第八節(jié)一般周期的函數(shù)的傅里葉級數(shù)以2l

為周期的函數(shù)的傅里葉展開機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第十二章第八節(jié)一般周期的函數(shù)的傅里葉級數(shù)以2l為周期的函數(shù)的傅1一、以2l為周期的函數(shù)的傅里葉展開周期為2l函數(shù)f(x)周期為2

函數(shù)F(z)變量代換將F(z)作傅氏展開f(x)的傅氏展開式機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束一、以2l為周期的函數(shù)的傅里葉展開周期為2l函數(shù)f2設(shè)周期為2l

的周期函數(shù)f(x)滿足收斂定理?xiàng)l件,則它的傅里葉展開式為(在f(x)的連續(xù)點(diǎn)處)其中定理.機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束設(shè)周期為2l的周期函數(shù)f(x)滿足收斂定理?xiàng)l件,則它的3證明:令,則令則所以且它滿足收斂定理?xiàng)l件,將它展成傅里葉級數(shù):(在F(z)的連續(xù)點(diǎn)處)變成是以2為周期的周期函數(shù),機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束證明:令,則令則所以且它滿足收斂定理?xiàng)l件,將它展成傅里葉4其中令機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束其中令機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束5(在f(x)的連續(xù)點(diǎn)處)證畢

(在F(z)的連續(xù)點(diǎn)處)機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束(在f(x)的連續(xù)點(diǎn)處)證畢(在F(z)6說明:其中(在f(x)的連續(xù)點(diǎn)處)如果

f(x)

為偶函數(shù),則有(在f(x)的連續(xù)點(diǎn)處)其中如果f(x)為奇函數(shù),則有機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束說明:其中(在f(x)的連續(xù)點(diǎn)處)如果f(x)為7機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束注:

無論哪種情況,在f(x)的間斷點(diǎn)x處,收斂于傅里葉級數(shù)機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束注:8例1.把展開成(1)正弦級數(shù);(2)余弦級數(shù).解:(1)將f(x)作奇周期延拓,則有在x=2k處級數(shù)收斂于何值?機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束例1.把展開成(1)正弦級數(shù);(2)91208一般周期函數(shù)的傅里葉級數(shù)課件10(2)將

作偶周期延拓,則有機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束(2)將作偶周期延拓,則有機(jī)動目錄上頁111208一般周期函數(shù)的傅里葉級數(shù)課件12說明:此式對也成立,由此還可導(dǎo)出據(jù)此有機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束說明:此式對也成立,由此還可導(dǎo)出據(jù)此有機(jī)動目錄13當(dāng)函數(shù)定義在任意有限區(qū)間上時,令即在上展成傅里葉級數(shù)周期延拓將在代入展開式上的傅里葉級數(shù)其傅里葉展開方法:機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束當(dāng)函數(shù)定義在任意有限區(qū)間上時,令即在上展成傅里葉級數(shù)周期延拓14例3.將函數(shù)展成傅里葉級數(shù).解:令設(shè)將F(z)延拓成周期為10的周期函數(shù),理?xiàng)l件.由于F(z)是奇函數(shù),故則它滿足收斂定機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束例3.將函數(shù)展成傅里葉級數(shù).解:令設(shè)將F(z)延15機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束16為正弦級數(shù).內(nèi)容小結(jié)1.周期為2l的函數(shù)的傅里葉級數(shù)展開公式(x

間斷點(diǎn))其中當(dāng)f(x)為奇函數(shù)時,(偶)(余弦)2.在任意有限區(qū)間上函數(shù)的傅里葉展開法變換延拓機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束為正弦級數(shù).內(nèi)容小結(jié)1.周期為217思考與練習(xí)1.將函數(shù)展開為傅里葉級數(shù)時為什么最好先畫出其圖形?答:易看出奇偶性及間斷點(diǎn),2.計(jì)算傅里葉系數(shù)時哪些系數(shù)要單獨(dú)算?答:用系數(shù)公式計(jì)算如分母中出現(xiàn)因子n－k從而便于計(jì)算系數(shù)和寫出收斂域.必須單獨(dú)計(jì)算.習(xí)題課目錄上頁下頁返回結(jié)束思考與練習(xí)1.將函數(shù)展開為傅里葉級數(shù)時為什么最好先畫出其18備用題期的傅立葉級數(shù),并由此求級數(shù)(91考研)

解:為偶函數(shù),因f(x)偶延拓后在展開成以2為周的和.故得機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束備用題期的傅立葉級數(shù),并由此求級數(shù)(91考研)解:為偶19得故機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束得故機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束20第八節(jié)一般周期的函數(shù)的傅里葉級數(shù)以2l

為周期的函數(shù)的傅里葉展開機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第十二章第八節(jié)一般周期的函數(shù)的傅里葉級數(shù)以2l為周期的函數(shù)的傅21一、以2l為周期的函數(shù)的傅里葉展開周期為2l函數(shù)f(x)周期為2

函數(shù)F(z)變量代換將F(z)作傅氏展開f(x)的傅氏展開式機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束一、以2l為周期的函數(shù)的傅里葉展開周期為2l函數(shù)f22設(shè)周期為2l

的周期函數(shù)f(x)滿足收斂定理?xiàng)l件,則它的傅里葉展開式為(在f(x)的連續(xù)點(diǎn)處)其中定理.機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束設(shè)周期為2l的周期函數(shù)f(x)滿足收斂定理?xiàng)l件,則它的23證明:令,則令則所以且它滿足收斂定理?xiàng)l件,將它展成傅里葉級數(shù):(在F(z)的連續(xù)點(diǎn)處)變成是以2為周期的周期函數(shù),機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束證明:令,則令則所以且它滿足收斂定理?xiàng)l件,將它展成傅里葉24其中令機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束其中令機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束25(在f(x)的連續(xù)點(diǎn)處)證畢

(在F(z)的連續(xù)點(diǎn)處)機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束(在f(x)的連續(xù)點(diǎn)處)證畢(在F(z)26說明:其中(在f(x)的連續(xù)點(diǎn)處)如果

f(x)

為偶函數(shù),則有(在f(x)的連續(xù)點(diǎn)處)其中如果f(x)為奇函數(shù),則有機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束說明:其中(在f(x)的連續(xù)點(diǎn)處)如果f(x)為27機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束注:

無論哪種情況,在f(x)的間斷點(diǎn)x處,收斂于傅里葉級數(shù)機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束注:28例1.把展開成(1)正弦級數(shù);(2)余弦級數(shù).解:(1)將f(x)作奇周期延拓,則有在x=2k處級數(shù)收斂于何值?機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束例1.把展開成(1)正弦級數(shù);(2)291208一般周期函數(shù)的傅里葉級數(shù)課件30(2)將

作偶周期延拓,則有機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束(2)將作偶周期延拓,則有機(jī)動目錄上頁311208一般周期函數(shù)的傅里葉級數(shù)課件32說明:此式對也成立,由此還可導(dǎo)出據(jù)此有機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束說明:此式對也成立,由此還可導(dǎo)出據(jù)此有機(jī)動目錄33當(dāng)函數(shù)定義在任意有限區(qū)間上時,令即在上展成傅里葉級數(shù)周期延拓將在代入展開式上的傅里葉級數(shù)其傅里葉展開方法:機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束當(dāng)函數(shù)定義在任意有限區(qū)間上時,令即在上展成傅里葉級數(shù)周期延拓34例3.將函數(shù)展成傅里葉級數(shù).解:令設(shè)將F(z)延拓成周期為10的周期函數(shù),理?xiàng)l件.由于F(z)是奇函數(shù),故則它滿足收斂定機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束例3.將函數(shù)展成傅里葉級數(shù).解:令設(shè)將F(z)延35機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束36為正弦級數(shù).內(nèi)容小結(jié)1.周期為2l的函數(shù)的傅里葉級數(shù)展開公式(x

間斷點(diǎn))其中當(dāng)f(x)為奇函數(shù)時,(偶)(余弦)2.在任意有限區(qū)間上函數(shù)的傅里葉展開法變換延拓機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束為正弦級數(shù).內(nèi)容小結(jié)1.周期為237思考與練習(xí)1.將函數(shù)展開為傅里葉級數(shù)時為什么最好先畫出其圖形?答:易看出奇偶性及間斷點(diǎn),2.計(jì)算傅里葉系數(shù)時哪些系數(shù)要單獨(dú)算?答:用系數(shù)公式計(jì)算如分母中出現(xiàn)因子n－k從而便于計(jì)算系數(shù)和寫出收斂域.必須單獨(dú)計(jì)算.習(xí)題課目錄上頁下頁返回結(jié)束思考與練習(xí)