全站免費，更多資源關(guān)注公眾號拾穗者的雜貨鋪x思維方糖研究所專題09直線方向向量和法向量的應(yīng)用[新教材的新增內(nèi)容]背景分析：在舊教材中直線方程只涉及了斜率和傾斜角的概念與向量知識缺少聯(lián)系，而在新教材中引入了直線的方向向量和法向量的概念，讓向量與直線聯(lián)系到一起，為解決直線方程問題提供了向量工具.1?點方向式方程（1）直線的方向向量：把與直線平行的向量叫著直線的方向向量，記著（2）點方向式方程：如果直線的方向向量的坐標(biāo)都不為零，即，時，直線通過某個點，把方程叫做直線的點方向式方程.2?直線的點法向式方程（1）直線的法向量：把與直線垂直的向量叫著直線的法向量，記著（2）點法向式方程：如果直線通過某個點，且與向量垂直的直線方程，叫做直線的點法向式方程.3.理解方程中各字母及其系數(shù)的幾何意義直線的方程方向向量法向量斜率[新增內(nèi)容的考查分析]1.直線方向向量的應(yīng)用（應(yīng)用主要體現(xiàn)在，會求直線的方向向量，應(yīng)用直線的方向向量解決直線中的相關(guān)問題.）【考法示例1】過，兩點的直線的一個方向向量為則（）A.B.C.D.1【答案】C【分析】解法一：根據(jù)AB坐標(biāo)求得向量，根據(jù)與直線的方向向量共線即可求得結(jié)果.解法二：根據(jù)直線的方向向量求得直線的斜率，結(jié)合兩點的斜率公式即可求得結(jié)果.【詳解】解法一：由直線上的兩點，，得，又直線的一個方向向量為，因此，∴，解得，故選：C.解法二：由直線的方向向量為得，直線的斜率為，所以，解得.故選：C.【考法示例2】已知過定點的直線的一個方向向量是，則直線的點方向式方程可以為（）A.B.C.D.【答案】B【詳解】因為直線的方向向量為且經(jīng)過點，故直線的點向式方程為.故選：B.【考法示例3】設(shè)兩條不重合的直線的方向向量分別為，則“存在正實數(shù)，使得是“兩條直線平行”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【答案】A【詳解】依題意為兩條不重合的直線的方向向量，若存在正實數(shù)，使得，則，即可得到這兩條直線平行，即充分性成立；若兩直線平行，即，則存在實數(shù)，使得，不一定為正，當(dāng)與同向時，當(dāng)與反向時，，故必要性不成立；故“存在正實數(shù)，使得”是“兩條直線平行”的的充分不必要條件，故選：2.直線法向量的應(yīng)用（直線的法向量應(yīng)用主要在兩方面，1.會求直線的方向向量；2.應(yīng)用直線的法向量解決直線中的相關(guān)問題.）【考法示例4】已知直線的方向向量為（1，5），則直線的法向量為（）A.B.C.D.【答案】C【分析】根據(jù)直線的方向向量與法向量的數(shù)量積等于零即可求解.【詳解】因為直線的方向向量為，所以直線的法向量可以是或.故選：C.【考法示例5】已知兩條直線，，若的一個法向量恰為的一個方向向量，則________.【答案】【分析】根據(jù)題意可得，利用兩直線垂直的等價條件即可求解.【詳解】因為直線的一個法向量恰為的一個方向向量，所以，所以，解得：.[新增內(nèi)容的針對訓(xùn)練]1.設(shè)為直線l上的兩點，則，我們把向量以及與它平行的向量都稱為直線l的方向向量，把與直線l的方向向量垂直的向量稱為直線l的法向量．若直線l經(jīng)過點，則直線的一個法向量為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】先計算出直線的方向向量，然后通過數(shù)量積逐項判斷與是否垂直.【詳解】因為，A．當(dāng)，則，不滿足，B．當(dāng)，則，不滿足，C．當(dāng)，則，不滿足，D．當(dāng)，則，滿足，故選：D.2.下列命題正確的有（）．①直線的方向向量是唯一的；②經(jīng)過點且與向量平行的直線的點方向式方程為；③直線的一個方向向量是（1，0）．A.0個 B.1個 C.2個 D.3個【答案】B【解析】【分析】由于直線的方向向量是不唯一的，可判定①不正確；由直線的點方向式方程，可判定②不正確；由直線的斜率為0，可判定③是正確的.【詳解】對于①中，由于直線的方向向量是不唯一的，所以①不正確；對于②中，只有等時，經(jīng)過點且與向量平行的直線的點方向式方程為，所以②不正確；對于③中，直線的斜率為0，所以直線的一個方向向量可以是，所以③是正確的.故選：B.【點睛】本題主要考查了直線的方向向量的概念與辨析，以及直線的點方向式方程的應(yīng)用，著重考查概念的辨析能力，屬于基礎(chǔ)題.3.若過點和點的直線與方向向量為的直線平行，則實數(shù)的值是（）A. B. C.2 D.【答案】B【解析】【分析】求出坐標(biāo)，由向量共線可得關(guān)于的方程，進(jìn)而可求出的值.【詳解】由題意得，與共線，所以，解得．經(jīng)檢驗知，符合題意，故選:B．【點睛】本題考查了由向量平行求參數(shù)，屬于基礎(chǔ)題.4.已知直線經(jīng)過點和點，則直線的單位方向向量為A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求出直線的一個方向向量為，再求出向量的模，根據(jù)單位向量即可求解.【詳解】由題意得，直線的一個方向向量為，則，因此直線的單位方向向量為，故選：D.【點睛】本題考查了直線的方向向量以及單位向量的求法，考查了基本運算，屬于基礎(chǔ)題.5.設(shè)直線，其中且.給出下列結(jié)論其中真命題有（）A.的斜率是B.的傾斜角是C.的方向向量與向量平行D.的法向量與向量平行.【答案】AD【解析】【分析】由直線方程得斜率，由斜率得傾斜角，注意傾斜角的范圍判斷AB，由直線的方向向量與法向量定義及向量共線的坐標(biāo)表示判斷CD．【詳解】因為直線，其中，所以的斜率是；所以A對；的傾斜角滿足，但不一定有，所以B錯；的方向向量為，因為，所以C錯；的法向量為，因為，所以D對；故選：AD.6.直線經(jīng)過點，且一個方向向量是，則直線的點法向式方程是（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】【分析】直接利用直線的點法向式方程求解.【詳解】因為直線經(jīng)過點，且一個方向向量是，所以直線的點法向式方程是或故選：BC【點睛】本題主要考查直線的點法向式方程的求法，還考查了運算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.7.若一條直線的斜率為，則它的一個方向向量是___________，一個法向量是________.【答案】①.②.【解析】【分析】根據(jù)直線方向向量與直線斜率關(guān)系，在直線上任取兩點坐標(biāo)相減得到的向量即為方向向量，再由法向量和方向向量的數(shù)量積為，即可求得法向量.【詳解】因為直線的斜率為，所以它的一個方向向量為，設(shè)一個法向量為，則，不妨取，則它的一個法向量是，故答案為：；.【點睛】本題考查直線方向向量以及法向量，掌握直線斜率和方向向量以及法向量的關(guān)系是關(guān)鍵，考查了分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.8.直線，那么直線的一個方向向量為_____________；過點（2，1），并且的一個方向向量滿足，則的點方向式方程是_____________．【答案】①.（與該項量共線的非零向量均可）②.【解析】【分析】由題意結(jié)合直線方向向量的知識可得直線的一個方向向量；求得一個滿足要求的向量后，利用直線的點方向式即可得的點方向式方程.【詳解】由題意可得直線的一個方向向量為，所以可為（與該項量共線的非零向量均可）；設(shè)向量，由可得，令則，所以直線的一個方向向量為，又直線過點(2，1)，所以該直線的點方向式方程為.故答案為：（與該項量共線的非零向量均可）；.【點睛】本題考查了直線方向向量的求解及直線點方向式方程的應(yīng)用，考查了運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.9.已知平面上直線的方向向量，點和在上的射影分別為和，則，其中________.【答案】【解析】【分析】由題意結(jié)合平面向量的坐標(biāo)運算、模的坐標(biāo)運算可得、，進(jìn)而可得即為在方向上的投影，再由即可得解.【詳解】，，；，，即為在方向上的投影，.故答案為：.【點睛】本題考查了平面向量的坐標(biāo)表示、模的坐標(biāo)表示，考查了平面向量數(shù)量積的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.10.如圖，射線，所在直線的方向向量分別為，，點在內(nèi)，于，于.（1）若，，求的值；（2）若，的面積是，求的值；（3）已知為常數(shù)，，的中點為，且，當(dāng)變化時，求的取值范圍.【答案】（1）；（2）或2；（3）【解析】【分析】(1)求出,點P到直線的距離,利用勾股定理,求的值;

(2)直線OA的方程為,求出到直線的距離,利用勾股定理求出,利用的面積為,求k的值;

(3)設(shè)直線OA的傾斜角為,求出,,利用,可得P變化時,動點T軌跡方程,求出,即可求的取值范圍.【詳解】（1