《初等數(shù)論》期末練習(xí)二一、單項選擇題1、(0,b)（）.A b B b C bD 02、如果(a,b)1，則(ab,ab)=（ A a B b C 1 D ab330的素數(shù)的個數(shù)（）.A 10 B 9 C 8 D 74、如果ab(modm),c是任意整數(shù),則A acbc(modm) B ab C acbc(modm) D ab5、不定方程525x231y210（）.A 有解 B 無解 C 有正數(shù)解 D有負數(shù)解6、整數(shù)5874192能( 整除.A 3 B 3與9 C 9 D 3或97、如果ba，ab，則( ).A ab B ab C ab D ab8、公因數(shù)是最大公因數(shù)的（ ）.A 因數(shù) B 倍數(shù) C 相等 D不確定9、大于20且小于40的素數(shù)有（）.A 4個 B 5個 C 2個 D 3個10、模7的最小非負完全剩余系( ).A -3，-2,-1,0,1,2，3 B -6，-5,-4,-3,-2,-1 C 1,2,3,4,5，6 D 0,1,2,3,4，5，6、因( ),所以不定方程12x15y7沒有.A [12，15]不整除7 B （12，15）不整除C 7不整除（12，15） D 7不整[12，15]12、同余式x2（ ）.A 有解 B無解 C 無法確定 D 有無限個解二、填空題1、有理數(shù)a，0ab,(a,b)1，能寫成循環(huán)小數(shù)的條件是（ ）.b2、同余式12x150(mod45)有解，而且解的個數(shù)( ).3、不大于545而為13的倍數(shù)的正整數(shù)的個數(shù)( ).4、設(shè)n是一正整數(shù)，Euler函數(shù)(n)表示所( )n，而且與n（）的正整數(shù)的個.5、設(shè)a,b整數(shù)，則(a,b)（ ）=ab.6、一個整數(shù)能被3整除的充分必要條件是它的（ ）數(shù)碼的和能被3整.7、x[x]（ ）.8、同余式111x有解而且解的個( ).9、在176與545之間( )是17的倍.10、如果ab0,則[a,b](a,b)=( ).、a,b的最小公倍數(shù)是它們公倍數(shù)( ).12、如果(a,b)1,那么(ab,ab)=( ).三、計算題1、求24871與3468的最小公倍數(shù)?2、求解不定方程107x37y25.（8分）4293、求 ,其中563是素.（8分）5634、解同余式111x75(mod321).（8分）5、求[525,231]=?6、求解不定方程6x11y18.7、判斷同余式x2365(mod1847)是否有解？8、求11的平方剩余與平方非剩余.四、證明題1、任意一個n位數(shù)an倍數(shù).（11分）

an1

a2a

與其按逆字碼排列得到的數(shù)aa1 2

an1an

的差必是9的12、證明當(dāng)n是奇數(shù)時，有(2n.（10分）13、一個能表成兩個平方數(shù)和的數(shù)與一個平方數(shù)的乘積,仍然是兩個平方數(shù)的和;兩個能表成兩個平方數(shù)和的數(shù)的乘積,也是一個兩個平方數(shù)和的數(shù).（11分）4、如果整數(shù)a的個位數(shù)是5,則該數(shù)是5的倍數(shù).5、如果a,b是兩個整數(shù),b0,則存在唯一的整數(shù)對q,r,使得abqr,其中0rb.《初等數(shù)論》期末練習(xí)二答案一、單項選擇題1、C 、C 3A 4A 5A 6B 7D 、A 9A 10D B 12B二、填空題1、有理數(shù)a，0ab,(a,b)1，能寫成循環(huán)小數(shù)的條件是（1 ）.b2、同余式12x150(mod45)有解，而且解的個數(shù)( 3 ).3、不大于545而為13的倍數(shù)的正整數(shù)的個數(shù)( 41 ).4、設(shè)n是一正整數(shù)，Euler函數(shù)(n)表示所有(不大于)n，而且與n（互素）的正整數(shù)的個數(shù).5、設(shè)a,b整數(shù)，則(a,b)（[a,b] ）=ab.6、一個整數(shù)能被3整除的充分必要條件是它的（十進位）數(shù)碼的和能被3整除.7、x[x]（{x} ）.8、同余式111x有解而且解的個(3 ).9、在176與545之間(12 )是17的倍.10、如果ab0,則[a,b](a,b)=( ab ).、ab(因數(shù)).12、如果(a,b)1,那么(ab,ab)=( 1 ).三、計算題1、求24871與3468的最小公倍數(shù)?解：因為（24871,3468）=17248713468所以[24871,3468]=

17 =507368424871346850736842、求解不定方程107x37y25.（8分）25，所以有解；考慮107x37y1x9,y26x925=225y2625=-650，x22537t,y650107t4293、求 ,其中563是素.（8分）563429解把 看成Jacobi符我們有56367(1)671.4291429429 429

2 2 67 6727(1)271.6716767

2 2

67 27 2713(1)2711312711..

2 2

, 42956327 13 134、解同余式111x75(mod321).（8分）解因為(111,321)=3|75,所以同余式有3個解.將同余式化簡為等價的同余方程37x25(mod107.我們再解不定方程37x107y25,得到一(-8,3).于是定理4.1中的x 8.0因此同余式的3個解為x8(mod321),321x8 (mod99(mod,3213321x82 (mod206(mod.32135、求[525,231]=?解：解：因為（525,231）=21525231所以[525,231]= 17 =57756、求解不定方程6x11y18.解：因為18，所以有解考慮6x11y1x2y1。x36y18，x3611ty186t。7、判斷同余式x2365(mod1847)是否有解？（8分）365解我們?nèi)菀字?847是素所以只需求 的值.1847如果其值是1,則所給的同余式有解,否則無解.因為365573,所以365 5 73 .1847 18471847再51(mod4),731(mod4),所以 5 184721 ,1847 5 5 731847222111847

73

73

737317371141.11 11 7 7 365所以, =1.1847于是所給的同余式有解.8、求11的平方剩余與平方非剩余.解因為111552又因為

121,22

4,32

9,42

5,523,115811的平方非剩余.四、證明題1、任意一個n位數(shù)an倍數(shù).（11分）證明因為

a aan1 2 a

與其按逆字碼排列得到的數(shù)aa1 2

n1

aa的差必是9的aaaaa aan n1 2

a10n1n

n1

10n2 a2

10a,1aa 1 2

an1

=a10n1a1

10n2

aan1aa

10a,nan

a aan1 2 a

-aa1

n1 n=a1)n

n1

10(10n31)a10n3)a2

10n1).而上面等式右邊的每一項均是9的倍數(shù),于是所證明的結(jié)論成立.2、證明當(dāng)n是奇數(shù)時，有(2n.（10分）證明因為21(mod3),所以2n1(1)n3).于是,當(dāng)n是奇數(shù)時,我們可以令n2k1.從而有2n

1(1)2k10(mod3),即32n.3.（11）證明（1）設(shè)ma2

b2,則顯然r2m(ra)2rb)2.（2）如果nc2d2,那么mn(a2b2)(c2d2)a2c2a2d2b2c2b2d2=(a2c2b2d22abcd)(a2d2b2c22abcd)=(acbd)2(adbc)2.4、如果整數(shù)a的個位數(shù)是5,則該數(shù)是5的倍數(shù).(11分)證明設(shè)a是一正整數(shù),并將a寫成10進位數(shù)的形式:a=a10na 10n1 a,0a 10.100(mod5),所以我們得到

n n1 0 iaa0(mod5)所以整數(shù)a的個位數(shù)是5,則該數(shù)是5的倍數(shù).5、如果a,b是兩個整數(shù),b0,則存在唯一的整數(shù)對q,r,使得abqr,其中0rb.證明首先證明唯一性.設(shè)qrabqr,0rb.所以bqrbqr,即q