第三章衍射原理與分析

內(nèi)蒙古工業(yè)大學(xué)材料科學(xué)與工程學(xué)院李鵬飛第一頁，共四十九頁。第三章衍射原理與分析§3-1晶體學(xué)知識(shí)回顧§3-2勞埃方程式簡(jiǎn)介§3-3簡(jiǎn)單點(diǎn)陣的衍射分析§3-4復(fù)雜點(diǎn)陣的衍射分析第二頁，共四十九頁?！?-1晶體學(xué)知識(shí)回顧

均勻性：晶體內(nèi)部各個(gè)部分的宏觀性質(zhì)是相同的。各向異性：晶體在不同的方向上具有不同的物理性質(zhì)。固定熔點(diǎn)：晶體具有周期性結(jié)構(gòu)，熔化時(shí)，各部分需要同樣的溫度。規(guī)則外形：理想環(huán)境中生長(zhǎng)的晶體應(yīng)為凸多邊形。對(duì)稱性：晶體的理想外形和晶體內(nèi)部結(jié)構(gòu)都具有特定的對(duì)稱性。1.晶體性質(zhì)：第三頁，共四十九頁。剛玉鄰苯二甲酸氫鍺酸鉍電氣石第四頁，共四十九頁。2.晶體結(jié)構(gòu)與空間點(diǎn)陣（術(shù)語回顧）晶體(crystal)

Thearrangementofatomsinthecrystalisperiodic.點(diǎn)陣（Lattice）

Aninfinitearrayofpointsinspace,inwhicheachpointhasidenticalsurroundingstoallothers.陣點(diǎn)（points）

Eachpointinthelattice.晶體結(jié)構(gòu)（CrystalStructure）

ItcanbedescribedbyassociatingeachlatticepointwithagroupofatomscalledtheMOTIF(BASIS)單位晶胞（UnitCell）

Thesmallestcomponentofthecrystal,whichwhenstackedtogetherwithpuretranslationalrepetitionreproducesthewholecrystal晶胞參數(shù)(UnitCellDimensions)a,bandc

aretheunitcelledgelengths.a,bandgaretheangles(abetweenbandc,bbetweencanda,gbetweenaandbc.)基本矢量（LatticeVector）a,b

andc第五頁，共四十九頁。The14possibleBRAVAISLATTICES

{note:thatspheresinthispicturerepresentlatticepoints,

notatoms!}第六頁，共四十九頁。7大晶系根據(jù)6個(gè)點(diǎn)陣參數(shù)間的相互關(guān)系，可將全部空間點(diǎn)陣歸屬于7種類型，即7個(gè)晶系。按照“每個(gè)陣點(diǎn)的周圍環(huán)境相同“的要求，布拉菲（BravaisA．）用數(shù)學(xué)方法推導(dǎo)出能夠反映空間點(diǎn)陣全部特征的單位平行六面體只有14種，這14種空間點(diǎn)陣也稱布拉菲點(diǎn)陣。第七頁，共四十九頁。3、晶體學(xué)指數(shù)結(jié)點(diǎn)：晶體中原子的位置晶向：晶體中原子列的方向晶面：原子構(gòu)成的平面第八頁，共四十九頁。結(jié)點(diǎn)指數(shù)：[[mnp]]晶向指數(shù)：[uvw]晶面指數(shù):(hkl)Miller（密勒）指數(shù)：統(tǒng)一標(biāo)定晶向指數(shù)和晶面指數(shù)第九頁，共四十九頁。結(jié)點(diǎn)指數(shù)結(jié)點(diǎn)指數(shù)：[[mnp]]任意陣點(diǎn)P的位置可以用矢量或者坐標(biāo)來表示。OP=m+n+p第十頁，共四十九頁。晶向指數(shù)正交晶系一些重要晶向的晶向指數(shù)第十一頁，共四十九頁。晶面指數(shù)正交點(diǎn)陣中一些晶面的面指數(shù)

第十二頁，共四十九頁。陣點(diǎn)的坐標(biāo)表示●以任意頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以與原點(diǎn)相交的三個(gè)棱邊為坐標(biāo)軸，分別用點(diǎn)陣周期（a、b、c）為度量單位四種點(diǎn)陣類型簡(jiǎn)單體心面心底心◆簡(jiǎn)單點(diǎn)陣的陣點(diǎn)坐標(biāo)為000第十三頁，共四十九頁?！舻仔狞c(diǎn)陣，C除八個(gè)頂點(diǎn)上有陣點(diǎn)外，兩個(gè)相對(duì)的面心上有陣點(diǎn)，面心上的陣點(diǎn)為兩個(gè)相鄰的平行六面體所共有。因此，每個(gè)陣胞占有兩個(gè)陣點(diǎn)。陣點(diǎn)坐標(biāo)為000，1/21/20第十四頁，共四十九頁?！趔w心點(diǎn)陣，I除8個(gè)頂點(diǎn)外，體心上還有一個(gè)陣點(diǎn)，因此，每個(gè)陣胞含有兩個(gè)陣點(diǎn)，000，1/21/21/2第十五頁，共四十九頁?！裘嫘狞c(diǎn)陣。F除8個(gè)頂點(diǎn)外，每個(gè)面心上有一個(gè)陣點(diǎn)，每個(gè)陣胞上有4個(gè)陣點(diǎn)，其坐標(biāo)分別為000，1/21/20，1/201/2，01/21/2第十六頁，共四十九頁。4、簡(jiǎn)單點(diǎn)陣的晶面間距計(jì)算公式對(duì)于正交晶系：a≠b≠c對(duì)于正方晶系：a=b≠c對(duì)于立方晶系：a=b=c

第十七頁，共四十九頁。§3-2勞埃方程式簡(jiǎn)介第十八頁，共四十九頁。晶體衍射的勞埃模型入射線hkl晶體表面d2級(jí)衍射1級(jí)衍射0級(jí)衍射第十九頁，共四十九頁。原子列的衍射示意圖衍射線

入射線OQ-PR=HλQROPαα0a第二十頁，共四十九頁。1.原子列的衍射(一維點(diǎn)陣衍射)

設(shè)有波長(zhǎng)為入的單色X射線照射到一個(gè)原子列上，由所有原子散射出來的x射線在某一方向上一致加強(qiáng)的條件是：每對(duì)相鄰原子在這方向上散射波的光程差等于波長(zhǎng)的整數(shù)倍。即:a（cosα-cosα0）=Hλ式中a為原子列的重復(fù)周期，α0為入射線與原子列所成的角度，α為被考慮的方向與原子列所成的角度，Ｈ為任意正整數(shù)，即衍射線的干涉指數(shù)。第二十一頁，共四十九頁。2、原子面的衍射(二維點(diǎn)陣衍射)

設(shè)入射線與原子面的X、Y軸分別成α0與β0角，在X、Y軸上原子的重復(fù)周期分別為a與b，則在和X、Y軸成α、β角的方向上，整個(gè)原子面所有原子的散射波產(chǎn)生相長(zhǎng)干涉的條件為：a（cosα-cosα0）=Hλb（cosβ-cosβ0）=Kλ式中入為單色X射線的波長(zhǎng)，H、K為任意整數(shù)，稱為衍射線的干涉指數(shù)。

第二十二頁，共四十九頁。3.空間點(diǎn)陣的衍射(三維點(diǎn)陣的衍射)

空間點(diǎn)陣衍射的一般條件是:衍射方向同時(shí)滿足下列三個(gè)方程式:a（cosα-cosα0）=Hλb（cosβ-cosβ0）=Kλc（cosγ-cosγ0）=Lλ式中a、b、c為空間點(diǎn)陣三個(gè)基本矢量方向上結(jié)點(diǎn)列的重復(fù)周期α0，β0，γ0為入射線與這三個(gè)基本矢量的夾角,α、β、γ為所考慮的衍射方向與三個(gè)基本矢量的夾角,H、K、L為任意整數(shù),稱為衍射線的干涉指數(shù).第二十三頁，共四十九頁。勞埃方程式與布拉格公式的

一致性第二十四頁，共四十九頁。§3-3簡(jiǎn)單點(diǎn)陣的衍射分析簡(jiǎn)單點(diǎn)陣：?jiǎn)伟兄缓粋€(gè)原子的點(diǎn)陣衍射分析：衍射線的分布特點(diǎn)與晶體結(jié)構(gòu)的關(guān)系分析第二十五頁，共四十九頁。如果被測(cè)物質(zhì)具有簡(jiǎn)單立方結(jié)構(gòu)，那么由各衍射線對(duì)求出的sin2θ或1/d2的比例數(shù)列將等于干涉指數(shù)平方和(H2+K2+L2)的比例數(shù)列，這一比例數(shù)列為整數(shù)比例數(shù)列。而其它晶系的點(diǎn)陣，均不具備這個(gè)特點(diǎn)第二十六頁，共四十九頁。§3-4復(fù)雜點(diǎn)陣的衍射分析復(fù)雜點(diǎn)陣：?jiǎn)伟泻袃蓚€(gè)以上原子的點(diǎn)陣。第二十七頁，共四十九頁。一、復(fù)雜點(diǎn)陣與簡(jiǎn)單點(diǎn)陣衍射的異同1、任何復(fù)雜點(diǎn)陣都是由相同并平行的若干簡(jiǎn)單點(diǎn)陣組合而成的。如BCC包含兩個(gè)簡(jiǎn)單立方點(diǎn)陣，F(xiàn)CC包含四個(gè)簡(jiǎn)單立方點(diǎn)陣，而每個(gè)簡(jiǎn)單立方點(diǎn)陣可能的衍射方向是完全相同的。所以復(fù)雜點(diǎn)陣的衍射可看作是各個(gè)簡(jiǎn)單點(diǎn)陣相同方向的衍射線干涉的結(jié)果。2、由于各個(gè)簡(jiǎn)單點(diǎn)陣的衍射方向完全相同，合在一起，當(dāng)然不會(huì)增加新的方向。所以復(fù)雜點(diǎn)陣的衍射方向不會(huì)多于簡(jiǎn)單點(diǎn)陣衍射方向，卻可能在某些方向上正好發(fā)生相消干涉，使其衍射方向減少。第二十八頁，共四十九頁。光程差為:2gsinθ

位相差為:Q

P

R

[[mpq]]d

g

第二十九頁，共四十九頁。二、位相差φφ=2nπ·g/d=2nπ(hm+kp+lq=2π(Hm+Kp+Lq)其中：H、K、L即為所研究方向的干涉指數(shù)?？梢姡褐挥蠬m+Kp+Lq=整數(shù)時(shí)，φ=2π的整數(shù)倍，說明位相相同，產(chǎn)生相長(zhǎng)干涉，有衍射線存在。第三十頁，共四十九頁。如對(duì)BCC（210）面的一級(jí)衍射方向，基點(diǎn)為[[0、0、0]]、[[1/2、1/2、1/2]]n=1，干涉指數(shù)為（210）φ==2π(2×1/2+1×1/2+0×1/2)=2π×1.5∵φ=2π的非整數(shù)倍，故BCC（210）面的一級(jí)衍射不存在；對(duì)BCC（210）面的二級(jí)衍射方向，基點(diǎn)為[[0、0、0]]、[[1/2、1/2、1/2]]n=2，干涉指數(shù)為（420）φ==2π(4×1/2+2×11/2+0×1/2)=2π×3∵φ=2π的整數(shù)倍，說明有效位相相同，產(chǎn)生相長(zhǎng)干涉，說明存在（420）衍射線。必須指出，上述公式不僅對(duì)立方點(diǎn)陣成立，對(duì)其它所有點(diǎn)陣均成立。第三十一頁，共四十九頁。三、復(fù)雜點(diǎn)陣的衍射實(shí)際遇到的復(fù)雜點(diǎn)陣是由很多簡(jiǎn)單點(diǎn)陣鑲成的，為了求各簡(jiǎn)單點(diǎn)陣之間的衍射線合成結(jié)果，必須以各簡(jiǎn)單點(diǎn)陣衍射波之間的位相角為夾角，將各衍射線的振幅用矢量加法合成。若以基點(diǎn)為[[0、0、0]]的點(diǎn)陣的衍射波的位相為零位相，而基點(diǎn)為[[mj、pj、qj]]的第j個(gè)簡(jiǎn)單點(diǎn)陣衍射波的位相角為：φj==2π(Hmj+Kpj+Lqj)。第三十二頁，共四十九頁。此衍射波的振幅矢量以復(fù)數(shù)形式表示為，其中fj為第j個(gè)原子的散射能力,也可以認(rèn)為是第j個(gè)簡(jiǎn)單點(diǎn)陣衍射波的振幅。

所有簡(jiǎn)單點(diǎn)陣衍射波在干涉指數(shù)為HKL方向上的合成波振幅為。FHKL稱為結(jié)構(gòu)因子,它的大小由晶胞中原子的種類、數(shù)目及排列方式?jīng)Q定。第三十三頁，共四十九頁。

把按歐拉公式展開,則第三十四頁，共四十九頁。由于合成衍射波的強(qiáng)度I為振幅的平方,可知晶胞中（HKL）晶面的衍射強(qiáng)度為即第三十五頁，共四十九頁?，F(xiàn)在我們通過合成波的強(qiáng)度公式來討論復(fù)雜點(diǎn)陣的衍射問題。第三十六頁，共四十九頁。（一）簡(jiǎn)單立方點(diǎn)陣簡(jiǎn)單點(diǎn)陣單胞中只有一個(gè)原子，基點(diǎn)坐標(biāo)為[[0、0、0]]，原子散射因數(shù)為f。則：可見,簡(jiǎn)單點(diǎn)陣的結(jié)構(gòu)因數(shù)與HKL無關(guān),即HKL為任意整數(shù)時(shí)均能產(chǎn)生衍射,例如(100)、(110)、(111)、(200)、(210)、(211)、(220)等都有衍射線存在。

第三十七頁，共四十九頁。結(jié)論：對(duì)于簡(jiǎn)單立方點(diǎn)陣，HKL為任意整數(shù)時(shí)均能產(chǎn)生衍射因此，在依次增大的面指數(shù)（100）、（110）、（111）、（200）、（210）、（211）、（220）、（221）、（300）、（310）中都有衍射線存在.第三十八頁，共四十九頁。（一）體心立方點(diǎn)陣由兩個(gè)簡(jiǎn)單點(diǎn)陣鑲成，基點(diǎn)為[[0、0、0]]、[[1/2、1/2、1/2]]，各簡(jiǎn)單點(diǎn)陣衍射波振幅相等，用f表示。則：1、當(dāng)H+K+L=奇數(shù)時(shí)，I=0，無衍射線存在。如對(duì)（210）面，H+K+L=3，I=0，兩個(gè)簡(jiǎn)單點(diǎn)陣衍射波在該方向上產(chǎn)生相消干涉，合成波強(qiáng)度為零，無衍射線產(chǎn)生。2、當(dāng)H+K+L=偶數(shù)時(shí)，I=4f2有衍射線存在。如對(duì)（420）面，H+K+L=6，I=4f2

，兩個(gè)簡(jiǎn)單點(diǎn)陣衍射波在該方向上產(chǎn)生相長(zhǎng)干涉，合成波強(qiáng)度為4倍的簡(jiǎn)單點(diǎn)陣的強(qiáng)度，即存在（420）衍射線。第三十九頁，共四十九頁。結(jié)論：對(duì)于體心立方點(diǎn)陣，當(dāng)H+K+L=偶數(shù)時(shí)，衍射線存在；當(dāng)H+K+L=奇數(shù)時(shí)，衍射線不存在。因此，在依次增大的面指數(shù)（100）、（110）、（111）、（200）、（210）、（211）、（220）、（221）、（300）、（310）等順序中存在衍射線的有（110）、（200）、（211）、（220）、（310）等，其比例數(shù)列sin2θi/sin2θ1=2:4:6:8等，或1：2：3：4等。其中缺14、30等數(shù)值。第四十頁，共四十九頁。（二）面心立方點(diǎn)陣面心立方點(diǎn)陣由四個(gè)簡(jiǎn)單點(diǎn)陣鑲成，基點(diǎn)為[[0、0、0]]、[[1/2、1/2、0]]、[[1/2、0、1/2]]、[[0、1/2、1/2]]，各簡(jiǎn)單點(diǎn)陣衍射波振幅相等，用f表示。則：I=f2{1+cosπ（H+K）+cosπ（H+L）+cosπ（K+L）}21、若H、K、L為同性數(shù)時(shí)，即同時(shí)全為奇數(shù)或同時(shí)全為偶數(shù)時(shí)，則由于H+K、H+L、K+L全為偶數(shù)，余弦項(xiàng)均為1，則I=16f2，即四個(gè)簡(jiǎn)單點(diǎn)陣衍射波在這些方向上產(chǎn)生相長(zhǎng)干涉，使面心立方點(diǎn)陣的衍射波強(qiáng)度為簡(jiǎn)單點(diǎn)陣的16倍。2、若H、K、L為異性數(shù)時(shí)，即1奇2偶或1偶2奇時(shí)，則由于H+K、H+L、K+L總有兩個(gè)是奇數(shù)，使余弦項(xiàng)之和為-1，則I=0，即發(fā)生相消干涉，合成波強(qiáng)度為零，無衍射線產(chǎn)生。

第四十一頁，共四十九頁。結(jié)論：對(duì)于面心立方點(diǎn)陣，H、K、L為同性數(shù)時(shí)，衍射線存在；H、K、L為異性數(shù)時(shí)，衍射線不存在。“0”作為偶數(shù)。

第四十二頁，共四十九頁。因此，在(H2+K2+L2)依次增大的面指數(shù)順序中：（100）、（110）、（111）、（200）、（210）、（211）、（220）、（221）、（300）、（310）等中，存在衍射線的有（111）、（200）、（220）等，其比例數(shù)列sin2θi/sin2θ1=3:4:8:11等，或1：1.33：2.67：4等。

第四十三頁，共四十九頁。各點(diǎn)陣的特征比例數(shù)列簡(jiǎn)單點(diǎn)陣1：2：3：4：5：6：8：9：10：…體心立方1：2：3：4：5：6：7：8：9：…面心立方1：1.33：2.67：3.67：4：…第四十四頁，共四十九頁。不同點(diǎn)陣衍射線的分布特征示意圖100110111200210211220221310310311222320321400410411第四十五頁，共四十九頁。(三)立方點(diǎn)陣德拜相的指標(biāo)化及點(diǎn)陣類型與點(diǎn)陣參數(shù)的確定根據(jù)sin2θi/sin2θ1比例數(shù)列，即各點(diǎn)陣的特征比例數(shù)