2010-2011

第一學期《微積分》期中考試試卷解答1．已知1解

當x

0時,

(1

x2

)3

1

~3x212cos

x

1

~

1

x

2x

0一、填空題（每空2分，共20分）1231

ax時,

1

與

cos

x

1

是等價無窮小,

1

13

22

3

.則

a

2

.1

32、設f

x

ex

ex

x

1,則x

1

是f

的第

一類間斷點.解x(

x

1)e(ex1

1)lim

f

(

x)

limx1

x1

lim

e(

x

1)

e.x1

x(

x

1)23、當x

1時,ax2

x

b

與x

1為等價無窮小,則

a

1

,b

0

.解

當x

1時,

ax2

x

b

與x

1為等價無窮小,lim(ax2

x

b)

a

1

b

0x1即b

a

1ax2

x

b

ax2

x

a

1

(ax

2

a)

(

x

1)

(

x

1)(a(

x

1)

1)x

1

x

13ax2

x

b

(

x

1)(a(

x

1)

1)

limx1limx1

2a

1

1

a

1,

b

0.4、設f

x

x

x

1

x

2

x

n,

則

f

'

0

n!

.解xf(0)

lim

f

(

x)

f

(0)x0x4

lim

x(

x

1)(

x

2)(

x

n)

0x0

n!2

x

35、設y

x

e2

',則yx0解

(1

x

1

2

)

3(

x

e23e

x2

)y

1212)

1(0

1)

3

(1

23y

(0)

.13

3

.513x6、設y

f

e，其中f

可導，且

f

'

0，則dx

t

0dy

3

.解tx

f

(t

),f

(0)f

(e0

1)

3e0t

06dy

dxt3tf

(e

1)

3e3ty

3.x

1

t

27、設

y

cos

txtd

2

y，則dx2解

2t,

sin

tytdy

sin

tdx

2t2

t1 sin

t

1

(

)t

2tttx(

)

dx

2

2td

2

y

sin

t

14t3sin

t

t

cos

tsin

t

t

cos

t

4_t_3

.78、設

tan

y

x

y

，則

dy

_c_o_t2

y_dx

.解8tan

y

x

y兩邊求導

sec2

y

y

1

yy

cot2

y

dy

cot2

ydx

29、d

1

ex2

e

x2

d

x

(2

x)]dx解2d

1

ex22

2

x

e

x2

e

x

[e

x

22

12

x

2

x(ex

e

)dxdx

dx2

x12

2x(ex

e

x

)dxdx2

xd

xd

(e

e

)211

x

2x

2

2x

x

e2x

x

e910、極坐標系下對數(shù)螺線r

e

在點r,

e

2

,2

.

處的切線的直角坐標方程為

x

y_

e

2解x

e

cos

,

y

e

sin

r,

e

2

,2

y

e

2y

e

sin

e

cos

1

x

0,x

e

cos

e

sin

,(

0,e

2

)dx

dyx

y

e

2切線方程為1011二．選擇填空題（本題滿分30分，共有15道小題，每道小題2分）1、設

x2

,

x

0,2

x,

x

0,x,

x

0,g

x

fx

x

2,

x

0,，則

D .g

f2

x2

,

x

0,(A)

2

x,

x

0,（B）2

x,

x

0,2

x2

,

x

0,（C

2

x2

,

x

0,）2

x,

x

0,（D）2

x2

,

x

0,2

x,

x

0,解

當x

0時,

f

(

x)

x2

0,

g(

f

(

x))

g(

x2

)

x

2

2當x

0時,

f

(

x)

x

0,

g(

f

(

x))

g(

x)

2

(

x)

2

xx2

sin

2tan

xx02、

lim

x

(A)1，（B）2,x2

sin

2(C)

0,（D）不存在..解tan

xx0lim

x

limx12

x

sinx0

tan

xx2

1

0

0.C3、當x

0

時，tan

x

與xk是同階無窮小，則k

.解(A)1.

（B）2

（C）3.

（D）4.tan

x

sin

x

tan

x(1

cos

x)~

x

k

3.2x

2213x3Cex

e4、設f

x

sin

3x

sin

5x

，則當x

時，D

.（A）f

是x

的等價無窮小，（B）f

x

是x

的低階無窮小，（C）f是x

的高階無窮小，（D）f

x

是

x

的同階但非等價無窮小.解

令

t

x

,

x

t

,lim

f

(

x)t(et

e

)

lim

sin

3(t

)

sin

5(t

)x

x

t

0e

t(et

1)t

0e

t

2t

0

lim

sin

3t

sin

5t

lim

3t

5t

15

014e5、x

2

是函數(shù)f

x

arctan12

x的(A)連續(xù)點;（C）跳躍間斷點;（B）可去間斷點;（D）無窮間斷點..C解當x

2

時,

1

,

f

(

x)

;當x

2時,2

x

21

,2

x

215f

(

x)

.

f

(2

)

f

(2

)6、“f

在

x0

點連續(xù)”是“

f

在

x0

點連續(xù)”的16

B

.(A)必要但不充分條件，（B）充分但不必要條件，（C）充要條件，

（D）既非充分也非必要條件.解反例x

01,

x

0f

(

x)

1,在x0

0不連續(xù)但

|

f

(

x)

|

x0

0連續(xù).7、設f

和

x

在,

上有定義，f

是連續(xù)函數(shù)，且

f

x

0

，

x

有間斷點，則

D

.(A)

f

必有間斷點，(C)

f

必有間斷點，(B)

x2

必有間斷點，f

x(D)

必有間斷點.解連續(xù).17f

(

x)1是連續(xù)函數(shù)，且

f

x

0f

又

(x)有間斷點

(

x)

1

則

f

(

x)

f

(

x)

(

x)

必有間斷點.x2xk

f

xln

3

8、如果

lim

a,

其中k為大于0的常數(shù)，則必有x0(A)limx0

f

x

x2

f

xx0kxx2kx0(D)lim

f

x

存在且不為0.存在且不為0;存在且不為0;(C)

lim(B)

lim存在且不為0;x0

B

.分子

0.)

1x2f

(

x)x0即lim(3

2.18limx2f

(

x)x09、設

f

在點

x處可導，則x0x(B)

2

flim

f

a

x

f

a

x

等于

B

.(A)

f'

(D)

f

'

2a(C)

0解lim

f

a

x

f

a

xx0xx

lim

(

f

(a

x)

f

(a))

(

f

(a

x)

f

(a))x0x

x19

lim

f

(a

x)

f

(a)

lim

f

(a

x)

f

(a)x0x0

2

f

(a).

x2110、設f

x

x

12,,

x

1,x

1(A)

不連續(xù)， （B）連續(xù)但不可導，則在 處函數(shù)f

x

1

A（C）可導但導數(shù)不連續(xù)，（D）可導且導數(shù)連續(xù)..解1

x2lim

f

(

x)

limx1

x1x

1x2

1

2

2x

120lim

f

(

x)

limx1

x1lim

f

(

x)

lim

f

(

x)x1

x1

f

(x)在x

1點不連續(xù).11、設函數(shù)

f

在區(qū)間

,

內(nèi)有定義，若當x

時恒有f

x

x2，則x

0必是

f

x

的

C

.(A)

間斷點，連續(xù)而不可導的點，可導的點且f

'0可導的點且f

'0解f

x

x2

f

(0)

0

xf

(

x)

f

(0)

x0

x21f

(0)

lim

f

(

x)

f

(0)

0.x0

2

x3

,

x

1,12、設f

x

3則f

x2

,

x

1(A)

左、右導數(shù)都存在;左導數(shù)存在，右導數(shù)不存在;左導數(shù)不存在，右導數(shù)存在;左、右導數(shù)都不存在.在x

1

B

.解

lim

f

(

x)

lim

x2

1

f

(1)x1

x1

f

(x)在x

1點右不連續(xù),右導數(shù)不存在.2

x3

2x

1f(1)

lim

3

3

2.x1

f

(x)在x

1點左導數(shù)存在,右導數(shù)不存在.222227(B)

1(C)

227227

1272(A)0.(D)13、設

f

x

sin

x

cos

2x

，則

f

27

的值等于

A

.解

f

(

27)

(

x)

2

2

21(

)

sin(27

27)x

27)2

227

cos(2

x

2

2sin(127f

(

27)

(

)

(

)2

0.

223

27)

227

cos(2

27)2414、設函數(shù)

y

f

x

在點x0處可導，當自變量x

由x0增加到x0

x時，記y

為f

的增量，dy為f

x0x的微分，則

lim

y

dy

B

.(A)-1，（B）0，（C）1，（D）15、設函數(shù)

f

在

x在x處可導，則函數(shù)

f

(A)

f

a

0,

f(C)

f

a

0,

f(B)

f

a

0,

f(D)

f

a

0,

f處不可導的充要條件是

B

.解f

(x)

x在x

0點可導,且f

(0)

0,f

(0)

1f

(x)

x

在x

0點不可導.利用排除法，應該選B.具體證明見下頁.25二(15)f

(x)在x

a可導，f

(x)在x

a不可導

f

(a)

0，f

(a)

0.證xaf

(a)

limx

af

(

x)

f

(a)x

af2

(

x)

f

2

(a)xaf

(a)

limf

(

x)

f

(a)1

limx

axaf

(

x)

f

(a)26f

(

x)

f

(a)

lim

f

(

x)

f

(a)x

axax

a

f

(

x)

f

(a)xaf

(

x)

f

(a)

f

(a)

lim

f

(

x)

f

(a)xa(1)充分性若f

(a)

0，f

(a)

0，(不妨設f

(a)

0)(1)式極限不存在f

(x)在x

a不可導x

axaf

(a)

lim

f

(x)

0，f

(x)在a的左右兩端不同號二(15)f

(x)在x

a可導，f

(x)在x

a不可導

f

(a)

0，f

(a)

0.f

(a)

lim

f

(

x)

f

(a)

f

(

x)

f

(a)27f

(

x)

f

(a)f

(

x)

f

(a)xa(1)必要性為f

(a)f

(af

(x)在x

a不可導;..，若f

(a

(1)式極限若f

(a)

0，(1)式極限存在為0f

(a)

f

(a)

lim二(15)f

(x)在x

a可導，f

(x)在x

a不可導

f

(a)

0，f

(a)

0.28三、（8分）求下列函數(shù)的極限x0lim

sin

ln

x

sin

ln

sin

x

.(1)解原式=2ln

x

sin

x229x02ln

x

sin sin

x2lim

2

cos

ln

x

ln

sin

x

sin

ln

x

ln

sin

x

lim

2

cosx0

0x2lim

ln

a

x

ln

a

x

2

ln

a

a

0x0(2)x230x0a2x22

xx0a2

lim

1x2

ln

1

a2

=

lim

e

ecos

xx0(3)

limx

tan

xcos

x1e

1

e2x0x0x2x2=

lim

lim

2

x0

e2xx2

lim

e

cos

x

1ecos

x

3

cos

xsin

x2x0(4)

lim

1632x2x01

cos

x

1x2cos

x

lim

6

112x2xx01

1

cos

x

11

=

limlim

12

x0

131四、（8分）設函數(shù)f

x

1

sin

x

sin2

x