§4張量算法一、張量概念xi?,Xn')(i=1,［張量的一般定義］若一個量有nNxi?,Xn')(i=1,?,n)之下，按下面的規(guī)律變化：式中T.j「「j是X的函數(shù)，Tj］???j是xi'的函數(shù)則量T.j「「j（共有nN個分量）稱為l階逆變（或抗變）mi???i i???i1m i1???im 1m階協(xié)變的N（=l+m）階混合張量（或稱為（1十m）型混合張量）.張量概念是矢量和矩陣概念的推廣，標量是零階張量，矢量是一階張量，矩陣（方陣）是二階張量，而三階張量（例如ti）好比“立體矩陣"（圖8.18右）.更高階的張量不能用圖形表達.下面jk列出n列出n=2時的張量示意圖：個人收集整理勿做商業(yè)田途［張量舉例］1°可乘張量設(shè)由逆變分量和協(xié)變分量所給定的兩個矢量a,b是已知的，則由等式確定的都是二階張量，稱為可乘張量.2°克羅內(nèi)克爾符號克羅內(nèi)克爾符號5i是一階逆變一階協(xié)變的二階混合張量，這是因為從j可得［二階對稱張量與反對稱張量］若張量滿足等式則分別稱為二階對稱協(xié)變張量、二階對稱逆變張量和二階對稱混合張量.若張量滿足等式則分別稱為二階反對稱協(xié)變張量、二階反對稱逆變張量和二階反對稱混合張量.個人收集整理__僅供參考學習張量的逆變（協(xié)變）指標的對稱性質(zhì)在坐標變換下是不變的.在三維空間中，二階反對稱張量與矢量等價.二、張量代數(shù)［指標的置換］指標置換是張量代數(shù)的最簡單運算，利用它可作出新的張量.例如，通過指標置換，可由張量Tki得到新的張量Tik,它的矩陣是張量Tki的矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣.個人收集整理勿做商業(yè)用［加（減）法］同類型的若干個張量的對應(yīng)分量相加（或相減）就得到一個新的同類型張量的分量，這種運算稱為張量的加法（或減法）.個人收集整理勿做商業(yè)用途任何二階張量可分解為對稱張量與反對稱張量兩部分.例如［張量的乘法］把兩個張量的分量按各種可能情形相乘起來，就會得到一個新張量的分量.這個張量的逆變與協(xié)變的階數(shù)分別等于原來兩個張量的逆變與協(xié)變的階數(shù)之和.這種運算稱為張量的乘法.例如個人收集整理勿做商業(yè)用途這是一個l＋k階逆變m＋h階協(xié)變的混合張量，它的階數(shù)為l＋m＋k＋h.注意，張量乘法的次序是不可交換的.［張量的縮并］對一個給定的混合張量，把它的一個逆變指標與一個協(xié)變指標相等的相加起來，得出階數(shù)較低（逆變和協(xié)變各低一階）的張量，這種運算稱為張量的縮并.例如個人收集整理勿做商業(yè)是一個l－1階逆變m－1階協(xié)變的混合張量.［指標的升降］在應(yīng)用中經(jīng)常用二階逆變張量ajCetOzo）的相乘與縮并來“升高”張量的協(xié)變指標，用二階協(xié)變張量aCetC）ho）相乘與縮并來“降低”張量的逆變指標.這種運算稱ij ij為指標的升降.例如為指標的升降.例如T,就可由a和a..升降:ijkij［張量的商律］設(shè)Til-ii和叫各為一組X和xi'的函數(shù)，如果對任意逆變矢量九i與九i-及任一指j1-jm標jk，jk'使T‘1[.九jk與TL?叫九1km /…/ …jjJ[jij z=-1kmk成為張量，則T‘i…‘1必為張量.這種判別張量的法則稱為張量的商律.例如T/與T‘j各為xi,x‘-的函數(shù)，而且klm kT即對所有的九i-都成立，所以上式括號中的表達式等于零，因此T/j是張量.klm以任意協(xié)變矢量代替逆變矢量可得相仿的結(jié)果.［張量密度］按下面規(guī)律變化的量稱為張量密度，式中w為一常數(shù)，稱為張量密度的權(quán).張量就是權(quán)為零的張量密度.根據(jù)張量的階數(shù)，還可以定義標量密度和矢量密度.個人收集整理勿做商業(yè)用途兩個指標的數(shù)目相同，且權(quán)相同的張量密度之和是一個同類型的張量密度.兩個張量相乘時，權(quán)相加.三、張量分析上述張量都假定它的分量是空間Rn中點M(x‘)的函數(shù)：當點M(x‘)在空間Rn中某一區(qū)域D中變動時，則稱T‘1…/是區(qū)域D中的一個張量場.上面所建j1...jm立的張量代數(shù)的各種運算，都可以應(yīng)用到張量場上來.個人收集整理勿做商業(yè)用途對于張量場還有一個不變的運算——絕對微分(也稱為協(xié)變微分)，這就是張量分析要討論的內(nèi)容.一個標量場的普通導數(shù)是一個協(xié)變矢量場(梯度場)的分量.但是，一般說來，一個張量場的普通導數(shù)并不構(gòu)成新的張量場.個人收集整理勿做商業(yè)用途［仿射聯(lián)絡(luò)空間］若對空間Rn中的每一坐標系(x‘)，在一已知點M給定了一組(n3個)數(shù)rk，并ij在坐標變換下，它們按下列規(guī)律變化d2xkd2xkdxk'5xi'dxi'dxkdxl+—dxl'巴竺rk⑴則稱在點M給定了一個聯(lián)絡(luò)對象(或聯(lián)絡(luò)系數(shù))，其中偏導數(shù)是在點M取值的.假定在空間Rn中給定了聯(lián)絡(luò)對象場而且這些函數(shù)是連續(xù)可微的，則稱Rn為仿射聯(lián)絡(luò)空間，記作Ln.一般說來，［撓率張量］(1)式中rk的變換規(guī)律包括兩項：第一項不依賴于舊坐標系中的rk；第二項依賴ij ij于rk，并和張量的變換規(guī)律的形式完全相同.由于第一項對兩個下標ij，是對稱的，它一般ij不等于零，所以rk不是一個張量.但是個人收集整理勿做商業(yè)用途ij構(gòu)成一個張量，稱為仿射聯(lián)絡(luò)空間Ln的撓率張量.如果撓率張量rk等于零，即ij則稱所給定的空間是無撓率的仿射聯(lián)絡(luò)空間，記作Ln.0［矢量的絕對微分與平行移動］若在空間Ln中給定一個逆變矢量L｝，則在坐標變換下有ai(2)M這構(gòu)成矢量｛i｝在點M的變換規(guī)律.如果從點M(x，)移到點N(X+3),則有式中da，表示矢量b｝從M移到N時的改變量的分量.在上式中只取一次項就得到da，+'O2X，'、Ox，J(Ox，6xj丿da，'MMa，dxj(3)若變換的二階偏導數(shù)在M不等于零，則一個矢量的改變量決不是一個矢量的分量.如果Rn為仿射聯(lián)絡(luò)空間，可由(1),(2),(3)式得到這表明是一個逆變無窮小矢量.稱Da，為矢量｝在點M處關(guān)于分量為dx，的位移MN的絕對微分.如果聯(lián)絡(luò)對象C)=0,則絕對微分與普通微分一致.個人收集整理勿做商業(yè)用途jkM若矢量缶ai｝等于零，即Dai=da，+riajdxk=0jk就稱矢量D關(guān)于聯(lián)絡(luò)ri從點M平行地移動到點N.當Ci）二0，分量a保持不變（da，=0）jk jkM時，矢量從點M平行移動到點N，就相當于歐氏空間中的平行移動.個人收集整理勿做商業(yè)用途如果給定一條曲線Cxi=xi（t）和一個逆變矢量L｝，沿這條曲線C可以作伴隨于L｝的矢量稱它為沿曲線C的導矢量.如果ti｝的導矢量為零，即(4)+riaj此二0dtjk dt(4)則矢量ai自身沿曲線C平行地移動，（4）式與坐標系的選擇無關(guān)，就是說，矢量沿曲線的平行移動在坐標變換下是不變的.個人收集整理勿做商業(yè)用途同樣地可以考慮協(xié)變矢量Li｝的絕對微分與平行移動.稱為協(xié)變矢量L｝關(guān)于位移dxi的絕對微分.平行移動的條件為或沿曲線C平行移動的條件為［協(xié)變導數(shù)］從逆變矢量與協(xié)變矢量的絕對微分的定義公式可以得到量加+riaj和叫-ria.Qxk jk dxk jk1它們是關(guān)于指標k協(xié)變的二階張量，分別稱為矢量ti｝和t｝的協(xié)變導數(shù)，分別記作aik和j ;ka或Vai和Va.j;k k kj［張量的絕對微分與平行移動及其協(xié)變微分法］由乘積的微分公式和張量的定義可以推出張量的平行移動規(guī)律.例如，三階張量的平行移動規(guī)律為四階張量的平行移動規(guī)律為個人收集整理__僅供參考學習可以看出,張量平行移動規(guī)律中所包含的項數(shù)與張量的階數(shù)是相同的,對于張量的逆變指標,類似于逆變矢量平行移動的規(guī)律;對于張量的協(xié)變指標,類似于協(xié)變矢量平行移動的規(guī)律.記則稱DTik為張量Tik的絕對微分.ijij［張量的協(xié)變導數(shù)及其運算法則］稱為張量Tik的協(xié)變導數(shù)，它是一個五階張量的分量.ij在普通導數(shù)中，對于已微分的張量的每個指標再加上一項就可以構(gòu)成任意張量的協(xié)變導數(shù)，對于逆變指標，這項的形式是個人收集整理勿做商業(yè)用途對于協(xié)變指標是協(xié)變導數(shù)的運算法則如下：°若干個同樣結(jié)構(gòu)的張量之和的協(xié)變導數(shù)等于各個張量的協(xié)變導數(shù)之和，即°滿足積的微分法則，即［自平行曲線］在仿射聯(lián)絡(luò)空間中，如果切于曲線上一點Mo的每個矢量O沿這曲線平行移動00時是切于這曲線的，則稱這曲線為自平行曲線.個人