2026屆大灣區(qū)普通高中畢業(yè)年級(jí)聯(lián)合模擬考試（一）數(shù)學(xué)本試卷共4頁(yè)，19小題，滿分150分．考試用時(shí)120分鐘．注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的學(xué)校、班級(jí)、姓名、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)和準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上，將條形碼橫貼在答題卡“條形碼粘貼處”．2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆在答題卡上將對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．答案不能答在試卷上．3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液．不按以上要求作答無(wú)效．4．考生必須保證答題卡的整潔．考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的．請(qǐng)把正確的選項(xiàng)填涂在答題卡相應(yīng)的位置上．1.已知集合，，則（）A. B. C. D.2.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位）對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限C第三象限 D.第四象限3.設(shè)，是兩個(gè)非零向量，則“”是“”成立的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件4.已知橢圓C：的離心率為，則（）A.2 B.3 C.4 D.55.函數(shù)與圖象（）A.關(guān)于y軸對(duì)稱 B.關(guān)于直線對(duì)稱C.關(guān)于直線對(duì)稱 D.關(guān)于直線對(duì)稱6.已知，，，則（）A. B. C. D.7.點(diǎn)M在圓上，點(diǎn)F是拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（）A.5 B.4 C.3 D.28.質(zhì)點(diǎn)和在以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心，半徑為1的圓周上同時(shí)出發(fā)逆時(shí)針作勻速圓周運(yùn)動(dòng)．的起點(diǎn)坐標(biāo)為，角速度為；的起點(diǎn)坐標(biāo)為，角速度為．則質(zhì)點(diǎn)Q與P相遇點(diǎn)對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)可能為（）A. B.C. D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（）A.是奇函數(shù) B.是偶函數(shù)C. D.10.已知甲、乙兩組樣本各有1000個(gè)數(shù)據(jù)，甲、乙兩組數(shù)據(jù)合并后得到一組新數(shù)據(jù)，則（）A.若甲、乙兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)都為a，則新數(shù)據(jù)的平均數(shù)等于aB.若甲、乙兩組數(shù)據(jù)的極差都為b，則新數(shù)據(jù)的極差可能大于bC.若甲、乙兩組數(shù)據(jù)的方差都為c，則新數(shù)據(jù)的方差可能小于cD.若甲、乙兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)都為d，則新數(shù)據(jù)的中位數(shù)等于d11.在長(zhǎng)方體中，，點(diǎn)為中點(diǎn)，點(diǎn)為平面內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（含邊界），則（）A.平面 B.四棱錐的外接球的表面積為C.平面平面 D.若，則點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡長(zhǎng)度為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知數(shù)列是等差數(shù)列，，是方程的兩實(shí)數(shù)根，則數(shù)列的前20項(xiàng)和為_(kāi)_______．13.已知的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，，則的角平分線所在的直線方程為_(kāi)_______．14.甲、乙、丙三人相互做傳球訓(xùn)練，每次傳球時(shí)，傳球者都等可能地將球傳給另外兩個(gè)人中的任何一人．若第一次由甲傳出，共傳5次結(jié)束，記表示5次傳球過(guò)程中，甲接到球的總次數(shù)，則X的數(shù)學(xué)期望________．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15.在中，角的對(duì)邊分別為，且，．（1）若，求的面積；（2）若，求a．16.投壺游戲起源于中國(guó)古代六藝中的“射”藝，是射禮的演變和延續(xù)．甲、乙兩位同學(xué)為了參加投壺游戲比賽，進(jìn)行了大量的投壺訓(xùn)練．從這些訓(xùn)練數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取甲乙各100次投壺?cái)?shù)據(jù)，其中甲投中目標(biāo)的次數(shù)為80次，乙投中目標(biāo)的次數(shù)為85次．假設(shè)每次投壺相互獨(dú)立，用頻率估計(jì)概率．（1）若現(xiàn)在讓甲投壺4次，求甲投中目標(biāo)的次數(shù)X的分布列及期望；（2）通過(guò)分析甲、乙的訓(xùn)練數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)：若甲發(fā)揮正常，投中目標(biāo)的概率為0.9，發(fā)揮不正常，投中目標(biāo)的概率為0.5；若乙發(fā)揮正常，投中目標(biāo)的概率為0.95，發(fā)揮不正常，投中目標(biāo)的概率為0.6．設(shè)甲、乙發(fā)揮正常的概率分別為p，q，計(jì)算并比較p與q的大?。?7.已知函數(shù)．（1）討論單調(diào)性；（2）若方程在上有兩個(gè)不等實(shí)根和，①求m的取值范圍；②證明：．18.如圖，已知三棱臺(tái)，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是棱上靠近點(diǎn)的四等分點(diǎn)，，平面．（1）求證：；（2）求二面角的正弦值；（3）平面將三棱臺(tái)分成兩部分，求體積較大部分與該棱臺(tái)的體積之比．19.已知雙曲線E：．（1）若直線l與雙曲線E的左支及兩條漸近線的交點(diǎn)從上到下依次為A，B，C，D，證明：；（2）記集合．（i）寫出，，的坐標(biāo)，猜想數(shù)列，的通項(xiàng)公式（說(shuō)明猜想過(guò)程，不用證明），并寫出和的遞推關(guān)系式；（ii）試判斷的面積是否為定值？若是，求出該定值；若不是，說(shuō)明理由．

2026屆大灣區(qū)普通高中畢業(yè)年級(jí)聯(lián)合模擬考試（一）數(shù)學(xué)本試卷共4頁(yè)，19小題，滿分150分．考試用時(shí)120分鐘．注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的學(xué)校、班級(jí)、姓名、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)和準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上，將條形碼橫貼在答題卡“條形碼粘貼處”．2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆在答題卡上將對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．答案不能答在試卷上．3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液．不按以上要求作答無(wú)效．4．考生必須保證答題卡的整潔．考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的．請(qǐng)把正確的選項(xiàng)填涂在答題卡相應(yīng)的位置上．1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】解不等式，求得集合，根據(jù)交集的定義求得.【詳解】集合或.因?yàn)?，所?故選：D.2.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位）對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【答案】B【解析】【分析】先化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)為代數(shù)形式，再判斷對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在的象限即可.【詳解】依題意，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為在第二象限.故選：B．3.設(shè)，是兩個(gè)非零向量，則“”是“”成立的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】根據(jù)向量數(shù)量積的意義，向量的夾角公式以及充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可．【詳解】由，又，所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，成立．充分性：由，得或，則不一定成立，所以充分性不成立；必要性：由，得，則，所以必要性成立．所以“”是“”成立的必要不充分條件．故選：B．4.已知橢圓C：的離心率為，則（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】A【解析】【分析】先確定的取值范圍，再根據(jù)橢圓離心率的概念列式求的值.【詳解】因?yàn)楸硎緳E圓，所以且，所以，所以，所以橢圓的焦點(diǎn)在軸上.由.故選：A5.函數(shù)與的圖象（）A.關(guān)于y軸對(duì)稱 B.關(guān)于直線對(duì)稱C.關(guān)于直線對(duì)稱 D.關(guān)于直線對(duì)稱【答案】B【解析】【分析】設(shè)點(diǎn)在的圖象上，可求出點(diǎn)在函數(shù)圖象上，分析兩點(diǎn)的位置關(guān)系即可求解．【詳解】設(shè)點(diǎn)在的圖象上，則，又，說(shuō)明點(diǎn)在的圖象上，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱，所以函數(shù)與的圖象關(guān)于直線對(duì)稱．故選：B．6.已知，，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)、三角函數(shù)定義，求出對(duì)應(yīng)a、b、c相應(yīng)的范圍，再據(jù)此相互比較即可．【詳解】根據(jù)對(duì)數(shù)定義，，因?yàn)?，所以，又，在第二象限，所以，即，，而，所以，，所以，因此．故選：C．7.點(diǎn)M在圓上，點(diǎn)F是拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（）A.5 B.4 C.3 D.2【答案】C【解析】【分析】過(guò)及圓心分別作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，與圓交于點(diǎn)，先根據(jù)拋物線的定義將的最小值轉(zhuǎn)化為，而的最小值為圓心到準(zhǔn)線的距離減半徑，進(jìn)而求解.【詳解】因?yàn)閽佄锞€的方程為，所以焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，準(zhǔn)線的方程為.圓的圓心為，半徑為，過(guò)及圓心分別作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，與圓交于點(diǎn)，如圖，由拋物線的定義知，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線（在之間）時(shí)，等號(hào)成立.而圓上的點(diǎn)與準(zhǔn)線上的點(diǎn)的距離的最小值為，即圓心到準(zhǔn)線的距離減半徑，所以，所以的最小值為.故選：C.8.質(zhì)點(diǎn)和在以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心，半徑為1的圓周上同時(shí)出發(fā)逆時(shí)針作勻速圓周運(yùn)動(dòng)．的起點(diǎn)坐標(biāo)為，角速度為；的起點(diǎn)坐標(biāo)為，角速度為．則質(zhì)點(diǎn)Q與P相遇點(diǎn)對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)可能為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】設(shè)質(zhì)點(diǎn)與相遇時(shí)用時(shí)，根據(jù)題意可得，求出，代入可得到質(zhì)點(diǎn)落在的終邊上，根據(jù)三角函數(shù)的定義即可求解.【詳解】由題意得，點(diǎn)在的終邊上，點(diǎn)在的終邊上，設(shè)質(zhì)點(diǎn)與相遇時(shí)用時(shí)，由題意得，解得，此時(shí)質(zhì)點(diǎn)落在的終邊上，所以點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，所以質(zhì)點(diǎn)Q坐標(biāo)為.故選：D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（）A.是奇函數(shù) B.是偶函數(shù)C. D.【答案】AB【解析】【分析】根據(jù)圖象求得函數(shù)的解析式，可判斷C，結(jié)合三角函數(shù)的奇偶性判定A，B，再根據(jù)周期結(jié)合余弦函數(shù)的單調(diào)性判斷D.【詳解】由題意，可得，所以，由，可得圖象過(guò)點(diǎn)，可得，解得，又，令，可得，所以，故C錯(cuò)，由，為奇函數(shù)，所以A正確；由，是偶函數(shù)，所以B正確；由，周期為2，，，因?yàn)楹瘮?shù)單調(diào)遞增，所以，所以，所以D不正確；故選：AB.10.已知甲、乙兩組樣本各有1000個(gè)數(shù)據(jù)，甲、乙兩組數(shù)據(jù)合并后得到一組新數(shù)據(jù)，則（）A.若甲、乙兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)都為a，則新數(shù)據(jù)的平均數(shù)等于aB.若甲、乙兩組數(shù)據(jù)的極差都為b，則新數(shù)據(jù)的極差可能大于bC.若甲、乙兩組數(shù)據(jù)的方差都為c，則新數(shù)據(jù)的方差可能小于cD.若甲、乙兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)都為d，則新數(shù)據(jù)的中位數(shù)等于d【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)平均數(shù)，極差，方差和中位數(shù)的定義和公式，逐個(gè)判斷即可得.【詳解】設(shè)甲：，乙：，新數(shù)據(jù)為：，A：因?yàn)?，正確；B：設(shè)甲：，乙：，兩組數(shù)據(jù)極差均為，混合后數(shù)據(jù)的極差為，正確；C：因?yàn)椋?，，，所以新?shù)據(jù)的方差為，因?yàn)椋葱聰?shù)據(jù)方差，當(dāng)且僅當(dāng)兩組樣本均值相等時(shí)取等號(hào)，錯(cuò)誤．D：不妨設(shè)，，由它們的中位數(shù)相等，則，將混合后數(shù)據(jù)按從小到大排列，若，則，所以第1000，1001個(gè)數(shù)為和；此時(shí)新數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，若，則，所以第1000，1001個(gè)數(shù)為和，此時(shí)新數(shù)據(jù)的中位數(shù)為兩種情形下，新數(shù)據(jù)的中位數(shù)都等于，正確；故選：ABD.11.在長(zhǎng)方體中，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為平面內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（含邊界），則（）A.平面 B.四棱錐的外接球的表面積為C.平面平面 D.若，則點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡長(zhǎng)度為【答案】BCD【解析】【分析】由題意以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線為軸，寫出相應(yīng)的點(diǎn)坐標(biāo)，利用向量法求出平面的法向量，利用向量法判斷即可得出選項(xiàng)A，根據(jù)已知條件分析得出四棱錐的外接球球心位置，畫出圖形分析，建立方程解出球體的半徑，再利用球體表面積公式求解即可得出選項(xiàng)B，利用坐標(biāo)系求出平面與平面的法向量，利用法向量數(shù)量積結(jié)果來(lái)判斷選項(xiàng)C，設(shè)，，根據(jù)得出的軌跡，然后根據(jù)軌跡分析得出選項(xiàng)D.【詳解】在長(zhǎng)方體中，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系：由，則，可得，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由，令，則，所以，因?yàn)?，所以與平面不平行，故A選項(xiàng)不正確；在長(zhǎng)方體中，連接，如圖所示：在長(zhǎng)方體中，點(diǎn)為的中點(diǎn)，且，所以，且四邊形為矩形，所以點(diǎn)的投影為矩形的中心，即平面，則四棱錐的外接球的球心在上，①設(shè)四棱錐的外接球的球心在的延長(zhǎng)線上且為，球的半徑為，如圖所示，在長(zhǎng)方體中,，所以，所以在直角三角形中，，則有，在直角三角形中，，即，解得：，此時(shí)四棱錐外接球的表面積為：，②設(shè)四棱錐的外接球的球心在上且為，球的半徑為，如圖所示，在長(zhǎng)方體中,，所以，所以在直角三角形中，，則有，在直角三角形中，，即，解得：，因，不滿足題意，故四棱錐外接球的表面積為，故B選項(xiàng)正確；由A中，，則，設(shè)平面的法向量為，由，令，則，所以，設(shè)平面的法向量為，由，令，則，所以，因?yàn)?，所以平面平面，故選項(xiàng)C正確，設(shè)，，則，，因?yàn)?，即，因?yàn)辄c(diǎn)為平面內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（含邊界），所以點(diǎn)的軌跡為一條線段，令，令，所以線段的端點(diǎn)為和，所以點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡長(zhǎng)度為，故D選項(xiàng)正確；故選：BCD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知數(shù)列是等差數(shù)列，，是方程的兩實(shí)數(shù)根，則數(shù)列的前20項(xiàng)和為_(kāi)_______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，結(jié)合等差數(shù)列的求和公式求值即可.【詳解】因?yàn)椋欠匠痰膬蓪?shí)數(shù)根，所以.又?jǐn)?shù)列是等差數(shù)列，所以，所以數(shù)列的前20項(xiàng)和為.故答案為：13.已知的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，，則的角平分線所在的直線方程為_(kāi)_______．【答案】【解析】【分析】設(shè)的角平分線的方向向量為，根據(jù)，進(jìn)而得到角平分線的斜率，然后利用點(diǎn)斜式得到所求直線的方程.【詳解】根據(jù)題意可知，，所以可知，可知角平分線的斜率為，則可知的角平分線所在的直線方程為,化簡(jiǎn)可知.故答案為：14.甲、乙、丙三人相互做傳球訓(xùn)練，每次傳球時(shí)，傳球者都等可能地將球傳給另外兩個(gè)人中的任何一人．若第一次由甲傳出，共傳5次結(jié)束，記表示5次傳球過(guò)程中，甲接到球的總次數(shù)，則X的數(shù)學(xué)期望________．【答案】##【解析】【分析】記第次傳球后球在甲手中的概率為，則不在甲手中的概率為，所以第次傳球后球在甲手中，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)诖蝹髑蚝笄虿辉诩资种?，且傳球者將球傳給甲，所以，根據(jù)題意可求出，因?yàn)槊恳淮蝹髑蚝笄蛟诩资种械拇螖?shù)都服從兩點(diǎn)分布，根據(jù)期望的線性性質(zhì)可求得.【詳解】記第次傳球后球在甲手中的概率為，則不在甲手中的概率為，所以第次傳球后球在甲手中，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)诖蝹髑蚝笄虿辉诩资种?，且傳球者將球傳給甲，所以，根據(jù)題意第一次由甲傳出，所以第一次傳球后球肯定不在甲手中，所以，又共傳5次結(jié)束，所以.記為示性變量，當(dāng)?shù)诖蝹髑蚝笄蛟诩资种袝r(shí)，否則，即每次傳球后球在甲手中的次數(shù)服從兩點(diǎn)分布，所以，所以.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15.在中，角的對(duì)邊分別為，且，．（1）若，求的面積；（2）若，求a．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用余弦定理求得，進(jìn)而得，最后由即可求解；（2）由得，進(jìn)而得，即為直角三角形，利用勾股定理即可求解.【小問(wèn)1詳解】由題意得：，所以，由余弦定理得，所以，所以；【小問(wèn)2詳解】因?yàn)?，所以，所以，即，所以為直角三角形，所以，又，所以，即，解得或，所?16.投壺游戲起源于中國(guó)古代六藝中的“射”藝，是射禮的演變和延續(xù)．甲、乙兩位同學(xué)為了參加投壺游戲比賽，進(jìn)行了大量的投壺訓(xùn)練．從這些訓(xùn)練數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取甲乙各100次投壺?cái)?shù)據(jù)，其中甲投中目標(biāo)的次數(shù)為80次，乙投中目標(biāo)的次數(shù)為85次．假設(shè)每次投壺相互獨(dú)立，用頻率估計(jì)概率．（1）若現(xiàn)在讓甲投壺4次，求甲投中目標(biāo)的次數(shù)X的分布列及期望；（2）通過(guò)分析甲、乙訓(xùn)練數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)：若甲發(fā)揮正常，投中目標(biāo)的概率為0.9，發(fā)揮不正常，投中目標(biāo)的概率為0.5；若乙發(fā)揮正常，投中目標(biāo)的概率為0.95，發(fā)揮不正常，投中目標(biāo)的概率為0.6．設(shè)甲、乙發(fā)揮正常的概率分別為p，q，計(jì)算并比較p與q的大?。敬鸢浮浚?）分布列見(jiàn)解析，.（2）【解析】【分析】（1）用頻率估計(jì)出甲每次投壺投中的概率，易知甲投中目標(biāo)的次數(shù)X服從二項(xiàng)分布，由此求得分布列及期望；（2）由條件概率公式及全概率公式計(jì)算出的值，即可比較其大小.【小問(wèn)1詳解】用頻率估計(jì)概率可得甲每次投中目標(biāo)的概率是，若現(xiàn)在讓甲投壺4次，甲投中目標(biāo)的次數(shù)X的取值為，，，，，.所以甲投中目標(biāo)的次數(shù)X的分布列是01234因?yàn)椋约淄吨心繕?biāo)的次數(shù)X的期望是.【小問(wèn)2詳解】記甲發(fā)揮正常為事件A，甲投中目標(biāo)為事件B，由題意得，所以，即，解得.記乙發(fā)揮正常為事件C，乙投中目標(biāo)為事件D，由題意得，所以，即，解得.，所以.17.已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）若方程在上有兩個(gè)不等實(shí)根和，①求m的取值范圍；②證明：．【答案】（1）答案見(jiàn)解析（2）①；②證明見(jiàn)解析.【解析】【分析】（1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，分和兩種情況討論函數(shù)單調(diào)性即可；（2）①分離參數(shù)得到，令，得到函數(shù)在上的最小值，進(jìn)而求出m的取值范圍；②法一：依題意設(shè)，從而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得的最小值即可得證；法二：根據(jù)極值點(diǎn)偏移法構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)得其單調(diào)性，從而有，即可證明；法三：首先證明對(duì)數(shù)均值不等式，從而得到，最后即可證明.【小問(wèn)1詳解】對(duì)求導(dǎo)得，當(dāng)時(shí)，恒成立，所以在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，令，解得，令，解得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；【小問(wèn)2詳解】①令，則，所以，令，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，因?yàn)榉匠淘谏嫌袃蓚€(gè)不等實(shí)根和，所以，故m的取值范圍為；②法一：方程在上有兩個(gè)不等實(shí)根和，不妨設(shè)，則，所以，所以，令，則，所以，即，所以，即，所以，，要證，即證，需證，即證，令，則，令，則在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以在上恒成立，所以，所以.法二：由①得，不妨設(shè)，構(gòu)造函數(shù)，即，則，設(shè)，則在上恒成立，所以函數(shù)在在上單調(diào)遞減，，即在上恒成立，所以在上恒成立，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，故，即，因?yàn)?，所以，即，又在上單調(diào)遞增，所以，故.法三：先證明不等式（且），證明如下：假設(shè)，原不等式等價(jià)于，即，令，可得，可構(gòu)造函數(shù)，由，所以在上單調(diào)遞增，又，即，得，所以不等式且成立.由①得，，將方程兩邊取對(duì)數(shù)得方程，所以方程有兩個(gè)根所以，，作差得，即，.18.如圖，已知三棱臺(tái)，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是棱上靠近點(diǎn)的四等分點(diǎn)，，平面．（1）求證：；（2）求二面角的正弦值；（3）平面將三棱臺(tái)分成兩部分，求體積較大部分與該棱臺(tái)的體積之比．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）（3）【解析】【分析】（1）證明，，從而證明平面，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)即可證明；（2）取中點(diǎn)，連接，，先證明為二面角的平面角，利用余弦定理求出，再根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系即可求解；（3）延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接交于，連接，求出三棱臺(tái)和三棱臺(tái)的體積，即可求解.【小問(wèn)1詳解】由棱臺(tái)的性質(zhì)得，，，因?yàn)?，所以四邊形為等腰梯形，過(guò)作交于，則，因?yàn)辄c(diǎn)是棱上靠近點(diǎn)的四等分點(diǎn)，所以，，，所以，，因?yàn)?，所以，又因?yàn)槠矫?，平面，所以，因?yàn)?，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所?【小問(wèn)2詳解】取中點(diǎn)，連接，，則，所以四點(diǎn)共面，因?yàn)槠矫?，平面，所以，，所以為二面角的平面角，，在中，由余弦定理得，所以，所以二面角的正弦值?【小問(wèn)3詳解】延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接交于，連接，則幾何體為臺(tái)體，因?yàn)槠矫?，平面，則，，因?yàn)?，，所以，，所以，，，，，，因?yàn)?，，，平面，則平面，即即為三棱臺(tái)和的高，所以，,因?yàn)?，所以體積較大部分與該棱臺(tái)的體積之比.19.已知雙曲線E：．（1）若直線l與雙曲線E的左支及