《中級(jí)宏觀經(jīng)濟(jì)學(xué)》主講:博士浙江大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院2016年秋第三講：兩期動(dòng)態(tài)模型2020/11/262第三講

微觀基礎(chǔ)2：兩期動(dòng)態(tài)模型前面兩個(gè)模型雖然簡單，但是可以讓我們很好地理解兩期動(dòng)態(tài)模型的基本實(shí)質(zhì)。稍顯不足的是這兩個(gè)模型都沒有考慮勞動(dòng)的供給與需求問題，從而無法探討影響就業(yè)的因素，在本節(jié)，在模型中引入勞動(dòng)市場，從而形成一個(gè)完整的宏觀模型。雖然我們的模型只有兩期，但是，在某種意義上說，它已經(jīng)涵蓋了多期甚至是無限期問題的基本經(jīng)濟(jì)，所以，十分值得我們化些時(shí)間好好研究一番！第三講：兩期動(dòng)態(tài)模型2020/11/263第三講：兩期動(dòng)態(tài)模型2020/11/264第三節(jié)考慮資本和勞動(dòng)的兩期競爭均衡模型第三講：兩期動(dòng)態(tài)模型2020/11/265一、決策環(huán)境：偏好、稟賦與技術(shù)基本環(huán)境經(jīng)濟(jì)仍由一

性的企業(yè)和一

性的消費(fèi)者所組成，經(jīng)濟(jì)活動(dòng)僅進(jìn)行兩期。消費(fèi)者將決定最優(yōu)的消費(fèi)數(shù)量、儲(chǔ)蓄數(shù)量（資本供給數(shù)量）和勞動(dòng)供給數(shù)量；代表性企業(yè)將決定最合適的資本使用數(shù)量和勞動(dòng)使用數(shù)量。消費(fèi)者和企業(yè)的行為是競爭性的，也即他（她）們都是在視市場價(jià)格為既定的情況下來做決策的。消費(fèi)者擁有企業(yè)。第三講：兩期動(dòng)態(tài)模型2020/11/266偏好第三講：兩期動(dòng)態(tài)模型2020/11/267我們用如下的一個(gè)簡單的可分離效用函數(shù)來代表消費(fèi)者的偏好：v(c1

,

c2

,l1

,l2

)

u(c1

,l1

)

u(c2

,l2

)

u(c1

)

u(l1

)

u(c2

)

u(l2

)(3.57)該效用函數(shù)具備我們?cè)诘谝还?jié)中所描述的一切特征。k

2020/11/26n0

n第三講：兩期動(dòng)態(tài)模型8技術(shù)企業(yè)根據(jù)如下的生產(chǎn)函數(shù)進(jìn)行消費(fèi)品的生產(chǎn)：y

zf

(k,

n)(3.58)其中，y

是產(chǎn)出，k

是資本投入，n

是資本投入，z是全要素生產(chǎn)率參數(shù)。我們?nèi)约僭O(shè)生產(chǎn)函數(shù)是一個(gè)嚴(yán)格準(zhǔn)凹、二次可微、一次齊次、對(duì)每一個(gè)變量都是嚴(yán)格遞增的函數(shù)。同時(shí)，我們也假設(shè)生產(chǎn)函數(shù)滿足稻田條件（Inada

conditions）：lim

f1

(k,n)

k

0lim

f1

(k,n)

0

以及l(fā)im

f2

(k,n)

，lim

f2

(k,n)

0

。稟賦第三講：兩期動(dòng)態(tài)模型2020/11/269代表性消費(fèi)者擁有k0

單位的資本，這些資本是以消費(fèi)品的形式存在的，也即商品和資本之間是可以一對(duì)一轉(zhuǎn)換的。同時(shí)，代表性消費(fèi)者也擁有h

單位的時(shí)間稟賦，它們既可以用于勞動(dòng)也可以用于閑暇。第三講：兩期動(dòng)態(tài)模型2020/11/2610二、消費(fèi)者最優(yōu)化行為消費(fèi)者把w

和r

視為給定，在

約束下尋求自己的效用最大化。也就是說，每個(gè)消費(fèi)者都在求解如c1

,l1

,c2

,l2

,s1下這樣一個(gè)最優(yōu)化問題：m

a

xu(c1

)

u(l1

)

u(c2

)

u(l2

)

（3.59）s.t.c

s

w

(h

l

)

(1

r

)k

s1

1

1

1

1

1(3.60)c

s

w

(h

l

)

(1

r

)k

s2

2

2

2

2

2（3.61）第三講：兩期動(dòng)態(tài)模型2020/11/2611第三講：兩期動(dòng)態(tài)模型2020/11/261201

kk

s(3.62)12

sk

s(3.63)s2

0（3.64）

l

hns11（3.65）

l

hns22(3.66)這里，k

s、k

s

是消費(fèi)者在第一期和第二期租給廠商的資本數(shù)1

2量，(3.60)式和（3.61）是者在第一期租給廠商的資本數(shù)量等于消費(fèi)者外生擁有的資本數(shù)量k0

；(3.63)式說明消費(fèi)者在第二期租給廠商的資本數(shù)量等于消費(fèi)者在第一期的儲(chǔ)蓄數(shù)量s1

。因?yàn)樾袨槿酥簧顑善?，所以他（她）不?huì)為第三期進(jìn)行儲(chǔ)蓄，因此約束條件（3.64式是自然成立的。（3.65）式和（3.66）式是時(shí)間稟賦約束。第三講：兩期動(dòng)態(tài)模型2020/11/2613為了求解消費(fèi)者的最優(yōu)化問題，我們可以構(gòu)建如下一個(gè) 日方程：

u(c1

)

u(l1

)

u(c2

)

u(l2

)(3.67)

hh[w2)2)w1((r1211022

111

這里，

是

日乘子。我們已經(jīng)對(duì)效用函數(shù)作了一系列限定，這可以確保產(chǎn)生一個(gè)唯一的最優(yōu)解，這個(gè)最優(yōu)解可以通過如下的五個(gè)一階條件得到描述：第三講：兩期動(dòng)態(tài)模型2020/11/2614第三講：兩期動(dòng)態(tài)模型2020/11/2615111(FOCc

)u(c1

)

1

0（3.68）(FOCc

)2u(c2

)

2

0(3.69)(FOCl

)u(l1

)

1w1

0(3.70)(FOCl

)2u(l2

)

2

w2

0(3.71)(FOCs

)

1

2

(1

r2

)

0(3.72)結(jié)合（3.68）、（3.69）、(3.72)式，可以得到：2

(1

r

)21u

(c

)u(c

)（3.73）結(jié)合（3.68）、（3.70）式，可以得到：111u

(l

)u(c

)

w(3.74)結(jié)合（3.69）、（3.71）式，可以得到：2第三講：兩期動(dòng)態(tài)模型2020/11/26162u(l2

)

wu(c

)(3.75)代

約束條件進(jìn)（3.73）、（3.74）、（3.75）式，消掉其中的c1和c2

，我們可以看到，（3.73）式實(shí)際上隱性地描述了消費(fèi)者的儲(chǔ)蓄函數(shù)s

，也即消費(fèi)者第二期的資本供給函數(shù)k

s

；（3.74）式1

2則隱性地描述了消費(fèi)者的第一期的閑暇需求函數(shù)，或者說第一期的勞動(dòng)供給函數(shù)；同理，（3.75）式則隱性地描述了消費(fèi)者的第二期的閑暇需求函數(shù)，或者說第二期的勞動(dòng)供給函數(shù)。第三講：兩期動(dòng)態(tài)模型2020/11/2617三、企業(yè)的最優(yōu)化行為第三講：兩期動(dòng)態(tài)模型2020/11/2618第三講：兩期動(dòng)態(tài)模型2020/11/2619企業(yè)第一期和第二期的利潤函數(shù)分別為：dddd

d1

(1

)k1

11

1w

(n

)

(1

r

)k1

11

zf

(k

,

n )

(3.76)d22

zf

(k

d

,

nd

)

w

(nd

)

(1

r

)k

d

(1

)k2

2

2

2

2

2(3.77)其中，kd、kd

和nd、nd

各自代表企業(yè)在第一期和1

2

1

2第二期的資本需求以及在第一期和第二期的勞動(dòng)需求。在這里，同樣出于簡單化考慮我們?nèi)约俣ㄙY本折舊率

1。第三講：兩期動(dòng)態(tài)模型2020/11/2620企業(yè)在把w

和r

視為既定的情況下，通過選擇恰當(dāng)?shù)馁Y本投入數(shù)量和勞動(dòng)投入數(shù)量來最大化利潤。企業(yè)的利潤最大化的可由如下的四個(gè)一階條件來描述：zf

(k

d

,

nd

)

1

r1

1

1

1(3.78)zf

(k

d

,

nd

)

w2

1

1

1(3.79)zf

(k

d

,

nd

)

1

r1

2

2

2（3.80）zf

(k

d

,

nd

)

w2

2

2

2(3.81)第三講：兩期動(dòng)態(tài)模型2020/11/2621對(duì)應(yīng)于每一個(gè)實(shí)際利率r

，企業(yè)都會(huì)根據(jù)zf

(k

d

,nd

)

1

r1

1

1

1

11的原則選擇一個(gè)相應(yīng)的資本使用數(shù)量kd

,對(duì)應(yīng)于每一個(gè)實(shí)際利率r

，企業(yè)都會(huì)根據(jù)

zf

(k

d

,

nd

)

1

r

的原則選擇2

1

2

2

22一個(gè)相應(yīng)的資本使用數(shù)量kd

。這意味著，第一期與第二期企業(yè)的資本邊際產(chǎn)出曲線實(shí)際上也就是企業(yè)的資本需求曲線。同理，根據(jù)（3.79）式和(3.81)式我們知道第一期與第二期企業(yè)的勞動(dòng)邊際產(chǎn)出曲線實(shí)際上也就是企業(yè)的勞動(dòng)需求曲線。第三講：兩期動(dòng)態(tài)模型2020/11/2622四、市場均衡第三講：兩期動(dòng)態(tài)模型2020/11/2623在我們這個(gè)完整的兩期模型中，總共有五個(gè)市場必須出清：第一個(gè)是第一期資本市場，出清條件是：

k

k

d0

1k

s1（3.82）第二個(gè)是第二期資本市場，出清條件是：

s

k

d1

2k

s2(3.83)第三講：兩期動(dòng)態(tài)模型2020/11/2624第三個(gè)是商品市場，出清條件為：c

c

zf

(kd

,

nd

)

zf

(kd

,

nd

)

kd1

2

1

1

2

2

2（3.84）第四個(gè)是第一期的勞動(dòng)市場，出清條件為：

h

l

nd1

1ns1(3.85)第五個(gè)是第二期的勞動(dòng)市場，出清條件為：

h

l

nd2

2ns2(3.86)第三講：兩期動(dòng)態(tài)模型2020/11/2625再一次，根據(jù)瓦爾拉斯定理，一個(gè)經(jīng)濟(jì)有n個(gè)市場，只要n－1個(gè)市場出清，剩余的一個(gè)市場自動(dòng)會(huì)出清。因?yàn)槠渲幸粋€(gè)市場可以被標(biāo)準(zhǔn)化。這里，我們就忽略商品市場出清條件?，F(xiàn)在，我們有十四個(gè)未知數(shù)需要求解，它們是c

、c

、l

、l

、k

d、k

d、k

s、k

s、nd、nd、r、r

、w、w

。而相1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2應(yīng)的，我們也有兩個(gè)約束條件、四個(gè)均衡條件兩個(gè)資本供給函數(shù)、兩個(gè)閑暇需求函數(shù)或者勞動(dòng)供給函數(shù)、兩個(gè)資本需求函數(shù)和兩個(gè)勞動(dòng)需求函數(shù)，共有十四個(gè)方程組恰好可以求解十四個(gè)未知數(shù)。第三講：兩期動(dòng)態(tài)模型2020/11/2626五、計(jì)劃最優(yōu)第三講：兩期動(dòng)態(tài)模型2020/11/2627第三講：兩期動(dòng)態(tài)模型2020/11/2628計(jì)劃者在資源的約束下最大化消費(fèi)者的最大效用。計(jì)劃者實(shí)際上就是通過求解如下一個(gè)問題來實(shí)現(xiàn)效用的最大化：max

u(c1

)

u(l1

)

u(c2

)

u(l2

)c1

,l1

,c2

,l2

,k2s.t.（3.87c1

k2

zf

k0

,

(h

l1

)c2

zf

k2

,

(h

l2

)(3.88)（3.89）構(gòu)建如下

日函數(shù)：

u(c1

)

u(l1

)

u(c2

)

u(l2

)(3.90)

l

,)(

c22h

l

,)(

c

zf

k01

k

zf

k2221h1該最大化問題的最優(yōu)現(xiàn)在如下七個(gè)一階條件中：第三講：兩期動(dòng)態(tài)模型2020/11/2629第三講：兩期動(dòng)態(tài)模型2020/11/263011(FOCc

)u(c1

)

1

0（3.91(FOCc

)2u(c2)

2

0(3.92)(FOCl

)u(l1

)

1

zf2

k0

,(h

l1

)

0(3.93)(FOCl

)2u(l2)

2

zf2

k2

,

(h

l2

)

0(3.94)(FOCk

)2

1

2

zf1

k2

,

(h

l2

)

0zf

k0

,

(h

l1

)

c1

k2

0

zf

k2

,

(h

l2

)

c2

0(3.95)1(FOC

)（3.96(FOC

)2（3.97結(jié)合（3.91）、（3.92）、(3.95)式，可以得到：

zf1

k2

,

(h

l2

)u(c1

)2u(c

)（3.98）上式就是我們熟悉的

方程。結(jié)合（3.91）、（3.93）式，可以得到：

zf2

k0

,

(h

l1

)11u

(l

)u(c

)(3.99)結(jié)合（3.92）、（3.94）式，可以得到：

zf2

k2

,

(h

l2

)22