拋物線的幾何性質(zhì)一、選擇題1．過拋物線焦點(diǎn)的直線與拋物線相交于，兩點(diǎn)，若，在拋物線準(zhǔn)線上的射影分別是，，則為（）．A．45°B．60°C．90°D．120°2．過已知點(diǎn)且與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有（）．A．1條B．2條C．3條D．4條3．已知，是拋物線上兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，且的垂心恰好是此拋物線的焦點(diǎn)，則直線的方程是（）．A．B．C．D．4．若拋物線（）的弦PQ中點(diǎn)為（），則弦的斜率為（）A．B．C．D．5．已知是拋物線的焦點(diǎn)弦，其坐標(biāo)，滿足，則直線的斜率是（）A．B．C．D．6．已知拋物線（）的焦點(diǎn)弦的兩端點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，則的值一定等于（）A．4B．－4C．D．7．已知⊙的圓心在拋物線上，且⊙與軸及的準(zhǔn)線相切，則⊙的方程是（）A．B．C．D．8．當(dāng)時(shí)，關(guān)于的方程的實(shí)根的個(gè)數(shù)是（）A．0個(gè)B．1個(gè)C．2個(gè)D．3個(gè)9．將直線左移1個(gè)單位，再下移2個(gè)單位后，它與拋物線僅有一個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的值等于（）A．－1

B．1

C．7

D．910．以拋物線（）的焦半徑為直徑的圓與軸位置關(guān)系為（）A．相交

B．相離

C．相切

D．不確定11．過拋物線的焦點(diǎn)作直線交拋物線于，兩點(diǎn)，如果，那么長是（）A．10

B．8

C．6

D．412．過拋物線（）的焦點(diǎn)且垂直于軸的弦為，為拋物線頂點(diǎn)，則大?。ǎ〢．小于B．等于C．大于D．不能確定13．拋物線關(guān)于直線對(duì)稱的曲線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（）A．（0，0）B．（－2，－2）C．（2，2）D．（2，0）14．已知拋物線（）上有一點(diǎn)，它到焦點(diǎn)的距離為5，則的面積（為原點(diǎn)）為（）A．1B．C．2D．15．記定點(diǎn)與拋物線上的點(diǎn)之間的距離為，到此拋物線準(zhǔn)線的距離為，則當(dāng)取最小值時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A．（0，0）B．C．（2，2）D．16．方程表示（）A．橢圓

B．雙曲線

C．拋物線

D．圓17．在上有一點(diǎn)，它到的距離與它到焦點(diǎn)的距離之和最小，則的坐標(biāo)為（）A．（－2，8）B．（2，8）C．（－2，－8）D．（－2，8）18．設(shè)為過焦點(diǎn)的弦，則以為直徑的圓與準(zhǔn)線交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（）A．0

B．1

C．2

D．0或1或219．設(shè)，為拋物線上兩點(diǎn)，則是過焦點(diǎn)的（）A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．不充分不必要20．拋物線垂點(diǎn)為（1，1），準(zhǔn)線為，則頂點(diǎn)為（）A．B．C．D．21．與關(guān)于對(duì)稱的拋物線是（）A．B．C．D．二、填空題1.頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上且通徑（過焦點(diǎn)和對(duì)稱軸垂直的弦）長為6的拋物線方程是_________．2.拋物線頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，其通徑的兩端點(diǎn)與頂點(diǎn)連成的三角形面積為4，則此拋物線方程為_________．3．過點(diǎn)（0，－4）且與直線相切的圓的圓心的軌跡方程是_________．4．拋物線被點(diǎn)所平分的弦的直線方程為_________．5．已知拋物線的弦過定點(diǎn)（－2，0），則弦中點(diǎn)的軌跡方程是________．6．頂點(diǎn)在原點(diǎn)、焦點(diǎn)在軸上、截直線所得弦長為的拋物線方程為____________．7．已知直線與拋物線交于、兩點(diǎn)，那么線段的中點(diǎn)坐標(biāo)是__

_．8．一條直線經(jīng)過拋物線（）的焦點(diǎn)與拋物線交于、兩點(diǎn)，過、點(diǎn)分別向準(zhǔn)線引垂線、，垂足為、，如果，，為的中點(diǎn)，則=__________．9．是拋物線的一條焦點(diǎn)弦，若拋物線，，則的中點(diǎn)到直線的距離為_________．10．拋物線上到直線的距離最近的點(diǎn)的坐標(biāo)是____________．11．拋物線上到直線距離最短的點(diǎn)的坐標(biāo)為__________．12．已知圓與拋物線（）的準(zhǔn)線相切，則=________．13．過（）的焦點(diǎn)的弦為，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則=________．14．拋物線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為3，則點(diǎn)的縱坐標(biāo)為__________．15．已知拋物線（），它的頂點(diǎn)在直線上，則的值為__________．16．過拋物線的焦點(diǎn)作一條傾斜角為的弦，若弦長不超過8，則的范圍是________．17．已知拋物線與橢圓有四個(gè)交點(diǎn)，這四個(gè)交點(diǎn)共圓，則該圓的方程為__________．18．拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線交軸于，過拋物線上一點(diǎn)作于，則梯形的面積為_______________．19．探照燈的反射鏡的縱斷面是拋物線的一部分，安裝燈源的位置在拋物線的焦點(diǎn)處，如果到燈口平面的距離恰好等于燈口的半徑，已知燈口的半徑為30cm，那么燈深為_________．三、解答題1．知拋物線截直線所得的弦長，試在軸上求一點(diǎn)，使的面積為39.2．若的焦點(diǎn)弦長為5，求焦點(diǎn)弦所在直線方程.3．已知是以原點(diǎn)為直角頂點(diǎn)的拋物線（）的內(nèi)接直角三角形，求面積的最小值．4．若，為拋物線的焦點(diǎn)，為拋物線上任意一點(diǎn)，求的最小值及取得最小值時(shí)的的坐標(biāo)．5．一拋物線拱橋跨度為52米，拱頂離水面米，一竹排上一寬4米，高6米的大木箱，問能否安全通過．6．拋物線以軸為準(zhǔn)線，且過點(diǎn)，（）求證不論點(diǎn)的位置如何變化，拋物線頂點(diǎn)的軌跡是橢圓，且離心率為定值．7．已知拋物線（）的焦點(diǎn)為，以為圓心，為半徑，在軸上方畫半圓，設(shè)拋物線與半圓交于不同的兩點(diǎn)、，為線段的中點(diǎn)．①求的值；②是否存在這樣的，使、、成等差數(shù)列，若存在，求出的值；若不存在，說明理由．8．求拋物線和圓上最近兩點(diǎn)之間的距離．9．正方形中，一條邊在直線上，另外兩頂點(diǎn)、在拋物線上，求正方形的面積．10．已知拋物線的一條過焦點(diǎn)的弦被焦點(diǎn)分為，兩個(gè)部分，求證．11．一拋物線型拱橋的跨度為，頂點(diǎn)距水面．江中一竹排裝有寬、高的貨箱，問能否安全通過．12．已知拋物線上兩點(diǎn)，（在第二象限），為原點(diǎn)，且，求當(dāng)點(diǎn)距軸最近時(shí)，的面積．13．是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，連接原點(diǎn)與，以為邊作正方形，求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程．參考答案一、1．C；2．C；3．D；4．B；5．C；6．B；7．B；8．D；9．C10．C；11．B；12．C；13．C；14．C；15．C；16．C；17．B；18．B；19．C；20．A；21．D二、1．；2．；3．；4．5．；6．（在已知拋物線內(nèi)的部分）7．或；8．（4，2）；9．10．；11．；12．2；13．－414．2；15．0，，，；16．17．；18．3．14；19．三、1．先求得，再求得或2．3．設(shè)，，則由得，，，于是當(dāng)，即，時(shí)，4．拋物線的準(zhǔn)線方程為，過作垂直準(zhǔn)線于點(diǎn)，由拋物線定義得，，要使最小，、、三點(diǎn)必共線，即垂直于準(zhǔn)線，與拋物線交點(diǎn)為點(diǎn)，從而的最小值為，此時(shí)點(diǎn)坐標(biāo)為（2，2）．5．建立坐標(biāo)系，設(shè)拋物線方程為，則點(diǎn)（26，－）在拋物線上，

拋物線方程為，當(dāng)時(shí)，，則有，所以木箱能安全通過．6．設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，由拋物線定義得，設(shè)頂點(diǎn)為，則，所以，即為橢圓，離心率為定值．7．①設(shè)、、在拋物線的準(zhǔn)線上射影分別為、、，則由拋物線定義得，又圓的方程為，將代入得②假設(shè)存在這樣的，使得，由定義知點(diǎn)必在拋物線上，這與點(diǎn)是弦的中點(diǎn)矛盾，所以這樣的不存在8．設(shè)、分別是拋物線和圓上的點(diǎn)，圓心，半徑為1，若最小，則也最小，因此、、共線，問題轉(zhuǎn)化為在拋物線上求一點(diǎn)，使它到點(diǎn)的距離最小.為此設(shè)，則，的最小值是9．設(shè)所在直線方程為，消去得

又直線與間距離為

或從而邊長為或，面積，10．焦點(diǎn)為，設(shè)焦點(diǎn)弦端點(diǎn)，，當(dāng)垂直于軸，則，結(jié)論顯然成立；當(dāng)與軸不垂直時(shí)，設(shè)所在直線方程為，代入拋物線方程整理得，這時(shí)，于是，命題也成立．11．取拋物線型拱橋的頂點(diǎn)為原點(diǎn)、對(duì)稱軸為軸建立直角坐標(biāo)系，則橋墩的兩端坐