深圳實驗學(xué)校光明部2022-2023學(xué)年度第一學(xué)期考試高三數(shù)學(xué)時間：120分鐘滿分：150分第一卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)幾何的交運(yùn)算運(yùn)算即可求解.【詳解】由題意可知：，故選:C2.若，則=（）A B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)共軛復(fù)數(shù)和復(fù)數(shù)的模即可求解.【詳解】，，，所以.故選：B3.在正四棱柱中，，則異面直線與所成角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】建系，寫出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)向量求解.【詳解】如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，則，，則，所以，異面直線與所成角的余弦值為.故選：C.4.“數(shù)列為等差數(shù)列”是“數(shù)列為等比數(shù)列”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】根據(jù)兩個條件之間的推出關(guān)系可得正確的選項.【詳解】取，則，故為等差數(shù)列，但，，，不為等比數(shù)列，故數(shù)列不是等比數(shù)列，故“數(shù)列為等差數(shù)列”推不出“數(shù)列為等比數(shù)列”，若數(shù)列為等比數(shù)列，故，其中，故，故，故數(shù)列為等差數(shù)列，故“數(shù)列為等比數(shù)列”可推出“數(shù)列為等差數(shù)列”，故“數(shù)列為等差數(shù)列”是“數(shù)列為等比數(shù)列”的必要不充分條件，故選：B.5.已知向量．若不超過5，則k的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】結(jié)合向量的坐標(biāo)運(yùn)算解不等式即可求解.【詳解】因為，所以，，即，解得.故選：A6.如圖，圓內(nèi)接四邊形中，，現(xiàn)將該四邊形沿旋轉(zhuǎn)一周，則旋轉(zhuǎn)形成的幾何體的體積為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】過點(diǎn)C作交延長線于點(diǎn)E，由此可得旋轉(zhuǎn)形成的幾何體為圓臺挖去一個以圓臺上底面為底面的圓錐，根據(jù)體積公式即可求得答案.【詳解】圓內(nèi)接四邊形中，，所以，過點(diǎn)C作交延長線于點(diǎn)E，所以四邊形是直角梯形，，故是等腰直角三角形；所以四邊形沿旋轉(zhuǎn)一周，得到的旋轉(zhuǎn)體是圓錐與圓臺的組合體，即圓臺挖去一個以圓臺上底面為底面的圓錐，,，所以旋轉(zhuǎn)體的體積．故選︰D．7.質(zhì)數(shù)也叫素數(shù)，17世紀(jì)法國數(shù)學(xué)家馬林-梅森曾對“”（p是素數(shù)）型素數(shù)進(jìn)行過較系統(tǒng)而深入的研究，因此數(shù)學(xué)界將“”（p是素數(shù)）形式的素數(shù)稱為梅森素數(shù)．已知第12個梅森素數(shù)為，第14個梅森素數(shù)為，則下列各數(shù)中與最接近的數(shù)為（）參考數(shù)據(jù)：A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】近似化簡，結(jié)合對數(shù)運(yùn)算求得正確答案.【詳解】，令，兩邊同時取常用對數(shù)得，∴，∴，結(jié)合選項知與最接近的數(shù)為.故選：C.8.定義在上的偶函數(shù)滿足,當(dāng)時,,則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)偶函數(shù)和,判斷出周期,根據(jù)的解析式判斷出單調(diào)性,將根據(jù)奇偶性,周期性,對稱性,轉(zhuǎn)化至同一單調(diào)區(qū)間,判斷的大小即可判斷函數(shù)值的大小比較,不好判斷時可利用放縮或構(gòu)造函數(shù)進(jìn)行大小判斷.【詳解】解:由題知為偶函數(shù),,①,將代換為可得:②①-②可得,,周期為4,,,,,時單調(diào)遞增,由以上可知:;,,將代入上式,則有,,,,將代入上式,則有,,若比較的大小,只需比較的大小,,只需要比較的大小,兩式相減可得:,記,,,單調(diào)遞增,則,即,故,時單調(diào)遞增,,,.故選:C【點(diǎn)睛】(1)若,則周期為,若滿足,周期均為,為非零常數(shù);(2)常用的放縮有:;當(dāng)時取等;,當(dāng)時取等,在大題中應(yīng)用時需進(jìn)行證明,做差求導(dǎo)求最值即可證明.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.己知數(shù)列滿足，則下列結(jié)論中確的是（）A. B.為等比數(shù)列C. D.【答案】ACD【解析】【分析】利用遞推式可求得的值，可判斷A，B;將變?yōu)椋玫缺葦?shù)列的求和公式，求得結(jié)果，判斷C;將變?yōu)椋玫缺葦?shù)列的求和公式，求得結(jié)果，判斷D;【詳解】，則，又，同理，故A正確；而，故不是等比數(shù)列，B錯誤；，故C正確；，故D正確.故選：ACD10.已知函數(shù)的部分圖象如圖（1）所示，函數(shù)的部分圖象如圖（2）所示，下列說法正確的是（）A.函數(shù)的周期為B.函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱C.函數(shù)在區(qū)間上有4個零點(diǎn)D.將函數(shù)的圖像向左平移可使其圖像與圖像重合【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)圖象可求兩個函數(shù)的解析式，再逐項計算后可得正確的選項.【詳解】由圖象（1）可得，，故，故，而，故，而，故，故，由圖（2）可得，，故，故，而，故，而，故，故，對于A，的最小正周期為，故A錯誤；對于B，，故函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，故B正確；對于C，即為，故或，，故或，.令，故；令，故；故在區(qū)間上有4個零點(diǎn)，故C正確.對于D，函數(shù)的圖像向左平移，其圖象對應(yīng)的解析式為：.故D正確，故選：BCD.11.已知函數(shù)，則（）A.有兩個極值點(diǎn) B.有三個零點(diǎn)C.點(diǎn)是曲線的對稱中心 D.直線是曲線的切線【答案】AD【解析】【分析】利用極值點(diǎn)的定義可判斷A，結(jié)合的單調(diào)性、極值可判斷B，利用平移可判斷C；利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義判斷D.【詳解】由題，，令得或，令得，所以在，上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，所以是極值點(diǎn)，故A正確；因，，，所以，函數(shù)在上有一個零點(diǎn)，當(dāng)時，，即函數(shù)在上無零點(diǎn)，綜上所述，函數(shù)有一個零點(diǎn)，故B錯誤；令，該函數(shù)的定義域為，，則是奇函數(shù)，是的對稱中心，將的圖象向上移動一個單位得到的圖象，所以點(diǎn)是曲線的對稱中心，故C錯誤；令，可得，又，當(dāng)切點(diǎn)為時，切線方程為，當(dāng)切點(diǎn)為時，切線方程為，故D正確.故選：AD.12.下列命題中真命題有（）A.若，則是鈍角B.數(shù)列的前n項和為，若，則C.若定義域為的函數(shù)是奇函數(shù)，函數(shù)為偶函數(shù)，則D.若，分別表示的面積，則【答案】CD【解析】【分析】根據(jù)數(shù)量積的知識可判斷A，對于B，由條件可得當(dāng)時有，然后可得，即可判斷，對于C，利用奇函數(shù)的知識和可判斷，對于D，設(shè)線段的中點(diǎn)分別為，連接，根據(jù)條件可得點(diǎn)是線段靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，然后可判斷.【詳解】對于A，若，則，故A錯誤；對于B，因，所以當(dāng)時有，兩式相減可得，即，當(dāng)時，，所以，故B錯誤；對于C，因為函數(shù)為偶函數(shù)，所以，所以，因為是定義域為的奇函數(shù)，所以，故C正確；對于D，如圖，設(shè)線段的中點(diǎn)分別為，連接，因為，所以，所以，即，即點(diǎn)是線段靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，所以，故D正確；故選：CD第Ⅱ卷（非選擇題）三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.己知函數(shù)，則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是_____________．【答案】【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)法求單調(diào)區(qū)間即可【詳解】函數(shù)，其定義域，則在恒成立，所以函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間是.故答案為：.14.當(dāng)時，函數(shù)的最小值為______;【答案】##【解析】【分析】利用基本不等式可求得所求函數(shù)的最小值.【詳解】因為，則，則.當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以，當(dāng)時，函數(shù)的最小值為.故答案為：.15.中國文化博大精深，“八卦”用深邃的哲理解釋自然、社會現(xiàn)象．如圖（1）是八卦模型圖，將共簡化成圖（2）的正八邊形，若，則______________．【答案】##【解析】【分析】在中由余弦定理求出，進(jìn)而可得，再由數(shù)量積的定義求解即可【詳解】在中，設(shè)，，則，所以，又，所以，所以，，所以故答案為：16.已知數(shù)列的前項和為，，，則數(shù)列_____________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)可得，再利用累乘法即可求解.【詳解】由題意可得，所以，所以，所以，又因為，所以，故答案為：四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知．（1）求的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）的內(nèi)角的對邊分別為．若，求的面積．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)三角恒等變換公式，化簡函數(shù)為型函數(shù)，進(jìn)而求得答案；（2）根據(jù)題意，利用余弦定理求出，再根據(jù)三角形面積公式可計算答案.【小問1詳解】結(jié)合正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，可得當(dāng)，即時，函數(shù)單調(diào)遞增，∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為．【小問2詳解】∵由余弦定理得，所以，即解得，所以，．18.設(shè)等差數(shù)列的前n項和為，已知，且是與的等比中項，數(shù)列的前n項和．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，對任意總有恒成立，求實數(shù)的最小值．【答案】（1）或（其中），;（2）.【解析】【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，然后根據(jù)已知條件列方程可求出，從而可求出，利用可求出；（2）由（1）可得，則，然后利用裂項相消法可求得結(jié)果.【小問1詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為d，由得，因為是與的等比中項，所以．化簡得且，解方程組得或．故的通項公式為或（其中）；因為，所以，，所以，因為，滿足上式，所以；【小問2詳解】因為，所以，所以，所以，所以，易見隨n的增大而增大，從而恒成立，所以，故的最小值為.19.在中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c．己知．（1）求A；（2）若，且，求的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由正弦定理得，結(jié)合，求出；（2）由正弦定理得到，從而得到，結(jié)合，求出，得到的取值范圍.【小問1詳解】由，得：由正弦定理得：又，所以，故，即，則；【小問2詳解】由正弦定理得：所以又因為，所以，又，故，故，則，所以故的取值范圍為．20.如圖，在四棱錐中，底面，，，，．點(diǎn)E為棱的中點(diǎn)，點(diǎn)F為棱的中點(diǎn)．（1）證明：；（2）求直線與平面所成角的正弦值；【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）取中點(diǎn)H，只需證明平面就可得到.(2)建立空間直角坐標(biāo)系，求出，面法向量為，由線面角正值計算公式求解.【小問1詳解】取中點(diǎn)H，連接，∵，∴，∵底面，底面，∴，又平面，平面，∴平面，∵平面，∴，在三角形中，點(diǎn)E，H分別為的中點(diǎn)，∴，又，∴，∵H為中點(diǎn)．∴，∵，∴四邊形為平行四邊形，，∵，∴，∵平面，平面，∴平面，∵平面，∴．【小問2詳解】如圖，以A為原點(diǎn)，分別以為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，，設(shè)平面的法向量為，，令，則，所以，設(shè)直線與平面所成角，則．21.已知公比大于1的等比數(shù)列滿足．（1）求的通項公式；（2）求的前n項和．【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)根據(jù)條件以及等比數(shù)列公式列方程即可求解；(2)運(yùn)用錯位相減法求和即可.【小問1詳解】設(shè)的公比為．由題設(shè)得解得或（舍），所以的通項公式為；【小問2詳解】由（1）得，所以…①，運(yùn)用錯位相減法：…②，①-②得：，所以；綜上，，.22.已知函數(shù)（a為常數(shù)）．（1）若函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增，求a的取值范圍；（2）若存在兩個極值點(diǎn)，且，求的取值范圍．【答案】