學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精PAGE13-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精1．2.1“且”與“或"學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)1。了解聯(lián)結(jié)詞“且”與“或”的含義．（重點(diǎn)）．2．會(huì)用聯(lián)結(jié)詞“且”“或”聯(lián)結(jié)或改寫(xiě)某些數(shù)學(xué)命題．(難點(diǎn)、易混點(diǎn)）．3．能夠判斷命題“p且q"“p或q”的真假．(重點(diǎn)）1。通過(guò)學(xué)習(xí)基本邏輯聯(lián)結(jié)詞“且”與“或"，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)．2．通過(guò)判斷用“且”“或"聯(lián)結(jié)而成的復(fù)合命題的真假,提升學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng).1．用邏輯聯(lián)結(jié)詞構(gòu)成新命題構(gòu)成新命題記作讀作用聯(lián)結(jié)詞“且”把命題p和q聯(lián)結(jié)起來(lái)，就得到一個(gè)新命題p∧qp且q用聯(lián)結(jié)詞“或”把命題p，q聯(lián)結(jié)起來(lái)，就得到一個(gè)新命題p∨qp或q思考1：觀察三個(gè)命題：①5是10的約數(shù)；②5是15的約數(shù)；③5是10的約數(shù)且是15的約數(shù)，它們之間有什么關(guān)系？從集合的角度如何理解“且"的含義？[提示]命題③是將命題①，②用“且"聯(lián)結(jié)得到的新命題，“且"與集合運(yùn)算中交集的定義A∩B＝｛x｜x∈A且x∈B}中“且"的意義相同，表示“并且”“同時(shí)”的意思．“且”作為邏輯聯(lián)結(jié)詞，與生活用語(yǔ)中“既…，又…”相同，表示兩者都要滿(mǎn)足的意思，在日常生活中經(jīng)常用“和"“與”代替．思考2：觀察三個(gè)命題：①3〉2；②3＝2；③3≥2，它們之間有什么關(guān)系？從集合的角度如何理解“或”的含義？[提示］命題③是將命題①，②用邏輯聯(lián)結(jié)詞“或"聯(lián)結(jié)得到的新命題．“或”從集合的角度看，可設(shè)A＝{x|x滿(mǎn)足命題p｝，B＝｛x|x滿(mǎn)足命題q｝，則“p∨q”對(duì)應(yīng)于集合中的并集A∪B＝｛x｜x∈A或x∈B}．“或"作為邏輯聯(lián)結(jié)詞，與日常用語(yǔ)中的“或"意義有所不同，而邏輯聯(lián)結(jié)詞中的“或”含有“同時(shí)兼有”的意思．“p或q"有三層意思：要么只是p，要么只是q,要么是p和q，即兩者中至少要有一個(gè)．2．含邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題真假的判斷pqp∧qp∨q真真真真真假假真假真假真假假假假思考3：若p且q為真命題，那么p或q一定為真命題嗎？反之是否成立？[提示］p且q為真命題，說(shuō)明p真、q真，故p或q一定是真命題．反之不一定成立，即若p或q為真命題,p且q不一定為真命題,比如p真q假時(shí)，p或q真，但p且q假．1．已知命題p：對(duì)頂角相等，命題q：27是3的倍數(shù)，則p∧q表示（)A．對(duì)頂角相等或27是3的倍數(shù)B．對(duì)頂角相等C．27是3的倍數(shù)D．對(duì)頂角相等且27是3的倍數(shù)D[p∧q表示對(duì)頂角相等且27是3的倍數(shù)．]2．下列命題中既是“p∧q”形式的命題，又是真命題的是（)A．10或15是5的倍數(shù)B．方程x2－3x－4＝0的兩根和是1C．方程x2＋1＝0沒(méi)有實(shí)數(shù)根D．有兩個(gè)角為45°的三角形是等腰直角三角形D[有兩個(gè)角為45°的三角形是等腰直角三角形，既是“p∧q”形式的命題，又是真命題．]3．下列命題是“p∨q”形式的是(）A．6≥6B．3是奇數(shù)且3是質(zhì)數(shù)C。eq\r(2）是無(wú)理數(shù)D．3是6和9的約數(shù)A[6≥6?6＞6或6＝6，所以A是“p∨q”形式的命題;B和D是“p∧q”形式的命題;C不包含任何邏輯聯(lián)結(jié)詞,所以B,C，D不正確,故選A.］含有“且”“或”命題的構(gòu)成【例1】分別寫(xiě)出由下列各組命題構(gòu)成的“p∧q”“p∨q”形式的命題:(1)p:eq\r（2)是無(wú)理數(shù)，q:eq\r（2)大于1；(2）p:N?Z，q：{0｝?N；（3)p：35是15的倍數(shù)，q：35是7的倍數(shù)；(4)p：梯形有一組對(duì)邊平行，q：梯形有一組對(duì)邊相等．[解]（1)p∧q:eq\r（2)是無(wú)理數(shù)且大于1,p∨q:eq\r（2)是無(wú)理數(shù)或大于1。（2）p∧q：N?Z且｛0｝?N，p∨q：N?Z或｛0｝?N。（3）p∧q：35是15的倍數(shù)且是7的倍數(shù)，p∨q：35是15的倍數(shù)或是7的倍數(shù)．(4)p∧q：梯形有一組對(duì)邊平行且有一組對(duì)邊相等．p∨q:梯形有一組對(duì)邊平行或有一組對(duì)邊相等．用邏輯聯(lián)結(jié)詞“且”“或"聯(lián)結(jié)兩個(gè)命題時(shí)，關(guān)鍵是正確理解這些詞語(yǔ)的意義及在日常生活中的同義詞，選擇合適的聯(lián)結(jié)詞,有時(shí)為了語(yǔ)法的要求及語(yǔ)句的通順也可進(jìn)行適當(dāng)?shù)氖÷院妥冃?1．指出下列命題的形式及構(gòu)成它的簡(jiǎn)單命題：(1）24既是8的倍數(shù)，也是6的倍數(shù)；(2）菱形是圓的內(nèi)接四邊形或是圓的外切四邊形．[解]（1)這個(gè)命題是“p∧q”的形式，其中p：24是8的倍數(shù)，q：24是6的倍數(shù)．(2)這個(gè)命題是“p∨q”的形式，其中p:菱形是圓的內(nèi)接四邊形，q：菱形是圓的外切四邊形．含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題的真假判斷【例2】分別指出下列各組命題構(gòu)成的“p∧q"“p∨q"形式的命題的真假．(1)p：6<6，q：6＝6。（2)p：梯形的對(duì)角線(xiàn)相等,q:梯形的對(duì)角線(xiàn)互相平分．（3）p：函數(shù)y＝x2＋x＋2的圖象與x軸沒(méi)有公共點(diǎn)，q:不等式x2＋x＋2＜0無(wú)解．(4)p:函數(shù)y＝cosx是周期函數(shù)，q：函數(shù)y＝cosx是奇函數(shù)．[解](1)∵p為假命題，q為真命題,∴p∧q為假命題，p∨q為真命題．(2）∵p為假命題，q為假命題，∴p∧q為假命題,p∨q為假命題．(3)∵p為真命題，q為真命題，∴p∧q為真命題，p∨q為真命題．(4)∵p為真命題，q為假命題，∴p∧q為假命題，p∨q為真命題．判斷含邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題的真假的步驟1逐一判斷命題p，q的真假。2根據(jù)“且"和“或”的含義判斷“p∧q”“p∨q”的真假。，p∧q為真?p和q同時(shí)為真,，p∨q為真?p和q中至少一個(gè)為真.2．分別指出由下列各組命題構(gòu)成的“p或q"“p且q”形式的命題的真假．(1)p：eq\r（3）是無(wú)理數(shù),q：π不是無(wú)理數(shù)；（2)p：集合A＝A，q：A∪A＝A;（3)p：函數(shù)y＝x2＋3x＋4的圖象與x軸有公共點(diǎn)，q：方程x2＋3x－4＝0沒(méi)有實(shí)數(shù)根．［解](1)∵p真q假，∴“p或q"為真,“p且q"為假．(2）∵p真q真，∴“p或q”為真，“p且q”為真．（3）∵p假q假，∴“p或q”為假，“p且q”為假．根據(jù)命題的真假求參數(shù)范圍[探究問(wèn)題］1．邏輯聯(lián)結(jié)詞“且”與集合中的哪種運(yùn)算對(duì)應(yīng)?與電學(xué)中的電路又有什么關(guān)系？[提示](1)對(duì)于邏輯聯(lián)結(jié)詞“且”的理解,可聯(lián)系集合中“交集"的概念，即A∩B＝｛x｜x∈A且x∈B｝,二者含義是一致的,都表示“既……，又……”的意思．（2）對(duì)于含有邏輯聯(lián)結(jié)詞“且”的命題真假的判斷，可以聯(lián)系電路中兩個(gè)串聯(lián)開(kāi)關(guān)的閉合或斷開(kāi)與電路的通或斷的對(duì)應(yīng)加以理解(如圖所示)．2．邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”與集合中的哪種運(yùn)算對(duì)應(yīng)？與電學(xué)中的電路又有什么關(guān)系?[提示](1)對(duì)于邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”的理解，可聯(lián)系集合中“并集”的概念,即A∪B＝｛x|x∈A或x∈B｝，二者含義是一致的，如果p:集合A；q：集合B；則p∨q：集合A∪B.“或"包含三個(gè)方面：x∈A且x?B,x?A且x∈B，x∈A∩B。(2）對(duì)于含有邏輯聯(lián)結(jié)詞“或"的命題真假的判斷，可以聯(lián)系電路中兩個(gè)并聯(lián)開(kāi)關(guān)的閉合或斷開(kāi)與電路的通或斷的對(duì)應(yīng)加以理解(如圖所示)．【例3】設(shè)有兩個(gè)命題．命題p：不等式x2－(a＋1)x＋1≤0的解集是?;命題q：函數(shù)f(x)＝(a＋1）x在定義域內(nèi)是增函數(shù)．如果p∧q為假命題,p∨q為真命題,求a的取值范圍．[思路探究］首先求出命題p，命題q所滿(mǎn)足的條件，根據(jù)p∧q為假命題，p∨q為真命題,可知p,q為一真一假,再分類(lèi)討論求出a的范圍．[解]對(duì)于p：因?yàn)椴坏仁絰2－(a＋1)x＋1≤0的解集是?，所以Δ＝［－（a＋1)］2－4＜0。解這個(gè)不等式得：－3<a〈1。對(duì)于q：f（x)＝(a＋1）x在定義域內(nèi)是增函數(shù)，則有a＋1>1，所以a>0.又p∧q為假命題,p∨q為真命題，所以p，q必是一真一假．當(dāng)p真q假時(shí)有－3<a≤0,當(dāng)p假q真時(shí)有a≥1。綜上所述，a的取值范圍是（－3，0］∪［1，＋∞）．1．（變換條件)本例中將“p∧q"為假命題改為“p∧q”是真命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．［解］由“p∧q"為真命題知p，q均為真命題．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（－3＜a＜1，,a＞0,))得0＜a＜1.故a的取值范圍是(0,1)．2．(變換條件)本例中將“p:不等式x2－（a＋1)x＋1≤0的解集是?"改為“p:方程x2－(a＋1）x＋1＝0有兩不相等的實(shí)數(shù)根”，求a的取值范圍．[解]由方程x2－（a＋1）x＋1＝0有兩不相等的實(shí)數(shù)根，得Δ＝［－(a＋1)］2－4＞0，解得a＜－3或a＞1。由p∧q為假命題，p∨q為真命題，所以p，q必是一真一假．當(dāng)p真q假時(shí)a＜－3，當(dāng)p假q真時(shí)，0＜a≤1。綜上可知,a的取值范圍是（－∞，－3)∪(0，1]．解決此類(lèi)問(wèn)題的方法:首先化簡(jiǎn)所給的兩個(gè)命題p，q，得到它們?yōu)檎婷}時(shí)相應(yīng)參數(shù)的取值范圍；然后，結(jié)合復(fù)合命題的真假情形,確定參數(shù)的取值情況，常用分類(lèi)討論思想。提醒：求解時(shí)要注意區(qū)間端點(diǎn)值的檢驗(yàn)。1．思考辨析（1）p與q同真，則p∧q為真；p與q有一假，則p∧q為假．()（2)p與q有一真，則p∨q為真；p與q同假，則p∨q為假．(）（3)命題：“方程x2－1＝0的解是x＝±1”，使用了邏輯聯(lián)結(jié)詞“且”． ()[提示］(1)√(2）√(3）דx＝±1”可以寫(xiě)成“x＝1或x＝－1"．2．已知p：正方形的對(duì)角線(xiàn)相等,q：20是3的倍數(shù)，則p∨q(）A．是真命題 B．是假命題C．有可能是真命題 D．不一定是假命題A[正方形的對(duì)角線(xiàn)相等，所以命題p是真命題,所以p∨q是真命題．］3．如果命題p∨q為真命題，p∧q為假命題，那么(）A．命題p，q都是真命題B．命題p,q都是假命題C．命題p，q只有一個(gè)是真命題D．命題p，q至少有一個(gè)是真命題C[p∨q為真命題，則p，q至少有一個(gè)為真命題；p∧q為假命題，則p，q至少有一個(gè)為假命題，同時(shí)滿(mǎn)足,則p,q只有一個(gè)為真命題，故選C。]4．有以下四個(gè)命題:（1)直線(xiàn)a平行于直線(xiàn)b；（2）直線(xiàn)a平行于直線(xiàn)b或