學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE13-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精§1算法的基本思想學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)1.通過(guò)對(duì)解決具體問(wèn)題過(guò)程與步驟的分析,體會(huì)算法的思想，了解算法的含義及其基本特征．(重點(diǎn)）2。通過(guò)分析具體問(wèn)題，抽象出算法的過(guò)程，培養(yǎng)抽象概括能力、語(yǔ)言表達(dá)能力和邏輯思維能力．（難點(diǎn)）3.通過(guò)算法的學(xué)習(xí)，進(jìn)一步讓學(xué)生體驗(yàn)到數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界的關(guān)系、數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)技術(shù)的關(guān)系,從而提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.1.通過(guò)對(duì)具體問(wèn)題過(guò)程與步驟的分析，抽象出算法過(guò)程，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)。2。通過(guò)分析具體問(wèn)題提煉算法過(guò)程，提升邏輯推理素養(yǎng)。1．算法的概念算法是解決某類問(wèn)題的一系列步驟或程序,只要按照這些步驟執(zhí)行，都能使問(wèn)題得到解決．一般來(lái)說(shuō)，“用算法解決問(wèn)題”都是可以利用計(jì)算機(jī)幫助完成的．2．算法的基本思想在解決某些問(wèn)題時(shí)，需要設(shè)計(jì)出一系列可操作或可計(jì)算的步驟，通過(guò)實(shí)施這些步驟來(lái)解決問(wèn)題，通常把這些步驟稱為解決這些問(wèn)題的算法．這種解決問(wèn)題的思想方法稱為算法的基本思想．3．算法的特征（1）確定性：算法的每一步必須是確切定義的,且無(wú)二義性,算法只有唯一的一條執(zhí)行路徑,對(duì)于相同的輸入只能得出相同的輸出．(2)有窮性：一個(gè)算法必須在執(zhí)行有窮次運(yùn)算后結(jié)束．在所規(guī)定的時(shí)間和空間內(nèi)，若不能獲得正確結(jié)果，其算法也是不能被采用的．（3)可行性：算法中的每一個(gè)步驟必須能用實(shí)現(xiàn)算法的工具-—可執(zhí)行指令精確表達(dá)，并在有限步驟內(nèi)完成，否則這種算法也是不會(huì)被采納的．(4）輸入：算法一定要根據(jù)輸入的初始數(shù)據(jù)或給定的初值才能正確執(zhí)行它的每一個(gè)步驟．（5）輸出：算法一定能得到問(wèn)題的解，有一個(gè)或多個(gè)結(jié)果輸出，達(dá)到求解問(wèn)題的目的,沒(méi)有輸出結(jié)果的算法是沒(méi)有意義的．(6）此外,還要求算法應(yīng)具有通用性：算法應(yīng)適用于某一類問(wèn)題中的所有個(gè)體，而不是只能用來(lái)解決一個(gè)具體問(wèn)題．思考：求解某一個(gè)問(wèn)題的算法是否是唯一的?任何問(wèn)題都可設(shè)計(jì)算法解決嗎？［提示]不是，不一定．1．算法的每一步都應(yīng)該是正確的、能有效執(zhí)行的,并且能得到明確的結(jié)果，這是指算法的（)A．有窮性 B．確定性C．邏輯性 D．不唯一性B[算法的過(guò)程和每一步的結(jié)果都是確定的,即確定性．］2．下列四種自然語(yǔ)言敘述中，能稱作算法的是（）A．在家里一般是媽媽做飯B．在野外做飯叫野炊C．研究函數(shù)奇偶性可以按“判斷定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，考查f(x)與f（－x)滿足的關(guān)系”的程序進(jìn)行D．做飯必須要有米C［只有C項(xiàng)能按一定的程序或步驟完成．]3．下列關(guān)于算法的說(shuō)法中正確的是（)A．算法是某個(gè)具體的解題過(guò)程B．算法執(zhí)行后可以不產(chǎn)生確定的結(jié)果C．解決某類問(wèn)題的算法不是唯一的D．算法可以無(wú)限地操作下去不停止C[算法與一般意義上具體問(wèn)題的解法，既有區(qū)別,又有聯(lián)系，算法的獲得要借助一類問(wèn)題的求解方法，而這一類具體問(wèn)題都可以用這種方法來(lái)解決，因此A不對(duì)；算法中的每一步都應(yīng)該是確定的，并且能有效執(zhí)行，得到確定的結(jié)果，而不能含糊其辭或有歧義，所以B不正確;算法的操作步驟必須是有限的,必須在有限的步驟內(nèi)完成，因此D不對(duì)；算法具有不唯一性，C正確．]4．設(shè)計(jì)一個(gè)算法，求表面積為16π的球的體積．［解］第一步，取S＝16π.第二步，計(jì)算R＝eq\r(\f(S，4π)）（由于S＝4πR2）．第三步，計(jì)算V＝eq\f(4，3)πR3.第四步,輸出運(yùn)算結(jié)果。算法的概念【例1】下列對(duì)算法的理解不正確的是（）A．一個(gè)算法應(yīng)包含有限的步驟，而不能是無(wú)限的B．算法可以理解為由基本運(yùn)算及規(guī)定的運(yùn)算順序構(gòu)成的完整的解題步驟C．算法中的每一步都應(yīng)當(dāng)有效地執(zhí)行，并得到確定的結(jié)果D．一個(gè)問(wèn)題只能設(shè)計(jì)出一個(gè)算法D選項(xiàng)判斷原因分析A√算法的有限性指包含的步驟是有限的B√算法的明確性是指每一步都是確定的C√算法的每一步都是確定的，且每一步都應(yīng)有確定的結(jié)果D×對(duì)于同一個(gè)問(wèn)題可以有不同的算法解答這類問(wèn)題的方法為特征判斷法,主要從以下三方面判斷1．看是否滿足順序性．算法實(shí)際上就是順序化的解題過(guò)程，是指可以用計(jì)算機(jī)來(lái)解決某一問(wèn)題的程序或步驟．2．看是否滿足明確性．算法的每一步都是確定的,而不是含糊的、模棱兩可的．3．看是否滿足有限性．一個(gè)算法必須在有限步后結(jié)束．如果一個(gè)解題步驟永遠(yuǎn)不能結(jié)束，那么就永遠(yuǎn)得不到答案．因此,有始無(wú)終的解題步驟不是算法．此外，算法的不唯一性也要考慮到．1．下列語(yǔ)句中是算法的有(）①做飯需要刷鍋、淘米、加水、加熱這些步驟；②解一元一次方程的步驟是去分母、去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、系數(shù)化為1;③方程x2－1＝0有兩個(gè)實(shí)根；④求1＋2＋3＋4的值，先計(jì)算1＋2＝3，再由3＋3＝6,6＋4＝10得最終結(jié)果是10.A．1個(gè) B．2個(gè)C．3個(gè) D．4個(gè)C［①說(shuō)明了做飯的步驟；②中給出了一元一次方程這一類問(wèn)題的解決方式；④中給出了求1＋2＋3＋4的一個(gè)過(guò)程，最終得出結(jié)果；對(duì)于③，并沒(méi)有說(shuō)明如何去算,故①②④是算法，③不是算法．]數(shù)值型計(jì)算問(wèn)題的算法【例2】寫(xiě)出解方程x2－2x－3＝0的一個(gè)算法．[解]法一算法步驟如下:1．移項(xiàng)得x2－2x＝3.①2．①兩邊同時(shí)加1并配方得(x－1）2＝4。②3．②兩邊開(kāi)方得x－1＝±2。③4．解③得x＝3或x＝－1。法二1。計(jì)算方程的判別式并判斷其符號(hào):Δ＝22＋4×3＝16>0；2．將a＝1，b＝－2，c＝－3代入求根公式x＝eq\f(－b±\r(b2－4ac)，2a)，得x1＝3,x2＝－1.設(shè)計(jì)一個(gè)具體問(wèn)題的算法的步驟1．認(rèn)真分析問(wèn)題,找出解決此題的一般數(shù)學(xué)方法;2．借助有關(guān)變量或參數(shù)對(duì)算法加以表述；3．將解決問(wèn)題的過(guò)程劃分為若干步驟；4．用簡(jiǎn)練的語(yǔ)言將這個(gè)步驟表示出來(lái)．2．已知直角三角形兩直角邊長(zhǎng)為a，b,求斜邊長(zhǎng)c的一個(gè)算法分下列三步：①計(jì)算c＝eq\r(a2＋b2）；②輸入直角三角形兩直角邊長(zhǎng)a,b的值;③輸出斜邊長(zhǎng)c的值．其中正確的順序是()A．①②③ B．②③①C．①③② D．②①③D［明確各步驟間的關(guān)系即可知D選項(xiàng)正確．］非數(shù)值型計(jì)算問(wèn)題的算法[探究問(wèn)題]1．是不是任何一個(gè)算法都有明確的結(jié)果？提示：是，因?yàn)樗惴ǖ牟襟E是明確的和有限的．有時(shí)可能需要大量重復(fù)的計(jì)算，但只要按部就班的去做,總能得到確定的結(jié)果．2．做任何一件事情都得有算法嗎？提示：不一定，做任何一件事不一定均有結(jié)果，而算法要求必須有結(jié)果．3．算法與解法的區(qū)別與關(guān)系．提示：(1)區(qū)別eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(解法：解決某一個(gè)問(wèn)題的一種方法,,有局限性。,算法：解決某一類問(wèn)題的步驟，有普，遍性。））（2)關(guān)系：一般與特殊，抽象與具體．【例3】各種比賽在計(jì)算選手最后得分時(shí)，要去掉所有評(píng)委對(duì)該選手所打分?jǐn)?shù)中的最高分和最低分，試設(shè)計(jì)一個(gè)找出最高分的算法．［思路探究］對(duì)非數(shù)值型計(jì)算問(wèn)題的算法要明確過(guò)程和限制條件，建立過(guò)程模型，通過(guò)模型進(jìn)行算法設(shè)計(jì)．[解］算法如下:1．先假定第一個(gè)為“最高分"；2．將第二個(gè)分?jǐn)?shù)與“最高分”比較,如果它比“最高分”還高，就假定這個(gè)分?jǐn)?shù)為“最高分”;否則“最高分”不變；3．如果還有其他分?jǐn)?shù)，重復(fù)第二步;4．一直到?jīng)]有可比的分?jǐn)?shù)為止，這時(shí)假定的“最高分”就是所有評(píng)委打分中的最高分．非數(shù)值型計(jì)算問(wèn)題，如：排序、查找、變量變換、文字處理等需先建立過(guò)程模型，通過(guò)模型進(jìn)行算法設(shè)計(jì)與描述.設(shè)計(jì)具體數(shù)學(xué)問(wèn)題的算法，實(shí)際上就是尋求一類問(wèn)題的算法，它可以通過(guò)計(jì)算機(jī)來(lái)完成。3．已知一個(gè)學(xué)生的語(yǔ)文成績(jī)?yōu)?9,數(shù)學(xué)成績(jī)?yōu)?6，外語(yǔ)成績(jī)?yōu)?9，求他的總分和平均分的一個(gè)算法如下，請(qǐng)將其補(bǔ)充完整：1．取A＝89,B＝96，C＝99。2．________。3．________。4．輸出計(jì)算結(jié)果．D＝A＋B＋CE＝eq\f（D，3）[因?yàn)樵撍惴ǖ墓δ苁乔笏目偡趾推骄郑浴暗?步”應(yīng)為計(jì)算總分D＝A＋B＋C，“第3步”應(yīng)為計(jì)算平均分,為E＝eq\f(D，3)。］算法與數(shù)學(xué)中的解法的聯(lián)系和區(qū)別（1）聯(lián)系算法與解法是一般與特殊的關(guān)系，也是抽象與具體的關(guān)系，算法的獲取要借助一般意義上具體問(wèn)題的求解方法，而任何一個(gè)具體問(wèn)題都可利用這類問(wèn)題的一般方法解決．（2)區(qū)別算法是解決某些問(wèn)題所需要的程序和步驟的統(tǒng)稱，也可以理解為數(shù)學(xué)中的“通法通解"；而解法是解決某一個(gè)具體問(wèn)題的過(guò)程和步驟，是具體的解題過(guò)程。1．思考辨析(1)求解某一類問(wèn)題的算法是唯一的． （）（2)算法執(zhí)行后一定產(chǎn)生確定的結(jié)果． （）(3）算法只能解決一個(gè)問(wèn)題,不能重復(fù)使用． (）(4）算法的步驟必須有限． （)[解析］（1)×，根據(jù)算法特點(diǎn)知求解某一類問(wèn)題的算法不唯一．（2)√，由算法特征知算法具有確定性．(3）×，算法能解決一類問(wèn)題且能重復(fù)使用．（4）√，由算法的有限性特征知步驟必須有限．[答案］（1)×（2)√(3)×（4)√2．小明中午放學(xué)回家自己煮面條吃，有下面幾道工序：①洗鍋盛水2分鐘；②洗菜6分鐘；③準(zhǔn)備面條及佐料2分鐘；④用鍋把水燒開(kāi)10分鐘;⑤煮面條和菜共3分鐘．以上各道工序,除了④之外，一次只能進(jìn)行一道工序．小明要將面條煮好，最少要用()A．13分鐘 B．14分鐘C．15分鐘 D．23分鐘C［做④的同時(shí)可以做②③，故共可用時(shí)2＋10＋3＝15分鐘．]3．有以下六個(gè)步驟:①撥號(hào)；②等撥號(hào)音；③提起話筒（或免提功能）；④開(kāi)始通話或掛機(jī)(線路不通)；⑤等復(fù)話方信號(hào);⑥結(jié)束通話．試寫(xiě)出打一個(gè)本地電話的算法________．（寫(xiě)序號(hào))③②①⑤④⑥［按照撥打電話的順序設(shè)計(jì)，同時(shí)考慮所有可能的情況．]4．已知平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)A(－1,0），B(3，2），求直線AB的方程的一個(gè)算法如下，請(qǐng)將其補(bǔ)充完整．1．根據(jù)題意設(shè)