§1.2行列式

二、n

階行列式的定義一、二階和三階行列式三、行列式的性質(zhì)四、行列式值的計(jì)算五、行列式乘法定理

設(shè)有二元線性方程組一、二階和三階行列式①②①a22-②a12

消去x2,②a11-①a21

消去x1

得

二階行列式記——Cramer法則方程組的解為當(dāng)系數(shù)行列式

D0時(shí),②a32

-③a22

消去x2,

設(shè)有三元線性方程組①②③④⑤①(a22a33-a23a32)-⑤a12

+

④a13

消去x2,x3

得

三階行列式②a33

-③a23

消去x3

得記

三階行列式當(dāng)D0時(shí),

設(shè)有三元線性方程組——Cramer法則

三階行列式對(duì)角線法則例1

解關(guān)于變量

l

的方程解原方程的解為

>>>記方程左邊的行列式為D(l),則

三階行列式按行列展開(kāi)

行和等于D

觀察:對(duì)換D的第1,2行;對(duì)換D的第2,3行.結(jié)果:D

的值反號(hào).

列和等于D

三階行列式按行列展開(kāi)

行和等于D

對(duì)

3階矩陣A=(aij),刪去其第i行及第

j

列后得到一個(gè)

2階行列式,稱此行列式為元素aij

的余子式,記為Mij

.

三階行列式按行列展開(kāi)

稱(-1)i+j

Mij

為元素aij

的代數(shù)余子式,記為

Aij

.

對(duì)

3階矩陣A=(aij),記其行列式為|A|(=D),則(按第

j列展開(kāi))(按第

i行展開(kāi))

行和等于D

列和等于D

稱(-1)i+j

Mij

為元素aij

的代數(shù)余子式,記為

Aij

.

假設(shè)n-1階行列式已定義.對(duì)

n

階矩陣A=(aij),刪去其第i行及第

j

列后得到一個(gè)n-1階行列式,稱此行列式為元素aij

的余子式,記為Mij

.

n

階方陣A

的行列式記為det

A(或|A|),定義為

n

階行列式|A|完全展開(kāi)后是一個(gè)代數(shù)和式,共有n!項(xiàng),每一項(xiàng)由方陣A中不同行不同列的n

個(gè)元素的乘積構(gòu)成,帶有確定的正負(fù)號(hào).二、n

階行列式的定義對(duì)計(jì)算更有好處.

將n

階行列式det

A記為

n

階行列式|A|完全展開(kāi)后是一個(gè)代數(shù)和式,共有n!項(xiàng),每一項(xiàng)由方陣A中不同行不同列的n

個(gè)元素的乘積構(gòu)成,帶有確定的正負(fù)號(hào).

對(duì)角線法則只適用于二、三階行列式提問(wèn):>>>

三階行列式對(duì)角線法則提示:Laplace[按行列展開(kāi)]定理

行列式等于任一行(列)的元素與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和:>>>例2

計(jì)算n階上三角行列式

解

上(下)三角行列式之值等于其對(duì)角元素的乘積.例3計(jì)算行列式解按第1列展開(kāi)得三、行列式的性質(zhì)性質(zhì)1

行列式det

A

與它的轉(zhuǎn)置行列式

det

AT

相等.例如:提示:用數(shù)學(xué)歸納法證明.

將|A

|按第1行展開(kāi),而|AT|按第1列展開(kāi).注:由該性質(zhì)可知,以下對(duì)行而言的性質(zhì),對(duì)列也成立.性質(zhì)2行列式中某一行的所有元素的公因子可以提到行列式記號(hào)的外面.推論1有一行元素全為零的行列式值為零.推論2

設(shè)A

為n

階矩陣,則det(kA)=

kn

det

A.性質(zhì)3若行列式某一行的元素都是兩數(shù)之和,則該行拆開(kāi),原行列式可以表為相應(yīng)的兩個(gè)行列式之和.例如:提示:按第2行展開(kāi).例如:提示:按第2行展開(kāi).性質(zhì)4對(duì)換兩行,行列式值反號(hào).例如:

四階行列式對(duì)換第2,3行.

對(duì)換相鄰兩行,行列式值反號(hào).證明設(shè)對(duì)換n

階行列式D=det(aij)的第r,r+1行而得D1.記D

的余子式為Mij

,則D1

的第r

+1行及其余子式分別為D

的第r行及其余子式.由Laplace定理,D1按第r

+1行展開(kāi),而

D按第r

行展開(kāi),得性質(zhì)4對(duì)換兩行,行列式值反號(hào).

對(duì)換相鄰兩行,行列式值反號(hào).

對(duì)換任意兩行,行列式值反號(hào).提示:行標(biāo)變化:k-1次相鄰對(duì)換k次相鄰對(duì)換對(duì)換第r,r+k行推論有兩行全同的行列式,其值為零.性質(zhì)5若有兩行元素對(duì)應(yīng)成比例,則行列式值為零.性質(zhì)6

把行列式某一行的各元素乘以同一數(shù)加到另一行對(duì)應(yīng)的元素上去,行列式的值不變.例如:提示:對(duì)換行列式D

全同的兩行得D=-

D.提示:性質(zhì)4對(duì)換兩行,行列式值反號(hào).證明

左式例4

證明=

右式四、行列式值的計(jì)算(2)利用Laplace定理的降階法.(1)化為上(下)三角形行列式的所謂化三角形法;

行列式值的計(jì)算,基本上就是利用行列式的性質(zhì),逐步簡(jiǎn)化行列式的結(jié)構(gòu).

為了便于檢查,引進(jìn)以下記號(hào):

用ri

?rj

表示對(duì)換第i,j行;

用kri

表示第i行乘以非零數(shù)

k;

用rj

kri

表示把第i

行的k

倍加到第j行.

用

ci

表示第

i

列,有相仿的記號(hào).

主要方法有兩個(gè):>>>解1(化上三角形法)例5

計(jì)算行列式解2(降階法)例5

計(jì)算行列式注:利用行列式的性質(zhì),想方設(shè)法將某一行(列)變出盡可能多的0,再按該行(列)展開(kāi),使行列式的階數(shù)降低.

對(duì)于整數(shù)為元素的數(shù)字行列式,找出(或變出)1,將其所在行(列)的其它元素化為0,再按該行(列)展開(kāi)而降階.例6

計(jì)算行列式解(特點(diǎn)是行和相等)解例7計(jì)算行列式例8

計(jì)算

n

階Vandermonde

行列式

解按第

n列展開(kāi),第

i列提取公因式xi-xn

(i=1,…,n-1),得遞推公式:由V2=

x2-x1

及遞推公式,得證明經(jīng)若干次行變換ri+krj

將|A|,|B|化為上三角行列式:在相同的變換下

設(shè)A,B都是方陣,則五、行列式乘法定理證明

行列式乘法定理

設(shè)A,B

為n

階方陣,則|AB|=|A||B|.以2階方陣為例證之.作業(yè)

習(xí)題1-2

韋達(dá)定理設(shè)n

次多項(xiàng)式的n

個(gè)根為

x1,x2,,xn

,則有下列關(guān)系式:提示:例如3次多項(xiàng)式3

-122

+21-10的整數(shù)根只能是經(jīng)驗(yàn)證1

=1是其根.

韋達(dá)定理設(shè)n

次多項(xiàng)式的n

個(gè)根為

x1,x2,,xn

,則有下列關(guān)系式:多項(xiàng)式除法:

n

階矩陣A

的行列式可定義為其中和式對(duì)1,2,,n

的所有全排列

p1

p2

pn

求和.

其中ti

為

pi+1

pn

(p1

pi-1)中小(大)于pi

的數(shù)的個(gè)數(shù).

逆序數(shù)

三階行列式對(duì)角線法則例

在四階行列式det

A中,含a14a22a31a43的項(xiàng)取___號(hào).解1其逆序數(shù)為a14a22a31a43的列標(biāo)排列為4213,或+因此含

a14a22a31a43的項(xiàng)取正號(hào).

n

階矩陣A

的行列式可定義為其中和式對(duì)1,2,,n

的所有全排列

p1

p2

pn

求和.

其中ti

為

pi+1

pn

(p1

pi-1)中小(大)于pi

的數(shù)的個(gè)數(shù).

逆序數(shù)>>>解2

含

a14a22a31a43的項(xiàng)為=

a14a22a31a43.

把矩陣A

的第1,,

i行及第p1,,

pi

列刪去后得到一個(gè)n-i

階行列式,記此行列式為Di

.

|A

|

展開(kāi)式中含a1p1

的項(xiàng)為

Di-1

展開(kāi)式中含ai

pi

的項(xiàng)為

項(xiàng)a1p1a2p2

an

pn

帶有的正負(fù)號(hào)為

n

階矩陣A

的行列式可定義為其中和式對(duì)1,2,,n

的所有全排列

p1

p2

pn

求和.

其中ti

為

pi+1

pn

(p1

pi-1)中小(大)于pi

的數(shù)的個(gè)數(shù).

逆序數(shù)

M1j

按第k-1列展開(kāi)(j<k),

Mik

按第1行展開(kāi)(i>1)

n

階行列式按第k

列展開(kāi)(n=4,k=2)M1j

按第k列展開(kāi)(j>k).Laplace[按行列展開(kāi)]定理證明思路圖表分析性質(zhì)2行列式中某一行的所有元素的公因子可以提到行列式記號(hào)的外