第第三部中值定理和導數的第三部分中值定理和導數的應基本思想：用導數研究函重點和難點理解和掌握四個重要的微分中值定理羅爾定理、拉格朗日定理、柯西定理及泰勒定理的內容中值定理的條件是定理成立的什么條件？中值定理中的唯一嗎熟悉常用的麥克勞林公式用洛必達法則求未定式極限應注意什么會判別函數單調性、凹凸性。能利用函數的單調性做證明題熟練掌握求函數極值(確定極大還是極小)和最值的方法求給定函數的豎直漸近線及斜漸近線會做y=f(x)的圖形 8.正確求出函數在某點處的曲率二課堂練）判斷是非（共7個 2.選擇題（共7））3.計算題（共5個 4.證明題（共7）羅爾中值定理掌握四個微羅爾中值定理f(a)=f(b)幾何解釋y=f(x至少有一條水平推廣：減少一個條拉格拉格朗日中值定理幾何解釋yf(x至少有一條切線平行連接曲線端點的弦

推廣F(x)柯西中值定理柯西中值定理若f(x)和F(x) F(x) x(a,

FF(b)F(a)f(b)f(a) f()F(幾何解釋 曲線的參數式方程,x為參數XY曲線 Y

F(f(x)

至少有一.條切線平行于連接曲線端點的弦..泰勒中值定理

fx)用xx0)的n次多項若fx)在含有x0的某個開用xx0)的n次多項階的導函數，則x(ab),f(

f(

)

(

)(

x0)

(x0 020

x)2f(n)(x00

0(xn

x

(x)0.0其

(x)

x)n

叫皮亞諾型余項Rn(

f n

)(x

0x0

叫拉格朗日型余項0)0

這里是x與x之間某 x00麥克勞f(x)

f(0)

f(0)x

f(0)x..2.

f(n)xnn

o(xn常用麥克勞林公式 e

1x

222

nn n

e

xn1

osin

3x 3

m1

x2m1

x3 5

(2m

(2m)!

421 2

x

m1

x2m12 4

(2m)!

(2m1)! ..常用麥克勞林公式 ln(1

x 23 23n

xn1

(1)n1 nnn

(n

1)(1)n1

x)

1x

(1)x2

(1)(n1)xnn(1)(

xn1(n1)!(1

x)

(0

......用洛必達法則求未定式極限應注意什么例

x0

1sin11sin1

sinx 11原式

cosx

1o.及時求出已定式的極限2x0 3x12x0

sin61

用洛必達法則求未定式極限應注意什么o2.需要先驗證條件 o

xsin

1cosx

xsin

x1

cosx

cosx不存

應該怎么做原式

lim

1x1

sinx利用函數的單調性做證明x時

3xxxxx證 令f(x)

3xf(x)

xxx

xxx

> (x

時

(

f(1)所以

3 x注：fx注：fx)0fxfx0證畢求函數極值和最求極值的步驟求函數的所有駐點和導數不存在的點在x0鄰域內，若f( 否則x0不是極值當x漸增地過x0時，fx)的符號由變fx0是極大值當x漸增地過x0時，fx)的符號由變則fx0求[a,b]上連續(xù)函數f(x)的最值的步驟求函數的所有駐點和導數不存在的點

(或fx0(或fx0f(x)在這些點的值與f(af(b)比較，最大者為最大值，最小為最小值注：若連續(xù)函數f(x)在區(qū)間I內有唯一的極值點。則極大值就是最大值極小值就是最小值給定函數yf(x,求其豎直漸近線及斜漸若xa

f(x)

則x

a是豎x

f(x)

a

x

f(x)

ax]byax

.對函數進行全面討論并作

ye解：定義域 0)及(0,+ y exxyxy(–,++0不存不存++不存+0e拐+–

0 limx

x

y

.故曲線有漸近y=1x=對函數進行全面討論并畫圖y

yex

y

11e 2求函數在某點處的曲率yf(x)x=a處的曲率kx

|y(1|y(1y2

332xayy

(t

在點

處的曲率k|(t)(t)(t)(t)2(t).2(t)3..二課堂練1判斷是非：是

非：函數的極值點一定是駐點。函數的駐點一定是極值點。函數的最大值點一定是極大值點。(函數的極大值一定大于極小值。(

f(x)

D2[a

,b],

f(x)0

f(a)

f(b)0則對一切

,b)

有fx)

（√

f

gxc1

f(x)

g(x),fx)

g(x).

（(7)函數在駐點處的二階導等于零，則該駐點是極值點

（選擇下列函數在給定區(qū)間滿足羅爾定理條件的(Ay

x25

[2,

y

[0,3(3(x

[0,

y

x

xx

函

fx)在[ab]上連續(xù)(ab)內可導，a

x1x2則至少存在一，使

(AB

必然成立。

f(b)

f(a)

f()(b

(a,

f(x2)

f(x1)

f()(

x1

(a,

f(b)

f(a)

f()(b

(x1

x2

f(x2)

f(x1)

f()(

x1

(x1

x2

fx)

x2(1

x2)適合羅爾定理條件的區(qū)間是

A(A)

(B)

(C)

(D)3

4.5若函

fx)在區(qū)(ab)內可導，x1和x2是區(qū)(ab)任意兩x1

x2，則至少存在一點，使

C(A)

(b)

f(a)

f()(b

a),

其中a

f(b)

f(x1)

f()(b

x1

其中x1

(C)

(x2)

f(x1)

f()(

x1

其中x1

x2(D)

(x2)

f(a)

f()(

其中a

x2若函a

b時，有

令Fx

f(x)

g(

f(x)f(x)

g(g(

f(x)f(x)

g(b)

f(b)函

fx)在點x0處取得極大值，則必

D (A)(C)

(x0)(x0)

0且

(x0)

(B)(D)

(x0)(x0)

0或不

ax

c的拐點，則 .a.

1,b

3,

0,b

a

1,b

0c為任意值

ab為任意值

計算

tanxx0

xsin1

x0

xln(exx

xn 討

y(1x

2

)e

的極值y

的漸近線32(x3y

x2上找出到直

3x4y

2的距離為最短的點。證明

(x)在0,)連續(xù)，可微，(0)

0，x)單調增加求證

(x)

(x)x

0),(單調增加。(2)已知函數y=f 對一切x滿

)

x]xfx1

x0

fx)在[上可導，且0

f(

f(

1,(01).

(x)

x在(內有且僅有一個根(4)設

(x)在(a,b)內可微， 。試明

x)在(a

xf

1

有二階導數

(0

.

2.)(試證明：當x

，時，

x2)()10設

在，上可導

(6()11,)

證明在(:內必有

11 11

233

y

x

x

x

的零點個數和范其中

a3并說明理.計算

tanxx0

xsin解 原式

sec2xx0

1cos

tan2x0

1cos.. 2x0sin

求x0

xln(ex解：此為未定00.1ln(ex

limlny

ln1y1.

x0

xx0x

ln(e

.xlim .x

lim

lim

1

limxx0x

(ex

x0

xe

x0

x0e

原式

eln

e

討論

(1x222

)enn

的極值解：y

exnn

駐點：

0當n為偶

y

..n 當為奇.n.x

0,

0

x

yy(03求曲線y 3解 x

的漸近線

x1因

,曲線有豎直漸近線：x1

2(

y

x 又 x

x

lim(y

x)

x3x(

x

x

.2x2 1 x

x

2(

y

1y

2(

1)

有斜漸近線

在拋y

x2上找出到直

3x4y

2的距離為最短的點。解：設拋物線上任(

x2到直線的距離為9d|9

4x

2

1(4x5

3xd.

1(85

3)

唯一駐點：x38d

805

x

38

取極小值

即最小值(3,

到直線3

4y

2的距離最短此題有更簡單的

在拋y

x2上找出到直

3x4y

2的距離為最短的點。解：方法 距離最短的點必是切點yM.0x切線必與已yM.0x由y2x4得：x8點38

9到直線3

4y

2的距離最短證明(1)解答設x)求證：

(x)

(x)在(0,)上單調增x分析：需fx)存在且fx)

(x)x(x

0證明：由拉格朗日中定理

(x)

()x

(x)(x)x(x)因為x)可微

fx)可微f(x)

(x)x(x)x2

0

f(

證畢解答

已知函數y=f 對一切x滿xf(x)

3x[

1

efx)在某一點

x0

處有極值解

0處，有

(x0) f(

)1

e

1e0 0

f(x0) 當x0

e

1

f(x0)

e

1

f(x0)

0時，

(x0)0

fx0是極小值。解答 x

證明：方程

1))(且證

g(x)

f(x)x

由介值定

fxx至少有一個設還有一個1(0,1)

g(1),2(,1)或(1,使g(2f(21f(2

2

與已知

只有一根

證畢解

設f(x)在(a,b)內可微， 。試

f(x)

f(x)|M.取x0

則對x(ab)，x

x0在以x和x0

fx)滿足定理條.f(x)

f(x0)

x0

在x和x0即：f

f

b|

x0|M(ba)記fx)在(ab)內有

與已 證解函數

xf

10[)(有二階導數

(0

2.)(試證明：當x

，時

x2.)()10(證明證法

這里要求證明fxx2設當x(時，

(x)

x2

即:在則f(x)2x, f(x)

fx)處處x22 x2

11. 11. x 也不行正確解函數xf

10[)(有二階導數

(0

2.)(試證明：當x

，時

x2.)()10(證明反證法設

(，使

f(

2Fx

f(x)x

x

F

1(0,)及

(F

F

又

(1,2

有F(3

f(3)2與已

(x)

證畢解[

f(0)

f

1

f(x)x.證明在(內必有

存在

f(x1

f(x2

證明

fx)上可

fx)上連f(0

由介值定存在

(0,1),

f()12[0,][,1]上分別fx)用拉格朗日中值定f(