學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE31-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精8．5。3平面與平面平行考點(diǎn)學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)平面與平面平行的判定理解平面與平面平行的定義，會用圖形語言、文字語言、符號語言準(zhǔn)確描述平面與平面平行的判定定理，會用平面與平面平行的判定定理證明空間面面位置關(guān)系直觀想象、邏輯推理平面與平面平行的性質(zhì)理解并能證明平面與平面平行的性質(zhì)定理，能利用平面與平面平行的性質(zhì)定理解決有關(guān)的平行問題直觀想象、邏輯推理問題導(dǎo)學(xué)預(yù)習(xí)教材P139－P142的內(nèi)容,思考以下問題：1．面面平行的判定定理是什么？2．面面平行的性質(zhì)定理是什么？1．平面與平面平行的判定定理文字語言如果一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面平行，那么這兩個平面平行符號語言a?β，b?β,a∩b＝P，a∥α,b∥α?β∥α圖形語言■名師點(diǎn)撥(1)平面與平面平行的判定定理中的平行于一個平面內(nèi)的“兩條相交直線”是必不可少的．(2)面面平行的判定定理充分體現(xiàn)了等價(jià)轉(zhuǎn)化思想，即把面面平行轉(zhuǎn)化為線面平行．2．平面與平面平行的性質(zhì)定理文字語言兩個平面平行,如果另一個平面與這兩個平面相交,那么兩條交線平行符號語言α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b?a∥b圖形語言■名師點(diǎn)撥（1)用該定理判斷直線a與b平行時(shí),必須具備三個條件:①平面α和平面β平行，即α∥β；②平面γ和α相交,即α∩γ＝a;③平面γ和β相交，即β∩γ＝b。以上三個條件缺一不可．(2）已知兩個平面平行，雖然一個平面內(nèi)的任何直線都平行于另一個平面，但是這兩個平面內(nèi)的所有直線并不一定相互平行，它們可能是平行直線，也可能是異面直線，但不可能是相交直線．（3)該定理提供了證明線線平行的另一種方法，應(yīng)用時(shí)要緊扣與兩個平行平面都相交的第三個平面．判斷（正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1）如果一個平面內(nèi)有無數(shù)條直線與另一個平面平行，那么這兩個平面平行．(）(2)若α∥β，則平面α內(nèi)有無數(shù)條互相平行的直線平行于平面β。()(3）如果兩個平面平行，那么其中一個平面內(nèi)的直線與另一個平面內(nèi)的直線異面．（)答案：(1)×（2）√(3)×若一個平面內(nèi)的兩條直線分別平行于另一個平面內(nèi)的兩條直線，則這兩個平面的位置關(guān)系是（)A．一定平行 B．一定相交C．平行或相交 D．以上判斷都不對答案:C下列命題正確的是（)A．若直線a?平面α，直線a∥平面β,則α∥βB．若直線a∥直線b，直線a∥平面α,則直線b∥平面αC．若直線a∥直線b,直線b?平面α，則直線a∥平面αD．若直線a與直線b是異面直線，直線a?α，則直線b有可能與α平行答案：D如圖是長方體被一平面所截得的幾何體，四邊形EFGH為截面，則四邊形EFGH的形狀為________．解析：因?yàn)槠矫鍭BFE∥平面CDHG，又平面EFGH∩平面ABFE＝EF，平面EFGH∩平面CDHG＝HG，所以EF∥HG。同理EH∥FG.所以四邊形EFGH的形狀是平行四邊形．答案：平行四邊形平面與平面平行的判定如圖所示，已知正方體ABCDA1B1C1D1.（1)求證：平面A1BD∥平面B1D1C；（2)若E，F(xiàn)分別是AA1，CC1的中點(diǎn),求證：平面EB1D1∥平面FBD.【證明】(1)因?yàn)锽1Beq\o（\s\do3（═),\s\up3(∥）)DD1,所以四邊形BB1D1D是平行四邊形，所以B1D1∥BD,又BD?平面B1D1C，B1D1?平面B1D1C,所以BD∥平面B1D1C.同理A1D∥平面B1D1C.又A1D∩BD＝D，所以平面A1BD∥平面B1D1C.（2)由BD∥B1D1，得BD∥平面EB1D1。取BB1的中點(diǎn)G,連接AG，GF，易得AE∥B1G，又因?yàn)锳E＝B1G，所以四邊形AEB1G是平行四邊形,所以B1E∥AG。易得GF∥AD，又因?yàn)镚F＝AD，所以四邊形ADFG是平行四邊形，所以AG∥DF，所以B1E∥DF,所以DF∥平面EB1D1.又因?yàn)锽D∩DF＝D，所以平面EB1D1∥平面FBD.［變條件］把本例(2）的條件改為“E，F(xiàn)分別是AA1與CC1上的點(diǎn)，且A1E＝eq\f（1，4）A1A”，求F在何位置時(shí)，平面EB1D1∥平面FBD？解：當(dāng)F滿足CF＝eq\f(1，4）CC1時(shí)，兩平面平行，下面給出證明：在D1D上取點(diǎn)M,且DM＝eq\f(1,4）DD1，連接AM，F(xiàn)M,則AEeq\o（\s\do3(═),\s\up3(∥))D1M,從而四邊形AMD1E是平行四邊形．所以D1E∥AM。同理，F(xiàn)Meq\o(\s\do3(═),\s\up3(∥)）CD,又因?yàn)锳Beq\o（\s\do3(═），\s\up3(∥））CD，所以FMeq\o(\s\do3（═)，\s\up3(∥）)AB,從而四邊形FMAB是平行四邊形．所以AM∥BF。即有D1E∥BF.又BF?平面FBD,D1E?平面FBD，所以D1E∥平面FBD。又B1Beq\o（\s\do3（═）,\s\up3（∥））D1D，從而四邊形BB1D1D是平行四邊形．故而B1D1∥BD,又BD?平面FBD，B1D1?平面FBD，從而B1D1∥平面FBD，又D1E∩B1D1＝D1，所以平面EB1D1∥平面FBD。eq\a\vs4\al（）證明面面平行的方法(1)要證明兩平面平行，只需在其中一個平面內(nèi)找到兩條相交直線平行于另一個平面即可．（2)判定兩個平面平行與判定線面平行一樣，應(yīng)遵循先找后作的原則，即先在一個面內(nèi)找到兩條與另一個平面平行的相交直線,若找不到再作輔助線．已知四棱錐PABCD中，底面ABCD為平行四邊形．點(diǎn)M,N，Q分別在PA，BD，PD上,且PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD，求證:平面MNQ∥平面PBC。證明：因?yàn)镻M∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD，所以MQ∥AD,NQ∥BP，而BP?平面PBC，NQ?平面PBC，所以NQ∥平面PBC,又因?yàn)樗倪呅蜛BCD為平行四邊形，所以BC∥AD，所以MQ∥BC.而BC?平面PBC，MQ?平面PBC，所以MQ∥平面PBC.又MQ∩NQ＝Q，所以平面MNQ∥平面PBC.面面平行性質(zhì)定理的應(yīng)用如圖所示，兩條異面直線BA，DC與兩平行平面α,β分別交于點(diǎn)B，A和D，C，點(diǎn)M，N分別是AB，CD的中點(diǎn)，求證：MN∥平面α.【證明】如圖,過點(diǎn)A作AE∥CD交α于點(diǎn)E，取AE的中點(diǎn)P，連接MP，PN，BE，ED，BD，AC.因?yàn)锳E∥CD，所以AE,CD確定平面AEDC。則平面AEDC∩α＝DE，平面AEDC∩β＝AC，因?yàn)棣痢桅?所以AC∥DE。又P，N分別為AE，CD的中點(diǎn)，所以PN∥DE,PN?α，DE?α,所以PN∥α.又M,P分別為AB，AE的中點(diǎn),所以MP∥BE，且MP?α，BE?α。所以MP∥α，因?yàn)镸P∩PN＝P，所以平面MPN∥α.又MN?平面MPN,所以MN∥平面α。1．［變條件］在本例中將M，N分別為AB，CD的中點(diǎn)換為M，N分別在線段AB,CD上,且eq\f（AM，MB）＝eq\f（CN，ND），其他不變．證明:MN∥平面α.證明：作AE∥CD交α于點(diǎn)E,連接AC，BD,如圖．因?yàn)棣痢桅虑移矫鍭EDC與平面α，β的交線分別為ED,AC，所以AC∥ED，所以四邊形AEDC為平行四邊形,作NP∥DE交AE于點(diǎn)P，連接MP，BE,于是eq\f(CN,ND）＝eq\f(AP,PE）.又因?yàn)閑q\f(AM,MB）＝eq\f(CN，ND)，所以eq\f（AM，MB)＝eq\f（AP,PE),所以MP∥BE。而BE?α，MP?α,所以MP∥α.同理PN∥α.又因?yàn)镸P∩NP＝P,所以平面MPN∥平面α.又MN?平面MPN，所以MN∥平面α。2．［變條件、變問法]兩條異面直線與三個平行平面α，β，γ分別交于A，B，C和D，E，F(xiàn)，求證:eq\f（AB，BC）＝eq\f(DE,EF)。證明:連接AF交平面β于點(diǎn)M.連接MB,ME，BE,AD，CF，因?yàn)棣痢桅?，所以ME∥AD。所以eq\f（DE，EF)＝eq\f（AM,MF）。同理，BM∥CF，所以eq\f（AB，BC)＝eq\f(AM,MF)，即eq\f(AB，BC)＝eq\f(DE,EF)。eq\a\vs4\al（）應(yīng)用平面與平面平行性質(zhì)定理的基本步驟[提醒]面面平行性質(zhì)定理的實(shí)質(zhì)：面面平行?線線平行，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想．與判定定理交替使用，可實(shí)現(xiàn)線面、線線、面面平行間的相互轉(zhuǎn)化．如圖，已知α∥β,點(diǎn)P是平面α、β外的一點(diǎn)（不在α與β之間），直線PB、PD分別與α、β相交于點(diǎn)A、B和C、D.（1）求證：AC∥BD;(2）已知PA＝4cm，AB＝5cm,PC＝3cm,求PD的長．解：（1)證明:因?yàn)镻B∩PD＝P,所以直線PB和PD確定一個平面γ，則α∩γ＝AC，β∩γ＝BD。又α∥β，所以AC∥BD.(2)由(1)得AC∥BD，所以eq\f(PA，AB)＝eq\f（PC,CD），所以eq\f(4,5）＝eq\f(3,CD），所以CD＝eq\f（15，4)（cm），所以PD＝PC＋CD＝eq\f（27，4）（cm)．平行關(guān)系的綜合問題在正方體ABCDA1B1C1D1中，如圖．(1)求證：平面AB1D1∥平面C1BD；(2）試找出體對角線A1C與平面AB1D1和平面C1BD的交點(diǎn)E，F(xiàn)，并證明：A1E＝EF＝FC.【解】(1)證明：因?yàn)樵谡襟wABCDA1B1C1D1中,ADeq\o(\s\do3（═）,\s\up3(∥))B1C1，所以四邊形AB1C1D是平行四邊形,所以AB1∥C1D。又因?yàn)镃1D?平面C1BD，AB1?平面C1BD.所以AB1∥平面C1BD。同理B1D1∥平面C1BD.又因?yàn)锳B1∩B1D1＝B1，AB1?平面AB1D1，B1D1?平面AB1D1,所以平面AB1D1∥平面C1BD。(2)如圖，連接A1C1交B1D1于點(diǎn)O1，連接A1C，連接AO1與A1C交于點(diǎn)E.又因?yàn)锳O1?平面AB1D1,所以點(diǎn)E也在平面AB1D1內(nèi)，所以點(diǎn)E就是A1C與平面AB1D1的交點(diǎn)；連接AC交BD于O,連接C1O與A1C交于點(diǎn)F，則點(diǎn)F就是A1C與平面C1BD的交點(diǎn)．證明A1E＝EF＝FC的過程如下：因?yàn)槠矫鍭1C1C∩平面AB1D1＝EO1，平面A1C1C∩平面C1BD＝C1F,平面AB1D1∥平面C1BD，所以EO1∥C1F.在△A1C1F中，O1是A1C1的中點(diǎn)，所以E是A1F的中點(diǎn),即A1E＝EF；同理可證OF∥AE，所以F是CE的中點(diǎn)，即CF＝FE，所以A1E＝EF＝FC。eq\a\vs4\al（)解決平行關(guān)系的綜合問題的方法（1)在遇到線面平行時(shí)，常需作出過已知直線與已知平面相交的輔助平面,以便運(yùn)用線面平行的性質(zhì)．(2）要靈活應(yīng)用線線平行、線面平行和面面平行的性質(zhì)，實(shí)現(xiàn)相互聯(lián)系、相互轉(zhuǎn)化．在解決立體幾何中的平行問題時(shí)，一般都要用到平行關(guān)系的轉(zhuǎn)化．轉(zhuǎn)化思想是解決這類問題的最有效的方法．如圖,在正方體ABCDA1B1C1D1中，點(diǎn)N在BD上，點(diǎn)M在B1C上，且CM＝DN。求證：MN∥平面AA1B1B.證明:如圖,作MP∥BB1交BC于點(diǎn)P，連接NP，因?yàn)镸P∥BB1,所以eq\f(CM，MB1）＝eq\f（CP,PB)。因?yàn)锽D＝B1C，DN＝CM，所以B1M＝BN，所以eq\f(CM，MB1）＝eq\f（DN,NB），所以eq\f(CP，PB)＝eq\f(DN,NB)，所以NP∥CD∥AB.因?yàn)镹P?平面AA1B1B，AB?平面AA1B1B，所以NP∥平面AA1B1B。因?yàn)镸P∥BB1,MP?平面AA1B1B，BB1?平面AA1B1B.所以MP∥平面AA1B1B。又因?yàn)镸P?平面MNP，NP?平面MNP,MP∩NP＝P，所以平面MNP∥平面AA1B1B。因?yàn)镸N?平面MNP，所以MN∥平面AA1B1B。1．已知α，β是兩個不重合的平面，下列選項(xiàng)中，一定能得出平面α與平面β平行的是（)A．平面α內(nèi)有一條直線與平面β平行B．平面α內(nèi)有兩條直線與平面β平行C．平面α內(nèi)有一條直線與平面β內(nèi)的一條直線平行D．平面α與平面β不相交解析：選D。選項(xiàng)A、C不正確,因?yàn)閮蓚€平面可能相交;選項(xiàng)B不正確，因?yàn)槠矫姒羶?nèi)的這兩條直線必須相交才能得到平面α與平面β平行；選項(xiàng)D正確，因?yàn)閮蓚€平面的位置關(guān)系只有相交與平行兩種．故選D.2.如圖所示,P是三角形ABC所在平面外一點(diǎn),平面α∥平面ABC,α分別交線段PA，PB，PC于A′，B′，C′，若PA′∶AA′＝2∶3，則S△A′B′C′∶S△ABC等于(）A．2∶25 B．4∶25C．2∶5 D．4∶5解析：選B.因?yàn)槠矫姒痢纹矫鍭BC，平面PAB與它們的交線分別為A′B′，AB，所以AB∥A′B′,同理B′C′∥BC,易得△ABC∽△A′B′C′,S△A′B′C′∶S△ABC＝eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（A′B′,AB）)）eq\s\up12（2)＝eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（PA′,PA))）eq\s\up12(2）＝eq\f（4，25）.3．在棱長為2的正方體ABCD.A1B1C1D1中,M是棱AA1的中點(diǎn)，過C，M,D1作正方體的截面,則截面的面積是________．解析：在正方體ABCD-A1B1C1D1中,因?yàn)槠矫鍹CD1∩平面DCC1D1＝CD1，所以平面MCD1∩平面ABB1A1＝MN，且MN∥CD1，所以N為AB的中點(diǎn),所以該截面為等腰梯形MNCD1，因?yàn)檎襟w的棱長為2，易知，MN＝eq\r(2),CD1＝2eq\r(2），MD1＝eq\r（5），所以等腰梯形MNCD1的高M(jìn)H＝eq\r(（\r(5)）2－\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(\r（2),2）)）\s\up12（2））＝eq\f（3\r(2)，2）。所以截面面積為eq\f（1,2）（eq\r(2）＋2eq\r（2)）×eq\f（3\r（2）,2)＝eq\f(9，2）.答案：eq\f（9,2）4.如圖,已知AB與CD是異面直線,且AB∥平面α，CD∥平面α，AC∩α＝E，AD∩α＝F，BD∩α＝G，BC∩α＝H.求證：四邊形EFGH是平行四邊形．證明：因?yàn)锳B∥平面α，AB?平面ABC，平面ABC∩平面α＝EH,所以AB∥EH，因?yàn)锳B∥平面α，AB?平面ABD，平面ABD∩平面α＝FG，所以AB∥FG，所以EH∥FG，同理由CD∥平面α可證EF∥GH,所以四邊形EFGH是平行四邊形．［A基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)］1．平面α內(nèi)有不共線的三點(diǎn)到平面β的距離相等且不為零，則α與β的位置關(guān)系為()A．平行 B．相交C．平行或相交 D．可能重合解析：選C.若三點(diǎn)分布于平面β的同側(cè)，則α與β平行,若三點(diǎn)分布于平面β的兩側(cè)，則α與β相交．2．在正方體EFGH。E1F1G1H1中，下列四對截面彼此平行的一對是(）A．平面E1FG1與平面EGH1B．平面FHG1與平面F1H1GC．平面F1H1H與平面FHE1D．平面E1HG1與平面EH1G解析：選A.如圖，因?yàn)镋G∥E1G1,EG?平面E1FG1，E1G1?平面E1FG1，所以EG∥平面E1FG1,又G1F∥H1E，同理可證H1E∥平面E1FG1,又H1E∩EG＝E，所以平面E1FG1∥平面EGH1。3.有一正方體木塊如圖所示，點(diǎn)P在平面A′C′內(nèi)，棱BC平行于平面A′C′，要經(jīng)過點(diǎn)P和棱BC將木塊鋸開,鋸開的面必須平整,有N種鋸法,則N為（）A．0 B．1C．2 D．無數(shù)解析:選B.過P、B、C三點(diǎn)有且只有1個平面．4．已知a，b，c為三條不重合的直線,α，β，γ為三個不重合的平面，現(xiàn)給出四個命題：①eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α∥c,β∥c））?α∥β；②eq\b\lc\\rc\｝（\a\vs4\al\co1(α∥γ，β∥γ)）?α∥β；③eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α∥c,a∥c））?a∥α；④eq\b\lc\\rc\}（\a\vs4\al\co1（a∥γ,β∥γ））?a∥β。其中正確的命題是()A．①②③ B．①④C．② D．①③④解析：選C.①α與β有可能相交；②正確；③有可能a?α；④有可能a?β。故選C。5．已知平面α∥平面β,P是α，β外一點(diǎn)，過點(diǎn)P的直線m與α,β分別交于A,C兩點(diǎn)，過點(diǎn)P的直線n與α，β分別交于B，D兩點(diǎn)，且PA＝6，AC＝9，PD＝8,則BD的長為(）A．16 B．24或eq\f（24,5)C．14 D．20解析：選B.由α∥β得AB∥CD。分兩種情況:若點(diǎn)P在α,β的同側(cè),則eq\f(PA，PC）＝eq\f（PB,PD）,所以PB＝eq\f（16,5）,所以BD＝eq\f(24,5);若點(diǎn)P在α,β之間,則有eq\f（PA，PC）＝eq\f（PB，PD）,所以PB＝16，所以BD＝24.6．對于不重合直線a，b,不重合平面α，β，γ，下列四個條件中，能推出α∥β的有________．（填寫所有正確的序號）．①γ⊥α，γ⊥β；②α∥γ，β∥γ；③a∥α，a∥β；④a∥b,a⊥α，b⊥β.解析:對于①，當(dāng)γ⊥α，γ⊥β時(shí)，α與β相交，或α與β平行；對于②,當(dāng)α∥γ，β∥γ時(shí)，根據(jù)平行平面的公理得α∥β；對于③，當(dāng)a∥α，a∥β時(shí)，α與β相交,或α與β平行;對于④，當(dāng)a∥b時(shí)，若a⊥α，則b⊥α，又b⊥β，所以α∥β；綜上,能推出α∥β的是②④。答案：②④7．已知a，b表示兩條直線,α，β，γ表示三個不重合的平面,給出下列命題:①若α∩γ＝a，β∩γ＝b，且a∥b，則α∥β；②若a，b相交且都在α,β外,a∥α，b∥β,則α∥β；③若a∥α，a∥β,則α∥β；④若a?α，a∥β，α∩β＝b,則a∥b。其中正確命題的序號是________．解析：①錯誤，α與β也可能相交；②錯誤，α與β也可能相交;③錯誤，α與β也可能相交;④正確，由線面平行的性質(zhì)定理可知．答案：④8．在正方體ABCD。A1B1C1D1中，M，N，Q分別是棱D1C1,A1D1，BC的中點(diǎn),點(diǎn)P在BD1上且BP＝eq\f(2，3)BD1。則以下四個說法：①M(fèi)N∥平面APC；②C1Q∥平面APC;③A，P，M三點(diǎn)共線；④平面MNQ∥平面APC.其中說法正確的是____________．解析：①M(fèi)N∥AC，連接AM,CN,得AM，CN交于點(diǎn)P,即MN?平面PAC，所以MN∥平面APC是錯誤的；②平面APC延展，可知M，N在平面APC上，AN∥C1Q，所以C1Q∥平面APC,是正確的；③由BP＝eq\f（2，3）BD1，以及②知△APB∽△D1PM，所以A,P，M三點(diǎn)共線，是正確的;④直線AP延長到M,則M既在平面MNQ內(nèi),又在平面APC內(nèi)，所以平面MNQ∥平面APC，是錯誤的．答案：②③9．如圖所示，在直四棱柱ABCD。A1B1C1D1中,底面ABCD是梯形，AB∥CD，CD＝2AB，P，Q分別是CC1，C1D1的中點(diǎn)，求證:平面AD1C∥平面BPQ。證明:因?yàn)镈1Q綊eq\f（1，2）CD，AB綊eq\f(1，2)CD，所以D1Q綊AB，所以四邊形D1QBA為平行四邊形，所以D1A∥QB。因?yàn)镈1A?平面BPQ，BQ?平面BPQ,所以D1A∥平面BPQ.因?yàn)镼，P分別為D1C1，C1C的中點(diǎn)，所以QP∥D1C.因?yàn)镈1C?平面BPQ，QP?平面BPQ，所以D1C∥平面BPQ，又D1A∩D1C＝D1,所以平面AD1C∥平面BPQ。10．（2019·湖南師大附中檢測）如圖（甲)，在直角梯形ABED中，AB∥DE，AB⊥BE，AB⊥CD，F(xiàn)，H,G分別為AC，AD，DE的中點(diǎn)，現(xiàn)將△ACD沿CD折起，如圖（乙）．求證：平面FHG∥平面ABE.證明：因?yàn)镕，H，G分別為AC，AD，DE的中點(diǎn),所以FH∥CD，HG∥AE。又AB⊥CD,AB⊥BE，所以CD∥BE,所以FH∥BE.因?yàn)锽E?平面ABE,FH?平面ABE，所以FH∥平面ABE.因?yàn)锳E?平面ABE，HG?平面ABE，所以HG∥平面ABE。又FH∩HG＝H，所以平面FHG∥平面ABE.［B能力提升]11．設(shè)α∥β,A∈α，B∈β，C是AB的中點(diǎn)，當(dāng)A、B分別在平面α、β內(nèi)運(yùn)動時(shí)，那么所有的動點(diǎn)C()A．不共面B．當(dāng)且僅當(dāng)A、B分別在兩條直線上移動時(shí)才共面C．當(dāng)且僅當(dāng)A、B分別在兩條給定的異面直線上移動時(shí)才共面D．不論A、B如何移動，都共面解析：選D。如圖，A′、B′分別是A、B兩點(diǎn)在α、β上運(yùn)動后的兩點(diǎn)，此時(shí)AB的中點(diǎn)C變成A′B′的中點(diǎn)C′，連接A′B,取A′B的中點(diǎn)E，連接CE、C′E、AA′、BB′.則CE∥AA′，所以CE∥α,C′E∥BB′，所以C′E∥β.又因?yàn)棣痢桅?，所以C′E∥α.因?yàn)镃′E∩CE＝E,所以平面CC′E∥平面α。所以CC′∥α。所以不論A、B如何移動，所有的動點(diǎn)C都在過C點(diǎn)且與α、β平行的平面上．12.如圖是一幾何體的平面展開圖,其中ABCD為正方形，E，F(xiàn),G,H分別為PA，PD,PC，PB的中點(diǎn)．在此幾何體中，給出下面四個結(jié)論：①平面EFGH∥平面ABCD；②直線PA∥平面BDG;③直線EF∥平面PBC；④直線EF∥平面BDG.其中正確結(jié)論的序號是________．解析：作出立體圖形，可知平面EFGH∥平面ABCD;PA∥平面BDG；EF∥HG,所以EF∥平面PBC;直線EF與平面BDG不平行．答案：①②③13。用一個截面去截正三棱柱ABC。A1B1C1，交A1C1，B1C1,BC