第五章數(shù)據(jù)處理5.1數(shù)值修約

有效位數(shù)：從非零數(shù)字最左一位向右數(shù)得到的位數(shù)。兩位：3.2,0.32,0.032,0.0032

三位：0.0320

四位：10.00

五位：12.490

對于35000，若為三位有效位數(shù)，應(yīng)寫為350×102;若為兩位有效位數(shù)，應(yīng)寫為35×103。第1頁，共45頁。第五章數(shù)據(jù)處理運算湊整:

在加、減運算時，在各數(shù)中以小數(shù)位數(shù)最少的為準，其余的數(shù)均湊成比該數(shù)多一位。計算結(jié)果的末位的數(shù)量級應(yīng)與參與運算的數(shù)中末位的數(shù)量級最大的那個數(shù)相同，若結(jié)果尚需參與下一步運算，則可多保留一位。例：18.3+1.4546+0.87618.3+1.45+0.88=20.63計算結(jié)果取20.6，如尚需參與下一步運算，則取20.63

在檢測中，與標準限值的比較也是一種減運算（差值），因此，應(yīng)保留比限值末位多出一位的有效數(shù)字。第2頁，共45頁。第五章數(shù)據(jù)處理運算湊整:

在進行乘、除運算時，以有效數(shù)字位數(shù)最少的那個數(shù)為準，其余的數(shù)均湊成比該數(shù)多一位。運算結(jié)果的有效數(shù)字位數(shù)應(yīng)與參與運算的數(shù)中有效數(shù)字位數(shù)最少的那個數(shù)相同。若結(jié)果尚需參與下一步運算，則有效數(shù)字可多取一位。例：1.1×0.3268×0.103001.1×0.327×0.103=0.0370

計算結(jié)果為0.037，如尚需參與下一步運算，則取0.0370第3頁，共45頁。第五章數(shù)據(jù)處理

數(shù)值修約

GB/T8170-2008《數(shù)值修約規(guī)則與極限數(shù)值的表示與判定》1、指定修約間隔（位數(shù)）*不采用有效位數(shù)的概念修約間隔：

修約值的最小數(shù)值單位指明將數(shù)值修約到n位小數(shù)分別表示保留n位小數(shù)；保留到個位數(shù)；保留到百位數(shù)；保留到千位數(shù)；保留到萬位數(shù)；………第4頁，共45頁。第五章數(shù)據(jù)處理2、進舍規(guī)則欲保留部分|擬舍棄部分×××|××××2.1當擬舍棄部分的最左一位數(shù)字小于5時，則舍去。例1：將12.1498修約，修約間隔為10-1(修約到一位小數(shù)),得121×10-1

。（特定場合可寫為12.1）。寫成121×10-1

表明此數(shù)值是經(jīng)修約后得來的，它的修約間隔為10-1。在已經(jīng)明確此數(shù)值是經(jīng)修約后得來的情形下，可以寫成12.1。2.2當擬舍棄數(shù)字的最左一位數(shù)字大于5，則進一，即保留數(shù)字的末位數(shù)字加1例2：將1268修約，修約間隔102(修約到“百”數(shù)位)，得13×102（特定場合可寫為1300）。第5頁，共45頁。第五章數(shù)據(jù)處理

2.3擬舍棄數(shù)字的最左一位數(shù)字是5，且其后有非0數(shù)字時進一，即保留數(shù)字的末位數(shù)字加1。例3：將10.5002修約，修約間隔100(修約到個數(shù)位)，得11×100

（特定場合可寫為11）2.4當擬舍棄數(shù)字的最左一位數(shù)字為5;而右面無數(shù)字或皆為0時，若所保留的末位數(shù)字為奇數(shù)(1,3,5,7,9)則進一，為偶數(shù)(2,4,6,8,0)，則舍棄。例4：將12.15修約,修約間隔10-1(修約到一位小數(shù)),得122×10-1

。（特定場合可寫為12.2）例5：將12.25修約,修約間隔10-1(修約到一位小數(shù)),得122×10-1

。（特定場合可寫為12.2）第6頁，共45頁。第五章數(shù)據(jù)處理2.5負數(shù)修約時，先將它的絕對值按上述規(guī)定進行修約，然后在修約值前面加上負號。例7：將-36.45修約，修約間隔10-1(修約到一位小數(shù)),得-364×10-1

（特定場合可寫為-36.4）。例8：將-0.00365修約，修約間隔10-4(修約到4位小數(shù)),得-0.0036第7頁，共45頁。第五章數(shù)據(jù)處理

3、GB/T8170修約法與四舍五入法的比較3.14舍5入的不合理性用4舍5入法進行修約，當擬舍棄部分的最左面的第一位是0，1，2，3，4，時，則舍去包括這位在內(nèi)的右面所有數(shù)據(jù)，其欲保留部分的數(shù)值不變；當擬舍棄部分的最左面的第一位是5，6，7，8，9，時，則將欲保留部分的最右位數(shù)的數(shù)值加1；顯然，這樣做舍去的可能性有四種，而晉入的可能性有五種，會使得第8頁，共45頁。第五章數(shù)據(jù)處理3.2新數(shù)值修約規(guī)則的科學性用本標準規(guī)定的方法進行修約，使得舍去的機會和晉入的機會相等，從統(tǒng)計意義上，修約后的數(shù)值不變。即：設(shè)數(shù)據(jù)列為，用新數(shù)值修約規(guī)則修約上述數(shù)據(jù)列，修約為，記：

，由于用新數(shù)值修約規(guī)則舍去的可能性與晉入的可能性相等，所以有：，第9頁，共45頁。第五章數(shù)據(jù)處理4、不允許連續(xù)修約

擬修約數(shù)字應(yīng)在確定修約位數(shù)后一次修約獲得結(jié)果，而不得多次按上述規(guī)則連續(xù)修約，否則會產(chǎn)生累積不確定度。注意：在讀表記數(shù)時，原始記錄如實記錄顯示值，報告中數(shù)值一步修約到位例1：將15.4546修約到整數(shù)。正確的做法：15.4546→15不正確的做法：15.4546→15.45515.455→15.4615.46→15.515.5→1615.4546→15.455→15.46→15.5→16

第10頁，共45頁。

第五章數(shù)據(jù)處理5.2測量不確定度的評定測量不確定度的概念理解測量不確定度：表征合理地賦予被測量之值的分散性，與測量結(jié)果相聯(lián)系的參數(shù)。由于測試技術(shù)的不完善，人類認識能力所限，被測量的“真值”是不可知的，在實際工作中得到的僅是“合理賦予被測量的值”，且不止一個，可以是多個。這些值的分散性就是不確定度。他表示出測量結(jié)果的范圍，被測量的真值以一定的概率落于其中第11頁，共45頁。序號測量誤差測量不確定度

1測量結(jié)果減去被測量的真值，是具有正號和負號的量值。用標準偏差或其倍數(shù)的半寬度(置信區(qū)間)表示，并需要說明置信概率。無符號參數(shù)（或取正號）。

2表明測量結(jié)果偏離真值。說明合理地賦予被測量之值(最佳估值)的分散性。

3客觀存在，不以人的認識程度而改變。與評定人員對被測量、影響量及測量過程的認識密切相關(guān)。

4不能準確得到真值，而是用約定真值代替真值，此時只能得到真值的估計值。

通過實驗、資料、根據(jù)評定人員的理論和實踐經(jīng)驗進行評定，可以定量給出。

5按性質(zhì)可分為隨機誤差和系統(tǒng)誤差兩大類，都是無窮多次測量下的理想概念。

不必區(qū)分性質(zhì)，必要時可表述為“隨機效應(yīng)或系統(tǒng)效應(yīng)引起的不確定度分量”?？蓪⒃u定方法分為“A類或B類標準不確定度評定方法”。

6已知系統(tǒng)誤差的估計值，可對測量結(jié)果進行修正，得到已修正的測量結(jié)果。

不能用測量不確定度修正測量結(jié)果。

測量誤差與測量不確定度的主要區(qū)別第12頁，共45頁。第五章數(shù)據(jù)處理測量不確定度的評定流程1建立數(shù)學模型在多數(shù)情況下，被測量Y（輸出量）不能直接測得，而是由N個其他量X1，X2，，XN通過函數(shù)關(guān)系f來確定：

Y=f(X1，X2，，XN)

上式稱為測量模型或數(shù)學模型，或稱為測量過程數(shù)學模型。輸入量X1，X2，，XN本身可看作被測量，也可取決于其他量，甚至包括具有系統(tǒng)效應(yīng)的修正值，從而可能導出一個十分復雜的函數(shù)關(guān)系式，以至函數(shù)f不能用顯式表示。有時輸出量的數(shù)學模型也可能簡單到Y(jié)=X。數(shù)學模型往往不是惟一的，通常取決于測量方法、測量儀器、環(huán)境條件等。

第13頁，共45頁。第五章數(shù)據(jù)處理2求最佳估值——多次測量的平均值所謂最佳估值是指被測量（輸出量）Y的估計值y。有以下兩種方法：方法1）方法2）式中是X的n次獨立觀測值xik的算術(shù)平均值。

當y是xi的線性函數(shù)時，兩種方法的結(jié)果相同。當y是xi的非線性函數(shù)時，建議采用方法1）求取被測量Y的最佳估值y。

第14頁，共45頁。第五章數(shù)據(jù)處理

一般而言，測量數(shù)值越多，得到的“真值”的估計值就越好。理想的估計值應(yīng)當用無窮多數(shù)值集來求平均值。但是增加讀數(shù)要做額外的工作，并增大測量成本，且會產(chǎn)生“縮小回報”的效果。一般情況下，取n≥3，以n=4~20為宜，根據(jù)經(jīng)驗通常取6～10次讀數(shù)就足夠了。

第15頁，共45頁。第五章數(shù)據(jù)處理3測量不確定度的來源

被測對象測量設(shè)備測量環(huán)境測量人員測量方法第16頁，共45頁。第五章數(shù)據(jù)處理標準不確定度分量評定不確定度的A類評定：用對觀測列進行統(tǒng)計分析的方法來評定標準不確定度。亦即采用統(tǒng)計方法進行的標準不確定度估計（通常采用重復測量）。不確定度的B類評定:

用不同于觀測列進行統(tǒng)計分析的方法來評定標準不確定度?？筛鶕?jù)其他信息的標準不確定度估計。這些信息可能來自過去的經(jīng)驗、校準證書、生產(chǎn)廠的技術(shù)說明書、手冊、出版物、計算、常識等。第17頁，共45頁。第五章數(shù)據(jù)處理不確定度的A類評定對同一被測量X作n次測量，表征每次測量結(jié)果分散性的量s(xi)可按下式算出：式中xi為第i次測量的結(jié)果;為所考慮的n次測量結(jié)果的算術(shù)平均值；稱為殘差。上式稱作貝塞爾公式，它描述了各個測量值的分散度。有時將s(xi)稱作單次測量結(jié)果的標準偏差。

第18頁，共45頁。第五章數(shù)據(jù)處理

如果為客戶所做的某項測量不是實驗室的常規(guī)測量，則不確定度的A類評定應(yīng)隨該項測量實時進行。但實驗室常常是在類似的條件下，用相同的設(shè)備相同的方法，在常規(guī)基礎(chǔ)上做基本類似性質(zhì)的測量。在這種情況下，通常不需要每次測量都進行A類標準不確定度評定，可以直接引用預先評定的結(jié)果。但如果隨后的測量進行幾次(典型情況是n′＝3)，而且將n′次測量的平均值作為結(jié)果提供給客戶，則應(yīng)由原先的實驗獲得的標準差s(x)除以次數(shù)n′的平方根，以求得算術(shù)平均值的實驗標準差。

第19頁，共45頁。

【實例】

某實驗室事先對某一電流量進行n＝10次重復測量，測量值列于下表。單次測量的估計標準偏差s（x）＝0.074mA。在同一系統(tǒng)中在以后做單次（n′＝1）測量，測量值

x＝46.39mA，求這次測量的標準不確定度u（x）。②

在同一系統(tǒng)中在以后做3（n′＝3）次測量，

mA，求這次測量的標準不確定度第五章數(shù)據(jù)處理第20頁，共45頁。

對某一電流量進行n＝10次重復測量的測量值

次數(shù)i

12345測量值mA

46.446.546.446.346.5次數(shù)i

678910測量值mA

46.346.346.446.446.4平均值

46.39mA

單次測量的標準偏差s(x)

0.074mA

第五章數(shù)據(jù)處理第21頁，共45頁?！窘狻竣?/p>

對于單次測量，則其標準不確定度等于1倍單次測量的標準偏差：

x＝46.39mA，

u(x)=s(x)=0.074mA?！窘狻竣趯τ趎′＝3測量，測量結(jié)果為：

的標準不確定度為：第五章數(shù)據(jù)處理第22頁，共45頁。第五章數(shù)據(jù)處理不確定度的B類評定

B類不確定度來源

1.以前的觀測數(shù)據(jù)；

2.對有關(guān)技術(shù)資料的測量儀器特性的了解和經(jīng)驗；

3.生產(chǎn)企業(yè)提供的技術(shù)說明文件；

4.校準證書（檢定證書）或其他文件提供的數(shù)據(jù)、準確度的等級或級別，包括目前仍在使用的極限誤差、最大允許誤差等；

5.手冊或某些資料給出的參考數(shù)據(jù)及其不確定度；

6.規(guī)定試驗方法的國家標準或類似技術(shù)文件中給出的重復性限或復現(xiàn)性限。第23頁，共45頁。第五章數(shù)據(jù)處理分布┈┈數(shù)據(jù)散布的“形狀”

正態(tài)分布在一組讀數(shù)中，較多的讀數(shù)值靠近平均值，少數(shù)讀數(shù)值離平均值較遠。這就是正態(tài)分布或高斯分布的特征。

均勻分布（矩形分布）當測量值非常平均地散布在最大值和最小值之間的范圍內(nèi)時，就產(chǎn)生了矩形分布或稱為均勻分布。

其他分布還有其他分布形狀，但較少見，例如三角分布、反余弦分布（U型分布）等。第24頁，共45頁。xf(x)2323正態(tài)分布正態(tài)分布

●

標準不確定度：第五章數(shù)據(jù)處理（95%的置信概率）（99%的置信概率）

特征：一組讀數(shù)中，較多的讀數(shù)值靠近平均值，少數(shù)讀數(shù)值離平均值較遠。第25頁，共45頁。符合如下條件之一者一般可估計為正態(tài)分布重復條件或復現(xiàn)條件下多次測量的算術(shù)平均值的分布；被測量量Y用擴展不確定度Up給出，而對其分布又沒有特殊指明時，估計值Y的分布；被測量Y的合成標準不確定度uc(y)

中，相互獨立的分量ui(y)較多，它們之間的大小也比較接近時，Y的分布；被測量Y的合成標準不確定度uc(y)中，相互獨立的分量ui(y)

中，存在兩個界限值接近的三角分布，或4個界限值接近的均勻分布時；被測量Y的合成標準不確定度uc(y)的相互獨立的ui(y)

分量中，量值較大的分量（起著決定作用的分布）接近正態(tài)分布時。第五章數(shù)據(jù)處理第26頁，共45頁。

第五章數(shù)據(jù)處理

矩形(均勻)分布

●

標準不確定度：

●特征：

估計值以p＝100％的概率均勻散布在a區(qū)間內(nèi)，落在該區(qū)間外的概率為零；且沒有說明概率分布。

2a(=a)x1/2a矩形（均勻）分布第27頁，共45頁。符合如下條件之一者一般可估計為矩型分布：數(shù)據(jù)修約導致的不確定度；數(shù)字式測量儀器對示值量化（分辨率）導致的不確定度；測量儀器由于滯后、摩擦效應(yīng)導致的不確定度；按級使用的數(shù)字式儀表、測量儀器最大允許誤差導致的不確定度；用上、下界給出的線膨脹系數(shù)；測量儀器度盤或齒輪回差引起的不確定度；平衡指示器調(diào)零不準導致的不確定度。第五章數(shù)據(jù)處理第28頁，共45頁。【例1】校準證書給出電流表1A檔的不確定度為滿偏轉(zhuǎn)的1.0％，置信概率95％。

由證書可知，在該檔，不確定度U是1A的1.0％，k＝2。所以，

第五章數(shù)據(jù)處理第29頁，共45頁。【例2】儀器制造廠的說明書給出儀器的準確度（或誤差）為1%。

我們就可以假定這是對儀器最大誤差限值的說明，而且所有測量值的誤差值是等概率地（矩形分布）處于該限值范圍[0.01，0.01]內(nèi)。（因為大于1%誤差限的儀器，屬于不合格品，制造廠不準出廠；或者檢定不合格，不準投入使用。）矩形分布的包含因子，儀器誤差的區(qū)間半寬度=0.01(1%)。因此，標準不確定度為：

第五章數(shù)據(jù)處理第30頁，共45頁。第五章數(shù)據(jù)處理5列表對初學者而言，列表給出不確定度分量的匯總是不確定度評定必不可少的一個步驟，該步驟可以使評定人員檢查所完成的不確定度評定，是否識別了對總不確定度有貢獻的所有來源。也可以使評定人員進一步檢查，對不確定度有貢獻的所有來源是否都以足夠的準確度換算成了標準不確定度。通過不確定度分量匯總，可使評定人員進一步理清思路，明確哪一個不確定度來源對測量結(jié)果的質(zhì)量影響較大，從而在測量過程中重點可知該因素的影響。下表是推薦給初學者的一種不確定度分量匯總表格式。

第31頁，共45頁。不確定度來源數(shù)值類型概率分布包含因子標準不確定度靈敏系數(shù)不確定度貢獻合成標準不確定度uc(y)擴展不確定度U(y)(取包含因子k＝2，p95%)第五章數(shù)據(jù)處理第32頁，共45頁。

第五章數(shù)據(jù)處理6合成標準不確定度

定義：

當測量結(jié)果是由若干個其它量的值求得時，按其它各量的方差和協(xié)方差算得的標準不確定度。注：它是測量結(jié)果標準差的估計值。

第33頁，共45頁。第五章數(shù)據(jù)處理

影響測量結(jié)果不確定度的因素很多，為了計算總不確定度，需要將各不確定度分量進行合成。由A類和B類評定所計算得到的多個標準不確定度可以用“方和根RSS方法”有效地進行合成。這樣合成的結(jié)果稱為合成標準不確定度，用uc（下角標c是合成combined的詞頭）或uc（y）（y的合成標準不確定度）來表示，即此時有，所以上式可寫為第34頁，共45頁。第五章數(shù)據(jù)處理

靈敏系數(shù)在求出各個輸入量的不確定度分量ui(x)之后，還需要計算傳播系數(shù)（靈敏系數(shù)）ci，最后計算由此引起的被測輸出量y的標準不確定度分量：式中傳播系數(shù)或靈敏系數(shù)的含義是，輸入量的估計值xi的單位變化引起的輸出量的估計值y的變化量，即起到了不確定度的傳播作用。輸入量標準不確定度輸出量標準不確定度第35頁，共45頁。第五章數(shù)據(jù)處理7擴展不確定度

定義：確定測量結(jié)果區(qū)間的量，合理賦予被測量值分布的大部分可望含于此區(qū)間。為了表征賦予被測量之值的分散性，測量不確定度往往用標準（偏）差表示。在實際使用中，由于人們往往希望知道測量結(jié)果的置信區(qū)間，因此測量不確定度也可用標準偏差的倍數(shù)或說明了置信水準的半寬度表示。為了區(qū)分這2種不同的表示方法，分別稱他們?yōu)闃藴什淮_定度和擴展不確定度。

第36頁，共45頁。第五章數(shù)據(jù)處理

擴展不確定度通常用U表示，即U（y）=kuc(y)K：包含因子

uc(y)：合成標準不確定度以上2個參數(shù)：一個表示測量不確定度的大小，即置信區(qū)間；另一個表示置信水準（或稱置信概率），表明測量結(jié)果落在該區(qū)間有多大把握。

第37頁，共45頁。第五章數(shù)據(jù)處理包含因子k的選擇包含因子k的確定，有以下2種情況：

(1)當給出或能夠求出各輸入分量不確定度的自由度i，并可以據(jù)此求出有效自由度eff時，如果自由度eff的值較小，則需要根據(jù)eff和設(shè)定的置信水準（置信概率）p查t分布表，查得的臨界值tp(eff)就是所需的包含因子kp值。

有時將給定k值的擴展不確定度表示為U或U(y)；或?qū)⑼ㄟ^給定置信水準（置信概率）p求出的包含因子k表示為kp，對應(yīng)的擴展不確定度表示為Up或Up(y)，如U95或U95(y)。第38頁，共45頁。第五章數(shù)據(jù)處理(2)

當被測量的Y可能值y及其合成標準不確定度uc(y)的概率分布近似為正態(tài)分布，且uc(y)的有效自由度eff較大（eff

50）時，在合成標準不確定度uc(y)確定后，直接給出相應(yīng)的包含因子k即可，通常取k=2~3，一般為2，有時為3，取決于被測量的重要性、效益和風險，按國際實驗室指南文件建議采用k=2，避免了較為復雜的自由度的計算。k=2時，對應(yīng)的置信概率p95%；k=3

時，置信概率p99%。第39頁，共45頁。第五章數(shù)據(jù)處理自由度的確定定義：在方差的計算中，和的項數(shù)減去對和的限制數(shù)。自由度所反映的是信息量，故可用來衡量不確定度的可靠程度。A類評定自由度=n-1B類評定自由度對于B類評定得出的標準不確定度來說，自由度是由分量之值的可靠程度來判斷的，它是一個主觀量，是試驗人員憑借測量過程的經(jīng)驗和認識求出的。

第40頁，共45頁。第五章數(shù)據(jù)處理合成標準不確定度的自由度合成標準不確定度uc(y)的自由度稱為有效自由度eff。如果是兩個或多個估計方差分量的合成，即則通常可以認為它服從t分布，其有效自由度用韋爾奇–薩特思韋特(Welch-Satterthwaite)公式計算：式中，i是u(xi)自由度。顯然有：

第41頁，共45頁。第五章數(shù)據(jù)處理

8不確定度報告

測量結(jié)果及其不確定度報告的有效位數(shù)●報告測量不確定度首先必須報告測量結(jié)果。

●擴展不確定度不按數(shù)據(jù)修約規(guī)則舍取，而是直接進位。

●測量不確定度的有效位取到測量結(jié)果相應(yīng)的有效位數(shù)。

第42頁，共45頁。第五章數(shù)據(jù)處理

U=kuc(y)的報告常采用以下兩種形式之一【例8.1】

如果測量某物品質(zhì)量，測量值為：ms=100.02147g，其測量不確定度評定結(jié)果為：uc(y)＝