（1）認識數列的觀點和幾種簡單的表示方法（列表、圖象、通項公式）.（2）認識數列是自變量為正整數的一類函數.一、數列的有關觀點1．數列的定義依據必定次序擺列著的一列數稱為數列，數列中的每一個數叫做這個數列的項．數列中的每一項都和它的序號有關，排在第一位的數稱為這個數列的第1項，往常也叫做首項，排在第二位的數稱為這個數列的第2項排在第n位的數稱為這個數列的第n項．所以，數列的一般形式能夠寫成a1,a2,a3,L,an,L,簡記為an．2．數列與函數的關系數列能夠當作定義域為正整數集N*(或它的有限子集{1,2,L,n})的函數anfn，當自變量依據由小到大的次序挨次取值時，所對應的一列函數值．因為數列是特別的函數，所以能夠用研究函數的思想方法來研究數列的有關性質，如單一性、最大值、最小值等,此時要注意數列的定義域為正整數集（或其有限子集{1,2,L,n}）這一條件.3．數列的分類分類標準名稱含義按項的有窮數列項數有限的數列，如數列1，2，3，4，5，7，8，9，10個數無量數列項數無窮的數列，如數列1，2，3，4，遞加數列從第2項起，每一項都大于它的前一項，如數列1，3，5，7，9，按項的變遞減數列從第2項起，每一項都小于它的前一項，如數列10，9，8，7，6，5，化趨向常數列各項都相等的數列，如數列2，2，2，2，搖動數列從第2項起，有些項大于它的前一項，有些項小于它的前一項，如1，2，1，2按項的有有界數列任一項的絕對值都小于某一正數，如－1，1，－1，1，－1，1，界性無界數列不存在某一正數能使任一項的絕對值小于它，如2，4，6，8，10，二、數列的表示方法1）列舉法：將數列中的每一項依據項的序號逐個寫出，一般用于“凌亂無章”且項數較少的狀況．2）分析法：主要有兩種表示方法，①通項公式：假如數列an的第n項與序號n之間的關系能夠用一個式子來表示，那么這個公式叫做這個數列的通項公式，即anf(n)．②遞推公式：假如已知數列an的第一項(或前幾項)，且任一項an與它的前一項an1(或前幾項)間的關系能夠用一個公式來表示，那么這個公式就叫做這個數列的遞推公式．3）圖象法：數列是特別的函數，能夠用圖象直觀地表示．數列用圖象表示時，能夠以序號為橫坐標，相應的項為縱坐標描點繪圖．由此可知，數列的圖象是無窮個或有限個孤立的點．三、數列的前n項和與通項的關系數列的前n項和往常用Sn表示，記作Sna1a2Lan，則通項anS1．SnSn1,n2若當n2時求出的an也合適n1時的情況，則用一個式子表示an，不然分段表示．考向一已知數列的前幾項求通項公式1．常用方法：察看(察看規(guī)律)、比較(比較已知數列)、概括、轉變(轉變?yōu)樘貏e數列)、聯想(聯想常有的數列)等方法．詳細策略：①分式中分子、分母的特點；②相鄰項的變化特點；③拆項后的特點；④各項的符號特點和絕對值特點；⑤化異為同．關于分式還能夠考慮對分子、分母各個擊破，或找尋分子、分母之間的關系；⑥關于符號交替出現的狀況，可用(1)k或(1)k1,kN*辦理．依據數列的前幾項寫出數列的一個通項公式是不完整概括法，它包含著“從特別到一般”的思想.2．常有的數列的通項公式：1）數列1，2，3，4，的通項公式為ann；2）數列2，4，6，8，的通項公式為an2n；3）數列1，4，9，16，的通項公式為ann2；（4）數列1，2，4，8，的通項公式為an2n；（5）數列1，1，1，1，的通項公式為an1；234n（6）數列1，1，1，1，的通項公式為an1．n(n2612201)3．依據圖形特點求數列的通項公式，第一要察看圖形，找尋相鄰的兩個圖形之間的變化，其次要把這些變化同圖形的序號聯系起來，發(fā)現此中的規(guī)律，最后概括猜想出通項公式．典例1寫出下邊數列的一個通項公式.1）8,98,998,9998,;2）1,1,5,13,;248163）1,6,12,20,.3）簡單看出第2,3,4項知足規(guī)律:項的序號×(項的序號+1).而第1項卻不知足,所以考慮分段表示，即數列的一個通項公式為an1,n1nn.學#1,n2典例2如圖是用相同規(guī)格的黑、白兩色正方形瓷磚鋪設的若干圖案，則按此規(guī)律第n個圖案中需用黑色瓷磚_______塊．（用含n的代數式表示）【答案】4n+8為奇數1．已知nN*，給出4個表達式：①an為偶數，②，③，④.此中能作為數列：0，1，0，1，0，1,n1，0，1，的通項公式的是A．①②③B．①②④C．②③④D．①③④考向二利用an與Sn的關系求通項公式已知Sn求an的一般步驟：（1）先利用a1S1求出a1；（2）用n1替代Sn中的n獲得一個新的關系，利用anSnSn1,n2即可求出當n2時an的表達式；（3）對n1時的結果進行查驗，看能否切合n2時an的表達式，假如切合，則能夠把數列的通項公式合寫；假如不切合，則應當分n1與n2兩段來寫.學@利用anS1,n1求通項公式時，務必需注意n2這一限制條件，所以在求出結果后，要看看這SnSn1,n2兩種狀況可否整合在一同．典例3在數列中，，，數列的前項和（，為常數）.1）務實數，的值；2）求數列的通項公式.an的前n項和為Sn，且知足a11，nSn1nn1*．典例4已知數列n1Sn，nN21）求a2的值；2）求數列an的通項公式．【分析】（1）∵a1,nSnn112．n1S,∴S22S111n1n222．設數列知足.（1）求及的通項公式;（2）求數列an的前項和.2n1考向三由遞推關系式求通項公式遞推公式和通項公式是數列的兩種表示方法，它們都能夠確立數列中的隨意一項.高考對遞推公式的考察難度適中，一般是經過變換轉變成特別的數列求解.已知數列的遞推公式求通項公式的常有種類及解法以下：（1）an1anf(n)：常用累加法，即利用恒等式ana1(a2a1)(a3a2)L(anan1)求通項公式．（2）an1f(n)an：常用累乘法，即利用恒等式ana1a2a3Lan求通項公式．a1a2an1（3）an1panq（此中p,q為常數，p0,1）：先用待定系數法把原遞推公式轉變?yōu)閍n1kp(anqk)，此中k，從而轉變?yōu)榈缺葦盗羞M行求解．1p（4）an1panqn：兩邊同時除以qn1，而后可轉變?yōu)榉N類3，利用待定系數法進行求解；兩邊同時除以pn1，而后可轉變?yōu)榉N類1，利用累加法進行求解．（5）an1panqnt：把原遞推公式轉變?yōu)閍n1xnyp(anxny)，解法同種類3．（6）an1panr：把原遞推公式兩邊同時取對數，而后可轉變?yōu)榉N類3，利用待定系數法進行求解．pan（7）an1：把原遞推公式兩邊同時取倒數，而后可轉變?yōu)榉N類3，利用待定系數法進行求解．qanr（8）an1anf(n)：易得an2anf(n1)f(n)，而后分n為奇數、偶數兩種狀況分類議論即可．（9）an1anan2f(n1)f(n)：易得，而后分n為奇數、偶數兩種狀況分類議論即可．anf(n)典例5已知數列{an}中,a1=1,an=n(an+1-an)(n∈N*).求數列{an}的通項公式.典例6在數列an中，a11，an111ann12n.n（1）設bnan，求數列bn的通項公式；n（2）求數列an的前n項和Sn.①-②得Tn222232nn2n1212nn2n112n121n2．∴Tn2n12n1．∴Sn2n12n1nn1．學23．在數列中，，，，為常數，．1）求的值；2）設，求數列的通項公式.考向四數列的性質數列能夠看作是一類特別的函數，所以數列具備函數應有的性質，在高考取?？疾鞌盗械膯我恍?、周期性等.1．數列的周期性先依據已知條件求出數列的前幾項，確立數列的周期，再依據周期性求值．2．數列的單一性（1）數列單一性的判斷方法：①作差法：an1an0數列{an}是遞加數列；an1an0數列{an}是遞減數列；an1an0數列{an}是常數列．②作商法：當an0時，an11數列{an}是遞加數列；anan11數列{an}是遞減數列；anan11數列{an}是常數列．an當an0an11數列{an}是遞減數列；時，anan11數列{an}是遞加數列；anan11數列{an}是常數列．an2）數列單一性的應用：①結構函數，確立出函數的單一性，從而可求得數列中的最大項或最小項．②依據akak1可求數列中的最大項；依據akak1可求數列中的最小項．當解不獨一時，比較各解對akak1akak1應的項的大小即可．3）已知數列的單一性求解某個參數的取值范圍，一般有兩種方法：①利用數列的單一性建立不等式，而后將其轉變?yōu)椴坏仁降暮憬栴}進行解決，也可經過分別參數將其轉變?yōu)樽钪祮栴}辦理；②利用數列與函數之間的特別關系，將數列的單一性轉變?yōu)橄鄳瘮档膯我恍?，利用函數的性質求解參數的取值范圍，但要注意數列通項中n的取值范圍．典例7已知數列{an}，其通項公式為an3n2n(nN*)，判斷數列的單一性．典例8已知正項數列的前項和為，且對隨意恒建立.1）證明：；2）求數列的通項公式；3）若，數列是遞加數列，求的取值范圍.【分析】（1）由，得，兩式相減得.又，所以，即，當時，，得，也知足，所以.4．在數列中,,若,則的值為A．B．C．D．5．已知數列an的前n項和Sn知足：a1anS1Sn.（1）求數列an的通項公式；（2）若an0，數列l(wèi)og2an的前n項和為Tn，試問當n為什么值時，Tn最??？并求出最小值.321．在數列1,2,,中,是這個數列的第A．16項B．24項C．26項D．28項2．數列1,1,5,7,的一個通項公式是332781A．an=(-1)n+12n1B．an=(-1)n2n13n3nC．n=(-1)n+12n1D．an=(-1)n2n1a3n3n3．若數列中,,則的值為A．B．C．D．4．若數列的前項和,則它的通項公式是A．B．C．D．5．如圖，給出的3個三角形圖案中圓的個數挨次組成一個數列的前3項，則這個數列的一個通項公式是A．2n1B．3nC．n22nD．n23n2226．在數列中==則＝A．B．C．D．7．已知數列的通項為ann，則數列的最大值為n258A．1B．7258107C．4D．不存在613ax3,x78．已知函數=7,若數列{}知足=,且{}是遞加數列,則實數a的取值范圍是ax6,xA．B．C．9,3D．9,3449．傳說古希臘畢達哥拉斯(Pythagoras,約公元前570年—公元前500年)學派的數學家常常在沙岸上研究數學識題,他們在沙岸上畫點或用小石子來表示數.依據以下四個圖形及相應的正方形的個數的變化規(guī)律,第n個圖形中有_________個正方形.10．若數列an知足an112，則a1___________．1,a8ann11．已知數列的前項和為,且=21，則．312．已知{n}是遞加數列，且對隨意的自然數(≥1)，都有ann2n恒建立，則實數λ的取值范圍ann為.13．已知首項為2的數列的前項和為，且，若數列知足bn132nan1nN*，則數列中最大項的值2n1為__________．nn214．已知數列{a}的通項公式為a=3n-28n.寫出數列的第4項和第6項;-49能否為該數列的一項?假如是,是哪一項?68能否為該數列的一項呢?15．已知數列{an}的通項公式an=n2-7n-8.1）數列中有多少項為負數?2）數列{an}能否有最小項?如有,求出其最小項.16．已知數列an的前n項和Sn知足Sn2an1nN*．1）求a1，a2，a3的值；2）已知數列bn知足b12，bn1anbn，求數列bn的通項公式．17．已知數列an知足a11，其前n項和Snn2an，求其通項公式an．218．設數列的前項和為，點均在函數的圖象上.1）求數列的通項公式；2）設，求數列的前n項和.1．（2018新課標全國Ⅰ理科）記Sn為數列an的前n項和，若Sn2an1，則S6_________．2．（2015江蘇）數列知足且,則數列1的前10項和為.an3．（2015新課標全國Ⅰ理科）Sn為數列{an}的前n項和.已知n>0.a,（1）求{an}的通項公式；（2）設bn1.求數列{bn}的前n項和.anan1變式拓展1．【答案】A【分析】①②③逐個寫出為0，1，0，1，0，1，0，1，，④逐個寫出為，不知足，應選A.學%科￥網2．【分析】（1）令，則.（2）由（1），知an2112n12n12n12n1，2n1設數列an的前項和為Sn，2n1則Sna1a2Lan1111L11112n.352n13352n12n12n12n13．【分析】（1）將代入，得，4．【答案】

B【分析】由題意得,,,,,5．【分析】（1）由已知a1an

所以數列是周期為S1Sn，可得

4的周期數列，所以

.選

B．當n

1時，

a12

a1

a1，可解得

a1

0或a1

2，當n

2時，由已知可得

a1an1

S1

Sn1，考點沖關1．【答案】C【分析】數列1,2,,可化為,,,則由,解得2．【答案】C【分析】關于選項A,當n=2時,a2=1,不知足題意,所以A不正確;2關于選項B,當n=1時,a1=1,不知足題意,所以B不正確;3關于選項D,當n=2時,a2=1,不知足題意,所以D不正確;3當n=1,2,3,4時,an=(-1)n+12n1均知足題意,C正確.3n3．【答案】C【分析】因為,所以,所以,所以,即奇數項、偶數項組成的數列均為常數列,又,所以7．【答案】C【分析】ann=121，但，則1取不到，又a77=7，a88=4，n25858582587258107825861nn4a7＜a8，∴數列{an}的最大項為a8．應選C．618．【答案】B【分析】因為{}是遞加數列,所以函數單一遞加.當時,=單一遞加,可得,解得;當時,=單一遞加,可得，所以.而{}是遞加數列,所以=，解得，所以2a3,即實數a的取值范圍是.應選B.9．【答案】nn12an123Lnn1nn1【分析】設數列為，由圖知，所以由此猜想：n2,故填.210．【答案】125,n111．【答案】3n112,n233【分析】n=1時,n12時,,33,n1所以n1.1233

,n212．【答案】(-3,+∞)【分析】由{an}為遞加數列,得an+1-an=(n+1)2+λ(n+1)-n2-λn=2n+1+λ>0恒建立,即λ>-2n-1在n≥1時恒建立,令f(n)=-2n-1,n∈N*,則f(n)max=-3.學.只需λ>f(n)max=-3即可.故實數λ的取值范圍為(-3,+∞).13．【答案】43【分析】∵，∴當時，，當時，，兩式相減可得，時也合適，∴當時，最大，最大值為43，故答案為43.14．【分析】(1)a4=3×16-28×4=-64,a6=3×36-28×6=-60.(2)令3n2-28n=-49,解得n=7或n=(舍去),∴n=7,即-49是該數列的第7項.令3n2-28n=68,解得n=或n=-2.?N*,-2?N*,∴68不是該數列的項.15．【分析】（1）令an<0,即n2-7n-8<0,得-1<n<8.又n∈N*,所以n=1,2,3,,7,故數列從第1項至第7項均為負數,共7項.（2）函數=278圖象的對稱軸為x=7=,所以當1≤≤3時,函數單一遞減;yx-x-2x當x