第四章應力和應變關系.內(nèi)容介紹前兩章分別從靜力學和運動學的角度推導了靜力平衡方程，幾何方程和變形協(xié)調(diào)方程。由于彈性體的靜力平衡和幾何變形是通過具體物體的材料性質(zhì)相聯(lián)系的，因此，必須建立了材料的應力和應變的內(nèi)在聯(lián)系。應力和應變是相輔相成的，有應力就有應變；反之，有應變則必有應力。對于每一種材料，在一定的溫度下，應力和應變之間有著完全確定的關系。這是材料的固有特性，因此稱為物理方程或者本構關系。對于復雜應力狀態(tài)，應力應變關系的實驗測試是有困難的，因此本章首先通過能量法討論本構關系的一般形式。分別討論廣義胡克定理；具有一個和兩個彈性對稱面的本構關系一般表達式；各向同性材料的本構關系等。本章的任務就是建立彈性變形階段的應力應變關系。.重點.應變能函數(shù)和格林公式；.廣義胡克定律的一般表達式；.具有一個和兩個彈性對稱面的本構關系；.各向同性材料的本構關系；.材料的彈性常數(shù)。知識點應變能原理應力應變關系的一般表達式完全各向異性彈性體正交各向異性彈性體本構關系彈性常數(shù)各向同性彈性體應變能格林公式廣義胡克定理一個彈性對稱面的彈性體本構關系各向同性彈性體的應力和應變關系應變表示的各向同性本構關系彈性體的應變能原理學習思路：彈性體在外力作用下產(chǎn)生變形，因此外力在變形過程中作功。同時，彈性體內(nèi)部的能量也要相應的發(fā)生變化。借助于能量關系，可以使得彈性力學問題的求解方法和思路簡化，因此能量原理是一個有效的分析工具。本節(jié)根據(jù)熱力學概念推導彈性體的應變能函數(shù)表達式，并且建立應變能函數(shù)表達的材料本構方程。根據(jù)能量關系，容易得到由于變形而存儲于物體內(nèi)的單位體積的彈性勢能，即應變能函數(shù)。探討應變能的全微分，可以得到格林公式，格林公式是以能量形式表達的本構關系。如果材料的應力應變關系是線性彈性的，則單位體積的應變能必為應變分量的齊二次函數(shù)。因此由齊次函數(shù)的歐拉定理，可以得到用應變或者應力表示的應變能函數(shù)。學習要點：.應變能.格林公式.應變能原理彈性體發(fā)生變形時，外力將要做功，內(nèi)部的能量也要相應的發(fā)生變化。本節(jié)通過熱力學的觀點，分析彈性體的功能變化規(guī)律。根據(jù)熱力學的觀點，外力在變形過程中所做的功，一部分將轉化為內(nèi)能，一部分將轉化為動能；另外變形過程中，彈性體的溫度將發(fā)生變化，它必須向外界吸收或釋放熱量。設彈性體變形時，外力所做的功為dW，則dW=dW1+dW2其中，dW1為表面力Fs所做的功，dW2為體積力F.b所做的功。變形過程中，由外界輸入熱量為dQ，彈性體的內(nèi)能增量為dE，根據(jù)熱力學第一定律，dW1+dW2=dE-dQ因為d%=JJ冗?difdS=JJ1電RS=JJcr產(chǎn)/dxijdS=gj?由）jdv=JJj回皿.+%與耳dyd%=JJJ耳&”=JJJ穌曲￥ Y將上式代入功能關系公式，則d型二的+AW2d型二的+AW2=Jjj［（%廣+%）超+%可”,噴皿可加啜）+5啜呻如果加載很快，變形在極短的時間內(nèi)完成，變形過程中沒有進行熱交換，稱為絕熱過程。絕熱過程中，dQ=a故有dW1+dW2=dE對于完全彈性體，內(nèi)能就是物體的應變能，設U00為彈性體單位體積的應變能，則由上述公式，可得dEEjj]U0d，叩J（d%）d，叩J%砥d，

設應變能為應變的函數(shù)，則由變應能的全微分對上式積分，可得U0=U0('.),它是由于變形而存儲于物體內(nèi)的單位體積的彈性勢能，通常稱為應變能函數(shù)或變形比能。在絕熱條件下，它恒等于物體的內(nèi)能。比較上述公式，可得b工下二?設應變能為應變的函數(shù)，則由變應能的全微分對上式積分，可得U0=U0('.),它是由于變形而存儲于物體內(nèi)的單位體積的彈性勢能，通常稱為應變能函數(shù)或變形比能。在絕熱條件下，它恒等于物體的內(nèi)能。比較上述公式，可得b工下二?工二處*論wdyUYXyZ$酬$聲/凈以上公式稱為格林公式，格林公式是以能量形式表達的本構關系。如果加載緩慢，變形過程中物體與外界進行熱交換，但物體的溫度保持不變，稱為等溫過程。設等溫過程中，輸入物體的單位體積熱量為dQ，熵的增量為dS，對于彈性變形等可逆過程，根據(jù)熱力學第二定律，有因為，dQ=TdS，代入公式可得d%+明二 —d。=djjj/d，—dJJJTSd『二JJJd(4—TS)d，=JJJd，所以d(4-TS)=%d%,、上式中，E。為物體單位體積的內(nèi)能，TS為輸入的熱能，即Uo=E0-TS。上述公式是從熱力學第一和第二定律出發(fā)得到的，因此它不受變形的大小和材料的性質(zhì)的限制。如果材料的應力應變關系是線性彈性的，則由格林公式，單位體積的應變能必為應變分量的齊二次函數(shù)。因此根據(jù)齊次函數(shù)的歐拉定理，可得即口0=；（凡用+ J+%,%,+丁/型+《乙J用張量表示，寫作工.巧%u叩JUW設物體的體積為V，整個物體的應變能為 F義胡克定義學習思路：根據(jù)彈性體的應變能函數(shù)，可以確定本構方程的能量表達形式。本節(jié)的任務是利用應變能函數(shù)推導應力和應變的一般關系。如果將應力分量表達為應變分量的函數(shù)，可以得到應力和應變關系的一般表達式。對于小變形問題，這個一般表達式可以展開為泰勒級數(shù)。對于各向同性材料，根據(jù)應力與應變的性質(zhì)，可以得到具有36個常數(shù)的廣義胡克定理。學習要點：.應力應變關系的一般表達式.廣義胡克定理由于應變能函數(shù)的存在，通過格林公式就可求出應力。本節(jié)將通過應變能的推導應力和應變的一般關系。若將應力表達為應變的函數(shù)，則應力和應變關系的一般表達式為巴一工（邑,邑,邑，丁鄧，y蘆，y洛）生二石（鼻，三汽，%q二￡（X汽汽產(chǎn)即，及沙迄）這里的函數(shù)f.（i=1,2，…，6）取決于材料自身的物理特性。對于均勻的各向同性材料，單向拉伸或壓縮時，應力應變關系可以通過實驗直接確定。但是對于復雜的應力狀態(tài)，即使是各向同性的材料，也很難通過實驗直接確定其關系。這里不去討論如何建立一般條件下的應力應變關系，僅考慮彈性范圍內(nèi)的小變形問題。對于小變形問題，上述一般表達式可以展開成泰勒級數(shù)，并且可以略去二階以上的高階小量。例如將的第一式展開，可得上式中（f1）0表達了函數(shù)f1在應變分量為零時的值，根據(jù)應力應變的一般關系式可知，它代表了初始應力。根據(jù)無初始應力的假設，（f1）0應為零。對于均勻材料，材料性質(zhì)與坐標無關,因此函數(shù)f1對應變的一階偏導數(shù)為常數(shù)。因此應力應變的一般關系表達式可以簡化為凡.=5尼+G聲了+ +54r研+5%工+4九生二口21邑+22聲￥+C2再+C24y酬+ +C26y雙q= +c笈Ey+qa+q*+ +JKz%="工十年了+"w+"酬+5心+冊九%=Qr+Q/p+G應+。刖%+q5y/+4尸血%=&￡+"了+q城e+ +c每弊+c城q上述關系式是胡克（Hooke）定律在復雜應力條件下的推廣，因此又稱作廣義胡克定律。廣義胡克定律中的系數(shù)Cmn（m,n=1,2,…，6）稱為彈性常數(shù)，一共有36個。如果物體是非均勻材料構成的，物體內(nèi)各點受力后將有不同的彈性效應，因此一般的講，Cmn是坐標x，"z的函數(shù)。但是如果物體是由均勻材料構成的，那么物體內(nèi)部各點，如果受同樣的應力，將有相同的應變；反之，物體內(nèi)各點如果有相同的應變，必承受同樣的應力。這一條件反映在廣義胡克定理上，就是cmn為彈性常數(shù)?！?.3各向異性彈性體的本構關系學習思路：本節(jié)應用應變能函數(shù)推導各向異性材料的本構關系。對于完全的各向異性彈性體，本構關系有21個彈性常數(shù)，對于具有一個彈性對稱面的各向異性材料，本構各向具有13個彈性常數(shù)。對于正交各向異性材料，彈性常數(shù)有9個。正交各向異性材料的本構方程中，正應力僅與正應變有關，切應力僅與對應的切應變有關，因此拉壓與剪切之間，以及不同平面內(nèi)的剪切之間將不存在耦合作用。學習要點：.完全各向異性彈性體.有一個彈性對稱面的彈性體.有一個彈性對稱面的彈性體本構關系.正交各向異性彈性體.正交各向異性彈性體本構關系下面從廣義胡克定理公式出發(fā)，用應變能的概念建立常見的各向異性彈性體的應力和應變關系。1.完全各向異性彈性體根據(jù)格林公式和廣義胡克定律，有;對于上式，如果對切應變y求偏導數(shù)，有根據(jù)格林公式和廣義胡克定律，有;對于上式，如果對切應變y求偏導數(shù)，有xyTOC\o"1-5"\h\z一L=5+42 +C^y +"n 41x42y413z44『用45/聲46/*同理，有了* ；對于上式，如果對正應變￡x求偏導數(shù)，有‘廠后"邑 。因此，014=。41。對于其它的彈性常數(shù)可以作同樣的分析，則Cmn=Cnm上述結論證明完全各向異性彈性體只有21個彈性常數(shù)。其本構方程為\o"CurrentDocument"J=“R+C*+C13^+C]4產(chǎn)孫+ +7九%=Ga邑+"了+ +口24尸后+"山+?加尸煙邑+匚為邑+c劣J+c34y后+c克了型+2"煙鼠="工++C出邑+"酬+c45/^+c46y^%=聲X+號+J聲工+C43y酬+步雙j=Mx+匚+C先邑+D蛇外+"平+仃公網(wǎng).具有一個彈性對稱面的各向異性彈性體如果彈性體內(nèi)每一點都存在這樣一個平面，和該面對稱的方向具有相同的彈性性質(zhì)，則稱該平面為物體的彈性對稱面。垂直于彈性對稱面的方向稱為物體的彈性主方向。若設yz為彈性對稱面，則x軸為彈性主方向。以下根據(jù)完全各向異性彈性體本構方程，推導具有一個彈性對稱面的各向異性彈性體的本構方程。將，軸繞動z軸轉動n角度，成為新的OxT/坐標系。新舊坐標系之間的關系為xyzx'11=-1m1=0n1=0yf12-1m=02n=02z'13=-1m3=0n3=0根據(jù)彈性對稱性質(zhì)。關于，軸對稱的應力和應變分量在坐標系變換時保持不變，而關于，軸反對稱的應力和應變分量在坐標系變換時取負值。所以°x'一°x，°y'~Gy，Oz'_Oz，Tx，y,-^xy，Ty，z，-Tyz，T2天-T>8尸x,y,yy,Lz，丫x'y,，y，飛z”%產(chǎn)。根據(jù)彈性主方向性質(zhì)，作這一坐標變換時，本構關系將保持不變。根據(jù)完全各向異性彈性體的本構方程，將上述關系式，嗎=%，丐，=缶，匕’=一匯*， %*=4，口"=—「南，與‘一邑， %一jj—4， yx'p — —y到? yy'z, -y苒， yr/ 一—y添，代入廣義胡克定理，可得將上式與廣義胡克定理相比較，要使變換后的應力和應變關系保持不變，則必有C14=C16=C,24=C,26=C,34=C36=C,54=C56=0這樣，對于具有一個彈性對稱面的彈性體，其彈性常數(shù)由21個將減少為13個。具有一個彈性對稱面的彈性體的應力應變關系為4= +Oj+C］為￡%=C21mx+C之聲p+ +。25打￡凡=。31邑+Q遇y+c334+q%%="節(jié)+丁班=。5盧%+q聲/+q聲*+口與%工施=口呂4y孫+u也以.正交各向異性彈性體若物體每一點有兩個彈性對稱面，稱為正交各向異性彈性體。以下根據(jù)完全具有一個彈性對稱面的各向異性彈性體本構方程%=",+G/『++G/e%=C?1邑+C?廬p+C?3邑+^2sVyz仃￡= +匚?弓+口電邑+心產(chǎn)片%=。44y.+c4施%=邑+G/f+。534+D55y平%=c54y孫+金心推導具有兩個彈性對稱面的各向異性彈性體的本構方程。設在平面也是彈性對稱面，即y軸也是彈性主方向。在具有一個彈性對稱面的基礎上， 將y軸繞動z軸轉動角度，成為新的Oxy/坐標系， 如圖所示。根據(jù)彈性對稱性質(zhì)。關于y軸對稱的應力和應變分量在坐標系變換時也保持不變，而關于y軸反對稱的應力和應變分量在坐標系變換時取負值。所以，則新舊坐標系下的應力和應變分量的關系為°x'一°x，°y'一°y'Oz'_Oz，Tx'y'—_Txy，Ty'z'~~Tyz，TzX'=Tzx8X'=8X，8yFy，8z=8z，，Xy尸一勾，…zx將上述關于y軸彈性對稱的應力應變關系代入具有一個彈性對稱面的各向異性材料本構關系。為保持應力和應變在坐標變換后不變，則必有JJ=C35=C64=0這樣，對于具有二個彈性對