的情況。因為投擲前，我們無法確定所指情況（“出現(xiàn)國徽”）發(fā)生與否，若硬幣是均勻的且投擲有充分的高度，則兩面的出現(xiàn)機會均等，我們說“出現(xiàn)國徽”的概率是1/2；投擲一個均勻骰子，“出現(xiàn)4點”的概率是1/6，除了這些以及類似的簡單情況外，概率的計算不容易，往往需要一些理論上的假定，在現(xiàn)實生活中則往往用經(jīng)驗的方法確定概率，例如某地區(qū)有N人，查得其中患某種疾病者有M人，則稱該地區(qū)的人患該種疾病的概率為M/N，這事實上是使用統(tǒng)計方法對發(fā)病概率的一個估計。概率，又稱幾率，或然率，指一種不確定的情況出現(xiàn)可能性的大小，27隨機試驗的特點：1.可在相同條件下重復(fù)進行；2.試驗可能結(jié)果不止一個,但能確定所有的可能結(jié)果；3.一次試驗之前無法確定具體是哪種結(jié)果出現(xiàn)。隨機試驗可表為E

2.隨機試驗2.隨機試驗28E1:拋一枚硬幣，分別用“H”和“T”表示出正面和反面;E2:將一枚硬幣連拋三次，考慮正反面出現(xiàn)的情況；E3:將一枚硬幣連拋三次，考慮正面出現(xiàn)的次數(shù);E4:擲一顆骰子，考慮可能出現(xiàn)的點數(shù)；E5:記錄某網(wǎng)站一分鐘內(nèi)受到的點擊次數(shù)；E6:在一批燈泡中任取一只，測其壽命;E7:任選一人，記錄他的身高和體重;E8:向某目標發(fā)炮,觀察炮彈著點位置隨機試驗的例子E1:拋一枚硬幣，分別用“H”和“T”表示出正面和反面293.隨機事件隨機事件:可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件,用A,B,C等表示.針對隨機試驗舉例如下:基本事件:不能再分解的亊件必然事件:在一定條件下必然要發(fā)生.用?表示不可能事件:在一定條件下必然不發(fā)生.用Φ表示3.隨機事件隨機事件:可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件,用A,B30

例如

對于試驗E2

，以下A、B、C即為三個隨機事件:A＝“至少出一個正面”＝{HHH,HHT,HTH,THH，HTT，THT，TTH}；B=“兩次出現(xiàn)同一面”={HHH,TTT}C=“恰好出現(xiàn)一次正面”={HTT，THT，TTH}再如，試驗E6中D＝“燈泡壽命超過1000小時”＝{x:1000<x<T(小時）}。例如對于試驗E2，以下A、B、C即為三個31可見，可以用文字表示事件，也可以將事件表示為樣本空間的子集，后者反映了事件的實質(zhì)，且更便于今后計算概率.還應(yīng)注意，同一樣本空間中，不同的事件之間有一定的關(guān)系，如試驗E2

，當試驗的結(jié)果是HHH時，可以說事件A和B同時發(fā)生了；但事件B和C在任何情況下均不可能同時發(fā)生。易見，事件之間的關(guān)系是由他們所包含的樣本點所決定的，這種關(guān)系可以用集合之間的關(guān)系來描述?？梢?，可以用文字表示事件，也可以將事件表示為樣本空間的子集，324.樣本空間

實驗E的所有可能結(jié)果所組成的集合稱為樣本空間，記為Ω={ω}；試驗的每一個結(jié)果或樣本空間的元素稱為一個樣本點,記為ω.由一個樣本點組成的單點集稱為一個基本事件,記為{ω}.

例：給出E1-E8的樣本空間4.樣本空間

實驗E的所有可能結(jié)果所組成的集合稱為樣本空間，33

1.包含關(guān)系

“A發(fā)生必導(dǎo)致B發(fā)生”記為ABA＝BAB且BA.二.

事件之間的關(guān)系1.包含關(guān)系“A發(fā)生必導(dǎo)致B發(fā)生”記為A342.和事件：“事件A與B至少有一個發(fā)生”，記作ABn個事件A1,A2,…,An至少有一個發(fā)生，記作2.和事件：“事件A與B至少有一個發(fā)生”，n個事件A1,A353.積事件:A與B同時發(fā)生，記作AB＝ABn個事件A1,A2,…,An同時發(fā)生，記作A1A2…An3.積事件:A與B同時發(fā)生，記作AB＝ABn個事件A1364.差事件：A－B稱為A與B的差事件,表示事件A發(fā)生而B不發(fā)生.思考：何時A-B=?何時A-B=A？4.差事件：A－B稱為A與B的差事件,表示事件A發(fā)生而B不375.互不相容(互斥)的事件：AB＝5.互不相容(互斥)的事件：AB＝386.互逆的事件

AB＝,且AB＝

6.互逆的事件AB＝,且AB＝39三

事件的運算律1、交換律：AB＝BA，AB＝BA2、結(jié)合律：(AB)C＝A(BC)，(AB)C＝A(BC)3、分配律：(AB)C＝(AC)(BC)，(AB)C＝(AC)(BC)4、對偶(DeMorgan)律：三事件的運算律1、交換律：AB＝BA，AB＝BA40例：甲、乙、丙三人各向目標射擊一發(fā)子彈，以A、B、C分別表示甲、乙、丙命中目標，試用A、B、C的運算關(guān)系表示下列事件：例：甲、乙、丙三人各向目標射擊一發(fā)子彈，以A、B、C分別表示41

1.2概率的定義及其運算

從直觀上來看，事件A的概率是指事件A發(fā)生的可能性?P（A）應(yīng)具有何種性質(zhì)？?拋一枚硬幣，幣值面向上的概率為多少？擲一顆骰子，出現(xiàn)6點的概率為多少？出現(xiàn)單數(shù)點的概率為多少？向目標射擊，命中目標的概率有多大？

1.2概率的定義及其運算

從直觀上來看，事件A的42若某實驗E滿足1.有限性：樣本空間Ω＝{ω1,ω2,…,ωn};2.等可能性：P({ω1})=P({ω2})

=…=P(({ωn})

則稱E為古典概型也叫等可能概型。一古典概型與概率若某實驗E滿足一古典概型與概率43

設(shè)事件A中所含樣本點個數(shù)為N(A)，以N(Ω)記樣本空間Ω中樣本點總數(shù)，則有P(A)具有如下性質(zhì)：(1)0

P(A)1；(2)P()＝1；P()=0(3)AB＝，則

P(AB

)＝P(A)＋P(B)古典概型中的概率:設(shè)事件A中所含樣本點個數(shù)為N(A)，以N(Ω44例1:有三個子女的家庭,設(shè)每個孩子是男是女的概率相等,則至少有一個男孩的概率是多少?解:設(shè)A--至少有一個男孩,以H表示某個孩子是男孩N(S)={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT,TTT}N(A)={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT}例1:有三個子女的家庭,設(shè)每個孩子是男是女的概率相等,則至少45例2一批產(chǎn)品共100件,其中次品4件,接連地任意抽取兩件產(chǎn)品.在(1)有放回抽取;(2)無放回抽取兩種方式下求下列事件的概率:A={笫一次取到正品,第二次取到次品}B={取到正品,次品各一件}C={取到兩件正品}解:設(shè)想將這100件產(chǎn)品按1到100編號,1到4號為次品.然后按定義求解例2一批產(chǎn)品共100件,其中次品4件,接連地任意抽取兩件產(chǎn)品46例3(抽簽問題)袋中有a只白球,b只紅球,依次將球一只只摸出,不放回,求第k次摸到白球的概率(1≤k≤a+b).解:設(shè)A={笫k次取到白球},則N(Ω)=(a+b)(a+b-1)‥‥(a+b-k+1)N(A)=(a+b-1)(a+b-2)‥‥(a+b-k+1)aP(A)=a／(a+b)例3(抽簽問題)袋中有a只白球,b只紅球,依次將球一只只摸出47例4（摸求問題）設(shè)合中有3個白球，2個紅球，現(xiàn)從合中任抽2個球，求取到一紅一白的概率。解:設(shè)A-----取到一紅一白答:取到一紅一白的概率為3/5一般地，設(shè)合中有N個球，其中有M個白球，現(xiàn)從中任抽n個球，則這n個球中恰有k個白球的概率是例4（摸求問題）設(shè)合中有3個白球，2個紅球，現(xiàn)從合中任抽248如:一批同類產(chǎn)品共N件,其中次品M件,從中隨機抽取n件(取后不放回),求這n件中恰有k(k≤M)件次品的概率如:一批同類產(chǎn)品共N件,其中次品M件,從中隨機抽取n件(取后49例5（分球問題）將3個球隨機的放入3個盒子中去，問：（1）每盒恰有一球的概率是多少？（2）空一盒的概率是多少？解:設(shè)A:每盒恰有一球,B:空一盒一般地，把n個球隨機地分配到m個盒子中去(nm)，則每盒至多有一球的概率是：例5（分球問題）將3個球隨機的放入3個盒子中去，問：（1）50例5’(分房問題)設(shè)有m個人和M個房間(m≤M),每個人等可能地被分配到M間房的任一間內(nèi).試求下列各事件發(fā)生的概率:A={指定的m間房內(nèi)各有一人}B={恰有m間房,其中各有一人}C={指定的一間房中恰有r人}.注:例5’(分房問題)設(shè)有m個人和M個房間(m≤M),每個人等可51例6從0,1,…,9共10個數(shù)中,可重復(fù)地先后取出7個數(shù).求事件A={7個數(shù)中不含1和9};B={數(shù)9恰出現(xiàn)兩次};C={數(shù)1和9各恰出現(xiàn)1次}的概率.例6從0,1,…,9共10個數(shù)中,可重復(fù)地先后取出7個數(shù).52補例（分組問題）30名學(xué)生中有3名運動員，將這30名學(xué)生平均分成3組，求：（1）每組有一名運動員的概率；（2）3名運動員集中在一個組的概率。解:設(shè)A:每組有一名運動員;B:3名運動員集中在一組一般地，把n個球隨機地分成m組(n>m),要求第i組恰有ni個球(i=1,…m)，共有分法：補例（分組問題）30名學(xué)生中有3名運動員，將這30名學(xué)生平53例(略)（隨機取數(shù)問題）從1到200這200個自然數(shù)中任取一個；(1)求取到的數(shù)能被6整除的概率；(2)求取到的數(shù)能被8整除的概率；(3)求取到的數(shù)既能被6整除也能被8整除的概率.解:N(S)=200,N(3)=[200/24]=8N(1)=[200/6]=33,N(2)=[200/8]=25(1),(2),(3)的概率分別為:33/200,1/8,1/25例(略)（隨機取數(shù)問題）從1到200這200個自然數(shù)中任取一54總結(jié):古典概率的基本性質(zhì)(1)非負性(2)規(guī)范性(3)有限可加性總結(jié):古典概率的基本性質(zhì)55幾何型隨機試驗(幾何概型):設(shè)試驗E的樣本空間Ω可用歐氏空間的某一有畀區(qū)域表示,且其任一事件的發(fā)生具有等可能性概率的幾何定義

事件A的幾何度量為μ(A)，Ω的幾何度量為μ(Ω)則比值μ(A)／μ(Ω)稱為事件A的概率二概率的幾何定義幾何型隨機試驗(幾何概型):設(shè)試驗E的樣本空間Ω可用歐氏空間56例7設(shè)公共汽車每5min一班,求乘客等車不超過1min的概率例8(會面問題)兩人相約在0到T時內(nèi)在某地點會面,先到者等待t時后若不見對方即可離去.假定每人在T時內(nèi)任何時刻等可能到達.求兩人能夠會面的概率例7設(shè)公共汽車每5min一班,求乘客等車不超過1min的概率57總結(jié):幾何概率的基本性質(zhì)(1)非負性(2)規(guī)范性(3)有限可加性(4)完全可加性總結(jié):幾何概率的基本性質(zhì)58某人向目標射擊，以A表示事件“命中目標”，P（A）=？?定義

事件A在n次重復(fù)試驗中出現(xiàn)nA次，則比值nA/n稱為事件A在n次重復(fù)試驗中出現(xiàn)的頻率，記為fn(A).即

三概率的統(tǒng)計定義某人向目標射擊，以A表示事件“命中目標”，?定義事件A在59

歷史上曾有人做過試驗,試圖證明拋擲勻質(zhì)硬幣時，出現(xiàn)正反面的機會均等。

實驗者nnHfn(H)DeMorgan204810610.5181Buffon404020480.5069K.Pearson1200060190.5016K.Pearson24000120120.5005歷史上曾有人做過試驗,試圖證明拋擲勻質(zhì)硬幣時，出60頻率的性質(zhì):(1)0

fn(A)1；(2)fn(S)＝1；fn()=0(3)可加性：若AB＝

，則

fn(AB)＝fn(A)＋fn(B).實踐證明：當試驗次數(shù)n增大時，fn(A)逐漸趨向一個穩(wěn)定值?？蓪⒋朔€(wěn)定值記作P(A)，作為事件A的概率.頻率的性質(zhì):實踐證明：當試驗次數(shù)n增大時，fn(A)逐61四概率的公理化定義

注意到不論是對概率的直觀理解，還是頻率定義方式，作為事件的概率，都應(yīng)具有前述三條基本性質(zhì)，在數(shù)學(xué)上，我們就可以從這些性質(zhì)出發(fā)，給出概率的公理化定義.四概率的公理化定義注意到不論是對概率的直觀理解，還621.定義

若對隨機試驗E所對應(yīng)的樣本空間中的每一事件A，均賦予一實數(shù)P(A)，集合函數(shù)P(A)滿足條件：(1)非負性:

P(A)≥0；(2)規(guī)范性:P(Ω)＝1； (3)可列可加性：設(shè)A1，A2，…,是一列兩兩互不相容的事件，即AiAj＝，(ij),i,j＝1,2,…,有

P(A1

A2

…

)＝P(A1)＋P(A2)+….則稱P(A)為事件A的概率。1.定義若對隨機試驗E所對應(yīng)的樣本空間中的每一事件A63

2.概率的性質(zhì)(1)

有限可加性：設(shè)A1，A2，…An,是n個兩兩互不相容的事件，即AiAj＝

，(ij),i,j＝1,2,…,n,則有

P(A1

A2

…

An)＝P(A1)＋P(A2)+…P(An);(3)事件差:

A、B是兩個事件，則P(A-B)=P(A)-P(AB)

(2)單調(diào)不減性：若事件AB，則P(A)≥P(B)2.概率的性質(zhì)(3)事件差:A、B是兩個事件，64(4)加法公式：對任意兩事件A、B，有P(AB)＝P(A)＋P(B)－P(AB)該公式可推廣到任意n個事件A1，A2，…，An的情形；試推廣(5)

互補性：P(A)＝1－P(A);(6)可分性：對任意兩事件A、B，有P(A)＝P(AB)＋P(AB).

概率論與數(shù)理統(tǒng)計第一章課件65例950件產(chǎn)品中有4件廢品,從中一次抽取3件,求其中有廢品的概率例10袋中有紅、黃、白色球各一個,每次任取一個,有返回地取三次,求”取到的三球里沒有紅球或沒有黃球”的概率例950件產(chǎn)品中有4件廢品,從中一次抽取3件,求其中66例某市有甲,乙,丙三種報紙,訂每種報紙的人數(shù)分別占全體市民人數(shù)的30%,其中有10%的人同時定甲,乙兩種報紙.沒有人同時訂甲乙或乙丙報紙.求從該市任選一人,他至少訂有一種報紙的概率.解:設(shè)A,B,C分別表示選到的人訂了甲,乙,丙報例某市有甲,乙,丙三種報紙,訂每種報紙的人數(shù)分別占全體市民67例

在110這10個自然數(shù)中任取一數(shù)，求（1）取到的數(shù)能被2或3整除的概率，（2）取到的數(shù)即不能被2也不能被3整除的概率，（3）取到的數(shù)能被2整除而不能被3整除的概率。解:設(shè)A—取到的數(shù)能被2整除;Ｂ—取到的數(shù)能被3整除故例在110這10個自然數(shù)中任取一數(shù)，求解:設(shè)A—取到的數(shù)68作業(yè):p26,三,1,2,3,4,5,6作業(yè):p26,三,1,2,3,4,5,669

袋中有十只球，其中九只白球，一只紅球，十人依次從袋中各取一球(不放回)，問第一個人取得紅球的概率是多少？第二個人取得紅球的概率是多少？?1.3條件概率袋中有十只球，其中九只白球，一只紅球，十人依次70若已知第一個人取到的是白球，則第二個人取到紅球的概率是多少？已知事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的概率稱為A條件下B的條件概率，記作P(B|A)若已知第一個人取到的是紅球，則第二個人取到紅球的概率又是多少？若已知第一個人取到的是白球，則第二個人取到紅球的概率是多少？71一、條件概率例11設(shè)一盒產(chǎn)品共10只，其中有3只次品，現(xiàn)從中任意抽取兩次，每次取一只，取后不放回，（1）已知第一次取到次品，求第二次也取到次品的概率;（2）求第二次取到次品的概率解:設(shè)A={第二次取到次品},B={第一次取到次品},分析:P(A︱B)=P(AB)/P(B)一、條件概率72顯然，若事件A、B是古典概型的樣本空間?中的兩個事件，其中A含有nA個樣本點,AB含有nAB個樣本點，則稱為事件A發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的條件概率.

一般地，設(shè)A、B是Ω中的兩個事件，則顯然，若事件A、B是古典概型的樣本空間?中的兩個事件，其中A73?“條件概率”是“概率”嗎？何時P(A|B)=P(A)?何時P(A|B)>P(A)?何時P(A|B)<P(A)??“條件概率”是“概率”嗎？何時P(A|B)=P(A)?74概率定義

若對隨機試驗E所對應(yīng)的樣本空間S中的每一事件A，均賦予一實數(shù)P(A)，集合函數(shù)P(A)滿足條件：P(A)≥0；P(S)＝1;(3)設(shè)A1，A2，…,是一列兩兩互不相容的事件，即AiAj＝，(ij),i,j＝1,2,…,有

P(A1

A2

…

)＝P(A1)＋P(A2)+….

則稱P(A)為事件A的概率。概率定義75例一盒中混有100只新,舊乒乓球，各有紅、白兩色，分類如下表。從盒中隨機取出一球，若取得的是一只紅球，試求該紅球是新球的概率。紅白新4030舊2010設(shè)A--從盒中隨機取到一只紅球.B--從盒中隨機取到一只新球.

AB例一盒中混有100只新,舊乒乓球，各有紅、白兩色，分76二、乘法公式設(shè)A、BS，P（A）>0,則P(AB)＝P(A)P(B|A).稱為事件A、B的概率乘法公式。

乘法公式還可推廣到三個事件的情形：P(ABC)＝P(A)P(B|A)P(C|AB).一般地，有下列公式：P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2|A1)...P(An|A1…An－1).

二、乘法公式設(shè)A、BS，P（A）>0,則乘法公77例13從舎有3件次品的10件產(chǎn)品中無返回地取兩次,每次任取一件.(1)求兩次都取到正品的概率;(2)求第二次才取到正品的概率.解：設(shè)Ai為第i次取到正品，則(1)B={兩次都取到正品},則例13從舎有3件次品的10件產(chǎn)品中無返回地取兩次,每次任取一78思考題:如何用乘法公式證明抽簽的合理性?參考書上例14思考題:如何用乘法公式證明抽簽的合理性?79三、全概率公式與貝葉斯公式例(類似例16).市場上有甲、乙、丙三家工廠生產(chǎn)的同一品牌產(chǎn)品，已知三家工廠的市場占有率分別為1/4、1/4、1/2，且三家工廠的次品率分別為2％、1％、3％，試求市場上該品牌產(chǎn)品的次品率。B三、全概率公式與貝葉斯公式例(類似例16).市場上有甲、乙、80

定義

事件組A1，A2，…，An(n可為)，稱為樣本空間?的一個劃分，若滿足：A1A2……………An定義事件組A1，A2，…，An(n可為)，81定理1.2(全概率公式)

設(shè)A1，…,An是S的一個劃分，且P(Ai)>0，(i＝1，…，n)，則對任何事件BΩ有

稱為全概率公式。定理1.2(全概率公式)設(shè)A1，…,An是S的一個劃分82例

有甲乙兩個袋子，甲袋中有兩個白球，1個紅球，乙袋中有兩個紅球，一個白球．這六個球手感上不可區(qū)別．今從甲袋中任取一球放入乙袋，攪勻后再從乙袋中任取一球，問此球是紅球的概率？解：設(shè)A1——從甲袋放入乙袋的是白球；A2——從甲袋放入乙袋的是紅球；B——從乙袋中任取一球是紅球；甲乙例有甲乙兩個袋子，甲袋中有兩個白球，1個紅球，乙袋中有兩83定理

設(shè)A1，…,An是?的一個劃分，且P(Ai)>0，(i＝1，…，n)，則對任何事件BS，有

稱為貝葉斯公式。(后驗概率公式)思考：上例中，若已知取到一個紅球，則從甲袋放入乙袋的是白球的概率是多少？答:定理設(shè)A1，…,An是?的一個劃分，且P(Ai)>84例商店論箱出售玻璃杯，每箱20只，其中每箱含0，1，2只次品的概率分別為0.8,0.1,0.1，某顧客選中一箱，從中任選4只檢查，結(jié)果都是好的，便買下了這一箱.問這一箱含有一個次品的概率是多少？解:設(shè)A:從一箱中任取4只檢查,結(jié)果都是好的.B0,B1,B2分別表示事件每箱含0，1，2只次品已知:P(B0)=0.8,P(B1)=0.1,P(B2)=0.1由Bayes公式:例商店論箱出售玻璃杯，每箱20只，其中每箱含0，1，2只次85例(類似例18)數(shù)字通訊過程中，信源發(fā)射0、1兩種狀態(tài)信號，其中發(fā)0的概率為0.55，發(fā)1的概率為0.45。由于信道中存在干擾，在發(fā)0的時候，接收端分別以概率0.9、0.05和0.05接收為0、1和“不清”。在發(fā)1的時候，接收端分別以概率0.85、0.05和0.1接收為1、0和“不清”?，F(xiàn)接收端接收到一個“1”的信號。問發(fā)端發(fā)的是0的概率是多少?解：設(shè)A---發(fā)射端發(fā)射0，B---接收端接收到一個“1”的信號．)BA(P＝)A(P)AB(P)A(P)AB(P)A(P)AB(P+＝＝0.06701不清0(0.55)(0.9)(0.05)(0.05)1(0.45)10不清(0.85)(0.05)(0.1)例(類似例18)數(shù)字通訊過程中，信源發(fā)射0、1兩種狀態(tài)信號86條件概率條件概率小結(jié)縮減樣本空間定義式乘法公式全概率公式貝葉斯公式條件概率條件概率小結(jié)縮減樣本空間定義式乘法公式全概87作業(yè):p27,三,8,10,11,P28,三,9作業(yè):p27,三,8,10,11,881.4事件的獨立性

一、相互獨立事件定義設(shè)A、B是兩事件,若

P(AB)＝P(A)P(B)則稱事件A與B相互獨立。特別,若P(A∣B)=P(A),則事件A與B相互獨立參考定理1.4

1.4事件的獨立性

一、相互獨立事件定義設(shè)A、B是兩事89例19設(shè)某種型號的高射炮,每門命中飛機的概率為0.6.問(1)4門同時發(fā)射時能擊中飛機的概率;(2)若要達到99%的把握擊中飛杌,至少要多少門高射炮?例20(p21-22)略例19設(shè)某種型號的高射炮,每門命中飛機的概率為0.6.問90引例從一付52張的撲克牌中任意抽取一張，以A表示抽出一張A，以B表示抽出一張黑桃，問A與B是否獨立？定理1.5、以下四件事等價：(1)事件A、B相互獨立；(2)事件A、B相互獨立；(3)事件A、B相互獨立；(4)事件A、B相互獨立。引例從一付52張的撲克牌中任意抽取一張，以A表示抽出一張A91二、多個事件的獨立定義若三個事件A、B、C滿足：(1)P(AB)=P(A)P(B),P(AC)=P(A)P(C),P(BC)=P(B)P(C),則稱事件A、B、C兩兩相互獨立；若在此基礎(chǔ)上還滿足：P(ABC)＝P(A)P(B)P(C),

則稱事件A、B、C相互獨立。二、多個事件的獨立定義若三個事件A、B、C滿足：若在此基92一般地，設(shè)A1，A2，…，An是n個事件，如果對任意k(1kn),任意的1i1i2…

ik

n，具有等式P(Ai1Ai2…Aik)＝P(Ai1)P(Ai2)…P(Aik)

則稱n個事件A1，A2，…，An相互獨立。思考：1.設(shè)事件A、B、C、D相互獨立，則2.一顆骰子擲4次至少得一個六點與兩顆骰子擲24次至少得一個雙六，這兩件事，哪一個有更多的機會遇到？答:0.518,0.496一般地，設(shè)A1，A2，…，An是n個事件，如果對任意k(193三、事件獨立性的應(yīng)用1、加法公式的簡化：若事件A1，A2，…，An相互獨立,則

2、在可靠性理論上的應(yīng)用(例21的簡化)如圖，1、2、3、4、5表示繼電器觸點,假設(shè)每個觸點閉合的概率為p,且各繼電器接點閉合與否相互獨立，求L至R是通路的概率。三、事件獨立性的應(yīng)用1、加法公式的簡化：若事件A1，A2，…94設(shè)A---L至R為通路,Ai---第i個繼電器通,i=1,2,…5由全概率公式設(shè)A---L至R為通路,Ai---第i個繼電器通,i=1,295四獨立試驗概型n次獨立試驗:在相同條件下將某一試驗獨立地重復(fù)n次的隨機試驗.n重Bernoulli試驗:n次試驗滿足(1)每次試驗只有兩種結(jié)果A(“成功”)與?(“失敗”);(2)n次試驗可重復(fù)進行,即每次有P(A)=p;(3)每次試驗獨立進行.----稱這種試驗為n重Bernoulli概型四獨立試驗概型n次獨立試驗:在相同條件下將某一試驗獨立96B_k={n重Bernoulli試驗中A恰好發(fā)生k次}(0≤k≤n),則二項概率公式為?B_k={n重Bernoulli試驗中A恰好發(fā)生k次}97例22某車間有5臺車床,設(shè)各臺車床停車或開車相互獨立.若每臺車床在任一時刻處于停車的概率是1/3.求(1)任一指定時刻恰有兩臺處于停車狀態(tài)的概率;(2)至少有一臺處于停車狀態(tài)的概率.例23一大批某型號的電子管,已知其一級品率為0.3,現(xiàn)從中隨機地抽查20件,問其中有一級品的概率是多少?例22某車間有5臺車床,設(shè)各臺車床停車或開車相互獨立.若98《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》99教材：《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》（第二版）葉鷹李萍劉小荗等編華中科技大學(xué)出版社教材：100學(xué)習(xí)《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》的意義1、重要的專業(yè)基礎(chǔ)課：是各工科(農(nóng)、林、醫(yī)、生物工程、經(jīng)濟類)專業(yè),理科專業(yè),以及各種文理交叉學(xué)科等專業(yè)主干課的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)。2、考研的重要內(nèi)容：考研的數(shù)學(xué)試卷150分，其中概率論與數(shù)理統(tǒng)計內(nèi)容34分。占22.7%.3、今后工作的重要工具：工作中遇到的大量問題，要用概率論與數(shù)理統(tǒng)計的方法去處理。學(xué)習(xí)《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》的意義1、重要的專業(yè)基礎(chǔ)課：是101

一、歷史背景：

17、18世紀，數(shù)學(xué)獲得了巨大的進步。數(shù)學(xué)家們沖破了古希臘的演繹框架，向自然界和社會生活的多方面汲取靈感，數(shù)學(xué)領(lǐng)域出現(xiàn)了眾多嶄新的生長點，而后都發(fā)展成完整的數(shù)學(xué)分支。除了分析學(xué)這一大系統(tǒng)之外，概率論就是這一時期“使歐幾里得幾何相形見絀”的若干重大成就之一一、歷史背景：102二、概率論的起源：三四百年前在歐洲許多國家，貴族之間盛行賭博之風(fēng)。擲骰子是他們常用的一種賭博方式。

因骰子的形狀為小正方體，當它被擲到桌面上時，每個面向上的可能性是相等的，即出現(xiàn)1點至6點中任何一個點數(shù)的可能性是相等的。有的參賭者就想：如果同時擲兩顆骰子，則點數(shù)之和為9與點數(shù)之和為10，哪種情況出現(xiàn)的可能性較大？

17世紀中葉，法國有一位熱衷于擲骰子游戲的貴族德·梅耳，發(fā)現(xiàn)了這樣的事實：將一枚骰子連擲四次至少出現(xiàn)一個六點的機會比較多(0.5182)，而同時將兩枚骰子擲24次，至少出現(xiàn)一次雙六的機會卻很少(1-(35/36)24=0.48)。

這是什么原因呢？后人稱此為著名的德·梅耳問題。二、概率論的起源：103

又有人提出了“分賭注問題”：兩個人決定賭若干局，事先約定誰先贏得6局便算贏家。如果在一個人贏3局，另一人贏4局時因故終止賭博，應(yīng)如何分賭本？(0.25:0.75)

諸如此類的需要計算可能性大小的賭博問題提出了不少，但他們自己無法給出答案。

數(shù)學(xué)家們“參與”賭博

參賭者將他們遇到的上述問題請教當時法國數(shù)學(xué)家帕斯卡，帕斯卡接受了這些問題，他沒有立即回答，而把它交給另一位法國數(shù)學(xué)家費爾馬。他們頻頻通信，互相交流，圍繞著賭博中的數(shù)學(xué)問題開始了深入細致的研究。這些問題后來被來到巴黎的荷蘭科學(xué)家惠更斯獲悉，回荷蘭后，他獨立地進行研究。又有人提出了“分賭注問題”：104

帕斯卡和費爾馬一邊親自做賭博實驗，一邊仔細分析計算賭博中出現(xiàn)的各種問題，終于完整地解決了“分賭注問題”，并將此題的解法向更一般的情況推廣，從而建立了概率論的一個基本概念——數(shù)學(xué)期望，這是描述隨機變量取值的平均水平的一個量。而惠更斯經(jīng)過多年的潛心研究，解決了擲骰子中的一些數(shù)學(xué)問題。1657年，他將自己的研究成果寫成了專著《論擲骰子游戲中的計算》。這本書迄今為止被認為是概率論中最早的論著。因此可以說早期概率論的真正創(chuàng)立者是帕斯卡、費爾馬和惠更斯。這一時期被稱為組合概率時期，計算各種古典概率。帕斯卡和費爾馬一邊親自做賭博實驗105在他們之后，對概率論這一學(xué)科做出貢獻的是瑞士數(shù)學(xué)家族——貝努利家族的幾位成員。雅可布·貝努利在前人研究的基礎(chǔ)上，繼續(xù)分析賭博中的其他問題，給出了“賭徒輸光問題”的詳盡解法，并證明了被稱為“大數(shù)定律”的一個定理，這是研究等可能性事件的古典概率論中的極其重要的結(jié)果。大數(shù)定律證明的發(fā)現(xiàn)過程是極其困難的，他做了大量的實驗計算，首先猜想到這一事實，然后為了完善這一猜想的證明，雅可布花了20年的時光。雅可布將他的全部心血傾注到這一數(shù)學(xué)研究之中，從中他發(fā)展了不少新方法，取得了許多新成果，終于將此定理證實。

在他們之后，對概率論這一學(xué)科做出貢獻的是瑞士數(shù)106

1713年，雅可布的著作《猜度術(shù)》出版。遺憾的是在他的大作問世之時，雅可布已謝世8年之久。雅可布的侄子尼古·貝努利也真正地參與了“賭博”。他提出了著名的“圣彼得堡問題”：甲乙兩人賭博，甲擲一枚硬幣到擲出正面為一局。若甲擲一次出現(xiàn)正面，則乙付給甲一個盧布；若甲第一次擲得反面，第二次擲得正面，乙付給甲2個盧布；若甲前兩次擲得反面，第三次得到正面，乙付給甲4個盧布。一般地，若甲前n－1次擲得反面，第n次擲得正面，則乙需付給甲2n-1個盧布。問在賭博開始前甲應(yīng)付給乙多少盧布才有權(quán)參加賭博而不致虧損乙方？1713年，雅可布的著作《猜度術(shù)》出版。遺憾107

尼古拉同時代的許多數(shù)學(xué)家研究了這個問題，并給出了一些不同的解法。但其結(jié)果是很奇特的，所付的款數(shù)竟為無限大。即不管甲事先拿出多少錢給乙，只要賭博不斷地進行，乙肯定是要賠錢的。

走出賭博

隨著18、19世紀科學(xué)的發(fā)展，人們注意到某些生物、物理和社會現(xiàn)象與機會游戲相似，從而由機會游戲起源的概率論被應(yīng)用到這些領(lǐng)域中，同時也大大推動了概率論本身的發(fā)展。尼古拉同時代的許多數(shù)學(xué)家研究了這個問題，108

法國數(shù)學(xué)家拉普拉斯將古典概率論向近代概率論進行推進，他首先明確給出了概率的古典定義，并在概率論中引入了更有力的數(shù)學(xué)分析工具，將概率論推向一個新的發(fā)展階段。他還證明了“狄莫弗——拉普拉斯定理”，把狄莫弗的結(jié)論推廣到一般場合，還建立了觀測誤差理論和最小二乘法。拉普拉斯于1812年出版了他的著作《分析的概率理論》，這是一部繼往開來的作品。這時候人們最想知道的就是概率論是否會有更大的應(yīng)用價值？是否能有更大的發(fā)展成為嚴謹?shù)膶W(xué)科法國數(shù)學(xué)家拉普拉斯將古典概率論向近代概率論109

概率論在20世紀再度迅速地發(fā)展起來，則是由于科學(xué)技術(shù)發(fā)展的迫切需要而產(chǎn)生的。1906年，俄國數(shù)學(xué)家馬爾科夫提出了所謂“馬爾科夫鏈”的數(shù)學(xué)模型。1934年，前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家辛欽又提出一種在時間中均勻進行著的平穩(wěn)過程理論。

如何把概率論建立在嚴格的邏輯基礎(chǔ)上，這是從概率誕生時起人們就關(guān)注的問題，這些年來，好多數(shù)學(xué)家進行過嘗試，終因條件不成熟，一直拖了三百年才得以解決。概率論在20世紀再度迅速地發(fā)展起來，則是由110三、概率論理論基礎(chǔ)的建立：20世紀初完成的勒貝格測度與積分理論及隨后發(fā)展的抽象測度和積分理論，為概率公理體系的建立奠定了基礎(chǔ)。在這種背景下柯爾莫哥洛夫1933年在他的《概率論基礎(chǔ)》一書中首次給出了概率的測度論式定義和一套嚴密的公理體系。他的公理化方法成為現(xiàn)代概率論的基礎(chǔ)，使概率論成為嚴謹?shù)臄?shù)學(xué)分支。三、概率論理論基礎(chǔ)的建立：111四、概率論的應(yīng)用：

現(xiàn)在，概率論與以它作為基礎(chǔ)的數(shù)理統(tǒng)計學(xué)科一起，在自然科學(xué)，社會科學(xué)，工程技術(shù)，軍事科學(xué)及工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)等諸多領(lǐng)域中都起著不可或缺的作用。四、概率論的應(yīng)用：112

直觀地說，衛(wèi)星上天，導(dǎo)彈巡航，飛機制造，宇宙飛船遨游太空等都有概率論的一份功勞；及時準確的天氣預(yù)報，海洋探險，考古研究等更離不開概率論與數(shù)理統(tǒng)計；電子技術(shù)發(fā)展，影視文化的進步，人口普查及教育等同概率論與數(shù)理統(tǒng)計也是密不可分的。

根據(jù)概率論中用投針試驗估計π值的思想產(chǎn)生的蒙特卡羅方法，是一種建立在概率論與數(shù)理統(tǒng)計基礎(chǔ)上的計算方法。借助于電子計算機這一工具，使這種方法在核物理、表面物理、電子學(xué)、生物學(xué)、高分子化學(xué)等學(xué)科的研究中起著重要的作用。直觀地說，衛(wèi)星上天，導(dǎo)彈巡航，飛機制造，1132．概率論的公理化

俄國數(shù)學(xué)家伯恩斯坦和奧地利數(shù)學(xué)家馮.米西斯(R.vonMises,1883-1953)對概率論的嚴格化做了最早的嘗試。但它們提出的公理理論并不完善。事實上，真正嚴格的公理化概率論只有在測度論和實變函數(shù)理論的基礎(chǔ)才可能建立。測度論的奠基人，法國數(shù)學(xué)家博雷爾(E.Borel,1781-1956)首先將測度論方法引入概率論重要問題的研究，并且他的工作激起了數(shù)學(xué)家們沿這一嶄新方向的一系列搜索。特別是原蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家科爾莫戈羅夫(Kolmogorov)的工作最為卓著。他在1926年推出了弱大數(shù)定律成立的充分必要條件。后又對博雷爾提出的強大數(shù)定律問題給出了最一般的結(jié)果，從而解決了概率論的中心課題之一——大數(shù)定律，成為以測度論為基礎(chǔ)的概率論公理化的前奏。2．概率論的公理化

1141933年，科爾莫戈羅夫出版了他的著作《概率論基礎(chǔ)》，這是概率論的一部經(jīng)典性著作。其中，科爾莫戈羅夫給出了公理化概率論的一系列基本概念，提出了六條公理，整個概率論大廈可以從這六條公理出發(fā)建筑起來。科爾莫戈羅夫的公理體系逐漸得到數(shù)學(xué)家們的普遍認可。由于公理化，概率論成為一門嚴格的演繹科學(xué)，并通過集合論與其它數(shù)學(xué)的分支密切聯(lián)系著?？茽柲炅_夫是20世紀最杰出的數(shù)學(xué)家之一，他不僅僅是公理化概率論的建立者，在數(shù)學(xué)和力學(xué)的眾多領(lǐng)域他都做出了開創(chuàng)或奠基性的貢獻，同時，他還是出色的教育家。由于概率論等其它許多領(lǐng)域的杰出貢獻，科爾莫戈羅夫榮獲80年的沃爾夫獎。1933年，科爾莫戈羅夫出版了他的著作《概率論基礎(chǔ)》，這是概1153．進一步的發(fā)展

在公理化基礎(chǔ)上，現(xiàn)代概率論取得了一系列理論突破。公理化概率論首先使隨機過程的研究獲得了新的起點。1931年，科爾莫戈羅夫用分析的方法奠定了一類普通的隨機過程——馬爾可夫過程的理論基礎(chǔ)?？茽柲炅_夫之后，對隨機過程的研究做出重大貢獻而影響著整個現(xiàn)代概率論的重要代表人物有萊維(P.Levy,1886-1971)、辛欽、杜布(J.L.Doob)和伊藤清(Ito)等。1948年萊維出版的著作《隨機過程與布朗運動》提出了獨立增量過程的一般理論，并以此為基礎(chǔ)極大地推進了作為一類特殊馬爾可夫過程的布朗運動的研究。3．進一步的發(fā)展1161934年，辛欽提出平穩(wěn)過程的相關(guān)理論。1939年，維爾(J.Ville)引進“鞅”的概念，1950年起，杜布對鞅概念進行了系統(tǒng)的研究而使鞅論成為一門獨立的分支。從1942年開始，日本數(shù)學(xué)家伊藤清引進了隨機積分與隨機微分方程，不僅開辟了隨機過程研究的新道路，而且為隨機分析這門數(shù)學(xué)新分支的創(chuàng)立和發(fā)展奠定了基礎(chǔ)。像任何一門公理化的數(shù)學(xué)分支一樣，公理化的概率論的應(yīng)用范圍被大大拓廣。1934年，辛欽提出平穩(wěn)過程的相關(guān)理論。1939年，維爾(J1174.概率論的內(nèi)容概率論作為一門數(shù)學(xué)分支，它所研究的內(nèi)容一般包括隨機事件的概率、統(tǒng)計獨立性和更深層次上的規(guī)律性。概率是隨機事件發(fā)生的可能性的數(shù)量指標。在獨立隨機事件中，如果某一事件在全部事件中出現(xiàn)的頻率，在更大的范圍內(nèi)比較明顯的穩(wěn)定在某一固定常數(shù)附近。就可以認為這個事件發(fā)生的概率為這個常數(shù)。對于任何事件的概率值一定介于0和1之間。4.概率論的內(nèi)容118有一類隨機事件，它具有兩個特點：第一，只有有限個可能的結(jié)果；第二，各個結(jié)果發(fā)生的可能性相同。具有這兩個特點的隨機現(xiàn)象叫做“古典概型”。在客觀世界中，存在大量的隨機現(xiàn)象，隨機現(xiàn)象產(chǎn)生的結(jié)果構(gòu)成了隨機事件。如果用變量來描述隨機現(xiàn)象的各個結(jié)果，就叫做隨機變量。有一類隨機事件，它具有兩個特點：第一，只有有限個可能的結(jié)果；119隨機變量有有限和無限的區(qū)分，一般又根據(jù)變量的取值情況分成離散型隨機變量和非離散型隨機變量。一切可能的取值能夠按一定次序一一列舉，這樣的隨機變量叫做離散型隨機變量；如果可能的取值充滿了一個區(qū)間，無法按次序一一列舉，這種隨機變量就叫做非離散型隨機變量.隨機變量的平均值也叫數(shù)學(xué)期望，差異度也就是標準方差隨機變量有有限和無限的區(qū)分，一般又根據(jù)變量的取值情況分成離散120?第一部分概率論概率論是研究什么的？隨機現(xiàn)象：不確定性與統(tǒng)計規(guī)律性概率論——研究和揭示隨機現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律性的科學(xué)

?第一部分概率論隨機現(xiàn)象：不確定性與統(tǒng)計規(guī)律性概率論——研究121概率的概念起源于中世紀以來的歐洲流行的用骰子賭博，當時有一個“分賭本問題”曾引起熱烈的討論，并經(jīng)歷了長達一百多年才得到正確的解決。在這過程中孕育了概率論一些重要的基本概念，舉該問題的一個簡單情況：甲、乙二人賭博，各出賭注30元，共60元，每局甲、乙勝的機會均等，都是1/2。約定：誰先勝滿3局則他贏得全部賭注60元，現(xiàn)已賭完3局，甲2勝1負，而因故中斷賭博，問這60元賭注該如何分給2人，才算公平，初看覺得應(yīng)按2：1分配，即甲得40元，乙得20元，還有人提出了一些另外的解法，結(jié)果都不正確.正確的分法應(yīng)考慮到如在這基礎(chǔ)上繼續(xù)賭下去，甲、乙最終獲勝的機會如何，至多再賭2局即可分出勝負，這2局有4種可能結(jié)果：甲甲、甲乙、乙甲、乙乙。前3種情況都是甲最后取勝，只有最后一種情況才是乙取勝，二者之比為3：1，故賭注的公平分配應(yīng)按3：1的比例，即甲得45元，乙15元。概率的概念起源于中世紀以來的歐洲流行的用骰子賭博，當時有一個122第一章隨機事件及概率隨機試驗隨機事件及其運算概率的定義及其運算條件概率事件的獨立性

第一章隨機事件及概率隨機試驗1231.1隨機事件及運算一.幾個概念1.隨機試驗及統(tǒng)計規(guī)律舉例自然界現(xiàn)象分為兩類:必然現(xiàn)象隨機現(xiàn)象隨機現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律性:通過大量次重復(fù)觀測,隨機現(xiàn)象的各種可能結(jié)果所呈現(xiàn)的某種規(guī)律性1.1隨機事件及運算一.幾個概念124概率，又稱幾率，或然率，指一種不確定的情況出現(xiàn)可能性的大小，例如，投擲一個硬幣，“出現(xiàn)國徽”（國徽一面朝上）是一個不確定的情況。因為投擲前，我們無法確定所指情況（“出現(xiàn)國徽”）發(fā)生與否，若硬幣是均勻的且投擲有充分的高度，則兩面的出現(xiàn)機會均等，我們說“出現(xiàn)國徽”的概率是1/2；投擲一個均勻骰子，“出現(xiàn)4點”的概率是1/6，除了這些以及類似的簡單情況外，概率的計算不容易，往往需要一些理論上的假定，在現(xiàn)實生活中則往往用經(jīng)驗的方法確定概率，例如某地區(qū)有N人，查得其中患某種疾病者有M人，則稱該地區(qū)的人患該種疾病的概率為M/N，這事實上是使用統(tǒng)計方法對發(fā)病概率的一個估計。概率，又稱幾率，或然率，指一種不確定的情況出現(xiàn)可能性的大小，125隨機試驗的特點：1.可在相同條件下重復(fù)進行；2.試驗可能結(jié)果不止一個,但能確定所有的可能結(jié)果；3.一次試驗之前無法確定具體是哪種結(jié)果出現(xiàn)。隨機試驗可表為E

2.隨機試驗2.隨機試驗126E1:拋一枚硬幣，分別用“H”和“T”表示出正面和反面;E2:將一枚硬幣連拋三次，考慮正反面出現(xiàn)的情況；E3:將一枚硬幣連拋三次，考慮正面出現(xiàn)的次數(shù);E4:擲一顆骰子，考慮可能出現(xiàn)的點數(shù)；E5:記錄某網(wǎng)站一分鐘內(nèi)受到的點擊次數(shù)；E6:在一批燈泡中任取一只，測其壽命;E7:任選一人，記錄他的身高和體重;E8:向某目標發(fā)炮,觀察炮彈著點位置隨機試驗的例子E1:拋一枚硬幣，分別用“H”和“T”表示出正面和反面1273.隨機事件隨機事件:可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件,用A,B,C等表示.針對隨機試驗舉例如下:基本事件:不能再分解的亊件必然事件:在一定條件下必然要發(fā)生.用?表示不可能事件:在一定條件下必然不發(fā)生.用Φ表示3.隨機事件隨機事件:可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件,用A,B128

例如

對于試驗E2

，以下A、B、C即為三個隨機事件:A＝“至少出一個正面”＝{HHH,HHT,HTH,THH，HTT，THT，TTH}；B=“兩次出現(xiàn)同一面”={HHH,TTT}C=“恰好出現(xiàn)一次正面”={HTT，THT，TTH}再如，試驗E6中D＝“燈泡壽命超過1000小時”＝{x:1000<x<T(小時）}。例如對于試驗E2，以下A、B、C即為三個129可見，可以用文字表示事件，也可以將事件表示為樣本空間的子集，后者反映了事件的實質(zhì)，且更便于今后計算概率.還應(yīng)注意，同一樣本空間中，不同的事件之間有一定的關(guān)系，如試驗E2

，當試驗的結(jié)果是HHH時，可以說事件A和B同時發(fā)生了；但事件B和C在任何情況下均不可能同時發(fā)生。易見，事件之間的關(guān)系是由他們所包含的樣本點所決定的，這種關(guān)系可以用集合之間的關(guān)系來描述?？梢姡梢杂梦淖直硎臼录?，也可以將事件表示為樣本空間的子集，1304.樣本空間

實驗E的所有可能結(jié)果所組成的集合稱為樣本空間，記為Ω={ω}；試驗的每一個結(jié)果或樣本空間的元素稱為一個樣本點,記為ω.由一個樣本點組成的單點集稱為一個基本事件,記為{ω}.

例：給出E1-E8的樣本空間4.樣本空間

實驗E的所有可能結(jié)果所組成的集合稱為樣本空間，131

1.包含關(guān)系

“A發(fā)生必導(dǎo)致B發(fā)生”記為ABA＝BAB且BA.二.

事件之間的關(guān)系1.包含關(guān)系“A發(fā)生必導(dǎo)致B發(fā)生”記為A1322.和事件：“事件A與B至少有一個發(fā)生”，記作ABn個事件A1,A2,…,An至少有一個發(fā)生，記作2.和事件：“事件A與B至少有一個發(fā)生”，n個事件A1,A1333.積事件:A與B同時發(fā)生，記作AB＝ABn個事件A1,A2,…,An同時發(fā)生，記作A1A2…An3.積事件:A與B同時發(fā)生，記作AB＝ABn個事件A11344.差事件：A－B稱為A與B的差事件,表示事件A發(fā)生而B不發(fā)生.思考：何時A-B=?何時A-B=A？4.差事件：A－B稱為A與B的差事件,表示事件A發(fā)生而B不1355.互不相容(互斥)的事件：AB＝5.互不相容(互斥)的事件：AB＝1366.互逆的事件

AB＝,且AB＝

6.互逆的事件AB＝,且AB＝137三

事件的運算律1、交換律：AB＝BA，AB＝BA2、結(jié)合律：(AB)C＝A(BC)，(AB)C＝A(BC)3、分配律：(AB)C＝(AC)(BC)，(AB)C＝(AC)(BC)4、對偶(DeMorgan)律：三事件的運算律1、交換律：AB＝BA，AB＝BA138例：甲、乙、丙三人各向目標射擊一發(fā)子彈，以A、B、C分別表示甲、乙、丙命中目標，試用A、B、C的運算關(guān)系表示下列事件：例：甲、乙、丙三人各向目標射擊一發(fā)子彈，以A、B、C分別表示139

1.2概率的定義及其運算

從直觀上來看，事件A的概率是指事件A發(fā)生的可能性?P（A）應(yīng)具有何種性質(zhì)？?拋一枚硬幣，幣值面向上的概率為多少？擲一顆骰子，出現(xiàn)6點的概率為多少？出現(xiàn)單數(shù)點的概率為多少？向目標射擊，命中目標的概率有多大？

1.2概率的定義及其運算

從直觀上來看，事件A的140若某實驗E滿足1.有限性：樣本空間Ω＝{ω1,ω2,…,ωn};2.等可能性：P({ω1})=P({ω2})

=…=P(({ωn})

則稱E為古典概型也叫等可能概型。一古典概型與概率若某實驗E滿足一古典概型與概率141

設(shè)事件A中所含樣本點個數(shù)為N(A)，以N(Ω)記樣本空間Ω中樣本點總數(shù)，則有P(A)具有如下性質(zhì)：(1)0

P(A)1；(2)P()＝1；P()=0(3)AB＝，則

P(AB

)＝P(A)＋P(B)古典概型中的概率:設(shè)事件A中所含樣本點個數(shù)為N(A)，以N(Ω142例1:有三個子女的家庭,設(shè)每個孩子是男是女的概率相等,則至少有一個男孩的概率是多少?解:設(shè)A--至少有一個男孩,以H表示某個孩子是男孩N(S)={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT,TTT}N(A)={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT}例1:有三個子女的家庭,設(shè)每個孩子是男是女的概率