MACROBUTTONMTEditEquationSectionSEQMTEqn\r\hSEQMTSec\r1\h向量空間一判斷題平面上全體向量對(duì)于通常的向量加法和數(shù)量乘法:作成實(shí)數(shù)域上的向量空間.().平面上全體向量對(duì)于通常的向量加法和數(shù)量乘法:作成實(shí)數(shù)域上的向量空間.().一個(gè)過原點(diǎn)的平面上所有向量的集合是的子空間.().所有階非可逆矩陣的集合為全矩陣空間的子空間.().為的子空間.().所有階實(shí)反對(duì)稱矩陣的集合為全矩陣空間的子空間.().為的子空間.().若是數(shù)域上的維向量空間的一組基,那么是的一組基.().維向量空間的任意個(gè)線性無關(guān)的向量都可構(gòu)成的一個(gè)基.().設(shè)是向量空間中個(gè)向量,且中每一個(gè)向量都可由線性表示,則是的一組基.().設(shè)是向量空間的一個(gè)基,如果與等價(jià),則也是的一個(gè)基.().關(guān)于基的坐標(biāo)為.().設(shè)為維空間的子空間,且.若,則為直和.().設(shè)為維空間的子空間,且.若則為直和.().設(shè)為維空間的子空間,且.若則為直和.().設(shè)為維空間的子空間,且.若則為直和.().設(shè)為維空間的子空間,且.零向量表法是唯一的,則為直和.().設(shè)是向量空間的一個(gè)基,是到的一個(gè)同構(gòu)映射,則的一個(gè)基是.().設(shè)是數(shù)域上的維向量空間,若向量空間與同構(gòu),那么也是數(shù)域上的維向量空間.().把同構(gòu)的子空間算作一類,維向量空間的子空間能分成類.().答案錯(cuò)誤錯(cuò)誤正確錯(cuò)誤錯(cuò)誤正確正確正確正確錯(cuò)誤正確錯(cuò)誤正確正確正確錯(cuò)誤正確正確正確錯(cuò)誤二填空題全體實(shí)對(duì)稱矩陣,對(duì)矩陣的________________作成實(shí)數(shù)域上的向量空間.全體正實(shí)數(shù)的集合,對(duì)加法和純量乘法構(gòu)成上的向量空間.則此空間的零向量為___.全體正實(shí)數(shù)的集合,對(duì)加法和純量乘法構(gòu)成上的向量空間.則的負(fù)向量為________.全體實(shí)二元數(shù)組對(duì)于如下定義的運(yùn)算:構(gòu)成實(shí)數(shù)域上的向量空間.則此空間的零向量為___.全體實(shí)二元數(shù)組對(duì)于如下定義的運(yùn)算:構(gòu)成實(shí)數(shù)域上的向量空間.則的負(fù)向量為________.數(shù)域上一切次數(shù)的多項(xiàng)式添加零多項(xiàng)式構(gòu)成的向量空間維數(shù)等于_____.任一個(gè)有限維的向量空間的基________的,但任兩個(gè)基所含向量個(gè)數(shù)是________.復(fù)數(shù)域作為實(shí)數(shù)域上的向量空間,維數(shù)等于______,它的一個(gè)基為_______.復(fù)數(shù)域看成它本身上的向量空間,維數(shù)等于______,它的一個(gè)基為_______.實(shí)數(shù)域上的全體階上三角形矩陣,對(duì)矩陣的加法和純量乘法作成向量空間,它的維數(shù)等于_____.向量關(guān)于基的坐標(biāo)為__________.關(guān)于的一個(gè)基的坐標(biāo)為__________.三維向量空間的基則向量在此基下的坐標(biāo)為_______.和是數(shù)域上的兩個(gè)向量空間,到的映射滿足條件__________________________________________,就叫做一個(gè)同構(gòu)映射.數(shù)域上任一維向量空間都與向量空間______同構(gòu).設(shè)的子空間有,則________直和.答案加法和數(shù)量乘法1不唯一,相等是到的雙射;對(duì)任意;對(duì)任意不一定是三簡答題設(shè)問下列集合是否為的子空間,為什么?所有行列式等于零的實(shí)階矩陣的集合;所有可逆的實(shí)階矩陣的集合;設(shè)是實(shí)數(shù)域上所有實(shí)函數(shù)的集合,對(duì)任意定義對(duì)于上述運(yùn)算構(gòu)成實(shí)數(shù)域上向量空間.下列子集是否是的子空間?為什么?所有連續(xù)函數(shù)的集合;所有奇函數(shù)的集合;下列集合是否為的子空間?為什么?其中為實(shí)數(shù)域.;;每個(gè)分量是整數(shù)};設(shè)分別為數(shù)域上矩陣,問的所有解向量是上的向量空間嗎?說明理由.下列子空間的維數(shù)是幾?;實(shí)數(shù)域上矩陣所成的向量空間的維數(shù)等于多少?寫出它的一個(gè)基.實(shí)數(shù)域上,全體階對(duì)稱矩陣構(gòu)成的向量空間的維數(shù)是多少？若是數(shù)域上維向量空間的一個(gè)基，也是的一個(gè)基嗎？是向量空間的一個(gè)基嗎？取的兩個(gè)向量.求的一個(gè)含的基.在中求基到基的過渡矩陣.在中求向量關(guān)于基的坐標(biāo).設(shè)表示幾何空間中過原點(diǎn)之某平面的全體向量所構(gòu)成的子空間,為過原點(diǎn)之某平面上的全體向量所構(gòu)成的子空間,則與是什么?能不能是直和?設(shè)求和.其中;證明數(shù)域上兩個(gè)有限維向量空間同構(gòu)的充分必要條件是它們維數(shù)相等.設(shè)都是實(shí)數(shù)域的向量空間.問與是否同構(gòu)?說明理由.設(shè)為向量空間的一個(gè)基,令且.證明.答案不是的子空間.若若未必等于零,對(duì)加法不封閉.不是的子空間.因?yàn)?則,但,對(duì)加法不封閉.是的子空間.因?yàn)閮蓚€(gè)連續(xù)函數(shù)的和及數(shù)乘連續(xù)函數(shù)仍為連續(xù)函數(shù).是的子空間.因?yàn)閮蓚€(gè)奇函數(shù)的和及數(shù)乘奇函數(shù)仍為奇函數(shù).是的子空間.因?yàn)榉强?且對(duì)任意有故是.因是齊次方程組的全體解向量.不是的子空間.因?qū)臃ú环忾].不是子空間.因?qū)?shù)乘運(yùn)算不封閉.當(dāng)時(shí),的所有解向量不能構(gòu)成上的向量空間.因維零向量不是的解向量.當(dāng)時(shí),的所有解向量能構(gòu)成上的向量空間.維數(shù)是2.因線性無關(guān),而.維數(shù)是2.因易證線性無關(guān),但.解令表示行列位置元素是其余是零的矩陣.那么易證這個(gè)矩陣是線性無關(guān)的.它們作成的一個(gè)基,故的維數(shù)是.為全體階對(duì)稱矩陣構(gòu)成的向量空間的一個(gè)基,其中共有個(gè)向量,故此向量空間的維數(shù).解由.得.當(dāng)為偶數(shù)時(shí),,故線性相關(guān),它不構(gòu)成基.當(dāng)為奇數(shù)時(shí),故線性無關(guān),它構(gòu)成一個(gè)基.解在基之下有.因上式右方的階矩陣為可逆,所以線性無關(guān),它是的一個(gè)基.解取向量,由于因此線性無關(guān),所以向量組是的一個(gè)基.解由推出因此所求過渡矩陣為.解取的標(biāo)準(zhǔn)基.由到的過渡矩陣為于是關(guān)于基的坐標(biāo)為.解由于,皆過原點(diǎn),它們必相交,因此或重合,或不重合.若與重合,則.若與不重合,則為一條過原點(diǎn)的直線,而,但不能是直和.解設(shè)為交空間的任意向量.由得齊次線性方程組由行初等變換知方程組的系數(shù)矩陣的秩為,解空間的維數(shù)為,且求得方程組的一般解為因此維,維.取,令便有,另外顯然.證明設(shè)數(shù)域上兩個(gè)有限維向量空間與的維數(shù)均為,因所以.反之,若,設(shè)且是到的同構(gòu)映射.取的一個(gè)基,易證是的一個(gè)基,故.與不同構(gòu).因,與的維數(shù)不相等.證明任取,若,那么因此,并且中向量依諸表示唯一,故四計(jì)算題設(shè)由,生成的子空間試從向量組中找出的生成元.解以及為列做成矩陣,在對(duì)的行施行初等變換.由于行初等變換不改變列向量間的線性關(guān)系.由矩陣知,從而但由還知線性無關(guān),故為的一組生成元.在向量空間中,求由向量生成的子空間的一個(gè)基和維數(shù).解對(duì)下述矩陣施行行的初等變換此變換保持列向量間的線性關(guān)系,由右方矩陣知是一個(gè)極大無關(guān)組,因此的維數(shù)實(shí)是,而是它的一個(gè)基.在中求出向量組的一個(gè)極大無關(guān)組,然后用它表出剩余的向量.這里.解對(duì)下述矩陣施行行的初等變換.由右方矩陣知是一個(gè)極大無關(guān)組,并且有.求中與矩陣可交換的矩陣構(gòu)成的子空間的維數(shù)及一個(gè)基,其中解設(shè)這個(gè)子空間為由于,這里因此與可交換的階方陣,就是與可交換的階方陣,從而.任取.由,可得,于是當(dāng)且僅當(dāng)?shù)脑貫辇R次線性方程組的解.于是我們得到如下矩陣它們構(gòu)成的一個(gè)基,故的維數(shù)是.求實(shí)數(shù)域上關(guān)于矩陣的全體實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式構(gòu)成的向量空間的一個(gè)基與維數(shù).其中解因,所以易證線性無關(guān).于是任何多項(xiàng)式皆可由線性表示,故為的一個(gè)基,.設(shè)為向量關(guān)于基的坐標(biāo);是關(guān)于基的坐標(biāo),其中,求基.解因且則于是,即故所求的基為.設(shè)是維向量空間的一個(gè)基，也是的一個(gè)基，又若向量關(guān)于前一個(gè)基的坐標(biāo)為,求關(guān)于后一個(gè)基的坐標(biāo).解基到后一個(gè)基的過渡矩陣為.那么故關(guān)于后一個(gè)基的坐標(biāo)為.已知的一個(gè)基為.求向量關(guān)于這個(gè)基的坐標(biāo).解設(shè),的方程組解得.故關(guān)于基的坐標(biāo).已知是的一個(gè)基.求的一個(gè)非零向量,使它關(guān)于這個(gè)基的坐標(biāo)與關(guān)于標(biāo)準(zhǔn)基的坐標(biāo)相同.解由標(biāo)準(zhǔn)基到基的過渡矩陣為設(shè)關(guān)于兩個(gè)基的坐標(biāo)為,則即得齊次線性方程組解得,令,則即為所求.已知的一個(gè)基.求關(guān)于基的坐標(biāo).解由標(biāo)準(zhǔn)基到所給基的過渡矩陣為那么故關(guān)于基的坐標(biāo)為,這里.五證明題設(shè)為向量空間的兩個(gè)子空間.證明:是的子空間.是否構(gòu)成的子空間,說明理由.證明顯然,即,任取,易知,故是的子空間.不一定.當(dāng)或時(shí),是的子空間.但當(dāng)與互不包含時(shí),不是的子空間.因?yàn)榭偞嬖诩笆?而,因?yàn)檫@時(shí),否則與選取矛盾.設(shè)為向量空間的兩個(gè)子空間.證明:是的即含又含的最小子空間.證明易知為的子空間,且設(shè)為的包含與的任一子空間,對(duì)任意,有,即,故是的即含又含的最小子空間.設(shè)為向量空間的兩個(gè)子空間.是的兩個(gè)向量,其中,但,又.證明:對(duì)任意;至多有一個(gè)使得.證明任意若,則矛盾,故成立.當(dāng)時(shí),僅當(dāng)時(shí),有;當(dāng)時(shí),若存在使得,則,因此,矛盾,故成立.設(shè)為向量空間的兩個(gè)子空間.證明若,則或.證明因含與中所有向量,含一切形如的向量,因?yàn)?所以或.若,令,則,故;若,令,則,故.證明:維向量空間中,任意個(gè)線性無關(guān)的向量都可作為的一個(gè)基.證明設(shè)是中線性無關(guān)的向量,取的單位向量,則,且中每一個(gè)可由線性表示.由替換定理知與等價(jià),所以中每一個(gè)向量可由線性表示,又線性無關(guān),故可作為的一個(gè)基.設(shè)為維向量空間,中有組線性無關(guān)的向量,每組含個(gè)向量,證明:中存在個(gè)向量與其中任一組組成的一個(gè)基.證明設(shè)中組線性無關(guān)的向量分別為.令,則.因存在,使線性無關(guān),若,令,則也為的非平凡子空間,同理存在,而且線性無關(guān),如此繼續(xù)下去,可找到使得線性無關(guān),故對(duì)每個(gè),它們都是的一個(gè)基.設(shè)維向量空間的向量組的秩為,使得全體維向量的集合為.證明是的維子空間.證明顯然,今設(shè)每個(gè)在的某個(gè)基下的坐標(biāo)為,那么由可得.它決定了一個(gè)含個(gè)未知量個(gè)方程的齊次線性方程組,其系數(shù)矩陣的秩為,故解空間即的維數(shù)為.設(shè)是數(shù)域中個(gè)不同的數(shù),且.證明多項(xiàng)式組是向量空間的一個(gè)基.證明因,所以只需證線性無關(guān).設(shè)有,使(*)由,因此將帶入(*)得,從而故線性無關(guān),為的一個(gè)基.設(shè)是的一個(gè)非零子空間,而對(duì)于的每一個(gè)向量來說,或者,或者每一個(gè)都不等于零.證明:證明由非零,我們總可以取,且,那么每個(gè)且線性無關(guān).今對(duì)任意,若當(dāng)然可由線性表示;若而,由于其第一個(gè)分量為,由題設(shè)知.故可作為的一個(gè)基,且證明:是的一個(gè)基,并求關(guān)于這個(gè)基的坐標(biāo).證明:由基表示的演化矩陣為但可逆,故是的一個(gè)基.關(guān)于這個(gè)基的坐標(biāo),因?yàn)槿舳际堑淖涌臻g,求證:.證明:任意,則,且,因此,但,知,故.反之,任意,,則,且,故.設(shè)是維向量空間的子空間.如果為直和.證明:.證明:由為直和,有,而.故.設(shè)分別是齊次線性方程組與的解空間.證明:.證明因的解空間的維數(shù)為,且一個(gè)基為,又即方程組的系數(shù)矩陣的秩為,其解空間的維數(shù)為,且一個(gè)基為,但線性無關(guān),它是的一個(gè)基,且,故.證明每一個(gè)維向量空間都可以表成個(gè)一維子空間的直和.證明:設(shè)是維向量空間的一個(gè)基,那么都是一維子空間.顯然于是由中向量在此基下表示唯一,立得結(jié)論.證明維向量空間的任意一個(gè)真子空間都是若干個(gè)維子空間的交.證明:設(shè)是的任一子空間,且設(shè)為的一個(gè)基,將其擴(kuò)充為的一個(gè)基,那么令于是這些,均為維子空間,且.設(shè)是數(shù)域上向量空間到的一個(gè)同構(gòu)映射,是的一個(gè)子空間.證明:是的一個(gè)子空間.證明:因,所以非空.對(duì)任意,由于是到的滿射,因此存在,使,對(duì)任意,有,于是,故是的一個(gè)子空間.證明:向量空間可以與它的一個(gè)真子空間同構(gòu).證明:記數(shù)域上所有常數(shù)項(xiàng)為零的多項(xiàng)式構(gòu)成的向量空間,顯然,且中有形式,這里.定義,顯然是到的雙射,且對(duì)于任意故是到的同構(gòu)映射.從而是的一個(gè)真子空間,.設(shè)是復(fù)數(shù),,證明:是上的向量空間,并且.證明:易證是上的向量空間,設(shè)中次數(shù)最低的多項(xiàng)式為,則對(duì)任意,都有,使,因此同理,設(shè)中次數(shù)最低的多項(xiàng)式為,則.定義易證是到的同構(gòu)映射,故.證明實(shí)數(shù)域作為它自身上的向量空間與全體正實(shí)數(shù)集對(duì)加法:,與純量乘法:構(gòu)成上的向量空間同構(gòu).證明:定義顯然是到的映射.,若,則,所以為單射;任意,因,則,即為滿射.從而為雙射.任.任,于是是到的同構(gòu)映射.故.設(shè)是數(shù)域上無限序列的集合,其中,并且只有有限不是零.的加法及中的數(shù)與中元的純量乘法同,則構(gòu)成上的向量空間.證明:與同構(gòu).證明:取的一個(gè)基,則中任一多項(xiàng)式關(guān)于這個(gè)基有唯一確定的坐標(biāo).定義則是到的一個(gè)同構(gòu)映射,故.向量空間自測(cè)題一、單項(xiàng)選擇題（每小題2分，共20分）1．設(shè)n元齊次線性方程組的系數(shù)矩陣的秩r<n，則方程組（）．A．有r個(gè)解向量線性無關(guān)．B．的基礎(chǔ)解系由r個(gè)解向量組成C．心有非零解．D．的任意r個(gè)線性無關(guān)的解向量是它的基礎(chǔ)解系．2．設(shè)x1，x2，x3，x4是AX=b的解，則下列向量（）仍是AX=b的解．A．B．C．D．3．已知是AX=0的基礎(chǔ)解系，則（）A．線性相關(guān)B．線性無關(guān)C．線性相關(guān)．D．不構(gòu)成基礎(chǔ)解系．4．是AX=0的基礎(chǔ)解系．則r(A)=().(A為矩陣)A．sB．C．D．5．R3中下列子集（）不是R3的子空間．A．B．C．D．6．向量組1，2，…，線性無關(guān)的充要條件是（）A．B．C．它有一個(gè)部分向量組線性無關(guān)D．它的所有部分向量組線性無關(guān)7．設(shè)矩陣A為n階方陣且|A|=0，則（）A．A中必有兩行或兩列的元素對(duì)應(yīng)成比例．B．A中至少有一行或一列的元素全為零；C．A中必有一行或一列向量是其余各行或各列向量的線性組合；D．A中任意一行或一列向量是其余各行或列向量的線性組合．8．設(shè)有向量組和，線性相關(guān)，也線性相關(guān)，且組可由組線性表示，則（）成立其中：1，2，…，，：A．B．C．秩D．秩秩9．向量組，，，的秩為（）A．1B．2C．3D．410．m>n是n維向量組1，2，…，線性相關(guān)的（）條件A．充分B．必要C．充分必要D．必要而不充分二、判斷說明題（先判斷正確與錯(cuò)誤，再簡述理由，每小題5分，共20分）1．設(shè)1，2是的基礎(chǔ)解系，則也是它的基礎(chǔ)解系．2．若是的解，則它的任意線性組合也是的解．3．的維數(shù)等于2．4．F上向量空間V若含有一個(gè)非零向量，則它必含有無窮多個(gè)向量．三、簡答題（每小題5分，共10分）1．設(shè)是的解其中A為54矩陣，。若，試寫出該方程組的全部解．2．已知可由1，2，…，線性表出，那么，在什么情況下，表示法唯一？四、計(jì)算題（每小題8分，共32分）1．試將用向量組，，，線性表出，其中=，=，=，=，．2．已知,是的兩個(gè)子空間，求的一個(gè)基和維數(shù)．3．已知關(guān)于基的坐標(biāo)為（1，0，2），由基到基的過渡矩陣為，求關(guān)于基的坐標(biāo)．4．求非齊次線性方程組的全部解．五、證明題（每小題9分，共18分）1.設(shè)A是任一矩陣，將A任意分塊成，證明：n元齊次線性方程組的解空間V是齊線性方程組的解空間的交，2.設(shè)向量組1，2，…，線性無關(guān)，向量可由它線性表示，而向量不能由它線性表示．證明：m+1個(gè)向量1，2，…，，+必線性無關(guān)．線性空間習(xí)題一、填空題1、已知是的一個(gè)子空間，則維（）＝，的一組基是____________.2、在中，若線性無關(guān)，則的取值范圍是____________.3、已知是數(shù)域P中的一個(gè)固定的數(shù)，而是的一個(gè)子空間，則＝__________，而維()＝__________.4、設(shè)是數(shù)域P上的維列向量空間，記則1、2都是的子空間，且1＋2＝____________，＝____________.5、設(shè)是線性空間V的一組基，，則由基到基的過渡矩陣T＝__________，而在基下的坐標(biāo)是__________.二、判斷