專題03數(shù)列一、單選題1．（2022·內蒙古·海拉爾第二中學高三階段練習（理））在等差數(shù)列中，，且，，成等比數(shù)列，則公差（）A．-1 B．0 C．2 D．3【答案】D【解析】【分析】利用等比數(shù)列化簡方程，求出公差，驗證求解即可．【詳解】解：等差數(shù)列的公差為，，，成等比數(shù)列，，即，，整理得，解得或，當時，（舍去），．故選：D．2．（2022·新疆烏魯木齊·模擬預測（理））已知數(shù)列為等比數(shù)列，且，則（）A．63 B． C．81 D．【答案】C【解析】【分析】設等比數(shù)列的公比為，由已知條件求出，從而即可求解.【詳解】解：因為數(shù)列為等比數(shù)列，設公比為，且，所以，所以，所以，所以，故選：C.3．（2022·重慶巴蜀中學高三階段練習）已知在等比數(shù)列中，，則（）A． B．3 C． D．9【答案】A【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質，即可直接求得結果.【詳解】因為數(shù)列為等比數(shù)列，故可得，解得.故選：A.4．（2022·江蘇鎮(zhèn)江·高三期末）已知數(shù)列中，則（）A． B． C．1 D．2【答案】A【解析】【分析】由得到數(shù)列是一個以3為周期的周期數(shù)列求解.【詳解】因為數(shù)列中，所以，，，…，所以數(shù)列是一個以3為周期的周期數(shù)列，所以，故選：A5．（2022·四川·成都七中高三開學考試（理））已知數(shù)列與數(shù)列，其中.它們的公共項由小到大組成新的數(shù)列，則的前項的和為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】分析可知數(shù)列為等差數(shù)列，確定該數(shù)列的首項和公差，利用等差數(shù)列的求和公式可求得結果.【詳解】數(shù)列的各項為：、、、、、、、、、、，數(shù)列的各項為：、、、、、、、、、、，由題意可知，數(shù)列的各項為：、、、，所以，數(shù)列為等差數(shù)列，且首項為，公差為，因此，數(shù)列的前項的和為.故選：D.6．（2022·山西運城·高三期末（理））在正整數(shù)數(shù)列中，由1開始依次按如下規(guī)則取該數(shù)列的項：第一次取1；第二次取2個連續(xù)的偶數(shù)2，4；第三次取3個連續(xù)奇數(shù)5，7，9；第四次取4個連續(xù)的偶數(shù)10，12，14，16；第五次取5個連續(xù)的奇數(shù)17，19，21，23，25；按此規(guī)律取下去，得到一個數(shù)列1，2，4，5，7，9，10，12，14，16，17，19…，則這個數(shù)列中第2022個數(shù)是（）A．3974 B．3976 C．3978 D．3980【答案】D【解析】【分析】由題意可得，找出取數(shù)的規(guī)律為：奇數(shù)次取奇數(shù)個奇數(shù)，偶數(shù)次取偶數(shù)個偶數(shù)，前次總共取的數(shù)各數(shù)量可以通過等差數(shù)列求和得到，且第次的最后一個數(shù)為，據(jù)此即可求解.【詳解】由題意可得，奇數(shù)次取奇數(shù)個奇數(shù)，偶數(shù)次取偶數(shù)個偶數(shù)，前次共取了個數(shù)，且第次的最后一個數(shù)為，當時，，故到第63次取時取了63個奇數(shù)，且前63次共取了2016個數(shù)，即第2016個數(shù)為，∴時，依次為3970，3972，3974，3976，3978，3980，...，∴第2022個數(shù)為3980.故選：D.7．（2022·浙江·模擬預測）設數(shù)列滿足，則下列結論中不可能的是（）注：和分別表示，，…中的最小值和最大值．A．數(shù)列從某一項起，均有B．數(shù)列從某一項起，均有C．數(shù)列從某一項起，均有D．數(shù)列從某一項起，均有【答案】D【解析】【分析】考慮，，，，，幾種情況，計算出數(shù)列，再對比選項得到答案.【詳解】當，時，，，，；當，時，，，，；當，時，，，，，，，，AC可能；當，時，，，，，，，，，AC可能；當，時，，，，，；當，時，，，，，，，，B可能；故選：D.【點睛】分類討論的取值情況是本題的關鍵8．（2022·廣東·模擬預測）隨著新一輪科技革命和產(chǎn)業(yè)變革持續(xù)推進，以數(shù)字化、網(wǎng)絡化、智能化為主要特征的新型基礎設施建設越來越受到人們的關注．5G基站建設就是“新基建”的眾多工程之一，截至2021年9月底，我國已累計開通5G基站100萬個，未來將進一步完善基礎網(wǎng)絡體系，穩(wěn)步推進5G網(wǎng)絡建設，實現(xiàn)主要城區(qū)及部分重點鄉(xiāng)鎮(zhèn)5G網(wǎng)絡覆蓋．若2021年10月計劃新建6萬個5G基站，以后每個月比上個月多建0.5萬個，則預計我國累計開通270萬個5G基站時要到（）A．2022年12月 B．2023年1月 C．2023年2月 D．2023年3月【答案】C【解析】【分析】由題設每個月的5G基站建設數(shù)目構成等差數(shù)列且，d＝0.5，應用等差數(shù)列前n項和公式求基本量，即可確定完成時間.【詳解】依題意，2021年10月開始每個月的5G基站建設數(shù)目（單位：萬個）構成等差數(shù)列，且，d＝0.5，設預計我國累計開通270萬個5G基站從2021年10月開始需要n個月，則，整理得n2＋23n－680＝0，解得n＝17，預計我國累計開通270萬個5G基站時要到2023年2月．故選：C.二、多選題9．（2022·全國·高三專題練習）設等差數(shù)列的前項和為，公差為.已知，，，則（）A．數(shù)列的最小項為第項 B．C． D．時，的最大值為【答案】ABC【解析】【分析】利用數(shù)列的單調性結合不等式的基本性質可判斷A選項的正誤；根據(jù)已知條件列出關于的不等式組，求出的取值范圍，可判斷B選項的正誤；利用等差數(shù)列求和公式及等差數(shù)列下標和性質可判斷C，D選項的正誤.【詳解】對于C選項，由且，可知，故C正確；對于B選項，由，可得，故B正確；對于D選項，因為，，所以，滿足的的最大值為，故D錯誤；對于A選項，由上述分析可知，當且時，；當且時，，所以，當且時，，當且時，，當且時，.由題意可知單調遞減，所以當且時，，由題意可知單調遞減，即有，所以，由不等式的性質可得，從而可得，因此，數(shù)列的最小項為第項，故A正確.故選：ABC.10．（2022·江蘇泰州·高三期末）已知首項為正數(shù)的等比數(shù)列的公比為，曲線，則下列敘述正確的有（）A．為圓B．離心率為2C．離心率為D．為共漸近線的雙曲線【答案】ACD【解析】【分析】利用等比數(shù)列的性質及圓錐曲線的概念逐項分析即得.【詳解】∵首項為正數(shù)的等比數(shù)列的公比為，曲線，當時，，所以，即曲線為圓心為，半徑為的圓，故A正確；當時，，所以與互為相反數(shù)且不為0，故為等軸雙曲線，故曲線的離心率為，故B錯誤；當時，數(shù)列為遞增數(shù)列，，所以曲線焦點在x軸上的橢圓，故的離心率為，故C正確；當時，與異號，故曲線為雙曲線，其漸近線為，即，故D正確.故選：ACD.三、填空題11．（2022·全國·高三專題練習（理））數(shù)列的通項公式為，前項和為，則＝________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題設中的通項公式，列舉出數(shù)列的前幾項，找出規(guī)律，然后根據(jù)規(guī)律求和.【詳解】解：，，，，又的周期為，故答案為：12．（2022·山東菏澤·高三期末）已知是首項為2的等比數(shù)列，是其前n項和，且，則數(shù)列的前5項和為___________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列前n項和公式解得公比，再根據(jù)等比數(shù)列前n項和公式求結果.【詳解】若，則由，得，則，不滿足題意，故，由，得，所以，故，，所以數(shù)列是首項，公比均為的等比數(shù)列，其前5項和為.故答案為：13．（2022·江西吉安·高三期末（理））已知等差數(shù)列的前項和為，若，，則的取值范圍是__________．【答案】【解析】【分析】設等差數(shù)列的公差為，利用等差數(shù)列的求和公式與等差數(shù)列的性質可得出，，可得出，求出的取值范圍，進而可求得的取值范圍.【詳解】由題意可得，則，因為，可得，則，設等差數(shù)列的公差為，則，由題意可得，可得，所以，，所以，.故答案為：.14．（2022·江蘇·蘇州中學高三開學考試）計算機(computer)是20世紀最先進的科學技術發(fā)明之一，對人類的生產(chǎn)活動和社會活動產(chǎn)生了極其重要的影響．計算機處理數(shù)據(jù)時，使用的是二進制．二進制數(shù)是用0和1表示的數(shù)，它的基數(shù)為2，進位規(guī)則是“逢二進一”，借位規(guī)則是“借一當二”．二進制數(shù)對應的十進制數(shù)記為，即，其中．那么滿足中有且只有4個0的所有二進制數(shù)對應的十進制數(shù)的和為