x0(1cosxln(1x2xsinxnxsinxn（ex21）高階的無窮小，則正整數(shù)n為（） x01cosxln(1x2)~1x4，xsinxn~xn+1，(ex2?1)~x2，所以2n142條件的n2B設(shè)函數(shù)f(x)lim1x，則下列結(jié)論成立的是 n1f(x)無間斷 B．f(x)有間斷點xC．f(x)有間斷點x D．f(x)有間斷點xf(x

1

xx x1f(xx1n1 x x設(shè)f(x)=sinxsint2dt，g(x)x3x4，則當(dāng)x0時，f(x)是g(x)的 0 f

sint2dt

sinx(t21t6

)dt1(sinx)31(sinx)7

x0f(xg(x)

f(x)

sin(sinx)2cos

(sin32 )32

3limcosx0g(x)

3x

x0

x0x2(3 x0f(xg(x)1當(dāng)x0時，變量

是 x x1/(2k)(k1，21sin12k)2kx0 1sin

(2k

1 1

x設(shè)f(x)，g(x)在(,)內(nèi)有定義，f(x)為連續(xù)，且f(x)0，g(x)有間斷點，則下列函數(shù)中必有間斷 g[f B.C.f[g(x)]

gf

(x【解析】(A)g(x)

f(x)1gf(x1 (B)不一定有間斷點例g(x)同上，則[g(x)]21連續(xù)，(C)不一定有間斷點，如(A)中f(x)g(x)f[g(x1連續(xù)，(D)g(x)h(xg(x)h(xf(xfg f f(x為有界函數(shù)，且lim(x)f(x)0，則lim(x)(x為無窮小量，且lim(x)a0，則lim(x(x為無窮大量，且lim(x)(x)a，則lim(x(x) 函數(shù)，且limf(x)(x)0，則limf(x)①取f(x) x

x x

，(x)

f(x為有界函數(shù)，且limf(x)(x0A lim(x0A))x0 ③取f(x)

(x) 則x時f(x)x x

limf(x)(x)0Dlimf(x)D fff(x在(，內(nèi)有定義，且limf(xa，g(x

x

xx0g(xx0g(xx0g(xg(xx0alimf(【解析】limg(x) 1limf( f(x)

xsin(xx(x1)(x

(12 D.(23 由于f(x)在x1或x2附近均出現(xiàn)無窮大的情況，故排除B、C、sin(x(x1)(xsin(x(x1)(x

f(x) 1x11x1(x已知函數(shù)f（x）的定義域為[0，4]，則函數(shù)ψ（x）＝f（x+1）+f（x-1）的定義域 【解析】因f（u）的定義域為0≤u≤4，故f（x+1）+f（x-1）的定義域為不等式0x10x141≤x≤3x4sin1exex 13

sin3

2x

x3

ex

(x0時，sin3xx3x0 exex exex lim 0

limexexlimexe-x e2xx x設(shè)f(x)

則limf(x) 13

xsint

x

e2xx 2e2x f(x)lim lim

f(x)lim0

dtlimsinx2故limf(x

設(shè)f(x)=btanxsinatdt，g(x)x5x4，當(dāng)x0時，f(x)~g(x)，則a ，b 0【答案】a3，bf btanxf 【解析】 lim x0 x5limbsina(tanx)sec2

（因x0

(tanx)~xα

5x4 1（x0時，(5x44x3x05x4故a=3，b4exf(x

(xa)(x

有無窮型斷點x=0，有可去間斷點x=1，則a ，b 【答案】a0，b【解析】因x0是f(x)a=0limf(x)。又x1是f(x)limx(x-1)=0，故limexb)=0，得be n1xn( n1xn( n x2 2

(x0)，則f(x) 2【解析】當(dāng)0x1時，由lim2

0li

0f(x)1

n(當(dāng)1x2f(xlimxn(1)n1xnx( n22)n()n22)n()x2

2limtann

2) 【答案】 2 原式＝lim1tann n

tan2 4n4 2 tan21*4lim1tan n n

2 tan2

n1 x exp

exp

2' exp

x x1 x2 exp2limsec2

xn2n2

nk

nk1n2nnn2n2n2n2n2n2kn2n2

1111nn2n2

111112

nnnkn

1n2n 12n2

n2

n

n2n n2nlim12lim12nlim n2

n(n lim12lim12nlim n2n nn2n nk1n2n 設(shè)a0，xb0，x1xa，?x1 a求limx 2 x1 2 xn1

xan1xan1

0（算術(shù)平均值≥幾何平均值a又xn1xn xn xn n0，則xn1 xn 因此xn單調(diào)減少，又有下界，根據(jù)準則1，limxn 存1 a 1 ax

x

AA n

A n1 A2a，∵A＞0A

limxaanaaexex4cosx在(【解析】證明：令f(x)exexcosx4，它是偶函數(shù)，所以只需f(x)在(0,)內(nèi)恰有一個根f(0)30，f(2)e2e2cos24f(x)在02上連續(xù)，根據(jù)介值定理推論，至少有一(02)，使f(0又因為f(xexexsinx0x0，所以f(x在(0,f(x在(0,內(nèi)最多只有一個零點，于是f(x在(0,內(nèi)恰有一個零點，由偶函數(shù)的對稱性，f(x在(點，也即所給方程在(

1y

，y

b在點，

)處相切，則 a，b 9

a

，b 7a1，b2

a1，b22 (2 2 )，故相交于該點。將x2，y代入y

b中

于該點，故切線的斜率相等，則導(dǎo)數(shù)相等，則 2ax。將x2代入得a ，故b 設(shè)在0,1上fx0，則f0，f1，f1f0或f0f1的大小順序是 A.f1f0f1fC.f1f0f1f

B.f1f1f0fD.f1f0f1f f1f()f x已知函數(shù)f(x) x A．a(chǎn)2，bC．a(chǎn)1，b

B．a(chǎn)2，bD．a(chǎn)1，b limf(x)limabcosxf(0)

ab f(0)limf(x)f(0)lim(abcosx)/x limabcosxlimaacosxlimasinx f(0)limf(x)f(0)limx f(xx0f(0)f(0)a1，得a2 a2代入ab0中得b2A.無窮型間斷

f的 x【解析】limF(x)limf(x)f(0)f f(x)為奇函數(shù)，f(0)0 1a

ax

a D.a2【解析】f(x) x sinx2x，xf(x

則使f(x)在點x0處 xA.存在但不連 f(0)limsinx/x2x limsinx2x2 limcosx4x1limsinx4 f(x)xcosxsinx (xlimf(0)limxcosxsinx2limcosxxsinxcosx limsinx22f f(xx0若函數(shù)f(x)對任意實數(shù)x1，x2均滿足關(guān)系式f(x1x2)f(x1)f(x2)，且f(0)2，則必有 A.f(0) B.f(0) C.f(0) f(0)x1x，x20f(x0f(xf(0f(x0f(02f(0)1若f(x)是在(，)內(nèi)可導(dǎo)的以l為周期的周期函數(shù)則f(axb)（a0，a、b為常數(shù)的周期 B．l

a aaaa【解析】因f(axb)與f(axb)有相同的周期，而f(axb)的周期為 ，故f(axb)的周期也是laa設(shè)yf(lnx)ef(x)，其中f可微，則 1f(lnx)ef(x)f(lnx)ef(xf(x) y1f(lnx)ef(xf(lnx)ef(xf(x) dy1f(lnx)ef(x)f(lnx)ef(x)f(x)x t2

，則dy

ytcos

(cosu/1

u)du(t 【答案】

ycost22t2sint2 cost22t2t2sint x2tsint22 2t2sint 2tsintyy(x由方程exy【答案】(e1)

0所確定，則y(0) exy(yxy)y/y1/(x1)將(0，e-1代入后解得y(0(e1)已知f(x)1，則 x0f(x2x)f(x f(x0) x0f(x02x)f(x0 x0f(x02x)f(x0x)/limf(x02x)f(x0 limf(x02x)f(x0)(2)f(x0x)f(x0)x0 2f(x0f(x0f(x0 故原式若f(t)limt(11)2tx，則f(t) 【答案】(1f(t)limt(11)2txtlim(11)x2t x f(x)e2tt2e2t(1設(shè)f(x)為連續(xù)函數(shù)，且有f(x)1(xa)xag(x)，其中 xa(xxa(x 1，g(x)連 gxa(x又f(x)1(xa)xa f(a)1g(a) f(a)limf(x)f(a)limxag(x)

x xa0limg(x)(xa)10 (x

xa0 設(shè)f(x)0，f0 ff f f f f f 0)f(1) 12f x2 f(x2 x2 x2f(2 x2，從而12( f(2∵f 0，∴( f(2f x2 ff x2 f因此，f f f，0設(shè)f(x)在x鄰域內(nèi)有定義，且limf f(x0 0為常數(shù)（對n）f(x，00

x

f

f(x0 (x)，其中 f(x0 f(x0 x0 x0

n為正偶數(shù)，

（充分小則f f(x0)與k同號，當(dāng)k＞0，f(x0)為極小值；當(dāng)＜0f(x0若n為正奇數(shù)，

（充分小則f f(x0)在x0兩側(cè)異號，所以f(x0)不是極值

設(shè)函yfx在0當(dāng)limfx0時，必有l(wèi)imfx 當(dāng)limfx存在時，必有l(wèi)imfx

fx0f'x存在時，必

f'(x)f'(x)例如：fxsinx2,limfx0,f'xsinx22cosx2,取x 2k,f'x2,當(dāng)k fx2，因此不fxsinxlimfx0limfxlimcosx1C 已知在,上f'x 1

limx

axblimfx1fx x A.a1,b B.a0,b C.a1,b D.a1,b1【解析】由拉格朗日中值定理fx1fxf' 1

x,x當(dāng)x時有 因此，limfx1fxlim

x要使lim

axblim1ax2abxx x必須ab

a即b 3.fx二階可導(dǎo)f=0f0xfx的極值gxfxcosx，x是gx的極大值 B．x是gx的極小值C．x不是gx的極值 D．不能確定x是否為gx的極值【解析】有取得極值的必要條件f0gxfxcosxfxsinxgx0gxfxcosx2fxsinxfxcosxgf0gx處取得極大值，所以選A設(shè)

fx

1，

''x0A．x0fxxx0fxx0fxxx0fxfxfx由

fx

1f00 fxf f

f0x x

1，設(shè)Fxfx ，則F00，F(xiàn)xfx1,F0f設(shè)fx是連續(xù)的奇函數(shù)，且x

0x0fxx0fxyfxx0的切線平行于xyfxx0的切線不平行于x【解析】由

fx

0f0x

fxf00xyfxx0處的切線方程為y0x軸本身，所以選yfx在區(qū)間0,1f0f1，則在0,1A．f'x恒為 B．f'xC．x D．在0,1內(nèi)存在兩點ffC． fx不恒為常數(shù)，f'x0.所以如果B、C成立，則fx為嚴格單調(diào)函數(shù)，與f0f 成立，在0,1上取一點x0，使 x0f0，因此fx0f0與f1fx0異號，利用拉格朗日值定理，存在1,20,1使得ffx0f0f2f1fx0ff 1 已知方程x2y2y1(y0)確定y為x的函數(shù)，則 【解析】方程兩邊對x求導(dǎo)得2xy22x2yyyy0x0y0。兩邊x求導(dǎo)得2y24xyy4xyy2x2(y)22x2yyyx0y1y(0)0，y(0)20x0點取極大值。又因函數(shù)只有一若f(x)在區(qū)間a，f(a)A0，f(a)0，f(a0(xa)f(x)0 f(xf(af(a)(xaf((x

f(x，故ax0f(x00f(aA0，f(x在(a，x0）x(a，x0f(0f(x0(a，)存在實根，又f(x)0，故f(x)f(xf(a0f(xf(x0僅有一個實根。設(shè)0xx，則sinx1與x1之間的關(guān)系

sin sin

sinx

在0,上的單調(diào)性sinxxcosxsin ，令Fxxcosxsinx，F(xiàn)00 Fxcosxxsinxcosxxsinx0x0,xcosxsinx0x0,sinx0,x0,，因sinx在0,上是單調(diào)減少的；當(dāng)0x

xx xx sinx1sinx2,即sinx1x1 sin 設(shè)函數(shù)fx在a,內(nèi)可導(dǎo)且任意xa,有fxM（M為常數(shù)則limfx 【解析】任意取定一點x0a,，對任意的x0a,f0

fxfx0fx0fxx0fx0

Mxxfx 0 ，其中x 0

Mxx0fx0

f

0 f f(x)3x26x3(x3)(x1)

(x1)(x(1x(x(xf（x）在（13，＋∞）單調(diào)上升，在［－1，3］

f(x)

f(xf（x）在（3，＋∞）存在唯一零點 f（x）在（－∞，＋∞）存在唯一零點曲線yxlne1x0的漸近線方程 x 1 1yx 1lnext lnet【解析】limylim x

x

t telimylimlne1 limyx 1 1 x limxln x limxln x

ln x limxln11limx11 ex yxlne

1 有斜漸近線yx x 方程x33xq0有三個實根，則q的取值范圍 【答案】2q fx在,的性態(tài)（1）fx3x230x1fx6xf12q是極小值，顯然f1f1

（2）求單調(diào)區(qū)間fx在,1內(nèi)單調(diào)增加，在1,1內(nèi)單調(diào)減少，在1,內(nèi)單調(diào)增加。（3）求極限

fx,

fx（（（3f12q0f12q0時，即2q時，fx有三個零點分別在11,11設(shè)fx3x2Ax3x0，A為正常數(shù)，則A至少 時，有fx20xfx20，只要3x5A20x3即20x33x5Agx20x33x5Agx0,內(nèi)的最大值。令gx60x215x415x22xx20x0x2x2（x2x0 舍去。gxx2兩側(cè)由正號變?yōu)間264gx的唯一極大值，因此它是gx的最大值，A至少為64，有fx20。fx在a，ba，bfafb，證明a，b內(nèi)至少有一點ξ，使得f0. (a,b)使 fcfaffcfafx在a，c上用拉格朗日中值定理存ff(c)f(a) c

如果fbfc，則fx在c，b上用拉格朗日中值定理存在 (c,b)，f2

f(b)f(c)0b (a,b)，使得f ( 0，1，使得( 【解析】證明：先把fx在 1fxf0f0x fx2 (0

再把fx在 fxf1f1x122

f

x (x

1則2f11f (01 2 f111f (1 2 (f(28f1f(f(28(1),f(1),f(24( 亦即證明存在0，1， ( I

exx

dx，則I eA.ln(1ex) B.2ln(1ex)xC.x2ln(1ex) 【解析】因x2ln(1ex) 1 1設(shè)f(x)是連續(xù)的偶函數(shù)，則其原函數(shù)F(x)一定是 1 設(shè)I1x(1xex)dx,I2u(1u)，則存在函數(shù)uu(x)，使 I1I2C．I2

I1I2D．I2

1

dx

(1e e

設(shè)uxex，則上式

x(1xe x(1xe u(1設(shè)n1時，xnlnxdx (ln

(lnx

1) n nn

(lnx

n

)

n

lnxn

xlnxdxlnxd(n)

lnx

d(ln

n

n n1lnxn1dxn1lnx(n1)2xsin1cosxdx xcotx2

xtanx2xcotx2

原式 dx

2

2xdx 1cos

2cos2 dx2xsec

tan22 xd(tanx)tanxdxxtanxtanxdx xtanx2若f(x)的導(dǎo)函數(shù)是excosx，則f(x)的一個原函數(shù)為 excos B．exsinC．excos D．exsinf(xexcosxf(xexsinxf(x)dx(exsinx)dxexcosx 是以l為周期的函 【解析】例如f(x1cosx是以2為周期得函數(shù)，而f(x)dx(1cosx)dxxsinxC不是周期xf(x)dx xf(x)fC．xf(x)f(x)

xf(x)f(x)D．f(x)xf(x)xf(x)dxxdf(x)xf(xf(x)dxxf(xf(xsec24tan2xdx tan【答案】arctan d(tan tan【解析】原式4

tan2x

設(shè)f(x)的一個原函數(shù)為xex，則xf(x)dx x2exxf(x)dxxdf(x)xf(x)fxexf(xf(xxex)xf(x)dxx(xex)xexCx2exf(x)f2(x)f(x)

f

dx 1f(x) 2f(x f f(x) 1f(x) 【解析】原式＝f(x)df(x2f(x 若f3(x)1，則f(x) 33x

3x3xf3(x)xCmax(x2x)dx x3/3 x【答案】 x2/2 xx3/31/6

f(x)max(x2,x)

x x x3/3 xC故max(x2,x)dx x1x2/2C

x 1 x/3 1因max(x2,x)是連續(xù)函數(shù)，故其原函數(shù)也是連續(xù)函數(shù)，則1lim(x3C)lim(x2 1

C lim(x2C)lim(x3

C1x1

x1

C2 故max(x2

x3/3 x x2/2 0xx3/31/6asin(lnx)ncos(ln

114． 1

dx 【答案】

n

asin(ln n

【解析】原式asin(lnx)dasin(lnx)n1asin(lnx) 4sin 3cossinx2cosxdx 【答案】2xln(sinx2cosx4sinx3cos A(sinx2cosx)B(sinx2cos【解析】設(shè)sinx2cosxdx sinx2cos 4sinx3cosxA(sinx2cosx)B(sinx2cos(2AB)cosx(A2B)sinA2B由2AB 4sinx3cosxdx 2(sinx2cosx)(sinx2cosx) sinx2cos sinx2cos 2dx d(sinx2cosx)2xln(sinx2cosx) sinx2cosf(2cosxsin2xtan2xf 1cos222

(2cosx)1cosx

cos2設(shè)u2cosx，則f(u)1(u2)2 (u

1 f(x)(x2)2 (x 2 dx(x f(x)(x (x2)2 x

x2a2

I= 2n3I 2n1a2x2a2

n1 dx x2a2 xdx2a2dx【解析】證明In

a2

x2a2

a2In1

2a2

x2a2 =

2n1a2

xd 2n12n1x

2n1 nn1 2n3In1=2n1a2x2a2n

f(x5)

x210x，則積分0f(2x1)dx 4 【解析】設(shè)ux5， f(u) u2f(2x1) (2x1)2 (x3)(x 4f(2x1)dx 0(x3)(x dx 0(x3)(x 2(x3)(x 12 5 x x3 5 x x 因0f(2x1)dxlnx201若已知f(0)1，f(2)3，f(2)5，則xf(2x)dx 0 1xf(2x)dxu2x12uf(u)du12udf0 0

1220

402 f f(u)du f(2) f2 04 1f(2)1f(2)1f(0)531 a(k設(shè)f(x)是以l為周期的連續(xù)函數(shù)，則 f(x)dx之值 僅與a有 B．僅與a無C．與a及k均無 D．與a和k都有a(k

(k 故此積分與a及k均無關(guān)。

f(x)dx f(x)dx0f若x時，F(xiàn)(x) x(x2t2)f(t)dt的導(dǎo)數(shù)與x2是等價無窮小則必 （其中f有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)0A．f(0)C．f(0)

B．f(0)20F(x)2xxf(t)dt2xf(xf0因x 時，F(xiàn)(x)與x2是等價無窮小，故limF(x) limF(x)lim2xf(x)f lim2f(x)f(0)2f(0)1f(0)x xx

f(t)dt1(t)dt恒成立時，必有(t) A.f(t2 B.t3f C.t2f D.3t2fxf(x3)3x2(xDx設(shè)f(x)在[a，a]上連續(xù)且為偶函數(shù)，(x)0f(t)dt，則 x D．(x)可能是奇函數(shù)，也可能是偶函(x)xf(t)dtutxf x0f(u)du 故(x)為奇函 2(1A．

B． C．

22

22(1

2(1

1(1 而

dx

112(1 1x故此廣義積分發(fā)散，推出 2(1

8.設(shè)M cos68.設(shè)M cos6xdx，N 2(sin3xcos6x)dx，P2(x2sin3xcos6x)dx則有 1 A．NPC．NMsinxcos6xM01

B．MPD．PM N 2sin3xdx2cos6xdx022cos6xdx NMP

P2x2sin3xdx 2cos6xdx0

2cos6xdx0sinx

1t)tlim

xsint 1原式lim(1sinx)sinxe sinx

x233

f(t)dtx ，則f(2) 【解析】兩邊對x求導(dǎo) f(x22)2xf(x22)

1

22x2(x04f(2)1 1xsintdt1xlim 【解析】原式

sinx 1 x3x sinxx (x

1x(x(x)xx3(x)

2 原式

x1x

(x) (11)x3(x3 5/ 3 lim (x) x 22(1cos【答案】4

x0 4x3 dx sin2 sin2原式 dxdx022 原式 dxdx022 222

2

2dx

2tan2xdx

2sec2x1 4 0 4 22sec2xdx4tanx24 0 設(shè)20f(x)dxf(x)x0，則0f(x)dx 121f(x)dxf(x)xdx 0 20f(x)dx0f(x)dx0 2 2030f(x)dx 00f(x)dx014n14n2n

4n214n24n214n2x2【解析】limn

lim4n24n2n4(i/

dx 446 求2max1,x2 3 23

1dx

2x2dx2 3 3 f設(shè)f(x) 2dt，求2 dx

101sin 01f2【解析】原式

df

arctanf

arctanf()arctanf01f20 cos d(sin

2 而f()2 dt2 arctan(sinx) 01sin2 01sin200f(0) dt001sin2

arctan14 原式arctan4

A.limf(x,y)存 B.limf(x,y0)及l(fā)imf(x0,y)都存

yC.f(x,y)在P點必連 D.f(x,y)在P點必可 fPf(xyxx處必連續(xù)，從而limf(x xxy

f(x0,y存在 ,x,y0,2、二元函數(shù)f(x,y)x2 在點0,0處（ x,y0,A.連續(xù)，偏導(dǎo)數(shù)存 B.連續(xù)，偏導(dǎo)數(shù)不存C.不連續(xù)，偏導(dǎo)數(shù)存 f(x,y)在0,0點是否連續(xù)，是否存在偏導(dǎo)數(shù)的問題。f(0,0)df(x,

,f(0,0)df(0,

f(x,0)0xf(0,y0yf(xy在0,0

f(0,

f(0,

0limf(x,y) 1f(0,f(xy在0,0C

x0x2 f(x0yyy0處導(dǎo)數(shù)等于f(x0yyy0f(x0yyy0f(x0yyy0f(xy在點x0y0f(xy在點x0y0處的兩個偏導(dǎo)數(shù)都存在，又由二元函數(shù)極值的必要條件即得f(x,y)在點x0,y0處的兩個偏導(dǎo)數(shù)都等于零，從而有df(df(x0,y x0,y04、設(shè)f(x,y)x34x22xyy2，則下面結(jié)論正確的是（A.點0,0B.點22C.點2,2f(xyD.點0,0f(xyf3x28x2y

的解為0,022

2x2yAfxx6x8,Bfxy2,Cfyy2，在點2,2處，A4,B2AC0，所以點2,2不是極值點；在點0,0處，A8,B2AC0，且A0，所以點0,0是極大值點，應(yīng)選A。5z2xy1到原點最短的距離d等于（2 2 B. 【解析】設(shè)曲面上任意一點Px,y,z，則該點到原點距離d2x2y2z2,xyzz2xy1Fx,y,z,x2y2z2(z2xyF2yxyF2z2zz2xy1解此方程組得駐點00,0011,1,0d2001d1, z2xy1到原點最近的距離為d116、x,y【答案】

1xx1xy

1 x,y

1xx1xy limx,y而 ln1x ln1 1，所以原式為ex,y0,0x1 x,y x,y0,017、 x,y0,0

x2y2

0 1,0 )x(1)x2 x2 xy xy8、f(xy)x2y4y【答案】2

xy2f(x2)2x2arctan2x1,f(x2)4xxx1f(xyf(1yy4,fy(1,y1fy(1,2) zyz

12x

f g()，其中fg 【答案】

f(xy, )

g()

y

）g(

所以

z yf(xy,x)yg(x)f1xf2xg2x2y2 所確定的zzx,y在點102x2y2【答案】dzdxx2x2y2

2 2x2y2yzdxxzdyxydz xdxx2y2以x0,y1,z1代入并解出dzdx y

11zf(uxy),uxef

xy【答案】2zy 2 y e xe zfufeyff u

2z u yy y(fu fx e ey(fu y(fxx2y2lnx2y2,x,y0, f(0, f(0,12、設(shè)f(x,y) x,y0,

f(0,

f0x,0f0,

x2lnx2 f(0,

13zf(u,vx),uxy,vyzfxy,yx的偏導(dǎo)數(shù)x與zffff 1 2 1 zffy 1 z zxF1dxyF2dyzF3dzx dz FFdxFFdyFF zF1F3,zF2 F21、設(shè)區(qū)Dxy1x2y24f(uD上的連DfD

x2y2dxdy等于（A.22rf(r2 B.22rf(r)dr1rf(r)dr C.22rf D.22rf(r2)dr1rf(r2)dr1

【解析】設(shè)極坐標r,xrcosyrsinDr,02,1r2，所以x2y2)dxdy2d2rf(r)dr22rfD D

If

2、二次積分0dx0f(xy)dy的另一種積分次序是（y y2yA.0 f(x, B.0 f(x,yy C.0dyx2f(x, D.0 f(x,y yy

x2，然后再交換積分233、在極坐標系r,中，圓r1之外和圓r 23 6

2 2

26

2 2 6

26

23233【解析】由條件知兩圓r1與r cos的交點是：與，故S26d3

rdr，應(yīng)選4、若x2y2

xnymd0

m,n為正整數(shù)，則有（A.m,n為任意正整 B.m,n均為奇C.m,n中至少有一個為奇 D.mn為奇是零則m,nB是x2y2

xnymd0

ex2y2d,I

ex2y2d,I2323

ex2y2 D:x2y2，其中，其中Dx2y22R2D:xR

yR，則有（A.I1I2 B.I1I3 C.I2I1 D.I3I2【解析】在被積函數(shù)相同且恒正情況下，積分值大小取決于積分區(qū)域D1D2D3的包含關(guān)系，因D1D3D2從而有I1I3I2，故B 6、極坐標中的二次積分2dcosf(rcosrsin)rdr可以寫成直角坐標中的二次積分為（ y1A.0y11C.01

f(x,f(x,

B.0111D.111

f(x,f(x,y邊界rcos(0 2

x2y2x,y0,0x y xx2,0x7Iln3xydxdyIxy3dxdy,I

sinxydxdyD3 3 x0y0xy y1III之間的大小順序為（2, 12A.I1I2 B.I3I2 C.I1I3 D.I3I1xy11t1lntsintt，從而有xyD ln3xysin3xyx ln3xydsin3xydxy3

2 f(x,y)dx 2 2

dx1

f(x,y2x2 ，改記為D1：1xy

x 2 00dyy2f(x,y)dx01

dx122

f(x,y)dy3

19、交換積分次序 f(x,y)dydx f(x,y)dy＿＿＿＿11

32yf(x,yy1O1O 310Dx2y2R2，則x

)dxdy＿＿＿＿DR411 R2cos2 sin2 2cos2 sin2 R原式

d0r )rdr0 )d0rdr注意：

002cos2d

2sin2d，則原式(

1)

R4

R4(

1

y）所圍成，則二重積分3x2sin2ydxdy 4

3x2sin2ydxdy2

cosy3x2sin2ydx0

2sin2ycos3 2

y(1

y)dsiny

y

2sin5 22

2DDxx yxydxdy

xy xxD

1dx x

1(

1y2(x1 1 (x2 1) D 【解析】邊界曲線的極坐標方程是r1,r2cos,0，兩圓的交點 3)，對應(yīng)的 。于D:0,1r2I

3

cossin

(, D D1 3 2cosd1(16cos5cos)dcos1 32a4 2a14D

a0，其中D是由圓心在點a,a、半徑為a且與坐標軸相切的圓周的較短的一2ax2ax2a2a

a dy (a2axx22a2a2aD 23 2a2a2a2a

dx(2a

0

)a232D yyB(,xyOxD10x0yxyD20x0yxy,|sin(xy)|dxdysin(xy)dxdy[sin(x 0 sin(xy)dy0dxx[sin(xy)]dy1y2yy0ycxex（其中c為任意常數(shù)（后因為ycxex代入方程成為關(guān)于x的恒等式，所以ycxex是方程的解，所以應(yīng)選D。2y3y2y3x2ex的特解形式為（A.ax B.axb C.axb D.axb【解析】微分方程的對應(yīng)齊次微分方程是：y3y2y0，其特征方程為r23r20 r11r22。因此微分方程y3y2y2ey1cxe的特解。又微分y3y2y3x有yaxby3y2y3x2exyyycxexaxb 3y8y25y0y01y04y（A.e3xcos B.e3xcos C.e4x D.e4xcosy8y25y028250，它有特征根43i43i y8y25y0ye4xccos3xcsinx其中c與c 1y04y0e4x3ccos3x3ccos3x4ccos3xc3c2

故c11,c20。應(yīng)C4、y1x,y2x,y3x是微分方

ya1xya2xyfA.y1xy2xy3C.y1xy2xy3

B.y1xy2xy3D.y1xy2xy3的解。按此，故知應(yīng)選B。5、設(shè)線性無關(guān)的函數(shù)y1,y2,y3都是二yp(x)yq(x)yfA.C1y1C2y2C.C1y1C2y21C1C2

B.C1y1C2y2C1C2D.C1y1C2y21C1C2【解析】C1y1C2y21C1C2y3C1y1y3C2(y2y3y3y1y3y2y3為對應(yīng)齊次方程的兩個線性無關(guān)的解。D為非齊次方程的通解。6yyex1的一個特解應(yīng)具有形式（其中ab為常數(shù)）（A.aex B.axex C.aex D.axex【解析】特征方程為r210r1,21yaxexb7f1(x),f2x)為二階常系數(shù)線性微分方程ypyqy0的兩個特解，C1,C2C1f1(xC2f2x是該方程通解的充分必要條件是（ 1f1(x)f2(x)f(x)f(x) B.f1(x)f2(x)f2(x)f(x) 1C.f1(x)f(x)f(x)f(x) D.f(x)f(x)f(x)f(x)

f1(x),f2x線性無關(guān)是C1f1(xC2f2xf1(x)C，從而(f1(x)f1(xf2xf1(xf f f2

8、微分方程yytanxcosx的通解為y

yetanxdxcosxetanxdxdxCelncosxcosxelncosxdxCcos

cosxdxC

cos cos 當(dāng)cosx0ycosx1dxCxCcosx，當(dāng)cosx0 ycosx(1)dxCxCcosx。由于CyxCcos 9、微分方程y1y2tanx,y02的特解為y 3cos2y

3cos2

tanxdxC,1ln1ylncosx1 1

1Ccos2xy02，得C11Ccos2 3cos2xy3cos210、設(shè)C,C為任意常數(shù)，yexCcosxCsinx為首項系1的某二階常系數(shù)線性齊次微分方程的通解 y2y2yyexC1cosxC2sinx代入，

ybycyexsinxb(CC)cC2Cexcosxb(CC)cC2C 因exsinx與excosxb(C2C1)cC22C1,b(C1C2)cC1 解之，由C2C20，得b2,c2。 zz x0,y zzxy1 1

1ln

1lnzexy[

Cy]e [

Cy1x 1x

yx2x

[

1ydxCy]xy[ Cy2yx2 Cyx2y因為在整個過程中，將y看作常數(shù)，所以對x解方程時，任意常數(shù)C也應(yīng)該認為是y的任意函數(shù)Cy（它對12、設(shè)f(x連續(xù)，且滿足f(x)exxf(xt)dt，求f0 f(x)exxf(xt)dtex0f(u)(du)exxf f(x)e1dxexe1dxdxCexxC 又由式知f(0)1，代入上式，1f(0)0C,C1f(xexx1f( gtdt0f(t)dtxeef(xgf(x)f(x)f(x)xf(xf(xxex，為代通解公式，應(yīng)將f(x)前的系數(shù)改變?yōu)?x0f(xf(x)exxf(x)e1dx[exe1dxdxC]1xexdxCexCexx 0f(0)

x f(x)lim（exCex)1

C所以C1

ex1f(x)

,x x1、設(shè)x2y24z

x2所圍成之空間區(qū)域，則x2y2dvx2

dr

22

d

2 22 2 22 C.

dr

d

dr

x2y2x2xrcosyrsinzx2

z2。xoyx2y24，所以020r2且rz22x2y2dv2d2dr2 2、設(shè)Lx2y2R2R0)，L

x2y2ds等于 A.2r0 2dRr

B.23

D.xyds ds2.L3曲線積分I (2xcosyysinx)dx(x2sinycosx)dy其中AB為位于第一象限中的圓弧x2y2A(1,0),B(0,1)，則I等 A. B. C. D. xy2xsinysinxcosI (2xcosyysinx)dx(x2sinycosx)dy02xdxcos

x2y2z24、設(shè)曲線x

，則

2y2z2ds （12C.2

2 2【解析】將xy代入方程x2y2z2R2中得2y2z2R2， 2y2z2ds R2dsRds，而L是以R為半徑的圓周，ds2R，則 2y2z2ds2R2 Lx2Lx2y2dxx2x

dy， （ C.因 D.LI0I【解析】因為QP y2 (x2y200I dx dy ydxxdy 2dxdyI L 2 2L 20x x 其中D:x2y2K2。6、設(shè)為z2(x2y2)在xoy平面上方部分，則Izds等 A.

(2r2

2r2

d

(2r2

11 d2(2r2 D. d

2(2r2)14r2 【解析】xoyx2y2214x214x2411(z)2(z (rxy) d

22r2)14r2rdrD 7、:x2y2z21z

1，則 dvx2x2x2xoyDx2y2

)xrcosyrsinzz444 4

I d5rdr dz25[1r(2r1)]dr 2r 8、心形線ra(1cos)的全長（其中a0是常數(shù)） 【答案】【解析】因為r()asinds r2(r)2da(1cos)2(sin)2d 2a| |2 利用對稱性知，所求心形線的全長s22acosd8asin 8a 29、設(shè)簡單閉曲線C所圍成區(qū)域的面積為A， (ex2y)dx(xsiny2)dy C【答案】Pex2yQxsiny2Q1P1 (QP)dxdy2dxdy2A x2y2x2y2 （III）rot(gradu) (x,y,z)x2y2

0x2y20【解析（I）u1ln(x2y2z2)，則gradu(u,u,u) (x,y,z) xy x2y2（II）2u

1， 1

2，

x2y2 (x2y2z2 x2y2 (x2y2z2 x2y2 (x2y2z2 2(x2y2z2 于是div(gradu) （III

x2y2 (x2y2z2

x2y2ijk (2uijk (rot(gradu)

yx)k11Ixydxdydzzxyxy1,z03Ixydxdydz1dx1xdyxyxydz11x21x)3dx13

12L(2xy4)dx5y3x