學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE9-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精第1章立體幾何初步三視圖與直觀圖【例1】（1）將正方體(如圖1所示)截去兩個三棱錐,得到圖2所示的幾何體,則該幾何體的左視圖為()圖1圖2ABCD（2）若某幾何體的三視圖如圖所示，則這個幾何體的直觀圖可以是(）ABCD（1)B(2）D[（1）圖2所示的幾何體的左視圖由點A，D，B1，D1確定外形為正方形，判斷的關(guān)鍵是兩條對角線AD1和B1C是一實一虛，其中要把AD1和B1C區(qū)別開來，故選B.(2）A,B的主視圖不符合要求，C的俯視圖顯然不符合要求，故選D.]三視圖和直觀圖是空間幾何體的不同表現(xiàn)形式，空間幾何體的三視圖可以使我們很好地把握空間幾何體的性質(zhì)．由空間幾何體可以畫出它的三視圖,同樣，由三視圖可以想象出空間幾何體的形狀，兩者之間可以相互轉(zhuǎn)化．1．一個正方體截去兩個角后所得幾何體的主視圖、俯視圖如圖所示,則其左視圖為（)ABCDC［根據(jù)一個正方體截去兩個角后所得幾何體的主視圖、俯視圖可得幾何體的直觀圖為:所以左視圖如圖所示．］空間幾何體的表面積與體積【例2】(1)某幾何體三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為(）A．eq\f(1，3）＋2πB．eq\f（13π，6)C．eq\f（7π，3)D．eq\f(5π，2）(2)某空間幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為（)A．12＋4eq\r(2)B．18＋8eq\r(2）C．28D．20＋8eq\r（2）(1)B(2）D［（1)由三視圖可知，該幾何體是一個圓柱和半個圓錐組合而成的幾何體,其體積為π×12×2＋eq\f(1，2)×eq\f(1，3）π×12×1＝eq\f(13π，6).（2）由三視圖可知該幾何體是底面為等腰直角三角形的直三棱柱，如圖．則該幾何體的表面積為S＝2×eq\f(1,2）×2×2＋4×2×2＋2eq\r(2)×4＝20＋8eq\r（2）,故選D.］幾何體的表面積和體積的計算是現(xiàn)實生活中經(jīng)常遇到的問題，如制作物體的下料問題、材料最省問題、相同材料容積最大問題，都涉及表面積和體積的計算。特別是特殊的柱、錐、臺,在計算中要注意其中矩形、梯形及直角三角形等重要的平面圖形的作用,對于圓柱、圓錐、圓臺，要重視旋轉(zhuǎn)軸所在軸截面、底面圓的作用。割補法、構(gòu)造法是常用的技巧.2．（2019·全國卷Ⅰ)已知三棱錐P。ABC的四個頂點在球O的球面上，PA＝PB＝PC，△ABC是邊長為2的正三角形，E,F分別是PA，AB的中點，∠CEF＝90°，則球O的體積為（)A．8eq\r（6)π B．4eq\r（6）πC．2eq\r(6）π D。eq\r(6)π［答案］D空間中的平行關(guān)系【例3】如圖所示，四邊形ABCD是平行四邊形，PB⊥平面ABCD，MA∥PB，PB＝2MA.在線段PB上是否存在一點F，使平面AFC∥平面PMD？若存在，請確定點F的位置；若不存在，請說明理由．[思路探究］假設(shè)存在滿足條件的點F，由于平面AFC∥平面PMD，且平面AFPM與平面AFC、平面PMD分別交于直線AF、PM，則必有AF∥PM,又PB＝2MA，則點F是PB的中點．[解］當(dāng)點F是PB的中點時，平面AFC∥平面PMD,證明如下:如圖連接AC和BD交于點O，連接FO，那么PF＝eq\f(1,2）PB?！咚倪呅蜛BCD是平行四邊形，∴O是BD的中點．∴OF∥PD.又OF?平面PMD，PD?平面PMD,∴OF∥平面PMD。又MAeq\f（1，2）PB，∴PFMA?！嗨倪呅蜛FPM是平行四邊形．∴AF∥PM.又AF?平面PMD，PM?平面PMD?！郃F∥平面PMD。又AF∩OF＝F，AF?平面AFC,OF?平面AFC?！嗥矫鍭FC∥平面PMD.空間中的平行關(guān)系主要是指空間中線與線、線與面及面與面的平行，其中三種關(guān)系相互滲透．在解決線面、面面平行問題時，一般遵循從“低維”到“高維"的轉(zhuǎn)化,即從“線線平行”到“線面平行"，再到“面面平行”；而利用性質(zhì)定理時，其順序相反，且“高維”的性質(zhì)定理就是“低維”的判定定理．特別注意，轉(zhuǎn)化的方法由具體題目的條件決定，不能過于呆板僵化，要遵循規(guī)律而不局限于規(guī)律．3．如圖,已知四邊形ABCD是平行四邊形，點P是平面ABCD外一點，M是PC的中點,在DM上取一點G，過G和AP作平面交平面BDM于GH，求證：AP∥GH。［證明］連接AC交BD于O,連接MO，因為M，O為PC、AC的中點,所以MO∥AP，又因為MO?平面BDM,PA?平面BDM,所以PA∥平面BDM,又因為PA?平面PAHG,平面PAHG∩平面BDM＝GH，所以PA∥GH?？臻g中的垂直關(guān)系【例4】如圖所示，在斜三棱柱A1B1C1-ABC中，底面是等腰三角形,AB＝AC，側(cè)面BB1C1C⊥底面ABC.(1）若D是BC的中點，求證：AD⊥CC1;(2)過側(cè)面BB1C1C的對角線BC1的平面交側(cè)棱于點M,若AM＝MA1,求證：截面MBC1⊥側(cè)面BB1C1C.[思路探究](1）由面面垂直的性質(zhì)可證．（2）先證明C1N⊥側(cè)面BB1C1C,再證截面MBC1⊥側(cè)面BB1C1C.［解］(1)證明：∵AB＝AC，D是BC的中點，∴AD⊥BC?！叩酌鍭BC⊥側(cè)面BB1C1C，底面ABC∩側(cè)面BB1C1C＝BC，∴AD⊥側(cè)面BB1C1C.∴AD⊥CC1.（2）延長B1A1與BM的延長線交于點N，連接C1N.∵AM＝MA1,∴NA1＝A1B1?！逜1C1＝A1N＝A1B1，∴C1N⊥B1C1,∴C1N⊥側(cè)面BB1C1C.∴截面MBC1⊥側(cè)面BB1C1C?？臻g中的垂直關(guān)系包括線與線的垂直、線與面的垂直及面與面的垂直，三種垂直關(guān)系是本章學(xué)習(xí)的核心，學(xué)習(xí)時要突出三者間的互化意識．如在證明兩平面垂直時一般從現(xiàn)有直線中尋找平面的垂線，若這樣的垂線不存在,則可通過作輔助線來解決．如有面面垂直時，一般要用性質(zhì)定理,在一個平面內(nèi)作交線的垂線，使之轉(zhuǎn)化為線面垂直，進一步轉(zhuǎn)化為線線垂直．4.如圖,四棱錐P-ABCD中，∠ABC＝∠BAD＝90°，BC＝2AD，△PAB和△PAD都是等邊三角形．證明：PB⊥CD。[證明]如圖,取BC的中點E，連接DE，則ABED為正方形．過P作PO⊥平面ABCD，垂足為O.連接O