離散余弦變換離散余弦變換(DiscreteCosineTransform,簡稱DCT變換)是一種與傅立葉變換緊密相關的數學運算。在傅立葉級數展開式中，如果被展開的函數是實偶函數，那么其傅立葉級數中只包含余弦項，再將其離散化可導出余弦變換，因此稱之為離散余弦變換。DCT原理C(k)=2ccosn=0C(k)=2ccosn=0(2n+1)k兀

2N,k=0,1,...N-1k=0k=1,2,...,N-1,、2明(2n+1)k兀x(n)=「=乙c(k)C(k)cos,n=0,1,...N—1TOC\o"1-5"\h\z<N2Nk=0二維的DCT2(2m+1)k兀(2n+1)/兀Y(k,/)=c(k)c(l)?x(m,n)coscosMN2Mm=0n=0l=0,1,...,N-1。k=0k=1,2,...,M-1c(c(/)="k=0k=1,2,...,N-1二維逆離散余弦變換(IDCT)的定義如下:(2n+1)/兀cos2N2年1反1(2m+1)k^x(m,n)=."—c(k)c(/)Y(k,/)cosMN2MK=0L=0(2n+1)/兀cos2N，、小、…-、小-、…N,設y(n)=x(2n),y(N-n-1)=x(2n-1),n=0,1,...,—-12對x(n)做DCT變換，用y(n)替換x(n)，得2兀kn.sinN冗k——),k=0,1,...2兀kn.sinN冗k——),k=0,1,...N-12NX(k)=x(k)"y(n)(coscos一sinNN2Nn=0k=0k=1,2,...,N-1對y(n)做DFT變換，用歐拉公式展開，得

Y(k)=t1n=0/、2兀kn...2兀kny(n)cos+jsinNN,k=0,1,,N-1…、2很容易得出,x(k)Y(k)=t1n=0/、2兀kn...2兀kny(n)cos+jsinNN,k=0,1,,N-1…、2很容易得出,x(k)=孑x(k)cos%Thecommandsbelowcomputethediscretecosinetransformfortheautumn%image.Noticethatmostoftheenergyisintheupperleftcorner.RGB=imread('autumn.tif');I=rgb2gray(RGB);J=dct2(I);imshow(log(abs(J)),[]),colormap(jet(64)),colorbar%Nowsetvalueslessthanmagnitude10intheDCTmatrixtozero,andthen%reconstructtheimageusingtheinverseDCTfunctionidct2.J(abs(J)<10)=0;K=idct2(J);imview(I)imview(K,[0255])J的部分數據297853603.6-1762.71621-2092.82102-118.15-1461-619.01634.42-603.35311.98-386.95352.2710940779.34-521.39583.21-827.63499.28-86.533433.9385.5-2757.8-685.67-354.22974.36-1014.3-478.77137.71-100.7-2397.7365.12-680.77702.71-205.15-661.45-54.241-3875.3-645.331962.9-769.621174-159.97-10.454-141.26234.6682.381329.7-770.64731.9-157.91040.1152.08875.92872.3472.12-127.97-54.858-831.221232.6-234.97968.98-383.86-527.87-125.97-641.26-179.3372.05-826.34151.28-626.28-817.0389.972-172.79160.85-494.6-703.92-52.045-722.03415.47-171.91282.21271.9-452.22157.2-196.83-129.38350.66146.72356.730-85.975633.47019.2418.74678.66228.22-178.69253.58315.47-291.1699.85386.82-300.3528.409-256.85-22.00198.33分析：得到的系數可認為就是原始圖像信號在頻率不斷增大的余弦函數上的投影，也就是說一個圖像的DCT低頻系數分布在DCT系數矩陣的左上角，高頻系數分布在右下角，低頻系數的絕對值大與高頻系數的絕對值。中、低頻系數所含有的原始信號的成份較多，所以由其反變換重構圖像就能得到圖像的近似部分。高頻系數是在眾多正交的余弦函數上投影的加權，是這些不同頻率的余弦信號一起來刻畫原始信號的結果，圖像近似的部分在這些函數上被相互抵消了，剩下的就是圖像的細節(jié)部分了。例2我們用分塊函數的方法fun=@dct2;J=blkproc(I,[88],fun);imagesc(J),colormap(hot)DCT的物理意義在圖像壓縮編碼中，減少空間相關性的主要方法是正交變換。圖像經過正交變換后，能實現圖像數據壓縮的物理本質在于經過多維坐標系中的適當的坐標旋轉和變換，能夠把散在各個坐標軸上的原始圖像數據，在新的坐標系中集中到少數坐標軸上，因而能夠用較少編碼比特數來表示一幅圖像，實現圖像的壓縮編碼。圖像經DCT后，得到的DCT圖像有三個特點：一是系數值全部集中到0值附近(從直方圖統計的意義上)，動態(tài)范圍很小，這說明用較小的量化比