SIGNALSSIGNALSAND信號(hào)與系中國(guó)傳媒大信號(hào)分析與信息處理教學(xué)中第四章連續(xù)信號(hào)與系統(tǒng)的復(fù)頻域分析4.1 斯變4.2典型信號(hào)的 斯變4.3 斯變換的性4.4 斯反變4.64.74.84.9作 返傅里葉變換（頻域）分 斯變換（復(fù)頻域）分析在連續(xù)、線(xiàn)性、時(shí)不變系統(tǒng)返 從傅里葉變換到 斯變信號(hào)不滿(mǎn)足絕對(duì)可積條件的原因是當(dāng)t或t解決的方法一.引進(jìn)廣義函數(shù)(傅氏變換二.拉氏變換(無(wú)需引進(jìn)廣義函數(shù)若f(t)不滿(mǎn)足狄里赫勒條件，我們?yōu)榱四塬@得變換域中的函數(shù)，人為地用一個(gè)實(shí)指數(shù)函數(shù)e-tf(t)。只要取得合適，很多函數(shù)(幾乎所有常用的函數(shù))為衰減因子；e-t為收斂因子返f(t)e-t的傅里葉變換F[

(t)et]

f(t)etejtdt

f(t)e(j)t F

j

(t)e(j)tdt其傅里葉反變換f

F(

j

f(t)1

F(

j)td記s

為復(fù)頻率，則變換式可改寫(xiě)為F(s)f(t)estdt

雙邊 斯正變f(t)

F(s)estds

雙邊 斯反變

上兩式稱(chēng)為雙邊 斯變換對(duì)，可以表示f(t)F(s)時(shí)域函

f(t)傅氏變

頻域

F時(shí)域函

f(t)拉氏變

復(fù)頻域

F(s)單邊 斯變考慮到：1.實(shí)際信號(hào)都是有始信號(hào)，即

(t)我們觀(guān)察問(wèn)題總有一個(gè)起點(diǎn)，或者說(shuō)只需考慮部分。此時(shí)拉 斯正變換可以改寫(xiě)為

0F(s)

f(t)estdt稱(chēng)為

(t)的單邊 斯變換記作L[

相應(yīng)的反

j

st

t

1Fs F

L[

(t

f

L-1[F或

(t)

F(s)

為一對(duì)（單邊）

斯變換F(s)

f(t)estf(t)

1

jF(s)estds

t正變換的積分下限用0-的目的是：把t=0時(shí)出現(xiàn)的 已知的初始狀態(tài)f(0-)。但反變換的積分限并不改變以后 單邊拉氏變換（1）f(tf(t)(t的拉氏正變換F(s是一樣的（2）反之，當(dāng)已知F(s)，求原函數(shù)時(shí)，也無(wú)法得到t<0f(t)表達(dá)式。例如，常數(shù)1和(t)的（單邊）拉 單邊拉氏變換的優(yōu)點(diǎn)要了t=0-時(shí)的情況就可以了。時(shí)間變t的取值范圍為0~，復(fù)頻域變量s的取值范圍為復(fù)平面(S平面)的一部分。>0時(shí)f(t)e-t絕對(duì)收斂

S平0任何可以進(jìn)行拉氏變換的信號(hào)，其拉氏變換F(s中一（單邊）拉氏變換的收斂f(t乘以收斂因子后，有可能滿(mǎn)足絕對(duì)可積的條件。是否一定滿(mǎn)足，還f(t)的性質(zhì)的相對(duì)關(guān)系。通常把使f(t)e-t滿(mǎn)足絕對(duì)可積條件的值的范圍f

乘以收斂因

存在下列關(guān)

f(t)et

(

0滿(mǎn)足上述條件的最低限度的值，稱(chēng)0(絕對(duì)收始有終的能量信號(hào)0=-功率信0=按指數(shù)規(guī)律增長(zhǎng)的信號(hào)：如et，0=0比指數(shù)信號(hào)增長(zhǎng)的更快的信號(hào)：如et2或tt找不到，0階函數(shù)。指數(shù)階函數(shù)均可e-t的方法將其分散結(jié)論：凡指數(shù)階函數(shù)都有拉氏變換單邊拉氏變換的收斂域是：復(fù)平面(s平面)內(nèi)Re(sσ＞σ0的區(qū)域，比較容易確定。一般情況下，不變換域之間的內(nèi)在聯(lián)傅里葉級(jí)數(shù)：

(t)

Fejn0 00單元信號(hào)

fT(t)ejn0角頻率

n0（在虛軸上離散取值復(fù)振幅

FnT

2f2

jn0tdt（可以用復(fù)平面虛軸上的離散頻譜表示實(shí)際上是把周期信號(hào)分解為一系列等幅振蕩的正分量之和傅里葉變

f(t)

F()ejtdf(t)F()單元信號(hào)

ej角頻率

（在虛軸上連續(xù)取值復(fù)振幅

F()d（為無(wú)窮小量0頻譜密度F(0

f

jtdt（可以用復(fù)平面虛軸上的連續(xù)頻譜表示實(shí)際上是把非周期信號(hào)分解為無(wú)窮多等幅振蕩F(F(

之和 斯變

f(t)

1jF(s)estds2

單元信號(hào)

es

f(t)

F(s)復(fù)頻率

s

復(fù)系數(shù)

F(s)ds

（為無(wú)窮小量0象函數(shù)：F(s)

f(t)estdt （可以用s右半平面上的連續(xù)頻譜表示實(shí)際上是把非周期信號(hào)分解為無(wú)窮多變幅（按指數(shù)

F

dset

指數(shù)信號(hào)e-t (這里無(wú)任何限制

(t)]

estdt

e(

dt

s et(t)

s由此，可以導(dǎo)出一些常用函數(shù)的拉氏變換單位階躍信號(hào)前式中

，得

L[(t)]s (t)s返單邊正弦信號(hào)

0tL[sin0t(t)]L[

(e

21

] 002 s0

j0

sj0

s2 sin0t(t)

0s20單邊余弦信

cos0tL[cos0t(t)]L[2

(e

j0t)(t)]12

s

s

]

0s20 cos0t(t)

0s20單邊衰減或增長(zhǎng)的正弦信號(hào)

sin0t

sin0t(t)]L[

(e(

j0

e(

1

2 2js

sj0 (s) e

0t(t)

0(s)20

2單邊衰減或增長(zhǎng)的余弦信2

cos0t(t)

t(t)

s

單邊雙曲正弦信

sht(t)sht

1(et2

et

(t) s2單邊雙曲余弦信

cht(t)cht

12

ets

(t)

s2沖激函數(shù)

(t)根據(jù)沖激函數(shù)作為廣義函數(shù)的定義

(t)

(t)dt

f st

st

(t)]

0(t)e dt

t0 (t)t的正冪信號(hào)tn

(n為正整數(shù)由定義

L[tn(t)]

tnestdt0對(duì)上式進(jìn)行分部積分

utn,

estdt

tne

st

ts

est

0

t

stdt

s

t

st可見(jiàn)

L[tn(t)]

s依次類(lèi)推

L[tn(t)]

n

1

n2

11

n特別n=1時(shí)，n

L[t(t)]s20

斯變換與傅里葉變換的關(guān)0：只有拉氏變換而無(wú)傅氏變例如增長(zhǎng)的指數(shù)信號(hào)et(t)

(0

0：拉氏變換、傅氏變換都存在，且F(s)

F()

s

(F()

F(s)j

s0

0：拉氏變換、傅氏變換都存在，但傅氏變換含有沖激函例如單位階躍信

P185表4-典型信號(hào)F()

(

F(s)s

拉氏變換 斯變換的性拉氏變換的有些性質(zhì)與傅氏變換性質(zhì)極為相似，只jωs替代即可。 線(xiàn)若f1(t

1(s)

f2(t)

2(s則

bf2(t)

a(s

b2(s

(a,b

時(shí)移f(t

F(s)f

t0)

est0F(s)

例：設(shè)

(t)

t，則F(s)

L[

(t)]

1ts2

，試求

f

t

f

t0)

t0)(t)

f(t)

t

00

f

t0)

t0)

t0)的拉氏變換 返(1)和(2

0時(shí)的波形相同所以它們的拉氏變換

f(t0t1tf(t0t

f(tt0)s2 s2 st

(3)L[t

t0)] dt0t0

f(t)(t

st

st

st

ste

dt 2e

1

f(tt)(tt s2

s2

例4-3-2求圖示鋸齒波f(t的拉氏變

f(t)E解

(t)

Et[(t)

T)]

Et(t)T

E(tT

T)]或f(t

fa(t)

fb(t)

fc(t)Et(t)T

E

T)T

T

fb(t)fa(tfa(t)E0TtE1E1fa(t)Ts2E1E1

根據(jù)時(shí)移性， E Efb(t)esTEs

fc(t)Ts

esT

fc(t) 所以

(t)

1)esT E 設(shè)f1(t)表示第一個(gè)周期的函數(shù)，則f(t)

f1(t)

f1(tT)(tT)

F(s)

esT

e2sT

1esT

1(s)說(shuō)明周期信號(hào)的拉氏變換等于它第一個(gè)周期波形拉氏變換F(s)乘以因 1

esT周期函數(shù)可以是廣義的，例如臺(tái)階函

3f F(s)

1 1

esT

T 例4-3-3求半波正弦函數(shù)的拉氏變

fETT解f1(t

fa(t)

fb

2E2T

t)(t)ET

(t

)(t

E E(2Ts2(2T

E(2Ts2(2T

2fa

sT 2s2

T)2

2 E(2T

E2f(t)2

F

1esT

s2(2T

(1 2

fb(t)ETE TE

E(2T

T 1esT

s2 )2 比例性（尺度變換f(t

F(s)f(at

1F(s

a例4-3-

已知L[

F(s)L

(att0)(att0)]

(a

解法一：先應(yīng)用時(shí)移性，可L[

(tt0)

t0)]

est0F(s)再應(yīng)用比例性

sL[f(att0)(at

)]1a

a0F(sa解法二：先應(yīng)用比例性，可L[f(at)(at)]

1F(s 再應(yīng)用時(shí)移性，L[

(at

t0)(at

)]L{f[a(ts

t0)][a(ta

t0)]}a01e0

F(saLL[f(att)(att)]001aesa0Fsa)頻移 返若f(t

F(s)則f(t)es0t

Fs

s0這里，s0可以是實(shí)數(shù)，也可以是虛數(shù)或復(fù)數(shù)與傅氏變換比ej0tet

f(t)f(t)

0))例4-3-

(s)2

s (s)2時(shí)域微f(t

F(s)則Ldf(tdt

sF(s)

f(0dnf(t)

]

F(s)

f

)

主要用于研究具有初始條件的微分方 證明：根據(jù)定

df(t) dt

df(t)dt

estdtest

(t)

(s)est

(t)dtsF(s)

f(0)同理可

2(t)

2(t)

stdt

]

dt d[

(t)]est s[sF(s)f(0)]

df(t)dtdf(t)dts2F(s)sf(0)依此類(lèi)推，可

dnf(t)

]

F(s)

f

)

(0f(t為有始函

f(t)

f(t)(t)

df(t)(t) ]dt

(s)例4-3-6

f1

et

f2

1

t

f1f1'(t

f2'(t的拉氏變換

t 0t0

L[f1(t)]

f2(t)],

1(s)

F2(s)

s

f2(t)1dt

et(t) )L[df1(t)]1 )

1(s)dt s

s

由于fdf2

2(t)et

求導(dǎo)數(shù)L[df2(t)]dt

2 s

1

s

1(s)

f2(0)

時(shí)域積

f(t)t

F(s)

F(s) f()dt tt證明：由定t

f()d

F(s)s

f(1)(0)stLt

f()d

f()de

stdt

est

st[ssF(s)s

f()d0

s

f

dt]若積分下限由-開(kāi)tt

f

00

f

ttt

f()df(1)(0)

f()dt所tL

()d

F(s)s

f(1)(0)st t例4-3-

已知(t)

1，而t(t)s

()d所以t(t

1(1) s2

tn(t)

sn1初值定設(shè)f(t

F

且

sF(s)存在[意味著F(s)為真分式 f(0

t

f

edtedt

sF(s)證明：利用時(shí)域微分性](s)](s)dt

df(t)) dt)

stf 0f

(t)

st

(t)

stest

dt

t0

0 df0

dt

dfdt

estdt sF(s)

f(0)

f(t)0

df(t)dt

estdt sF(s)

f(0)

df(t)dt

estdt故有注意

f(0)

sF(s)(1F(s)為有理真分式時(shí)以接套用公式

F(s)

不是真分式時(shí)，應(yīng)當(dāng)先長(zhǎng)除法F(s)化成一個(gè)多項(xiàng)式與一個(gè)分式之和，然后對(duì)真式用初值定理。因?yàn)槎囗?xiàng)式部分所對(duì)應(yīng)原函數(shù)為沖激函數(shù)及導(dǎo)

時(shí)全為零

(0的值。例：已

F

L[

(t)] s

，試求初值

(0s1解 F(s) s 1 s1 s1f(0)

lims

實(shí)際上

f(t)

(t)

et

(0)

f(0)終值定設(shè)L

(t)]

F(s

f

(t的終值tf

t

f

sF(s)證明:根據(jù)時(shí)域微分性質(zhì)，df(t) dt

df(t)dt

estdt

sF(s)

f(0)兩邊s趨于零的極

df(t) dt

estdt

df(t)dt dtf()

f(0)

sF(s)

f(0) f

t

f(t)

(s)條件是t

f(t)存這相當(dāng)F(s)的極點(diǎn)都S平面的左半平面，并且如果在虛軸上有極點(diǎn)的話(huà)能在原點(diǎn)處有單極點(diǎn)。例 F(s)

s

(其極ss平面的右半平面，不能用終值定否則會(huì)得

f

s0

s

的錯(cuò)誤結(jié)果例：

F(s)

s(s2

，試f(t的終值解：F(s)的極點(diǎn)s1=0s2=-1s3=-2，滿(mǎn)足終f

s22s22復(fù)頻域微f(t

F(s)則tf

(t)

證明:根據(jù)定

F(s)

f(t)est dF(s)ds

0

(t)estdt

tf(t)e0同理可證

tn

(t)

dnF(s)dsn10*復(fù)頻域積f(t

F(s)f(t)t

F(s)dss

f(t)證明

F

f

f

ests e

f(t)[t]s

ft

est其它性質(zhì)時(shí)域卷積定f1(t)

f2(t)

1(s)

復(fù)頻域卷積定f1(t)

f2(t)

(s)(無(wú)對(duì)稱(chēng)性P194P194表4-2常用拉氏變換的性t*例：試sinxdx的拉氏變換t 解:sint

基本公 s21sint

dsarctgs

復(fù)頻域積分性 2

s21

arctgstsinxdx

1arctg

時(shí)域積分性 求下列函數(shù)的拉氏變

(t)

t

t

1.

(t1)

t(t)(t)1s2 t

(s2

1)ess

1ess2

1)

1)]

1)(t)]1s2 L[t2] 1

2s(s2

12)

cos2t]

2(s

(s

j2)3

(s2

有下列公1L[

(t)cos0t]

[F(s2

j0)

F(s

j0)]L[f(t)sin0t]

1[F(s

j0)F(s

j0)]另解cos2

2ss2sd

2s(s2cos2t

(s24)

(s

t2

j

(s

j)2sin 2 (sj (sj

(s2

2)2

(s22)2例：求圖示函數(shù)f(t的拉氏變換。解法一按定義式求積分 st

f(t)1 F(s)

f(t)e dt11

test

1(2

t)est21t(1est)21

1estdt

est

testdt22 122s2

es)2解法二：利用線(xiàn)性和時(shí)移定

f(t)f

t[(t)

1)]

2)[

1)

2)]t(t)

1)

F(s)

2es

1e2s

1(1es

df(t)dt解法三：利用時(shí)域微分性df2(t)

]

(t)es)2

d2

(t)2 f'(0)

f(0)

dt 1故s2F(s)

1

es

(2) F(s)

s2

es例求下列函數(shù)的單邊拉氏變換

tdcost(t)dt

sint

解

cost(t)

s21dcost(t) s2tdcost

s212d 2

)

s2

(s2

sint

)

s21sint(t)s21

s21

)(t)

es 返 例 12es

s

s set(t)2e(t)(t)例 (s

s

(s1t(t)

s2(2

te2ts (s dt 返例求F(s)

(s2

的原函

解：s2

頻域微頻域微 s

)

(s

F(s)

(s2

t2

例

F(s)

(s2

解(s2

tt2t

1s(s2

[6

6

3t]部分分式展開(kāi)常見(jiàn)的拉氏變換式是s的多項(xiàng)式之比，一般形式

N(s)F(s)

asn

s

D(s) N(s)的階次高D(s)的階次,可以用長(zhǎng)除法將化成多項(xiàng)式與真分式之和，例N(s)

2s27s1

sF(s)

D(s)

s2s1

5

s2s13s53'(t)5(t)所以只 真分式部分的拉氏反變換 返D(s)=0的根都是實(shí)根且無(wú)重 返N(s)

N(s)

knD(s)

an

s1)(ss2

sn

s

s

遮擋ss遮擋其

si

ssi

N(sN(s)D(s)

2n [F(s)]2n

[s

]

[s

]

[s 1[k1

kes2t

kesnt

(t)2n例 2n

7sF(s)

s23s

的拉氏反變換解：F

2

s1(s1)(s

2

2s1

s

2(t)2et(t)D(s0的根有復(fù)根且無(wú)重D(s)

an

)(s

)(s

(s)(s

二次多項(xiàng)式中b2

4c，則構(gòu)成一對(duì)共軛復(fù)F(s)

N(s)

k1s

N1

s2bs

(s)利用對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)相等的方法即可求得k1k2。s2bs的反變換可以用配方法（或部分分式展開(kāi)法.略試求F(s)

s

的原函數(shù)(s1)(s2

解 s

2

Bs

遮擋(s1)(s2

s1

s22ss

0代入上式，

32

C3

系數(shù)兩邊乘以s，令

，得

03

B

等3

s

2

1) F(s)

3

配方s1

(s1)2

s1

(s1)2 3)2f

2

2et

13

3t D(s0的根有重

0

p

，則

an

)p

sn11F(s)11

N1(s)1(s1

s)

(s

s)

(s

s

(s

(s)k1p…k11可以通過(guò)對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)相等或公式法得到11(s

N(s)D(s)

k12(s

p2k11(s

(s

則k1

N(s)DN(s)D(s)p

d[(s

N(s)]D(s)

pp依此類(lèi)1

dpk

pN(s) (p

k)!{ds

D(s)

它們的拉氏反變換可通過(guò)頻域微分性質(zhì)得

k

(s

]

(k1)! 例

1F(s)

s3

的原函數(shù)解：F(s)

2s23s1

k11

s3

2s2

s2

s用遮擋法

1，k2 s161 1， 4

s2F(s)s2

ss

t

(t) 例*

F(s)

s1

的原函數(shù)

2)2(s)

0的根有二

2

j，故F(s可展開(kāi)為F(s)

(s2

(s

2

(s

k212

k22(s2

2

F

s2j1

j 4

d[(s

2

F

s2

1ej4f(t)

12

)4

12

)](t)求下列函數(shù)的拉氏反變

1e2s解 1e2s

F(s)2s

s(s2

s(s2

s(s2 s(s24)

1s 4

s(s

s2 根據(jù)時(shí)移性質(zhì)， e2s

2)]

s(s2 F(s)

1(1cos2t)(t)4

1[1cos2(t

F(s)

s2s13解3 2F(s)

s1

s1

2ss12

(s

1)2 )23 3（長(zhǎng)除法 （配方法F

(t)(t)

13e3

t323例:求下列函數(shù)的拉氏反變換

e2(s2)

(1es)(1e3ss解

2s

e2(s2)

(t)

s

(1es)(1e3ss

1

s

1

(t)(t

(t

(t)(t

1)，1

(t)

原式

(t)

(t)(t1)(t3)(t例 2[1e(s1)F(s)

(s1)[1

e2(s1)

的原函數(shù)解：根據(jù)F(s)的特點(diǎn)，設(shè)1(s)

F(s

1(s)

2(1es)2s(1e2s

2

12ess

1

F2(s) 1e其中F2(s

22s

e2sf2

4

2f2

f(t)201

01

34

01

345f1(tf1(t)是周期為2的有始方

(t)

例:試求F(s) 的原函數(shù)s4解

4a4ss4

s4s

4a2s2(s2

2a2)2s(s2

2as2a2

2a2 4a2

(sa)2

(s

a2f(t)

4a2

[eat

at

at](t)例*:試求F(s)

s(s2

a2

的原函數(shù)解s(s2

a2

1[1a4

(s2

a2sa2)2shat

s2a2

[

]a2

(s2

a2)2f(t)

1[1chata4

atshat](t)4.6連續(xù)系統(tǒng)的復(fù)頻域分 返 s域中的微分方程的復(fù)頻域分析以二階常系數(shù)線(xiàn)性微分方a2y(t)

a0

設(shè)激

x(t)為有始信號(hào)，x(0

0,x'(0)

x"(0

x(n1)(0)對(duì)微分方程兩邊取拉氏變換，利用時(shí)域微分性質(zhì)，a[s2Y(s)sy(0)

y(0)]

[sY(s)

y(0)]

Y(s)bsX(s)

X2221整理221

2(a2s2

s

)Y(s)

)X(s)

asy(0)

ay(0)

ay(0bs

asy(0)ay(0)ay(0Y(s)

X(s)

2as2as2

as2as2 2Yzs(s)Yzi記Yzs(s

H(s)X(s)，則H(s)

Yzs(s)

稱(chēng)為系統(tǒng)函數(shù)X(s)

a2s2

對(duì)Y(s)

進(jìn)行反變換，可得全應(yīng)的時(shí)域表達(dá)式y(tǒng)(t)

L1Yzs(s)yzs(t)yzi(t)例4-6-1系統(tǒng)的微分方程y(t)

6y(t)

8xt，激勵(lì)

et(t)初始狀態(tài)y(0

，求響應(yīng)y(t)解：對(duì)微分方程取拉氏變換，[s2Y(s)

sy(0)

y(0

5[sY(s)

y(0

2sX(s)8X(s)Y(s)

2s

X(s)

sy(0)

y(0

5y(0s25s s25sx(t)

et(t)

X(s)

s1

(s)

2s (s2)(s

s1

s1

s

syzs(t)

Y(s)

3s

11

2)(s

s syzi(t)

(t

y(t)

yzs(t)

yzi

(t電路的復(fù)頻域模電路元件的復(fù)頻域模電阻元R(t)

iR(t)vR(t)VR(s)

IR(s)VR(s)電容元t

i(t)

vC(0C(t)

(0)

CC1

(t)C1C

CCCCV(s)1I(s)

(0)

I ICCvC(0ICCvC(01 C

V 或IC(s)

(s)

(0)

3電感元

iL

Li(0LL(t)

L

(t)VL(s)

(s)

(0)

I(s)

Li(0LLLIL(s)

1VL(s)LL

iL(0)

IL

VL VL(s)注意內(nèi)電源的方向

i(0s用電路的復(fù)頻域模型求解響應(yīng)的步信號(hào)源及各變量用其拉氏變換式代替畫(huà)出電路的復(fù)頻域模型反變換得響應(yīng)的時(shí)域表達(dá)式

)(t),

(0

V CC求響應(yīng)

vs

vCvC(0)s解：畫(huà)出復(fù)頻域vC(0)sV(s)1

I(s) sVs(s)

vC(0)

由KVL

I(s) R

v(0) (0)

Vs(s)

v(0)VC(s) I(s)

C (s)

RsC RCC(0)RsC

RsC 零狀態(tài)響

1 (s)

Vs(s)

s3

2s

1

RsC

s

s(s1)(s

s

s

-

(s)]

1

零輸入響RCC(0) VCzi(s)

RsC

svCzi(t)22全響22

-1[VCzi(s)]

et

vC

(t)

1

1

1

(t如圖所示電路，已

1

R2

1。電路原已處于穩(wěn)態(tài)當(dāng)

0K閉合求K閉合后R3兩端電壓的零輸入響yzi(t和零狀態(tài)響yzs(t)L解：電容電壓和電感電的初始狀 L

i(0 vC

)

6(V

(0)

y(t)Ci(0) C

2(

3 R1R23

LiL(0)如圖所示，列節(jié)

Vs(s)

IL

vC ) )

R3 YR3 sC

1)Y(s)

vc(0)s

Vs(s)

LiL(0)sL sL代入數(shù)據(jù)整理i(0)(s3)v(0

V(s)Y(s)

s24s s24si(0

(0

6s Y(s)

s

4s

s24s

(s

2)2

syzi

6)e2t

(t (s)

Vs(s)

V

L[12]12 s

4s (s)

3 s(s2

(s2)2 syzs(t)

[3

3)e2t](t) 4.7 4.7系統(tǒng)函 系統(tǒng)函數(shù)與零狀態(tài)響時(shí)頻返復(fù)頻x(t)*h(t)y(t)X()H()YX(s)H(s)Y(s)yzs(t)

h()es(t)d

est

h()esd est

h()esd

estH(s)0表明此時(shí)因果系統(tǒng)的零態(tài)響應(yīng)仍為相同復(fù)頻的指數(shù)信號(hào)，但被 H(s)。s位于H(s)的收斂域內(nèi)，即位H(s)最右邊的極點(diǎn)的右邊。解

y(t)

2

2s

s0

y(t)

3et

s

s1

3(3)

(3

j)，不在H(s或者y(t

x(t)*

將激勵(lì)信號(hào)分解為無(wú)窮多不同復(fù)頻率的和，

x(t)

1

jX(s)estds對(duì)于x(t)

X(s)ds中的每一個(gè)分量

est，相應(yīng)的響應(yīng)量為X(s)dsestH(s)把無(wú)窮多個(gè)響應(yīng)分量加起來(lái)，便得到了總y(t)

X

st

jY(s)dsst

eH(s)

e

Y

st

系統(tǒng)函數(shù)的求nay(n)(t)n

y(n1)

a1y'(t)

a0y(t)

x(m)

1x't

x(t)bsm

sm1

sH(s)

nasnn

sn1

a1sH(s)

例：已知系統(tǒng)的微分方程為y"(t)3y'(t)試求該系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)

2y(t)

2x'(t)解法一：在零狀態(tài)條件下，對(duì)微分方程兩邊取拉氏 s2Y(s)

3sYzs(s)

2Yzs(s)

(s)

3X(s)所 H(s)

Yzs(s)

2sX(s)

s23s解法二：先求得沖激響應(yīng)h(t)

(et

e2t)H(s)

2s s23s已知電利用電路的零狀態(tài)復(fù)頻域模型例：試求圖示電路的系統(tǒng)函數(shù)

xx(t)yzs1

(t)解：電路的零狀態(tài)復(fù)頻域1

XX(s)Y (s)

R2

(s)H(s)

zsX(s)

(1//

)

1

(1

R2C2RRCCs2(R

RCR

)s

系統(tǒng)框圖化一個(gè)總系統(tǒng)由一些子系統(tǒng)按照一定的方式連接而成一、基本聯(lián)接方級(jí)H1(s)H1(s)

H(s)

H1(s)H2(s)H2(sH2(s)

H1(sH1(s)H1(s)H2(s)

H(s)

H1(s)

H2(s)H2(s)H2(s)

H1H1(s)H2(s)反

H2(sH2(s)H1(s)

1H11H1(s)H2(s) E(s)Y(s)

X(s)Y(s)H2(s)H1(s)E(s)H(s)

Y(s)X

1

H1(s)H1(s)H2(s)二、其它化簡(jiǎn)規(guī)和點(diǎn)前H(s)H(s)H(s)

H(s)

1/H(s)H(s)分點(diǎn)前HH(s)分點(diǎn)后HH(s)

H(s)H(s)H(s)

1/1/H(s)H(s) 例4-7-3試用框圖化簡(jiǎn)的方法求系統(tǒng)函數(shù)。三.線(xiàn)性系統(tǒng)的復(fù)頻域模 返將時(shí)域模擬圖中的積分器符號(hào)改為s-1即可X Y(s)例如二階系

y"(t)a1y'(t)a0

b1x'(t)b0對(duì)微分方程取拉氏變換，s2Y(s)asY(s)aY(s)bsX(s)bX 設(shè)中間變量Q(s)，使之滿(mǎn)

Y(s)1s2Q(s)1即

sQ(s)

Q(s)

X

X

s2Q(s)

X(s)asQ(s)a1則Y

b1sQ(s)

Y(s)X(s)解：設(shè)中間變量

如圖所示，則消去中間變量，sQ(s)X(s)

Y(s)

4s

X(s)Y(s)

s所以，系統(tǒng)函數(shù)

H(s)

YX

4ss微分方程

y(t)2

(t)由系統(tǒng)函數(shù)的零、極點(diǎn)分析系統(tǒng)特系統(tǒng)函數(shù)的零點(diǎn)與極 返z(mì)j稱(chēng)為系統(tǒng)函數(shù)的零pk稱(chēng)為系統(tǒng)函數(shù)的零點(diǎn)用“°”表示，極點(diǎn)用“×”表示，若為l重零點(diǎn)或極點(diǎn)，則l)實(shí)際系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)必定是復(fù)變量s的實(shí)有理函數(shù)，320例已知系統(tǒng)的零、極點(diǎn)圖，并且該系統(tǒng)階躍響應(yīng)的終值3試寫(xiě)出系統(tǒng)函數(shù)的表達(dá)式。解

依題意

H(s)

4

(s

由系統(tǒng)函數(shù)的零、極點(diǎn)分布確定系統(tǒng)的沖激響應(yīng)模（a）H(s)的所有極點(diǎn)都為單

H

H(s)s

1h(t)

(t)

H(s)

s

(

1

et

H(s)

s

(

1返回

h(t)

H(s)

10t10t0

sin0t(t)

H(s)

(s)2

2

0th(t)

sin0t(t)0tH(s)

(s

(