10.8離散型隨機(jī)變量的均值與方差、正態(tài)分布最新考綱考情考向分析理解取有限個值的離散型隨機(jī)變量的均值、方差的概念.會求簡單離散型隨機(jī)變量的均值、方差，并能利用離散型隨機(jī)變量的均值、方差概念解決一些簡單問題.借助直觀直方圖認(rèn)識正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義.在高考中，常以解答題的形式考查，難度為中檔.知識梳理：離散型隨機(jī)變量的均值與方差一般地，若離散型隨機(jī)變量X的分布列為Xx1x2…x.…xPp2……p*—H均值稱E(X)=xp^xp^-+xp.+-+xnp為隨機(jī)變量X的均值或數(shù)學(xué)期望.它反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平.'n方差稱D(X)=U(x-E(X))2p.為隨機(jī)變量X的方差，它刻畫了隨機(jī)變量X與其均值E(X)的平均偏離程度，并稱其算術(shù)i=1平方根、?,D(x)為隨機(jī)變量x的標(biāo)準(zhǔn)差.均值與方差的性質(zhì)E(aX+b)=aE(X)+b.D(aX+b)=a2D(X).(a,b為常數(shù))兩點分布與二項分布的均值、方差若隨機(jī)變量X服從兩點分布，則E(X)=p,D(X)=p(1-p).若X~B(n，p)，則E(X)=np，D(X)=np(1—p).正態(tài)分布正態(tài)曲線：函數(shù)(P”#)=酎e-啜T，xE(—8，+8)，其中實數(shù)《和O為參數(shù)(^>0，?ER).我們稱函數(shù)叩，v2nr，(x)的圖象為正態(tài)分布密度曲線，簡稱正態(tài)曲線.正態(tài)曲線的特點曲線位于x軸上方，與x軸不相交；曲線是單峰的，它關(guān)于直線x=對稱；曲線在x=處達(dá)到峰值—2n曲線與x軸之間的面積為1；當(dāng)"一定時，曲線的位置由《確定，曲線隨著《的變化而沿x軸平移，如圖甲所示；當(dāng)《一定時，曲線的形狀由。確定M越小，曲線越“瘦高”，表示總體的分布越集中；。越大，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散，如圖乙所示.甲乙(3)正態(tài)分布的定義及表示一般地，如果對于任何實數(shù)a，b(a<b)，隨機(jī)變量X滿足P(a<XWb)=^，^(x)dx，則稱隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，記作X?NW，s).正態(tài)總體在三個特殊區(qū)間內(nèi)取值的概率值PQ—”<XW?+")=0.6826；PS2“<XW?+2“)=0.9544；PQ—3“<XW?+3“)=0.9974.題型一：離散型隨機(jī)變量的均值與方程(高頻考點)離散型隨機(jī)變量的均值與方差是高考命題的熱點，多以解答題的形式呈現(xiàn)，多為中檔題.高考對離散型隨機(jī)變量的均值與方差的考查主要有以下兩個命題角度：古典概型背景下的離散型隨機(jī)變量的均值與方差；與二項分布有關(guān)的均值與方差.方法歸納：(1)求離散型隨機(jī)變量4的均值與方差的步驟理解4的意義，寫出4可能的全部取值.求4取每個值的概率.寫出4的分布列.由均值的定義求E(4).由方差的定義求D(4).二項分布的期望與方差如果4?B(n,p),則用公式E(4)=np；D(4)=np(1~p)求解，可大大減少計算量.［提醒］均值E(X)由X的分布列唯一確定，即X作為隨機(jī)變量是可變的，而E(X)是不變的，它描述X取值的平均水平.命題角度1.古典概型背景下的離散型隨機(jī)變量的均值與方差例1.某小組共10人，利用假期參加義工活動.已知參加義工活動次數(shù)為1，2,3的人數(shù)分別為3,3,4.現(xiàn)從這10人中隨機(jī)選出2人作為該組代表參加座談會.設(shè)A為事件“選出的2人參加義工活動次數(shù)之和為4”，求事件A發(fā)生的概率；設(shè)X為選出的2人參加義工活動次數(shù)之差的絕對值，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望與方差.跟蹤訓(xùn)練1.為回饋顧客，某商場擬通過模擬兌獎的方式對1000位顧客進(jìn)行獎勵，規(guī)定：每位顧客從一個裝有4個標(biāo)有面值的球的袋中一次性隨機(jī)摸出2個球，球上所標(biāo)的面值之和為該顧客所獲的獎勵額.若袋中所裝的4個球中有1個所標(biāo)的面值為50元，其余3個均為10元，求：顧客所獲的獎勵額為60元的概率；顧客所獲的獎勵額的分布列及均值；商場對獎勵總額的預(yù)算是60000元，并規(guī)定袋中的4個球只能由標(biāo)有面值10元和50元的兩種球組成，或標(biāo)有面值20元和40元的兩種球組成.為了使顧客得到的獎勵總額盡可能符合商場的預(yù)算且每位顧客所獲的獎勵額相對均衡，請對袋中的4個球的面值給出一個合適的設(shè)計，并說明理由.命題角度2.與二項分布有關(guān)的均值與方差例2.(2018-洛陽市第一次統(tǒng)一考試)霧霾天氣對人體健康有傷害，應(yīng)對霧霾污染、改善空氣質(zhì)量的首要任務(wù)是控制PM2.5,要從壓減燃煤、嚴(yán)格控車、調(diào)整產(chǎn)業(yè)、強(qiáng)化管理、聯(lián)防聯(lián)控、依法治理等方面采取重大舉措，聚焦重點領(lǐng)域，嚴(yán)格考核指標(biāo).某省環(huán)保部門為加強(qiáng)環(huán)境執(zhí)法監(jiān)管，派遣四個不同的專家組對A、B、C三個城市進(jìn)行治霾落實情況抽查.若每個專家組隨機(jī)選取一個城市，四個專家組選取的城市可以相同，也可以不同，求恰有一個城市沒有專家組選取的概率；每一個城市都要由四個專家組分別對抽查情況進(jìn)行評價，并對所選取的城市進(jìn)行評價，每個專家組給檢查到的城市評價為優(yōu)的概率為2,若四個專家組均評價為優(yōu)則檢查通過不用復(fù)檢，否則需進(jìn)行復(fù)檢.設(shè)需進(jìn)行復(fù)檢的城市的個數(shù)為X，求X的分布列和期望.題型二：均值與方差的實際應(yīng)用例3.(2018-長沙市統(tǒng)一模擬考試)張老師開車上班，有路線①與路線②兩條路線可供選擇.12路線①：沿途有A，B兩處獨立運行的交通信號燈，且兩處遇到綠燈的概率依次為2,2,若A處遇紅燈或黃燈，則導(dǎo)致延誤時間2分鐘；若B處遇紅燈或黃燈，則導(dǎo)致延誤時間3分鐘；若兩處都遇綠燈，則全程所花時間為20分鐘.32路線②：沿途有a，b兩處獨立運行的交通信號燈，且兩處遇到綠燈的概率依次為4,5,若a處遇紅燈或黃燈，則導(dǎo)致延誤時間8分鐘；若b處遇紅燈或黃燈，則導(dǎo)致延誤時間5分鐘；若兩處都遇綠燈，則全程所花時間為15分鐘.若張老師選擇路線①，求他20分鐘能到校的概率；為使張老師日常上班途中所花時間較少，你建議張老師選擇哪條路線？并說明理由.方法歸納：均值與方差的實際應(yīng)用D(X)表示隨機(jī)變量X對頊X)的平均偏離程度，D(X)越大表明平均偏離程度越大，說明X的取值越分散；反之，D(X)越小，X的取值越集中在頊X)附近，統(tǒng)計中常用七力(X)來描述X的分散程度.隨機(jī)變量的均值反映了隨機(jī)變量取值的平均水平，方差反映了隨機(jī)變量取值偏離于均值的程度，它們從整體和全局上刻畫了隨機(jī)變量，是生產(chǎn)實際中用于方案取舍的重要的理論依據(jù)，一般先比較均值，若均值相同，再用方差來決定.跟蹤訓(xùn)練2.1.(2018?廣西三市第一次聯(lián)考)某公司為招聘新員工設(shè)計了一個面試方案：應(yīng)聘者從6道備選題中一次性隨機(jī)抽取3道題，按照題目要求獨立完成.規(guī)定：至少正確完成其中2道題的便可通過.已知6道備選題中應(yīng)聘者2甲有4道題能正確完成，2道題不能完成;應(yīng)聘者乙每道題正確完成的概率都是：，且每道題正確完成與否互不影響.分別求甲、乙兩人正確完成面試題數(shù)的分布列及數(shù)學(xué)期望；請分析比較甲、乙兩人誰面試通過的可能性大？某投資公司在2019年年初準(zhǔn)備將1000萬元投資到“低碳”項目上，現(xiàn)有兩個項目供選擇：項目一：新能源汽車.據(jù)市場調(diào)研，投資到該項目上，到年底可能獲利30%，也可能虧損15%，且這兩種情況發(fā)生的概率分別為7和9；項目二：通信設(shè)備.據(jù)市場調(diào)研，投資到該項目上，到年底可能獲利50%，可能損失30%，也可能不賠不賺，且這311三種情況發(fā)生的概率分別為5，耳和企.針對以上兩個投資項目，請你為投資公司選擇一個合理的項目，并說明理由.為迎接2022年北京冬奧會，推廣滑雪運動，某滑雪場開展滑雪促銷活動.該滑雪場的收費標(biāo)準(zhǔn)是：滑雪時間不超過1小時免費，超過1小時的部分每小時收費標(biāo)準(zhǔn)為40元(不足1小時的部分按1小時計算).有甲、乙兩人相互獨立地來該滑雪場運動，設(shè)甲、乙不超過1小時離開的概率分別為匕11小時以上且不超過2小時離開的概率分別4612為2，2;兩人滑雪時間都不會超過3小時.求甲、乙兩人所付滑雪費用相同的概率；設(shè)甲、乙兩人所付的滑雪費用之和為隨機(jī)變量4,求￡的分布列與均值頊切，方差D(。題型三：正態(tài)分布例4.(1)(2018?長春質(zhì)檢)已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(1，02)，若P(X>2)=0.15，則P(0WXW1)=()A.0.85B.0.70C.0.35D.0.15(2)已知某批零件的長度誤差(單位：毫米)服從正態(tài)分布N(0，32)，從中隨機(jī)取一件，其長度誤差落在區(qū)間(3,6)內(nèi)的概率為()(附：若隨機(jī)變量￡服從正態(tài)分布NQ，02)，則PQ—o<￡〈《+o)q68.27%，P0—2o<￡〈《+2o)q95.45%)A.4.56%B.13.59%C.27.18%D.31.74%例5.(2017-全國I)為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過程，檢驗員每天從該生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取16個零件，并測量其尺寸(單位：cm).根據(jù)長期生產(chǎn)經(jīng)驗，可以認(rèn)為這條生產(chǎn)線正常狀態(tài)下生產(chǎn)的零件的尺寸服從正態(tài)分布腳，02).⑴假設(shè)生產(chǎn)狀態(tài)正常，記X表示一天內(nèi)抽取的16個零件中其尺寸在Q—3o,?+3o］之外的零件數(shù)，求P(XN1)及X的均值；(2)一天內(nèi)抽檢零件中，如果出現(xiàn)了尺寸在0—30,《+3o］之外的零件，就認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況，需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查.試說明上述監(jiān)控生產(chǎn)過程方法的合理性；下面是檢驗員在一天內(nèi)抽取的16個零件的尺寸：9510.129.969.9610.019.929.9810.04269.9110.1310.029.2210.0410.059.95經(jīng)計算得x=土&=9.97，s=\點芝(x—x)2=八..總(&—16x2)F212，其中x.為抽取的第i個零件的尺=1.i=1i=1寸，i=1,2，…，16....一-一一.，一?A...，一?A.......、一■、一一用樣本平均數(shù)x作為《的估計值#，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差s作為O的估計值O，利用估計值判斷是否需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查？剔除3—30，?+30)之外的數(shù)據(jù)，用剩下的數(shù)據(jù)估計M和0(精確到0.01).附：若隨機(jī)變量Z服從正態(tài)分布N302)，則P(p—30<ZW?+30)=0.9974,0.997416^0.9592,'0.008^0.09.跟蹤訓(xùn)練3.1.若X?N(5，1)，則P(3<X<4)=()A.0.9545B.0.4773C.0.3414D.0.1359(2018-福建省畢業(yè)班質(zhì)量檢測)若隨機(jī)變量X?腳，02)，且P(X>5)=P(X<—1)=0.2，"(2<X<5)=.“過大年，吃水餃”是我國不少地方過春節(jié)的一大習(xí)俗.2019年春節(jié)前夕，A市某質(zhì)檢部門隨機(jī)抽取了100包某種品牌的速凍水餃，檢測其某項質(zhì)量指標(biāo)值，所得頻率分布直方圖如下：頻率J組電0.U3U[J.O25(>.{)21}---|—0.01S—01’頃頃皿由質(zhì)蜻指標(biāo)渣求所抽取的100包速凍水餃該項質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù)X(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表)；①由直方圖可以認(rèn)為，速凍水餃的該項質(zhì)量指標(biāo)值Z服從正態(tài)分布W，02)，利用該正態(tài)分布，求Z落在(14.55,38.45]內(nèi)的概率；②將頻率視為概率，若某人從某超市購買了4包這種品牌的速凍水餃，記這4包速凍水餃中這種質(zhì)量指標(biāo)值位于(10,30)內(nèi)的包數(shù)為X，求X的分布列和均值.附：計算得所抽查的這100包速凍水餃的質(zhì)量指標(biāo)值的標(biāo)準(zhǔn)差為o=：142.75^11.95；若{?N(w，02)，則P(w—o<{W?+o)=0.6826，P(w—2o<{W?+2o)=0.9544.課堂小結(jié)：隨機(jī)變量的均值、方差與樣本的平均值、方差的關(guān)系隨機(jī)變量的均值、方差是常數(shù)，它們不依賴于樣本的抽取，而樣本的平均值、方差是隨機(jī)變量，它們隨著樣本的不同而變化.期望與方差的一般計算步驟理解X的意義，寫出X