第七章非線性系統(tǒng)分析7.1控制系統(tǒng)中的典型非線性特性7.2描畫函數(shù)法7.3用描畫函數(shù)法分析非線性系統(tǒng)7.4改善非線性系統(tǒng)性能的方法

一、非線性系統(tǒng)組成：

非線性環(huán)節(jié)+線性環(huán)節(jié)二、典型非線性特性(4種)

1、飽和

7.1非線性控制系統(tǒng)中的典型非線性特性

2、死區(qū)3、回環(huán)4、繼電器二、飽和特性其數(shù)學(xué)表達(dá)式為：飽和也是一種常見的非線性,在鐵磁元件及各種放大器中都存在,其特點(diǎn)是當(dāng)輸入信號(hào)超越某一范圍后,輸出信號(hào)不再隨輸入信號(hào)變化而堅(jiān)持某一常值。飽和特性將使系統(tǒng)在大信號(hào)作用之下的等效增益降低,深度飽和情況下,甚至使系統(tǒng)喪失閉環(huán)控制造用。還有些系統(tǒng)中有意地利用飽和特性作信號(hào)限幅,限制某些物理參量,保證系統(tǒng)平安合理地任務(wù)。死區(qū)又稱不靈敏區(qū),通常以閾值、分辨率等目的衡量。死區(qū)特性。常見于丈量、放大元件中,普通的機(jī)械系統(tǒng)、電機(jī)等,都不同程度地存在死區(qū)。其特點(diǎn)是當(dāng)輸入信號(hào)在零值附近的某一小范圍之內(nèi)時(shí),沒(méi)有輸出。只需當(dāng)輸入信號(hào)大于此范圍時(shí),才有輸出。執(zhí)行機(jī)構(gòu)中的靜摩擦影響也可以用死區(qū)特性表示?？刂葡到y(tǒng)中存在死區(qū)特性,將導(dǎo)致系統(tǒng)產(chǎn)生穩(wěn)態(tài)誤差,其中丈量元件的死區(qū)特性尤為明顯。摩擦死區(qū)特性能夠呵斥系統(tǒng)的低速不均勻,甚至使隨動(dòng)系統(tǒng)不能準(zhǔn)確跟蹤目的。一、死區(qū)〔不靈敏區(qū)〕其數(shù)學(xué)表達(dá)式為：式中：死區(qū)的存在會(huì)呵斥系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差，這是由于當(dāng)輸入信號(hào)未超越死區(qū)閥值時(shí)，其輸出信號(hào)為零，系統(tǒng)的前向通道處于斷開形狀，不產(chǎn)生調(diào)理作用。間隙又稱回環(huán)。傳動(dòng)機(jī)構(gòu)的間隙是一種常見的回環(huán)非線性特性。在齒輪傳動(dòng)中,由于間隙存在,當(dāng)自動(dòng)齒輪方向改動(dòng)時(shí),從動(dòng)輪堅(jiān)持原位不動(dòng),直到間隙消除后才改動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)方向。鐵磁元件中的磁滯景象也是一種回環(huán)特性。間隙特性對(duì)系統(tǒng)影響較為復(fù)雜,普通來(lái)說(shuō),它將使系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差增大，頻率呼應(yīng)的相位遲后也增大,從而使系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能惡化。采用雙片彈性齒輪(無(wú)隙齒輪)可消除間隙對(duì)系統(tǒng)的不利影響。三、間隙特性在各種傳動(dòng)機(jī)構(gòu)中，由于加工精度及運(yùn)動(dòng)部件的動(dòng)作需求，總會(huì)存在間隙。其特性如下圖：間隙特性降低了定位精度，使系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差增大；對(duì)動(dòng)態(tài)而言，間隙特性有相角滯后傾向，它使相角裕量減小，相對(duì)穩(wěn)定性變差，系統(tǒng)的振蕩加劇。四、繼電特性：由于繼電器吸合電壓與釋放電壓不等,使其特性中包含了死區(qū)、回環(huán)及飽和特性。當(dāng)a＝0時(shí)的特性稱為理想繼電器特性。繼電器的切換特性運(yùn)用得當(dāng)可改善系統(tǒng)的性能。如從非線性環(huán)節(jié)的輸出與輸入之間存在的函數(shù)關(guān)系劃分,非線性特性又可分為單值函數(shù)非線性與多值函數(shù)非線性兩類。例如死區(qū)特性、飽和特性及理想繼電器特性都屬于輸出與輸入間為單值函數(shù)關(guān)系的非線性特性。間隙特性和繼電器特性那么屬于輸出與輸入之間為多值函數(shù)關(guān)系的非線性特性。三位式繼電特性〔帶死區(qū)〕二位式繼電特性〔理想〕理想繼電控制系統(tǒng)普通最終處于自激振蕩形狀;帶死區(qū)的繼電特性將會(huì)添加系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差,但可提高系統(tǒng)動(dòng)態(tài)時(shí)的平穩(wěn)性,減緩系統(tǒng)的振蕩傾向,這點(diǎn)類似于死區(qū)和飽和特性.2非線性系統(tǒng)的特點(diǎn)一、定義：凡控制系統(tǒng)不能直接進(jìn)展線性化處置，或其運(yùn)動(dòng)方程不能用線性微分方程式來(lái)描畫的，均稱為非線性系統(tǒng)。例如：二、非線性系統(tǒng)的特點(diǎn)：1.非線性系統(tǒng)不服從迭加原理迭加原理只適用于線性系統(tǒng)，非線性系統(tǒng)用非線性微分方程來(lái)描畫，至今沒(méi)有一致求解方法，其實(shí)際也不完善。工程上目前也沒(méi)有通用的方法可很好地處理一切非線性問(wèn)題。2.非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性和運(yùn)動(dòng)方式線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性只取決于系統(tǒng)的構(gòu)造和參數(shù)〔即系統(tǒng)的特征根〕，而與輸入信號(hào)及初始條件無(wú)關(guān)。但非線性系統(tǒng)那么不然，它的穩(wěn)定性不僅與系統(tǒng)的構(gòu)造和參數(shù)有關(guān)，還與輸入信號(hào)及初始條件有關(guān)。因此不能籠統(tǒng)地泛指某個(gè)非線性系統(tǒng)能否穩(wěn)定，而必需指明不同條件下系統(tǒng)的穩(wěn)定性。3.非線性系統(tǒng)的自激振蕩線性系統(tǒng)只在阻尼比為零時(shí)，產(chǎn)生周期性的等幅振蕩；而且這樣情況極少出現(xiàn)，極易變化。但是在非線性系統(tǒng)中，常會(huì)出現(xiàn)具有一定頻率、一定振幅的穩(wěn)定的等幅振蕩，即自激振蕩?！瞓〕變量的變化微小。凡控制系統(tǒng)不能直接進(jìn)展線性化處置，或其運(yùn)動(dòng)方程不能用線性微分方程式來(lái)描畫的，均稱為非線性系統(tǒng)。注：其它典型非線性描畫函數(shù)的描畫函數(shù)計(jì)算方法一樣。繼電器的切換特性運(yùn)用得當(dāng)可改善系統(tǒng)的性能。2〕假設(shè)G(jω)軌跡包圍–1∕N(A〕，那么非線性系統(tǒng)不穩(wěn)定。此時(shí)，非線性環(huán)節(jié)可以用一個(gè)等效的元件來(lái)替代，該元件的輸入信號(hào)和輸出信號(hào)分別為研討非線性系統(tǒng)并不需求得其時(shí)域呼應(yīng)的準(zhǔn)確解，而重要關(guān)懷其時(shí)域呼應(yīng)的性質(zhì)，如：穩(wěn)定性、自持振蕩。在多數(shù)情況下，不希望有振蕩存在，必需設(shè)法消除它，但某些情況下，特意引入自激振蕩，使系統(tǒng)具有良好的靜、動(dòng)態(tài)特性。對(duì)動(dòng)態(tài)而言，間隙特性有相角滯后傾向，它使相角裕量減小，相對(duì)穩(wěn)定性變差，系統(tǒng)的振蕩加劇。它是非線性系統(tǒng)的頻率法，適用于具有低通濾波特性的各種階次的非線性系統(tǒng)。例如：例題(p168)繼電器的切換特性運(yùn)用得當(dāng)可改善系統(tǒng)的性能。非線性系統(tǒng)的自激振蕩的特點(diǎn)是：當(dāng)系統(tǒng)的構(gòu)造參數(shù)在一定范圍內(nèi)變動(dòng)時(shí)，自振景象仍能存在，只是振蕩參數(shù)稍有變化。在經(jīng)典控制實(shí)際中，自激振蕩是不穩(wěn)定的，但在現(xiàn)代控制實(shí)際中，按Lyapunov的定義，系統(tǒng)是穩(wěn)定的，只需自激振蕩的幅值在允許的范圍內(nèi)。自激振蕩是非線性實(shí)際研討的重要內(nèi)容。在多數(shù)情況下，不希望有振蕩存在，必需設(shè)法消除它，但某些情況下，特意引入自激振蕩，使系統(tǒng)具有良好的靜、動(dòng)態(tài)特性。三、分析非線性系統(tǒng)的方法：1.線性化近似方法運(yùn)用原那么：〔a〕非線性要素對(duì)系統(tǒng)影響很??；〔b〕變量的變化微小。2.描畫函數(shù)法它是非線性系統(tǒng)的頻率法，適用于具有低通濾波特性的各種階次的非線性系統(tǒng)。3.相平面法相平面法是非線性系統(tǒng)的圖解法。只適用于一、二階系統(tǒng)。5.李雅普諾夫法李雅普諾夫法是根據(jù)廣義能量概念確定非線性系統(tǒng)穩(wěn)定性的方法,原那么上適用于一切非線性系統(tǒng),但對(duì)于很多系統(tǒng),尋覓李雅普諾夫函數(shù)相當(dāng)困難。6.計(jì)算機(jī)仿真利用計(jì)算機(jī)模擬,可以稱心地處理實(shí)踐工程中相當(dāng)多的非線性系統(tǒng)問(wèn)題。這是研討非線性系統(tǒng)的一種非常有效的方法,但它只能給出數(shù)值解,無(wú)法得到解析解,因此缺乏對(duì)普通非線性系統(tǒng)的指點(diǎn)意義。留意：非線性常微分方程沒(méi)有一樣的求解方法，求解三階以上系統(tǒng)方程困難；不能用疊加原理；本質(zhì)非線性，即不能用小偏向方法進(jìn)展線性化。研討非線性系統(tǒng)并不需求得其時(shí)域呼應(yīng)的準(zhǔn)確解，而重要關(guān)懷其時(shí)域呼應(yīng)的性質(zhì)，如：穩(wěn)定性、自持振蕩。7.2描畫函數(shù)法一、描畫性函數(shù)的定義非線性元件的輸入為正弦波時(shí)，將其輸出的非正弦波的一次諧波〔基波)與輸入正弦波的復(fù)數(shù)比，定義為非線環(huán)節(jié)的描畫函數(shù)。分析：設(shè)輸入為：那么輸出：假設(shè)輸出為對(duì)稱奇函數(shù)，那么；假設(shè)具有低通濾波特性，高次諧波可忽略。

此時(shí)，非線性環(huán)節(jié)可以用一個(gè)等效的元件來(lái)替代，該元件的輸入信號(hào)和輸出信號(hào)分別為那么非線性環(huán)節(jié)輸出可以為那么輸入、輸出的復(fù)數(shù)比，即為描畫函數(shù)，常用表示。二．典型非線性特性的描畫函數(shù)〔1〕飽和特性的描畫函數(shù)飽和特性的輸入、輸出特性為當(dāng)輸入為正弦信號(hào)時(shí)其輸出信號(hào)的數(shù)學(xué)表達(dá)式由于x(t)為單值對(duì)稱函數(shù)，故有注：其它典型非線性描畫函數(shù)的描畫函數(shù)計(jì)算方法一樣。可參見表7-1自激振蕩是非線性實(shí)際研討的重要內(nèi)容。3〕假設(shè)G(jω)與–1∕N〔A〕相交，那么在交點(diǎn)處，系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定，能夠產(chǎn)生周期繼續(xù)震蕩，這種繼續(xù)震蕩可以用正弦振蕩來(lái)近似，其振蕩的振幅和頻率可以分別用交點(diǎn)處–1∕N〔A〕軌跡上的A值，G(jω)曲線上對(duì)應(yīng)的ω值來(lái)表征。因此不能籠統(tǒng)地泛指某個(gè)非線性系統(tǒng)能否穩(wěn)定，而必需指明不同條件下系統(tǒng)的穩(wěn)定性。例題(p168)例題(p168)但非線性系統(tǒng)那么不然，它的穩(wěn)定性不僅與系統(tǒng)的構(gòu)造和參數(shù)有關(guān)，還與輸入信號(hào)及初始條件有關(guān)。例題(p169)工程上目前也沒(méi)有通用的方法可很好地處理一切非線性問(wèn)題。本質(zhì)非線性，即不能用小偏向方法進(jìn)展線性化。本質(zhì)非線性，即不能用小偏向方法進(jìn)展線性化。例如，在例7.圖b)，頻率特性包圍負(fù)倒特性，不穩(wěn)定1、改動(dòng)非線性元件的參數(shù)〔b〕變量的變化微小。一、改動(dòng)線性部分的參數(shù)或?qū)€性部分進(jìn)展校正例題(p169)7.3用描畫函數(shù)法分析非線性系統(tǒng)1、系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析典型非線性系統(tǒng)構(gòu)造圖閉環(huán)傳送函數(shù)頻率特性為

特征方程為

式中-1/N(A〕，稱為非線性特性的負(fù)倒描畫函數(shù)。

比較：線性系統(tǒng)特征方程G(jω)=–1；線性系統(tǒng)，〔–1，j0〕點(diǎn)是判別穩(wěn)定的關(guān)鍵點(diǎn)。非線性系統(tǒng)，判別穩(wěn)定性不是點(diǎn)〔–1，j0〕,而是一條線–1∕N(A〕。由線性部分的頻率特性與描畫函數(shù)負(fù)倒特性之間相對(duì)位置可以判別非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定及自激振蕩，即可利用奈奎斯穩(wěn)定判據(jù)進(jìn)展分析。2、判據(jù)內(nèi)容：在開環(huán)幅相特性平面上，畫出線性特性G(jω)曲線(最小相位)。1〕假設(shè)G(jω)軌跡不包圍非線性負(fù)倒特性–1∕N〔A〕,那么此非線性系統(tǒng)穩(wěn)定2〕假設(shè)G(jω)軌跡包圍–1∕N(A〕，那么非線性系統(tǒng)不穩(wěn)定。3〕假設(shè)G(jω)與–1∕N〔A〕相交，那么在交點(diǎn)處，系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定，能夠產(chǎn)生周期繼續(xù)震蕩，這種繼續(xù)震蕩可以用正弦振蕩來(lái)近似，其振蕩的振幅和頻率可以分別用交點(diǎn)處–1∕N〔A〕軌跡上的A值，G(jω)曲線上對(duì)應(yīng)的ω值來(lái)表征。圖a)，頻率特性不包圍負(fù)倒特性，穩(wěn)定圖b)，頻率特性包圍負(fù)倒特性，不穩(wěn)定圖c)，兩特性相交，能夠產(chǎn)生自振。7.4改善非線性系統(tǒng)性能的方法一、改動(dòng)線性部分的參數(shù)或?qū)€性部分進(jìn)展校正1、減小線性部分的放大系數(shù)K值，使兩特性曲線不產(chǎn)生相交點(diǎn)。例題7.12、對(duì)線性部分進(jìn)展串聯(lián)校正，使兩特性曲線不產(chǎn)生相交點(diǎn)。例題(p168)3．對(duì)線