專題02指對數(shù)函數(shù)為背景的函數(shù)模型[新教材的新增內(nèi)容]背景分析：人教A版的第四章指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)，相對舊教材，單獨增加了一節(jié)函數(shù)的應(yīng)用（二），主要增加了以對數(shù)和指數(shù)函數(shù)為背景的函數(shù)應(yīng)用問題，提高了位置，加大了函數(shù)在現(xiàn)實生活中的應(yīng)用，加大培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模的學(xué)科素養(yǎng).1.（1）指數(shù)函數(shù)模型：f（x）=abx+c（a，b，c為常數(shù)，a≠0，b>0，b≠1）；（2）對數(shù)函數(shù)模型：f（x）=mlogax+n（m，n，a為常數(shù)，m≠0，a>0，a≠1）；2.三種函數(shù)模型的性質(zhì)函數(shù)性質(zhì)y=ax（a>1）y=logax（a>1）y=xn（n>0）在（0，+∞）上的增減性單調(diào)遞增單調(diào)遞增單調(diào)遞增增長速度越來越快越來越慢相對平穩(wěn)圖象的變化隨x的增大，逐漸表現(xiàn)為與y軸平行隨x的增大，逐漸表現(xiàn)為與x軸平行隨n值變化而各有不同值的比較存在一個x0，當x>x0時，有l(wèi)ogax<xn<ax[新增內(nèi)容的考查分析]1.以指數(shù)函數(shù)為背景的函數(shù)模型（1）要先學(xué)會合理選擇模型，指數(shù)函數(shù)模型是增長速度越來越快（底數(shù)大于1）的一類函數(shù)模型，與增長率?銀行利率有關(guān)的問題都屬于指數(shù)函數(shù)模型；（2）在解決指數(shù)函數(shù)模型問題時，一般先需要通過待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，再借助函數(shù)的圖象求解最值問題.【考法示例1】某公司為激勵創(chuàng)新，計劃逐年加大研發(fā)資金投入.若該公司2018年全年投入研發(fā)資金130萬元，在此基礎(chǔ)上，每年投入的研發(fā)資金比上一年增長12%，則該公司全年投入的研發(fā)資金開始超過200萬元的年份是（）（參考數(shù)據(jù)：lg1.12≈0.05，lg1.3≈0.11，lg2≈0.30）A.2020年B.2021年C.2022年D.2023年[答案]C[解析]設(shè)第n（n∈N*）年該公司全年投入的研發(fā)資金開始超過200萬元.根據(jù)題意得130（1+12%）n-1>200，則lg[130（1+12%）n-1]>lg200，∴l(xiāng)g130+（n-1）lg1.12>lg2+2，∴2+lg1.3+（n-1）lg1.12>lg2+2，∴0.11+（n-1）×0.05>0.30，解得n>，又∵n∈N*，∴n≥5，∴該公司全年投入的研發(fā)資金開始超過200萬元的年份是2022年.故選C.【考法示例2】毛衣柜里的樟腦丸會隨著時間揮發(fā)而體積縮小，剛放進的新丸體積為，經(jīng)過天后體積與天數(shù)的關(guān)系式為.若新丸經(jīng)過50天后，體積變?yōu)?，則一個新丸體積變?yōu)樾杞?jīng)過的時間為（）A.125天B.100天C.75天D.50天【答案】C解析：由題意知，當時，有.即，得.所以當時，有.即，得.所以.故選：C【考法示例3】碳測年法是由美國科學(xué)家馬丁·卡門與同事塞繆爾·魯賓于年發(fā)現(xiàn)的一種測定含碳物質(zhì)年齡的方法，在考古中有大量的應(yīng)用放射性元素的衰變滿足規(guī)律（表示的是放射性元素在生物體中最初的含量與經(jīng)過時間后的含量間的關(guān)系，其中（為半衰期）.已知碳的半衰期為年，，經(jīng)測量某地出土的生物化石中碳含量為，據(jù)此推測該化石活體生物生活的年代距今約（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)）（）A.年B.年C.年D.年【答案】C【解析】由題意知：，把數(shù)據(jù)代入得：故選：C.2.以對數(shù)函數(shù)為背景的函數(shù)模型【考法示例1】十六?十七世紀之交，天文?航海?工程?貿(mào)易以及軍事快速發(fā)展，對大數(shù)的運算提出了更高的要求，改進數(shù)字計算方法成了當務(wù)之急，英格蘭數(shù)學(xué)家納皮爾（J.Napier，1550-1617）在研究天文學(xué)的過程中，經(jīng)過對運算體系的多年研究，最終找到了簡化大數(shù)運算的有效工具，于1614年出版了《奇妙的對數(shù)定律說明書》標志著對數(shù)的誕生.對數(shù)的思想方法，即把乘法運算轉(zhuǎn)化為加法，在今天仍然具有生命力.以下幾組自變量與函數(shù)值的部分對應(yīng)關(guān)系中，最接近對數(shù)函數(shù)上述作用的函數(shù)是（）A.B.C.D.【答案】D【詳解】根據(jù)對數(shù)函數(shù)（且）的性質(zhì)，隨著的增大，值的變化幅度越來越小，由表中數(shù)據(jù)可知，只有D選項比較接近對數(shù)函數(shù).故選：D【考法示例2】科學(xué)家以里氏震級來度量地震的強度，若設(shè)為地震時所散發(fā)出來的相對能量程度，則里氏震級可定義為.2021年6月22日下午寧夏A市發(fā)生里氏3.1級地震，2020年9月2日寧夏市發(fā)生里氏4.3級地震，則市地震所散發(fā)出來的能量是市地震所散發(fā)出來的能量的（）倍.A.2B.10C.100D.1000【答案】C【詳解】設(shè)自貢地震所散發(fā)出來的能量為，余江地震所散發(fā)出來的能量，則，故兩式作差得，故，.故選：C.【考法示例3】噪聲污染已經(jīng)成為影響人們身體健康和生活質(zhì)量的嚴重問題.實踐證明，聲音強度（分貝）由公式（，為非零常數(shù)）給出，其中為聲音能量.當聲音強度，，滿足時，聲音能量，，滿足的等量關(guān)系式為_________；當人們低聲說話，聲音能量為時，聲音強度為30分貝；當人們正常說話，聲音能量為時，聲音強度為40分貝，當聲音強度大于60分貝時屬于噪音.火箭導(dǎo)彈發(fā)射時的噪音分貝數(shù)在區(qū)間內(nèi)，此時聲音能量數(shù)值的范圍是_________.【答案】【詳解】①由題知，，當時，有，整理得，，因為，所以.②由題知，，即，解得，，所以.由，得，，因為函數(shù)為上的增函數(shù)，所以，故火箭導(dǎo)彈發(fā)射時的噪音分貝數(shù)在區(qū)間內(nèi)，此時聲音能量數(shù)值的范圍是.故答案為：；.3.指數(shù)函數(shù)和對數(shù)運算混合型的問題【考法示例1】草地貪夜蛾是一種起源于美洲的繁殖能力很強的農(nóng)業(yè)害蟲，日增長率為，若只草地貪夜蛾經(jīng)過天后，數(shù)量落在區(qū)間內(nèi)，則的值可能為（參考數(shù)據(jù)：，）（）A.B.C.D.【答案】C【詳解】由題意得，兩邊取對數(shù)得，所以，且，即，對照各選項，只有C符合.故選：C.【考法示例2】某工廠產(chǎn)生的廢氣經(jīng)過過濾后排放，過濾過程中廢氣的污染物數(shù)量與時間之間的關(guān)系為.如果前2小時消除了20%的污染物，則污染物減少50%大約需要的時間為（參考數(shù)據(jù)：，，）（）A.B.C.D.【答案】B【詳解】前2小時消除了20%的污染物，則故，污染物減少50%，則可得故，故選：B[新增內(nèi)容的針對訓(xùn)練]1.已知某物種經(jīng)過年后的種群數(shù)量近似滿足岡珀茨模型：，當時，的值表示年年初的種群數(shù)量．若年后，該物種的種群數(shù)量不超過年初種群數(shù)量的，則的最小值為（）（參考值：）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求出年年初的種群數(shù)量，根據(jù)已知條件可得出關(guān)于的不等式，即可得解.【詳解】由題意可知，年年初的種群數(shù)量為，由，即，可得，即，故，因為，因此，的最小值為.故選：B．2.某純凈水制造廠在凈化水的過程中，每增加一次過濾可減少水中雜質(zhì)，要使水中雜質(zhì)減少到原來的以下，則至少需要過濾的次數(shù)為（）(參考數(shù)據(jù)，)A.10 B.12 C.14 D.16【答案】C【解析】【分析】設(shè)至少需要過濾的次數(shù)為，由題意可得，即，兩邊同時取對數(shù)解不等式即可求解.【詳解】設(shè)至少需要過濾的次數(shù)為，由題意可得，即所以，可得，所以故至少過濾次．故選：C.3.漁民出海打魚，為了保證運回魚的新鮮度（以魚肉內(nèi)的三甲胺的多少來確定魚的新鮮度，三甲胺是一種揮發(fā)性堿性氨，是氨的衍生物，它是由細菌分解產(chǎn)生的，三甲胺積聚就表明魚的新鮮度下降，魚體開始變質(zhì)，進而腐?。?，負被打上船后，要在最短的時間內(nèi)將其分揀，冷藏，已知某種魚失去的新鮮度與其出海后時間(分）滿足的函數(shù)關(guān)系式為，若出海后20分這種魚失去的新鮮度為20%；出海后30分鐘，這種魚失去的新鮮度為40%，那么若不及時處理，打上船的這種魚大約在多長時間剛好失去50%的新鮮度（）考數(shù)據(jù)：A.23分鐘 B.33分鐘 C.50分鐘 D.56分鐘【答案】B【解析】【分析】由題得，解方程可得，再解方程即可得答案.【詳解】由題意可得，解得．故．令，即，兩邊同時取對數(shù)，故分鐘故選：B4.中國的5G技術(shù)領(lǐng)先世界，5G技術(shù)極大地提高了數(shù)據(jù)傳輸速率，最大數(shù)據(jù)傳輸速率C取決于信道帶寬W，經(jīng)科學(xué)研究表明：C與W滿足，其中S是信道內(nèi)信號的平均功率，N是信道內(nèi)部的高斯噪聲功率，為信噪比.當信噪比比較大時，上式中真數(shù)中的1可以忽略不計.若不改變帶寬W，而將信噪比從1000提升至4000，則C大約增加了（）(附：)A.10% B.20% C.30% D.40%【答案】B【解析】【分析】先計算和時的最大數(shù)據(jù)傳輸速率和，再計算增大的百分比即可.【詳解】當時，；當時，.所以增大的百分比為：.故選：B.5.中國的技術(shù)世界領(lǐng)先，其數(shù)學(xué)原理之一便是著名的香農(nóng)公式：.它表示：在受噪聲干擾的信道中，最大信息傳遞速率（單位：）取決于信道寬度（單位：）?信道內(nèi)信號的平均功率（單位：）、信道內(nèi)部的高斯噪聲功率（單位：）的大小，其中叫做信噪比，按照香農(nóng)公式，若信道寬度變?yōu)樵瓉肀?，而將信噪比從提升至，則大約增加了（）（附：）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用對數(shù)減法與換底公式可求得結(jié)果.【詳解】當時，；當時，信道寬度變?yōu)樵瓉肀叮?因為.故選：D.6.隨著人們健康水平的不斷提高，某種疾病在某地的患病率以每年的比例降低，若要將當前的患病率降低到原來的一半，需要的時間至少是（）(，)A.6年 B.7年 C.8年 D.9年【答案】B【解析】【分析】首先根據(jù)條件列式，再通過兩邊取對數(shù)，計算需要的時間.【詳解】設(shè)至少需要年的時間，則，兩邊取對數(shù)，即.故選：B7.聲音的等級（單位：）與聲音強度（單位：）滿足.噴氣式飛機起飛時，聲音的等級約為；一般說話時，聲音的等級約為，那么噴氣式飛機起飛時聲音強度約為一般說話時聲音強度的（）A.105倍 B.108倍 C.1010倍 D.1012倍【答案】B【解析】【分析】首先設(shè)噴氣式飛機起飛時聲音強度和一般說話時聲音強度分別為，根據(jù)題意得出，，計算求的值.【詳解】設(shè)噴氣式飛機起飛時聲音強度和一般說話時聲音強度分別為，，，，，所以，因此，噴氣式飛機起飛時聲音強度約為一般說話時聲音強度的倍.故選：B8.在天文學(xué)中，天體的明暗程度可以用星等或亮度來描述.兩顆星的星等與亮度滿足，其中星等為mk的星的亮度為Ek（k=1,2）.已知太陽的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，則太陽與天狼星的亮度的比值為A.1010.1 B.10.1 C.lg10.1 D.【答案】A【解析】【分析】由題意得到關(guān)于的等式，結(jié)合對數(shù)的運算法則可得亮度的比值.【詳解】兩顆星的星等與亮度滿足,令,.故選A.【點睛】本題以天文學(xué)問題為背景,考查考生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識?信息處理能力?閱讀理解能力以及指數(shù)對數(shù)運算.9.當生物死亡后，它機體內(nèi)原有的碳14含量會按確定的比率衰減（稱為衰減率），大約每經(jīng)過5730年衰減為原來的一半，這個時間稱為“半衰期”.若生物體內(nèi)原有的碳14含量為A，按照上述變化規(guī)律，生物體內(nèi)碳14含量y與死亡年數(shù)x的函數(shù)關(guān)系式是_______，考古學(xué)家在對考古活動時挖掘到的某生物標本進行研究，發(fā)現(xiàn)該生物體內(nèi)碳14的含量是原來的62.5%，則可以推測該生物的死亡時間距今約________年.（參考數(shù)據(jù)：）【答案】①.；②.3883【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)模型得出函數(shù)關(guān)系式，然后由計算．【詳解】設(shè)1年后碳14含量為原來的倍，則，，∴，由，即，∴，∴，．故答案為：；3883．10.在某個時期，某湖泊中的藍藻每天以的增長率呈指數(shù)增長，已知經(jīng)過天以后，該湖泊的藍藻數(shù)大約為原來的倍，那么經(jīng)過天后該湖泊的藍藻數(shù)大約為原來的_____【答案】36倍【解析】【分析】題目考察指數(shù)型函數(shù)的實際應(yīng)用，設(shè)原數(shù)量為，根據(jù)題意可分別列出30天后和60天后的數(shù)量的指數(shù)表達式，從而得到倍數(shù)關(guān)系