平面向量復習基本知識點及經典結論總結1、向量有關概念：（1）向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和數(shù)量的區(qū)別。向量常用有向線段來表示，注意不能說向量就是有向線段，為什么？（向量可以平移）。（2）零向量：長度為0的向量叫零向量，記作：0，注意零向量的方向是任意的；uuu uua（3）單位向量：長度為一個單位長度的向量叫做單位向量（與AB共線的單位向量是±得）；IABI（4）相等向量：長度相等且方向相同的兩個向量叫相等向量，相等向量有傳遞性；（5）平行向量（也叫共線向量）：方向相同或相反的非零向量a、b叫做平行向量，記作：a//b，規(guī)定零向量和任何向量平行。提醒：①相等向量一定是共線向量，但共線向量不一定相等；②兩個向量平行與與兩條直線平行是不同的兩個概念:兩個向量平行包含兩個向量共露但兩條直線平行不包含兩條直線重合；③平行向量無傳遞性?。ㄒ驗橛?）；④三點A、B、C共線oAB.AC共線；—-b-（6）相反向量：長度相等方向相反的向量叫做相反向量。a的相反向量是一a。2、向量的表示方法：（1）幾何表示法：用帶箭頭的有向線段表示，女％B，注意起點在前，終點在后;—? —is f（2）符號表示法：用一個小寫的英文字母來表示，如a,b,c等；（3）坐標表示法：在平面內建立直角i -fc-坐標系，以與X軸、y軸方向相同的兩個單位向量i,j為基底，則平面內的任一向量a可表示為rrra=xi+yj=（x,y），稱（x,y）為向量a的坐標，a=（x,y）叫做向量a的坐標表示。如果向量的起點在原點，那么向量的坐標與向量的終點坐標相同。3.平面向量的基本定理：如果e1和e2是同一平面內的兩個不共線向量，那么對該平面內的任一向量a有且只有一對實數(shù)九1、九2，使a=九e1+九e2。4r實數(shù)與向量的積：實數(shù)九4r實數(shù)與向量的積：實數(shù)九與向量a的積是一個向量，記作九（1）'a|=|X||a|,（2）當九>0時，入a的方向與a的方向相同，當九<0時a，它的長度和方向規(guī)定如下：-b- -b-九a的方向與a的方向相反，當九rr ,=0時，九a=0,注意：入aW0。5、平面向量的數(shù)量積：一，uuuruuar（1）兩個向量的夾角：對于非零向量a,b，作OA=a,OB=b,（0<0<^）稱為向量a,b的夾角，當0=0時，a,b同向，當0=冗ZAOB二。兀 ---時，a,b反向，當°=—時，a,

2b垂直。rr _（2）平面向量的數(shù)量積：如果兩個非零向量a,b,它們的夾角為0,我們把數(shù)量IaIIbIcos0叫做ar rr rrrr與b的數(shù)量積（或內積或點積），記作：a?b，即a?b=abcos0。規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積是0，注意數(shù)量積是一個實數(shù)，不再是一個向量?！?rb在a上的投影為IbIcos0，它是一個實數(shù)，但不一定大于0。r—a?b的幾何意義：數(shù)量積a?b等于a的模IaI與b在a上的投影的積。(5)向量數(shù)量積的性質:①(5)向量數(shù)量積的性質:①a±boa?b=0；設兩個非零向量a,b，其夾角為0，則:②當a,b同向時，rb，特別地，當a與b反向時，a?b=rr . ,ab；當rr . ,ab；當0為銳角時，a?b>0,且a、b不同向，a?b>0是0為銳角的必要非充分條件；當0為鈍角- rr時，a- rr時，a?b<0,且a、b不反向，a?b<0是0為鈍角的必要非充分條件;精選

rr- - a?b.rr..rr.③非零向量a,b夾角9的計算公式：cos。=r-；@Ia?bl<laIIbl。aibi6、向量的運算：(1)幾何運算：①向量加法：利用“平行四邊形法則”進行癡但‘淮行四邊形法則”只適即不共線的向量如此之外，向量加法還可利用“三角形法則”：設AB=a,BC=b，那么向量AC叫做a與b的和，即rruuuruuuuura+b=AB+BC=AC.uuuruurrrruuauuruuu②向量的減法：用“三角形法則”：設AB=a,AC=b，那么a—b=AB—AC=CA，由減向量的終點指向被減向量的終點。注意：此處減向量與被減向量的起點相同。(2)坐標運算：設a=(x,y),b=(x,y)，則:riri22①向量的加減法運算：a土b=(、土x2，yi±y)。②實數(shù)與向量的積：入a=九9「)=(九Xj九yi2)o③若A(xi,yi),B(x2,y2),則AB=(x2—5,y2-y),即一個向量的坐標等于表示這個向量的有向線段的終點坐標減去起點坐標orr④平面向量數(shù)量積：a?b=xx+yy。r, ir2r2⑤向量的模：Ial=\：'x2+y2,a2=laI2=x2+y2。⑥兩點間的距離：若A(x,⑥兩點間的距離：若A(x,y),B(x,y)，則IABl=;(x-x)+(yii2r2rrr(2r)i r27、向量的運算律：(i)交換律：a+b=b+a,入*a/=(X^)a,-y)r1ra?brrr(rr)rrrrr(rr) (r)r(rr)r(r)a+b+c="+b+cc,a一b一c=a-b++c), 入a)?b=X%?b)=a?\bb)；rrr(rr)rr(b+pja=ba+Ra,ba+b/=ba+bbr)r+b??c=rr=b?a；(2)結合律：(3)分配律：如下列命題中：①rraa?b⑦>r

b

=r;aa?(力-c)=a.力一日?c；②a?(力?聲)=(a.力)?c；③(arraa?b⑦>r

b

=r;a- 一4 一一 一一 rrrrrrrr-21aI?I bI+IbI2；④若a?b =0,則a =0或b=0 ；⑤若a?b=c-b,則a=c ；⑥a2=a2rrrrrrrrrr⑧(a?b)2=a2?b2；?(a-b)2=a2-2a?b+b2。其中正確的是(答：①⑥⑨)提醒：(1)向量運算和實數(shù)運算有類似的地方也有區(qū)別：對于一個向量等式，可以移項，兩邊平方、兩邊同乘以一個實數(shù)，兩邊同時取模，兩邊同乘以一個向量，但不能兩邊同除以一個向量，即兩邊不能約去一個向量，切記兩向量不能相除(相約)；(2)向量的“乘法”不滿足結合律，即a(b?c)牛(a?b)c，為TOC\o"1-5"\h\z什么？rrrrrr r r8、向量平行(共線)的充要條件： a//b。a=bb。(a?b)2=(IaII bl)2。xy -yx=0。rrrr rr rr i2 i29、向量垂直的充要條件：a±boa?b=0oIa+bl=l a-bI o xx+yy =0.特別地uua uur uua uur i 2 i 2/aBB AC x /aBB AC xImmr4-'nRM 1 I mmr-、nrm 1t/ii/iir i/ti/u/i, t/ii/iir i/ti/ti/i, I)oAB AC AB AC.線段的定比分點：(1)定比分點的概念：設點P是直線PP上異于P、P的任意一點，若存在一個實數(shù)b，使///m. //i2 i2 /1 .PP=bPP，則b叫做點P分有向線段PP所成的比，P點叫做有向線段PP的以定比為b的定比分點；I 2 I2 i2(2)b的符號與分點p的位置之間的關系：當P點在線段PP上時Ob>0；當P點在線段PP的i2 mi2延長線上時ob<—1；當P點在線段P2Pl的延長線上時o-i<b<0；若點p分有向線段｛P2所成的精選

UUUK ]UUUK比為九，則點P分有向線段P4所成的比為兀。UUUK(3)線段的定比分點公式：設仆1，?勺X2,y2),玖x，y)分有向線段P1尸2所成的比為九,則X+入XX+入X—t——1+九y+^y11+X2特別地，當九=1時，就得到線段p1P2的中點公式,X+XX= 22_y+y。。在使用定比分點的坐y_ 122標公式時，應明確標公式時，應明確(x,y),(X1,y1)、(x2,y2)的意義，即分別為分點，起點，終點的坐標。在具體計算時應根據題設條件，靈活地確定起點:分點和終點，并根據這些點確定對應的定比九。r.平移公式：如果點P(x,y)按向量a=(h,k)平移至P(x:y'),則|X=X+h；曲線f(x,y)_0按向r [y'_y+k量a=(h,k)平移得曲線f(x-h,y-k)_0.注意：(1)函數(shù)按向量平移與平常“左加右減”有何聯(lián)系？(2)向量平移具有坐標不變性，可別忘了啊!12、向量中一些常用的結論:⑴一個封閉圖形首尾連接而摩的向量和為零向量，要注意運用；rrrrIIaI-Ib11<1a土b1<1aI+IbI,特別地，當a、b同向或有0O|a+b|_|aI+IbIrr r r r,/// ' r rr rr r r rr r r>II aI-1bII_Ia-bI ；當 a、b 反向或有 0 OI a-bI=I aI+1b I> IIa I-1b II=I a+b I；當 a、b 不共線rrrrrrOIIaI-IbII<Ia±bI<IaI+IbI(這些和實數(shù)比較類似).(3)在AABC中，①若A(X],y1),B(x2,y2),C4,y3),則其重心的坐標為(X+X+Xy+y+y\uuu1uuruuruurG-4—2一3,y1*y3。②PG_3(PA+PB+PC)OG為AABC的重心，特別地I3 3 ) 3uuruurumrrPA+PB+PC_0OP為AABC的重心；uuruuruuruuuuuruUU，③PA-PB_PB-PC_PC-PAOP為AABC的垂心.turn uuu④向量九(-AB+/T)(九豐0)所在直線過AABC的內心(是/BAC的角平分線所在直線)；IABIIACIuuuruuuumruuruuruuur⑤IABIPC+IBCIPA+ICAIPB_0oPAABC的內心；mum uuuuuuuuTOC\o"1-5"\h\z(3)若P分有向線段PP所成的比為九，點M為平面內的任一點，則M_叱+入”,特別地P為

12 1+九uuuuuuuu照MP+MPPP的中點oMP_ 1 2-;2 2uuruuuuur ,_ uuruurJ慢(4)向量PA、PB、PC中三終點A、B、C共線O存在實數(shù)a、P使得PA=aPB+PPC且平面向量部分常見的題型練習類型(一)：向量的夾角問題—*T 一— 一T，.平面向量a,b，滿足a_1,b_4且滿足ab_2，則a與b的夾角為—f—? r fr， ■ i_b.已知非零向量a,b滿足a_b,bKb-2a),則a與b的夾角為―?—*■ T■- I-I I-I -■■—■.已知平面向量a,b滿足(a-b).(2a+b)_-4且|a|_2,|b|_4且，則a與b的夾角為精選類型(二)：向量共線問題1,已知平面向量a=(2,3x)，平面向量b=(—2,—18),若a//b，則實數(shù)xTOC\o"1-5"\h\z.設向量a=(2,1),b=(2,3)若向量九0+b與向量c=(-4,—7)共線，則X=f —￥—* —* —*.已知向量a=(1,1),b=(2,x)若a+b與4b—2a平行，則實數(shù)x的值是( )A.-2 B.0 C.1 D.24已知向量OA=(k,12),OB=(4,5),OC=(—k,10),且A,B,C三點共線，貝0k= F-* a—F -F -*5.已知A(1,3), B(—2,—3), C(x,7),設AB =a ,BC =b 且a /b ,貝|x的值為(A)0 (B)3 (C)15 (D)18類型(三)：向量的垂直問題—I- ― —1 —F1.已知向量a=(x,1),b=(3,6)且a1b，則實數(shù)x的值為f - fF—2.已知向量a=(1,n),b=(—1,n),若2a一b與b2.■ - 1 i.已知a=(1,2),b=(-3,2)若ka+2b與2a-4b垂直，求實數(shù)k的值兀.已知a=2,bl=4，且a與b的夾角為—，若ka+2b與ka—2b垂直，求k的值。類型(四)投影問題2兀.已知a卜5,b=4,,a與b的夾角0=—，則向量b在向量a上的投影為.在Rt△ABC中，/C=-,AC=4,則AB.AC=2-b-a-ff-f—3.關于a.b=a.c且a豐0，有下列幾種說法：— 1 1 ■+ ■ ■■ 一 f①a1(b—c)；②b1c;③a.(b—c)=0④b在a方向上的投影等于c在ar -f方向上的投影：⑤b=Xa=⑥b=c其中正確的個數(shù)是()(A)4個(B)3個(C)2個(D)1個類型(五)求向量的模的問題f f- r- I |一I1,已知零向量a=(2,1),a.b=10,a+b=5"貝U|b|=精選

2.已知向量a,b滿足aa=1,|b|=2,a-b=2,則3.4.已知向量a=2.已知向量a,b滿足aa=1,|b|=2,a-b=2,則3.4.已知向量a=(1,sin0),b=(1,cos0),則a—b的最大值為類型（六）向量積問題uuruuuuuuuuuuuuu等于（）49434C.-34D.-91(2009陜西卷文)在^ABC中,M是BC的中點，AM=1,點P在AM上且滿足學PA=等于（）49434C.-34D.-9類型（六）平面向量基本定理的應用問題1.若a=1.若a=(1,1),b=(1,-1),c=(-1-2）,則c等于（1-3；(A) —1-3；(A) ——a+—b2 23P1r(C)—a—-b2 21-3(B)-2a-2b3P1/(D)-2a+2b2.已知a=(1,0),b=(1,1),c=(-1,0),"I"求正和日的值，使c=九a+Nb3.設e3.設e,e是平面向量的一組基底，則當九=九=,52時，入e+九e4.下列各組向量中，可以作為基底的是（）(A)e(A)e=(0,0),e=(1,-2)(B)e=(-1,2),e=(5,7)(C)e(C)e=(3,5),e=(6,10)(D)1 1 1 3e=(2,-3),e=(-,--)1 2 2 45.a=(1,5.a=(1,1),b=(-1,1),c=(4,2)，則c=()3a+b3a-b (C)-a+3b(D)a+3b,c=,c=a+2b,d=ma-6(mgR)一，'I』 ? .一一-八6已知a=3,b|=2,a與b的夾角為—（1）當m為何