第8章誤差分析12022/12/2第8章誤差分析28.1穩(wěn)態(tài)誤差的基本概念本章內(nèi)容8.2給定信號作用下的穩(wěn)態(tài)誤差及計算8.3擾動信號作用下的穩(wěn)態(tài)誤差及計算8.4改善系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)精度的方法引言系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)分量反映系統(tǒng)跟蹤控制信號的準(zhǔn)確度或抑制擾動信號的能力，用穩(wěn)態(tài)誤差來描述。在系統(tǒng)的分析、設(shè)計中，穩(wěn)態(tài)誤差是一項重要的性能指標(biāo)，它與系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)、參數(shù)及外作用的形成有關(guān)，也與元件的不靈敏、零點漂移、老化及各種傳動機械的間隙、摩擦等因素有關(guān)。2022/12/2第8章誤差分析3引言誤差的分類給定穩(wěn)態(tài)誤差（由給定輸入引起的穩(wěn)態(tài)誤差）

對于隨動系統(tǒng)，給定輸入變化，要求系統(tǒng)輸出量以一定的精度跟隨輸入量的變化，因而用給定穩(wěn)態(tài)誤差來衡量系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能。擾動穩(wěn)態(tài)誤差（由擾動輸入引起的穩(wěn)態(tài)誤差）

對恒值系統(tǒng)，給定輸入通常是不變的，需要分析輸出量在擾動作用下所受到的影響，因而用擾動穩(wěn)態(tài)誤差來衡量系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能。2022/12/2第8章誤差分析48.1穩(wěn)態(tài)誤差的基本概念設(shè)控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖為：當(dāng)輸入信號R(s)與主反饋信號B(s)不等時，比較裝置的輸出為此時，系統(tǒng)在E(s)信號作用下產(chǎn)生動作，使輸出量趨于希望值。通常，稱E(s)為誤差信號，簡稱誤差（亦稱偏差）。2022/12/2第8章誤差分析58.1穩(wěn)態(tài)誤差的基本概念控制系統(tǒng)的誤差

e1(t)一般定義為輸出量的希望值與實際值之差。對上圖所示的典型系統(tǒng)，其誤差定義為：式中，Cr(t)為系統(tǒng)輸出量的希望值，C(t)為輸出量的實際值。第一式中的誤差是從系統(tǒng)輸出端來定義的，它在性能指標(biāo)提法中經(jīng)常使用，但在實際系統(tǒng)中無法測量，因而，一般只有數(shù)學(xué)意義。而第二式中系統(tǒng)偏差是從系統(tǒng)的輸入端來定義的，它在系統(tǒng)中是可以測量的，因而具有實用性。2022/12/2第8章誤差分析68.1穩(wěn)態(tài)誤差的基本概念誤差本身是時間函數(shù)，其時域表達(dá)式為式中，

為系統(tǒng)誤差傳遞函數(shù)，由下式?jīng)Q定：2022/12/2第8章誤差分析78.1穩(wěn)態(tài)誤差的基本概念在誤差信號e(t)中，包含瞬態(tài)分量ets(t)和穩(wěn)態(tài)分量ess(t)兩部分。由于系統(tǒng)必須穩(wěn)定，故當(dāng)時間趨于無窮時，必有ets(t)趨于零。因而，控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差定義為誤差信號e(t)的穩(wěn)態(tài)分量ess(∞)，常以ess簡單標(biāo)志。如果有理函數(shù)sE(s)除在原點處有惟一的極點外，在s右半平面及虛軸上解析，即sE(s)的極點均位于s左半平面（包括坐標(biāo)原點），則可根據(jù)拉氏變換的終值定理，求出系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差：2022/12/2第8章誤差分析88.1穩(wěn)態(tài)誤差的基本概念由于上式算出的穩(wěn)態(tài)誤差是誤差信號穩(wěn)態(tài)分量ess(t)在t趨于無窮時的數(shù)值，故有時稱為終值誤差，它不能反映ess(t)隨時間t的變化規(guī)律，具有一定的局限性。2022/12/2第8章誤差分析98.1穩(wěn)態(tài)誤差的基本概念【例8-1】設(shè)單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

，輸入信號分別為

以及

，試求控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。解：（1）當(dāng)

時，,求得顯然，

sE(s)在s=0處，有一個極點。對上式取拉氏反變換，得誤差響應(yīng)2022/12/2第8章誤差分析108.1穩(wěn)態(tài)誤差的基本概念其中，

隨時間增長逐漸衰減至零；

表明穩(wěn)態(tài)誤差（2）當(dāng)時，由于所以得2022/12/2第8章誤差分析118.1穩(wěn)態(tài)誤差的基本概念在一般情況下，分子階次為m，分母階次為n的開環(huán)傳遞函數(shù)可表示為式中，K為開環(huán)增益；τi和Tj為時間常數(shù)；υ為開環(huán)系統(tǒng)在s平面坐標(biāo)原點上的極點的重數(shù)。也是系統(tǒng)積分環(huán)節(jié)的個數(shù)。2022/12/2第8章誤差分析128.1穩(wěn)態(tài)誤差的基本概念υ的數(shù)值決定了系統(tǒng)的形式：υ=0：稱為0型系統(tǒng)υ=1：稱為I型系統(tǒng)υ=2：稱為II型系統(tǒng)……注：一般來說，υ>2時，除復(fù)合控制系統(tǒng)外，使系統(tǒng)穩(wěn)定是相當(dāng)困難的。因此除航天控制系統(tǒng)外，III型及以上的系統(tǒng)幾乎不采用。2022/12/2第8章誤差分析138.2給定信號作用下的穩(wěn)態(tài)誤差及計算8.2.1

階躍輸入作用下的穩(wěn)態(tài)誤差與靜態(tài)位置誤差系數(shù)若

，其中R為輸入階躍函數(shù)的幅值，則2022/12/2第8章誤差分析148.2給定信號作用下的穩(wěn)態(tài)誤差及計算可以算得各型系統(tǒng)在階躍輸入作用下的穩(wěn)態(tài)誤差為對于0型單位反饋控制系統(tǒng)，在單位階躍輸入作用下穩(wěn)態(tài)誤差是希望輸出1與實際輸出K/(1+K)之間的位置誤差。習(xí)慣上常采用靜態(tài)位置誤差系數(shù)Kp表示各型系統(tǒng)在階躍輸入作用下的位置誤差。2022/12/2第8章誤差分析158.2給定信號作用下的穩(wěn)態(tài)誤差及計算根據(jù)穩(wěn)態(tài)誤差公式，當(dāng)

時，有式中稱為靜態(tài)位置誤差系數(shù)。各型系統(tǒng)的靜態(tài)位置誤差系數(shù)為2022/12/2第8章誤差分析168.2給定信號作用下的穩(wěn)態(tài)誤差及計算如果要求系統(tǒng)對于階躍輸入作用不存在穩(wěn)態(tài)誤差，則必須選用I型及I型以上的系統(tǒng)。習(xí)慣上常把系統(tǒng)在階躍輸入作用下的穩(wěn)態(tài)誤差稱為靜差。0型系統(tǒng)可稱為有（靜）差系統(tǒng)或零階無差度系統(tǒng)，I型系統(tǒng)可稱為一階無差系統(tǒng)，II型系統(tǒng)可稱為二階無差度系統(tǒng)，依此類推。2022/12/2第8章誤差分析178.2給定信號作用下的穩(wěn)態(tài)誤差及計算8.2.2

斜坡輸入作用下的穩(wěn)態(tài)誤差與靜態(tài)速度誤差系數(shù)若

，其中R表示速度輸入函數(shù)的斜率，則可求得各型系統(tǒng)在斜坡輸入作用下的穩(wěn)態(tài)誤差為2022/12/2第8章誤差分析188.2給定信號作用下的穩(wěn)態(tài)誤差及計算如果用靜態(tài)速度誤差系數(shù)表示系統(tǒng)在斜坡（速度）輸入作用下的穩(wěn)態(tài)誤差，可將

代入，可得式中稱為靜態(tài)速度誤差系數(shù)。顯然，0型系統(tǒng)的，I型系統(tǒng)，II型及以上系統(tǒng)。2022/12/2第8章誤差分析198.2給定信號作用下的穩(wěn)態(tài)誤差及計算8.2.3

加速度輸入作用下的穩(wěn)態(tài)誤差與靜態(tài)加速度誤差系數(shù)若

，其中R為加速度輸入函數(shù)的速度變化率，則

。算得各型系統(tǒng)在加速度輸入作用下的穩(wěn)態(tài)誤差2022/12/2第8章誤差分析208.2給定信號作用下的穩(wěn)態(tài)誤差及計算如果用靜態(tài)加速度誤差系數(shù)表示系統(tǒng)在加速度輸入作用下的穩(wěn)態(tài)誤差，式中，稱為靜態(tài)加速度誤差系數(shù)。顯然，0型和I型系統(tǒng)的II型系統(tǒng)的III型及以上系統(tǒng)的2022/12/2第8章誤差分析218.2給定信號作用下的穩(wěn)態(tài)誤差及計算如果系統(tǒng)承受的輸入信號是多種典型函數(shù)的組合，例如則根據(jù)線性疊加原理，可將每一輸入分量單獨作用于系統(tǒng)，再將各穩(wěn)態(tài)誤差分量疊加起來，得到2022/12/2第8章誤差分析228.2給定信號作用下的穩(wěn)態(tài)誤差及計算各輸入信號作用下的穩(wěn)態(tài)誤差見下表2022/12/2第8章誤差分析238.2給定信號作用下的穩(wěn)態(tài)誤差及計算8.2.4

動態(tài)誤差系數(shù)利用動態(tài)誤差系數(shù)法，可以研究輸入信號幾乎為任意時間函數(shù)時的系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差化，因此動態(tài)誤差系數(shù)又稱為廣義誤差系數(shù)。為了求取動態(tài)誤差系數(shù)，寫出誤差信號的拉氏變換式將誤差傳遞函數(shù)

在s=0的鄰域內(nèi)展成泰勒級數(shù)，得2022/12/2第8章誤差分析248.2給定信號作用下的穩(wěn)態(tài)誤差及計算于是，誤差信號可以表示為如下級數(shù)：上述無窮級數(shù)收斂于s=0的鄰域，稱為誤差級數(shù)，相當(dāng)于在時間域內(nèi)t->∞時成立。2022/12/2第8章誤差分析258.2給定信號作用下的穩(wěn)態(tài)誤差及計算因此，當(dāng)所有初始條件均為零時，進(jìn)行拉氏反變換，就得到作為時間函數(shù)的穩(wěn)態(tài)誤差表達(dá)式。式中稱為動態(tài)誤差系數(shù)。習(xí)慣上稱C0為動態(tài)位置誤差系數(shù)，稱C1為動態(tài)速度誤差系數(shù)，稱C2為動態(tài)加速度誤差系數(shù)。2022/12/2第8章誤差分析268.2給定信號作用下的穩(wěn)態(tài)誤差及計算確定動態(tài)誤差系數(shù)的方法：

將已知的系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)按s的升冪排列，寫成如下形式令則誤差傳遞函數(shù)可表示為2022/12/2第8章誤差分析278.2給定信號作用下的穩(wěn)態(tài)誤差及計算用上式的分母多項式去除其分子多項式，得到一個s的升冪級數(shù)將上式代入誤差信號表達(dá)式，得它們是等價的無窮級數(shù)，其收斂域均是s=0的鄰域。因此正是我們要求的動態(tài)誤差系數(shù)。2022/12/2第8章誤差分析288.2給定信號作用下的穩(wěn)態(tài)誤差及計算在一個特定的系統(tǒng)中，可以建立某些動態(tài)誤差系數(shù)與靜態(tài)誤差系數(shù)之間的關(guān)系。進(jìn)行長除，可得如下簡單關(guān)系：0型系統(tǒng)：I型系統(tǒng)：II型系統(tǒng)：因此，在控制系統(tǒng)設(shè)計中，也可以C0、

C1、C2把作為一種性能指標(biāo)。2022/12/2第8章誤差分析298.3擾動信號作用下的穩(wěn)態(tài)誤差及計算設(shè)控制系統(tǒng)如圖所示其中N(s)代表擾動信號的拉氏變換式。2022/12/2第8章誤差分析308.3擾動信號作用下的穩(wěn)態(tài)誤差及計算由于在擾動信號N(s)作用下系統(tǒng)的理想輸出應(yīng)為零，故該非單位反饋系統(tǒng)響應(yīng)擾動n(t)的輸出端誤差信號為式中，

為非單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)，

為以n(t)為輸入，cn(t)為輸出時非單位反饋系統(tǒng)前向通道的傳遞函數(shù)。2022/12/2第8章誤差分析318.3擾動信號作用下的穩(wěn)態(tài)誤差及計算記為系統(tǒng)對擾動作用的誤差傳遞函數(shù)，并將其在s=0的鄰域展成泰勒級數(shù)，則上式可表示為設(shè)系統(tǒng)擾動信號可表示為2022/12/2第8章誤差分析328.3擾動信號作用下的穩(wěn)態(tài)誤差及計算可得穩(wěn)定系統(tǒng)對擾動作用的穩(wěn)態(tài)誤差表達(dá)式式中稱為系統(tǒng)對擾動的動態(tài)誤差系數(shù)。將

的分