第五章模型的建立與估計(jì)中的問題及對(duì)策第五章模型的建立與估計(jì)中的問題及對(duì)策本章內(nèi)容第一節(jié)誤設(shè)定第二節(jié)多重共線性第三節(jié)異方差性第四節(jié)自相關(guān)本章內(nèi)容OLS估計(jì)量令人滿意的性質(zhì)，是根據(jù)一組假設(shè)條件而得到的。在實(shí)踐中，如果某些假設(shè)條件不能滿足，則OLS就不再適用于模型的估計(jì)。下面列出實(shí)踐中可能碰到的一些常見問題：

l 誤設(shè)定（Misspecification或specificationerror）

l 多重共線性（Multicollinearity）

l 異方差性（Heteroscedasticity或Heteroskedasticity）

l 自相關(guān)（Autocorrelation）

l

隨機(jī)解釋變量（Stochasticexplanatoryvariables)本章將對(duì)上述問題作簡(jiǎn)要討論，主要介紹問題的后果、檢測(cè)方法和解決途徑。OLS估計(jì)量令人滿意的性質(zhì)，是根據(jù)一組假設(shè)條件而得第一節(jié)誤設(shè)定采用OLS法估計(jì)模型時(shí)，實(shí)際上有一個(gè)隱含的假設(shè)，即模型是正確設(shè)定的。這包括兩方面的含義：函數(shù)形式正確和解釋變量選擇正確。在實(shí)踐中，這樣一個(gè)假設(shè)或許從來也不現(xiàn)實(shí)。我們可能犯下列三個(gè)方面的錯(cuò)誤：

選擇錯(cuò)誤的函數(shù)形式

遺漏有關(guān)的解釋變量

包括無關(guān)的解釋變量從而造成所謂的“誤設(shè)定”問題。第一節(jié)誤設(shè)定一.選擇錯(cuò)誤的函數(shù)形式

這類錯(cuò)誤中比較常見的是將非線性關(guān)系作為線性關(guān)系處理。函數(shù)形式選擇錯(cuò)誤，所建立的模型當(dāng)然無法反映所研究現(xiàn)象的實(shí)際情況，后果是顯而易見的。因此，我們應(yīng)當(dāng)根據(jù)實(shí)際問題，選擇正確的函數(shù)形式。

一.選擇錯(cuò)誤的函數(shù)形式

我們?cè)谇懊娓髡碌慕榻B中采用的函數(shù)形式以線性函數(shù)為主，上一章還介紹了因變量和解釋變量都采用對(duì)數(shù)的雙對(duì)數(shù)模型，下面再介紹幾種比較常見的函數(shù)形式的模型，為讀者的回歸實(shí)踐多提供幾種選擇方案。這幾種模型是：半對(duì)數(shù)模型雙曲函數(shù)模型多項(xiàng)式回歸模型我們?cè)谇懊娓髡碌慕榻B中采用的函數(shù)形式以線性函數(shù)為1.半對(duì)數(shù)模型半對(duì)數(shù)模型指的是因變量和解釋變量中一個(gè)為對(duì)數(shù)形式而另一個(gè)為線性的模型。因變量為對(duì)數(shù)形式的稱為對(duì)數(shù)-線性模型(log-linmodel)。解釋變量為對(duì)數(shù)形式的稱為線性-對(duì)數(shù)模型(lin-logmodel)。我們先介紹前者，其形式如下：對(duì)數(shù)-線性模型中，斜率的含義是Y的百分比變動(dòng)，即解釋變量X變動(dòng)一個(gè)單位引起的因變量Y的百分比變動(dòng)。這是因?yàn)椋梦⒎挚梢缘贸觯?/p>

1.半對(duì)數(shù)模型

這表明，斜率度量的是解釋變量X的單位變動(dòng)所引起的因變量Y的相對(duì)變動(dòng)。將此相對(duì)變動(dòng)乘以100，就得到Y(jié)的百分比變動(dòng)，或者說得到Y(jié)的增長率。由于對(duì)數(shù)-線性模型中斜率系數(shù)的這一含義，因而也叫增長模型

(growthmodel)。增長模型通常用于測(cè)度所關(guān)心的經(jīng)濟(jì)變量（如GDP）的增長率。例如，我們可以通過估計(jì)下面的半對(duì)數(shù)模型

得到一國GDP的年增長率的估計(jì)值，這里t為時(shí)間趨勢(shì)變量。這表明，斜率度量的是解釋變量X的單位變動(dòng)所引起的因線性-對(duì)數(shù)模型的形式如下：

與前面類似，我們可用微分得到

因此這表明

上式表明，Y的絕對(duì)變動(dòng)量等于乘以X的相對(duì)變動(dòng)量。因此,線性-對(duì)數(shù)模型通常用于研究解釋變量每變動(dòng)1%引起的因變量的絕對(duì)變動(dòng)量是多少這類問題。線性-對(duì)數(shù)模型的形式如下：上式表明，Y的絕對(duì)變動(dòng)量等于2.雙曲函數(shù)模型雙曲函數(shù)模型的形式為：

不難看出，這是一個(gè)僅存在變量非線性的模型，很容易用重新定義的方法將其線性化。雙曲函數(shù)模型的特點(diǎn)是，當(dāng)X趨向無窮時(shí)，Y趨向，反映到圖上，就是當(dāng)X趨向無窮時(shí)，Y將無限靠近其漸近線（Y=）。雙曲函數(shù)模型通常用于描述著名的恩格爾曲線和菲利普斯曲線。2.雙曲函數(shù)模型3.多項(xiàng)式回歸模型多項(xiàng)式回歸模型通常用于描述生產(chǎn)成本函數(shù)，其一般形式為：

其中Y表示總成本，X表示產(chǎn)出，P為多項(xiàng)式的階數(shù)，一般不超過四階。多項(xiàng)式回歸模型中，解釋變量X以不同冪次出現(xiàn)在方程的右端。這類模型也僅存在變量非線性，因而很容易線性化，可用OLS法估計(jì)模型。3.多項(xiàng)式回歸模型二.遺漏有關(guān)的解釋變量模型中遺漏了對(duì)因變量有顯著影響的解釋變量的后果是：將使模型參數(shù)估計(jì)量不再是無偏估計(jì)量。三.包括無關(guān)的解釋變量模型中包括無關(guān)的解釋變量，參數(shù)估計(jì)量仍無偏，但會(huì)增大估計(jì)量的方差，即增大誤差。

[注]有關(guān)上述兩點(diǎn)結(jié)論的說明請(qǐng)參見教科書P112-113。二.遺漏有關(guān)的解釋變量四.選擇解釋變量的四條原則

在模型設(shè)定中的一般原則是盡量不漏掉有關(guān)的解釋變量。因?yàn)楣烙?jì)量有偏比增大誤差更嚴(yán)重。但如果方差很大，得到的無偏估計(jì)量也就沒有多大意義了，因此也不宜隨意亂增加解釋變量。在回歸實(shí)踐中，有時(shí)要對(duì)某個(gè)變量是否應(yīng)該作為解釋變量包括在方程中作出準(zhǔn)確的判斷確實(shí)不是一件容易的事，因?yàn)槟壳斑€沒有行之有效的方法可供使用。盡管如此，還是有一些有助于我們進(jìn)行判斷的原則可用，它們是：四.選擇解釋變量的四條原則選擇解釋變量的四條原則

1.理論：從理論上看，該變量是否應(yīng)該作為解釋變量包括在方程中？

2.t檢驗(yàn)：該變量的系數(shù)估計(jì)值是否顯著？

3.：該變量加進(jìn)方程中后，是否增大？

4.偏倚：該變量加進(jìn)方程中后，其它變量的系數(shù)估計(jì)值是否顯著變化？如果對(duì)四個(gè)問題的回答都是肯定的，則該變量應(yīng)該包括在方程中；如果對(duì)四個(gè)問題的回答都是“否”，則該變量是無關(guān)變量，可以安全地從方程中刪掉它。這是兩種容易決策的情形。選擇解釋變量的四條原則如果對(duì)四個(gè)問題的回答都是肯定的，則該變

但根據(jù)以上原則判斷并不總是這么簡(jiǎn)單。在很多情況下，這四項(xiàng)準(zhǔn)則的判斷結(jié)果會(huì)出現(xiàn)不一致。例如，有可能某個(gè)變量加進(jìn)方程后，增大，但該變量不顯著。

在選擇變量的問題上，應(yīng)當(dāng)堅(jiān)定不移地根據(jù)理論而不是滿意的擬合結(jié)果來作決定，對(duì)于是否將一個(gè)變量包括在回歸方程中的問題，理論是最重要的判斷準(zhǔn)則。如果不這樣做，產(chǎn)生不正確結(jié)果的風(fēng)險(xiǎn)很大。

在這種情況下，作出正確判斷不是一件容易的事，處理的原則是將理論準(zhǔn)則放在第一位。但根據(jù)以上原則判斷并不總是這么簡(jiǎn)單。在很多情況下*五、模型的選擇上一段討論了某個(gè)解釋變量應(yīng)否包括在模型中的幾條原則。實(shí)踐中，要解決的一個(gè)問題是如何從大量的潛在解釋變量的集合中選擇一個(gè)最合適的子集，以得到一個(gè)正確設(shè)定的模型。上個(gè)世紀(jì)六十年代后相當(dāng)一段時(shí)間，人們使用逐步回歸法來解決解釋變量的選擇問題。這種由計(jì)算機(jī)機(jī)械挑選變量的做法如今已不流行了。目前比較通行的做法是從少量精心設(shè)定的備選模型中選擇一個(gè)。計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)家就此提出了很多基于統(tǒng)計(jì)學(xué)的選擇標(biāo)準(zhǔn)，我們這里討論其中幾種，如表5－1所示。*五、模型的選擇

令RSSj表示第j個(gè)模型（有kj個(gè)解釋變量）的殘差平方和，并定義

為第j個(gè)模型的的估計(jì)值。我們用表示包含全部k個(gè)解釋變量的模型的估計(jì)值。令RSSj表示第j個(gè)模型（有kj個(gè)解釋變量）的殘差平表5－1選擇回歸模型的準(zhǔn)則準(zhǔn)則計(jì)算公式

表5－1選擇回歸模型的準(zhǔn)則準(zhǔn)則1.準(zhǔn)則希爾（Theil）的準(zhǔn)則基于如下假設(shè)：所考慮的模型中有一個(gè)是正確模型。對(duì)于正確模型，，對(duì)于不正確模型，。因此，選擇最小的模型一般就能選出正確模型。由于最小化與最大化是一回事，我們習(xí)慣上稱該準(zhǔn)則為最大準(zhǔn)則。這個(gè)準(zhǔn)則的主要問題是，一個(gè)包括正確模型的所有解釋變量但同時(shí)也包括一些無關(guān)變量的模型也會(huì)給出，在這種情況下，我們所選擇的其實(shí)并非正確模型。當(dāng)備選模型包含大量無關(guān)變量時(shí)，選出正確模型的概率較低。1.準(zhǔn)則2.基于預(yù)測(cè)的均方誤差最小的三個(gè)準(zhǔn)則希爾的準(zhǔn)則是基于回歸的標(biāo)準(zhǔn)誤差最小，下列三個(gè)準(zhǔn)則則是基于預(yù)測(cè)的均方誤差（MSE）最小。這三個(gè)準(zhǔn)則是：馬婁斯（Mallows）的準(zhǔn)則霍金（Hocking）的準(zhǔn)則阿美米亞（Amemiya）的PC準(zhǔn)則

假設(shè)正確的方程有k個(gè)解釋變量，我們考慮的方程有個(gè)解釋變量，問題是如何選擇k1以及具體的k1個(gè)解釋變量的集合。在上述三個(gè)預(yù)測(cè)準(zhǔn)則中，這是通過使的均方誤差達(dá)到最小實(shí)現(xiàn)的，其中是Y的未來值，而是預(yù)測(cè)值。2.基于預(yù)測(cè)的均方誤差最小的三個(gè)準(zhǔn)則上述三個(gè)準(zhǔn)則都是基于預(yù)測(cè)的均方誤差最小，但在估計(jì)預(yù)測(cè)的均方誤差時(shí)采用的假設(shè)有所不同，因而形成各自的計(jì)算公式，孰優(yōu)孰劣，并無定論，在實(shí)踐中可根據(jù)所用軟件提供的輸出結(jié)果選用其中一個(gè)作為模型選擇的準(zhǔn)則。具體做法是比較備選的幾個(gè)模型的、或PC值，選其中最小的即可。在三個(gè)預(yù)測(cè)準(zhǔn)則的情況下，我們感興趣的是改善預(yù)測(cè)的MSE，只要能改善，可以去掉某些變量，即便是正確模型中包括它們也在所不惜。上述三個(gè)準(zhǔn)則都是基于預(yù)測(cè)的均方誤差最小，但在估計(jì)預(yù)測(cè)3.赤池信息準(zhǔn)則（AIC）赤池信息準(zhǔn)則（Akaike’sInformationCriterion,AIC）是一個(gè)更一般的準(zhǔn)則，它可以應(yīng)用于任何一個(gè)可用極大似然法估計(jì)的模型。對(duì)于我們這里的應(yīng)用，AIC的計(jì)算公式為

與赤池信息準(zhǔn)則類似的還有施瓦茨信息準(zhǔn)則（Schwarzinformationcriterion，SIC）：

上述兩個(gè)準(zhǔn)則與前述準(zhǔn)則一樣，可用于模型選擇，其值也是越小越好。3.赤池信息準(zhǔn)則（AIC）六.檢驗(yàn)誤設(shè)定的RESET方法

前面給出了選擇解釋變量的四條原則?？墒?，有時(shí)這些原則不能提供足夠的信息使研究人員確信其設(shè)定是最恰當(dāng)?shù)?，在這種情況下，可考慮使用一些更正規(guī)的檢驗(yàn)方法來比較不同估計(jì)方程的性質(zhì)。這類方法相當(dāng)多，這里就不一一列出，僅介紹拉姆齊（J.B.Ramsey）的回歸設(shè)定誤差檢驗(yàn)法（RESET法,RegressionSpecificationErrorTest）。六.檢驗(yàn)誤設(shè)定的RESET方法RESET檢驗(yàn)法的思路

RESET檢驗(yàn)法的思路是在要檢驗(yàn)的回歸方程中加進(jìn)等項(xiàng)作為解釋變量，然后看結(jié)果是否有顯著改善。如有，則可判斷原方程存在遺漏有關(guān)變量的問題或其它的誤設(shè)定問題。直觀地看，這些添加的項(xiàng)是任何可能的遺漏變量或錯(cuò)誤的函數(shù)形式的替身，如果這些替身能夠通過F檢驗(yàn),表明它們改善了原方程的擬合狀況，則我們有理由說原方程存在誤設(shè)定問題。另一方面,等項(xiàng)形成多項(xiàng)式函數(shù)形式，多項(xiàng)式是一種強(qiáng)有力的曲線擬合裝置，因而如果存在（函數(shù)形式方面的）誤設(shè)定，則用這樣一個(gè)裝置可以很好地代表它們。RESET檢驗(yàn)法的思路RESET檢驗(yàn)法的步驟拉姆齊RESET檢驗(yàn)的具體步驟是：(1)用OLS法估計(jì)要檢驗(yàn)的方程，得到

(2)由上一步得到的值（i=1,2,…,n），計(jì)算，然后用OLS法估計(jì)：

(3)用F檢驗(yàn)比較兩個(gè)方程的擬合情況（類似于上一章中聯(lián)合假設(shè)檢驗(yàn)采用的方法），如果兩方程總體擬合情況顯著不同，則我們得出原方程可能存在誤設(shè)定的結(jié)論。使用的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為：

RESET檢驗(yàn)法的步驟其中：RSSM為第一步中回歸（有約束回歸）的殘差平方和，RSS為第二步中回歸（無約束回歸）的殘差平方和，M為約束條件的個(gè)數(shù)，這里是M=3。應(yīng)該指出的是，拉姆齊RESET檢驗(yàn)僅能檢驗(yàn)誤設(shè)定的存在，而不能告訴我們到底是哪一類的誤設(shè)定，或者說，不能告訴我們正確的模型是什么。但該方法畢竟能給出模型誤設(shè)定的信號(hào)，以便我們?nèi)ミM(jìn)一步查找問題。另一方面，如果模型設(shè)定正確，RESET檢驗(yàn)使我們能夠排除誤設(shè)定的存在，轉(zhuǎn)而去查找其它方面的問題。其中：RSSM為第一步中回歸（有約束回歸）的殘差平方和，RS例:誤設(shè)定檢驗(yàn)為了檢驗(yàn)第三章例3.7的模型設(shè)定是否正確，采用RESET方法，用例3.7中回歸方程中得到的擬合值，計(jì)算，然后估計(jì)加上這一項(xiàng)作為解釋變量的方程，EViews結(jié)果如下：

例:誤設(shè)定檢驗(yàn)表5-2RESET檢驗(yàn)RamseyRESETTest:

F-statistic44.48853

Prob.F(1,15)0.0000

TestEquation:

DependentVariable:Ct

Method:LeastSquares

Sample:19922009

VariableCoefficientStd.Errort-StatisticProb.

C653.995113.2042549.529150.0000Yt0.3626640.03429610.574670.0000FITTED^2-0.0006730.000101-6.6699720.0000

R-squared0.993746

Meandependentvar1172.337AdjustedR-squared0.992912

S.D.dependentvar243.5071S.E.ofregression20.50091

Akaikeinfocriterion9.029827Sumsquaredresid6304.310

Schwarzcriterion9.178223Loglikelihood-78.26845

Hannan-Quinncriter.9.050289F-statistic1191.711

Durbin-Watsonstat0.993814Prob(F-statistic)0.000000

表5-2RESET檢驗(yàn)RamseyRESETTest根據(jù)表5-2，輔助回歸結(jié)果如下（括號(hào)內(nèi)數(shù)字為標(biāo)準(zhǔn)誤差）：例3.7方程的RSS=25002.28。有了上述結(jié)果，計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量：查F表，5%顯著性水平下的臨界值

，由于F=44.4886>4.28，故拒絕無誤設(shè)定的原假設(shè)。根據(jù)表5-2，輔助回歸結(jié)果如下（括號(hào)內(nèi)數(shù)字為標(biāo)準(zhǔn)誤差）：

事實(shí)上，我們可以直接從EViews輸出結(jié)果（表5.2）第二行中看到這一F值，以及與之相應(yīng)的P值，即得到44.4885這個(gè)F值的概率非常小，小數(shù)點(diǎn)后4位還是0，當(dāng)然小于0.05，因而拒絕無誤設(shè)定的原假設(shè)。

考慮到這里模型的誤設(shè)定可能是漏掉了有關(guān)的解釋變量，我們把價(jià)格指數(shù)作為解釋變量加入方程，重新估計(jì)模型，得（與第四章例4.1相同）：事實(shí)上，我們可以直接從EViews輸出結(jié)果（表5.2對(duì)上述模型重新進(jìn)行RESET檢驗(yàn)，結(jié)果如下（為節(jié)約篇幅，僅列出F檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)值行）：

表5-3RESET檢驗(yàn)根據(jù)表5-3可知，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量F=3.753，對(duì)應(yīng)的P值為0.073，大于0.05，故接受無誤設(shè)定的原假設(shè)。F-statistic3.752960

Prob.F(1,14)0.0732對(duì)上述模型重新進(jìn)行RESET檢驗(yàn)，結(jié)果如下（為節(jié)約篇幅，僅列第二節(jié)多重共線性

應(yīng)用OLS法的一個(gè)假設(shè)條件是；矩陣X的秩=K+1<N。即自變量之間不存在嚴(yán)格的線性關(guān)系，觀測(cè)值個(gè)數(shù)大于待估計(jì)的參數(shù)的個(gè)數(shù)。這兩條無論哪一條不滿足，則OLS估計(jì)值的計(jì)算無法進(jìn)行，估計(jì)過程由于數(shù)學(xué)原因而中斷，就象分母為0一樣。

這兩種情況都很罕見。然而，自變量之間存在近似的線性關(guān)系則是很可能的事。當(dāng)某些解釋變量高度相關(guān)時(shí)，盡管估計(jì)過程不會(huì)中斷，但會(huì)產(chǎn)生嚴(yán)重的估計(jì)問題，我們稱這種現(xiàn)象為多重共線性。解釋變量間存在嚴(yán)格線性相關(guān)關(guān)系時(shí)，稱為完全的多重共線性。第二節(jié)多重共線性這兩種情況都很罕見。然而，自變量之一定義在實(shí)踐中，若兩個(gè)或多個(gè)解釋變量高度線性相關(guān)，我們就說模型中存在多重共線性。二后果

1.不改變參數(shù)估計(jì)量的無偏性；這是因?yàn)?，盡管解釋變量之間存在多重共線性，但并不影響擾動(dòng)項(xiàng)和解釋變量觀測(cè)值的性質(zhì)，故仍有

事實(shí)上，對(duì)于不完全多重共線性，參數(shù)估計(jì)量仍為BLUE。一定義事實(shí)上，對(duì)于不完全多重共線性，參數(shù)估計(jì)量仍為BLUE2.但各共線變量的參數(shù)的OLS估計(jì)值方差很大，即估計(jì)值精度很低。（BLUE表明在各線性無偏估計(jì)量中方差最小，但不等于方差的值很小。）

3由于若干個(gè)X變量共變，它們各自對(duì)因變量的影響無法確定。

4.各共線變量系數(shù)估計(jì)量的t值低，使得犯第Ⅱ類錯(cuò)誤的可能性增加。由于各共線變量的參數(shù)的OLS估計(jì)值方差大，因而系數(shù)估計(jì)量的t值低，使得我們犯第Ⅱ類錯(cuò)誤（接受錯(cuò)誤的原假設(shè)H0:βj=0）的可能性增加，容易將本應(yīng)保留在模型中的解釋變量舍棄了。2.但各共線變量的參數(shù)的OLS估計(jì)值方差很大，即估計(jì)三多重共線性的判別和檢驗(yàn)1．根據(jù)回歸結(jié)果判別判別是否存在多重共線性的最簡(jiǎn)單方法是分析回歸結(jié)果。如果發(fā)現(xiàn):

系數(shù)估計(jì)值的符號(hào)不對(duì)；某些重要的解釋變量t值低，而R2不低；當(dāng)一不太重要的解釋變量被刪除后，回歸結(jié)果顯著變化。則可能存在多重共線性。其中上述第二種現(xiàn)象是多重共線性存在的典型跡象。此方法簡(jiǎn)便易行，因而是實(shí)踐中最常用的方法，缺點(diǎn)是無法確診。三多重共線性的判別和檢驗(yàn)2．使用相關(guān)矩陣檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)軟件一般提供各解釋變量兩兩之間的相關(guān)系數(shù)矩陣，如發(fā)現(xiàn)某些相關(guān)系數(shù)高（絕對(duì)值高于0.8或0.90），則表明多重共線性存在。但即使解釋變量兩兩之間的相關(guān)系數(shù)都低，也不能排除存在多重共線性的可能性。3．通過條件指數(shù)檢驗(yàn)條件指數(shù)（Conditionindex）或條件數(shù)Conditionnumber）是X’X矩陣的最大和最小特征根之比的平方根，條件指數(shù)高，表明存在多重共線性。至于什么程度算高，也沒有一個(gè)絕對(duì)的標(biāo)準(zhǔn)。通常認(rèn)為大于10即存在多重共線性，大于30表明存在嚴(yán)重多重共線性。大多數(shù)統(tǒng)計(jì)軟件提供此檢驗(yàn)值。2．使用相關(guān)矩陣檢驗(yàn)

4.使用VIF檢驗(yàn)

VIF是方差膨脹因子的英文(VarianceInflationFactors)縮寫,這是一種比較正規(guī)的檢驗(yàn)方法。該方法通過檢查指定的解釋變量能夠被回歸方程中其它全部解釋變量所解釋的程度來檢測(cè)多重共線性。

方程中每個(gè)解釋變量有一個(gè)VIF，該VIF是關(guān)于多重共線性使相應(yīng)的系數(shù)估計(jì)值的方差增大了多少的一個(gè)估計(jì)值。高VIF表明多重共線性增大了系數(shù)估計(jì)值的方差，從而產(chǎn)生一個(gè)減小了的t值。

VIF檢驗(yàn)的具體步驟如下：4.使用VIF檢驗(yàn)方程中每個(gè)解釋變量有一個(gè)VI

設(shè)原方程為：

Y=0+1X1+2X2+…+kXk+u我們需要計(jì)算K個(gè)不同的VIF，每個(gè)Xi一個(gè)。為指定Xi計(jì)算VIF涉及以下三步：（1）Xi對(duì)原方程中其它全部解釋變量進(jìn)行OLS回歸，例如，若i

=1，則回歸下面的方程：

X1=1+2X2+3X3+…+kXk+v（2）計(jì)算方差膨脹因子(VIF)：

其中Ri2是第一步輔助回歸的決定系數(shù)。設(shè)原方程為：（3）分析多重共線性的程度VIF越高,多重共線性的影響越嚴(yán)重。由于沒有VIF臨界值表，我們只能使用經(jīng)驗(yàn)法則：若，則存在嚴(yán)重多重共線性。也有人建議用VIF>10作為存在嚴(yán)重多重共線性的標(biāo)準(zhǔn),特別在解釋變量多的情形應(yīng)當(dāng)如此。需要指出的是，所有VIF值都低，并不能排除嚴(yán)重多重共線性的存在，這與使用相關(guān)系數(shù)矩陣檢驗(yàn)的情況相似。（3）分析多重共線性的程度

四解決多重共線性的方法

思路：加入額外信息。具體方法有以下幾種：增加數(shù)據(jù)對(duì)模型施加某些約束條件刪除一個(gè)或幾個(gè)共線變量將模型適當(dāng)變形1．增加數(shù)據(jù)多重共線性實(shí)質(zhì)上是數(shù)據(jù)問題，因此，增加數(shù)據(jù)就有可能消除或減緩多重共線性，具體方法包括增加觀測(cè)值、利用不同的數(shù)據(jù)集或采用新的樣本。四解決多重共線性的方法1．增加數(shù)據(jù)例：需求函數(shù)Yt=β1+β2Xt+β3Pt+ut

在時(shí)間序列數(shù)據(jù)中，收入（X）和價(jià)格（P）往往是高度相關(guān)的，用時(shí)間序列數(shù)據(jù)估計(jì)往往會(huì)產(chǎn)生多重共線性。然而，在橫截面數(shù)據(jù)中，則不存在這個(gè)問題，因?yàn)槟硞€(gè)特定時(shí)點(diǎn)P為常數(shù)。如果取一橫截面樣本（如從5000個(gè)家庭取得的數(shù)據(jù)），則可用來估計(jì)

Yi=α1+α2Xi+ui

然后將得到的估計(jì)值作為一個(gè)約束條件（β2=

）施加于時(shí)間序列數(shù)據(jù)的回歸計(jì)算中，即估計(jì)

Yt

-Xt=β1+β3Pt+ut

，得到，。例：需求函數(shù)Yt=β1+β2Xt+β3Pt+ut2．對(duì)模型施加某些約束條件

在存在多重共線性的模型中，依據(jù)經(jīng)濟(jì)理論施加某些約束條件，將減小系數(shù)估計(jì)量的方差，如在Cobb—Douglas生產(chǎn)函數(shù)中加進(jìn)規(guī)模效益不變的約束，可解決資本和勞動(dòng)的高度相關(guān)而引起的多重共線性問題。

3．刪除一個(gè)或幾個(gè)共線變量

這樣做，實(shí)際上就是利用給定數(shù)據(jù)估計(jì)較少的參數(shù)，從而降低對(duì)觀測(cè)信息的需求，以解決多重共線性問題。刪除哪些變量，可根據(jù)假設(shè)檢驗(yàn)的結(jié)果確定。應(yīng)注意的是，這種做法可能會(huì)使得到的系數(shù)估計(jì)量產(chǎn)生偏倚，因而需要權(quán)衡利弊。

2．對(duì)模型施加某些約束條件4．將模型適當(dāng)變形例1．某商品的需求函數(shù)為：其中：Q=需求量，X=收入，

P=該商品的價(jià)格，P*=替代商品的價(jià)格在實(shí)際數(shù)據(jù)中，P和P*往往呈同方向變動(dòng)，它們之間高度相關(guān)，模型存在多重共線性。如果我們僅要求在知道兩種商品的相對(duì)價(jià)格變動(dòng)時(shí)，對(duì)需求量進(jìn)行預(yù)測(cè)，則可將需求函數(shù)變?yōu)椋?/p>

就可以解決多重共線性問題。4．將模型適當(dāng)變形例2．有滯后變量的情形

Yt=β1+β2Xt+β3Xt-1+ut

一般而言，Xt和Xt–1往往高度相關(guān)，將模型變換為：

Yt=β1+β2（Xt

-Xt–1）+β3′Xt-1+ut

其中β3′=β3+β2

經(jīng)驗(yàn)表明：△Xt和Xt–1的相關(guān)程度要遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于和Xt和Xt–1的相關(guān)程度，因而這種變換有可能消除或減緩多重共線性。例2．有滯后變量的情形5．主成分法可將共線變量組合在一起形成一個(gè)綜合指數(shù)(變量)，用它來代表這組變量。構(gòu)造綜合指數(shù)的最常用方法是主成分法。主成分法的計(jì)算相當(dāng)復(fù)雜，這里不做介紹。

主成分的特點(diǎn)是，各主成分之間互不相關(guān)，并且，用很少幾個(gè)主成分就可以解釋全部X變量的絕大部分方差，因而在出現(xiàn)多重共線性時(shí)，可以用主成分替代原有解釋變量進(jìn)行回歸計(jì)算，然后再將所得到的系數(shù)還原成原模型中的參數(shù)估計(jì)值。5．主成分法主成分的特點(diǎn)是，各主成分之間互不相關(guān)五.處理多重共線性問題的原則1.多重共線性是普遍存在的，輕微的多重共線性問題可不采取措施。3.如果模型僅用于預(yù)測(cè)，則只要擬合好，可不處理多重共線性問題，存在多重共線性的模型用于預(yù)測(cè)時(shí)，往往不影響預(yù)測(cè)結(jié)果。2.嚴(yán)重的多重共線性問題，一般可根據(jù)經(jīng)驗(yàn)或通過分析回歸結(jié)果發(fā)現(xiàn)。如影響系數(shù)的符號(hào)，重要的解釋變量t值很低。要根據(jù)不同情況采取必要措施。五.處理多重共線性問題的原則3.如果模型僅用于預(yù)測(cè)，（1）E(ut)=0,t=1,2,…,n.擾動(dòng)項(xiàng)均值為0

（2）Cov(ui,uj)=E(uiuj)=0,i≠j.擾動(dòng)項(xiàng)相互獨(dú)立（3）Var(ut)=E(ut2)=2

,t=1,2,…,n.常數(shù)方差（4）ut

～N(0,2).正態(tài)性

對(duì)于（1），我們可論證其合理性。而第（4）條，也沒有多大問題。大樣本即可假定擾動(dòng)項(xiàng)服從正態(tài)分布。而對(duì)于（2），（3）兩條，則無法論證其合理性。實(shí)際問題中，這兩條不成立的情況比比皆是。下面將討論它們不成立的情況，即異方差性和自相關(guān)的情形。第三節(jié)異方差性

回顧我們應(yīng)用OLS法所需假設(shè)條件，其中大部分是有關(guān)擾動(dòng)項(xiàng)的統(tǒng)計(jì)假設(shè)，它們是：（1）E(ut)=0,t=1,2,…,n.一異方差性及其后果1． 定義若Var(ut)==常數(shù)的假設(shè)不成立，即

Var(ut)=≠常數(shù)，則稱擾動(dòng)項(xiàng)具有異方差性。2． 什么情況下可能發(fā)生異方差性問題？解釋變量取值變動(dòng)幅度大時(shí)，常數(shù)方差的假設(shè)往往難以成立。異方差性主要發(fā)生在橫截面數(shù)據(jù)的情況，時(shí)間序列問題中一般不會(huì)發(fā)生，除非時(shí)間跨度過大。一異方差性及其后果2． 什么情況下可能發(fā)生異方差性問題？例：Yi=α+βXi+ui

其中：Y=指定規(guī)模和組成的家庭每月消費(fèi)支出

X=這樣的家庭的每月可支配收入設(shè)X的N個(gè)觀測(cè)值取自一個(gè)家庭可支配收入的橫截面樣本。某些家庭接近于勉強(qiáng)維持生存的水平，另一些家庭則有很高的收入。

不難設(shè)想，低收入家庭的消費(fèi)支出不大可能離開他們的均值E(Y)過遠(yuǎn)，太高無法支持，太低則消費(fèi)將處于維持生存的水平之下。因此，低收入家庭消費(fèi)支出額的波動(dòng)應(yīng)當(dāng)較小，因而擾動(dòng)項(xiàng)具有較小的方差。而高收入家庭則沒有這種限制，其擾動(dòng)項(xiàng)可能有大得多的方差。這就意味著異方差性。例：Yi=α+βXi+ui不難設(shè)想，低收入家庭的

3．異方差性的后果（1）參數(shù)估計(jì)量不再具有最小方差的性質(zhì)異方差性不破壞OLS估計(jì)量的無偏性，但不再是有效的。事實(shí)上，異方差性的存在導(dǎo)致OLS估計(jì)量既不是有效的，也不具有漸近有效性。這有兩層含義。首先，小樣本性質(zhì)—BLUE的喪失意味著存在著另外的線性無偏估計(jì)量，其抽樣方差小于OLS估計(jì)量的方差。其次，漸近有效性這一大樣本性質(zhì)的喪失，意味著存在著另外的一致估計(jì)量，其抽樣分布當(dāng)樣本容量增大時(shí)，向被估計(jì)的回歸參數(shù)收縮的速度要比OLS估計(jì)量快。

3．異方差性的后果（2）系數(shù)的顯著性檢驗(yàn)更為嚴(yán)重的是，在異方差性的情況下，矩陣主對(duì)角元素不再是OLS估計(jì)量方差的無偏估計(jì)量，從而導(dǎo)致系數(shù)的置信區(qū)間和假設(shè)檢驗(yàn)結(jié)果不可信賴。例如在雙變量模型中，如果傾向于低估的真實(shí)方差，則置信區(qū)間可能要比實(shí)際的窄，給我們一個(gè)錯(cuò)誤信息，好象得到的點(diǎn)預(yù)測(cè)值很精確。同樣，在異方差性的情況下，假設(shè)檢驗(yàn)也會(huì)以錯(cuò)誤的結(jié)果將我們帶入歧途。例如，被檢驗(yàn)的系數(shù)實(shí)際上不是統(tǒng)計(jì)上顯著的，而由于矩陣的主對(duì)角元素低估了OLS估計(jì)量的相應(yīng)方差，檢驗(yàn)結(jié)果卻表明其顯著。（2）系數(shù)的顯著性檢驗(yàn)二異方差性的檢驗(yàn)

異方差性后果的嚴(yán)重性意味著我們?cè)趯?shí)踐中必須了解是否存在異方差性。

常用的檢驗(yàn)方法有：

斯皮爾曼等級(jí)相關(guān)檢驗(yàn)法(SpearmanRankRelationtest)

戈德弗爾德—匡特檢驗(yàn)法(GoldfeldQuandttest)

格里瑟檢驗(yàn)法（Glesjertest）帕克檢驗(yàn)法（Parktest）懷特檢驗(yàn)法(White’sGeneralHeteroscedasticitytest)

布魯奇－帕根檢驗(yàn)法(Breusch-PaganTest)二異方差性的檢驗(yàn)1.戈德弗爾德——匡特檢驗(yàn)法基本思路：假定隨Yt的數(shù)值大小變動(dòng)。檢驗(yàn)步驟：（1）將數(shù)據(jù)分為三組：小Yt值組，中Yt值組，大Yt值組（數(shù)據(jù)項(xiàng)大致相等）（2）對(duì)小Yt值組估計(jì)模型，給出

（3）對(duì)大Yt值組估計(jì)模型，給出

1.戈德弗爾德——匡特檢驗(yàn)法

（4）H0：

H1：（或）

檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為F0=

～F（n3-k-1,n1-k-1）若F0＞Fc，則拒絕H0，存在異方差性。

（4）H0：例5：S=α+βY+u其中：S=儲(chǔ)蓄Y=收入設(shè)1951—60年，=0.016251970—79年，

=0.9725F0=0.9725/0.01625=59.9

查表得:d.f.為（8，8）時(shí)，5%Fc=3.44∵F0＞Fc因而拒絕H0。結(jié)論：存在異方差性。例5：S=α+βY+u其中：S=儲(chǔ)蓄Y=收入2.懷特檢驗(yàn)法(White’sGeneralHeteroscedasticityTest)

懷特提出的檢驗(yàn)異方差性的方法在實(shí)踐中用起來很方便，下面用一個(gè)三變量線性模型扼要說明其檢驗(yàn)步驟。設(shè)模型如下：White檢驗(yàn)步驟如下：（1）用OLS法估計(jì)（1）式，得到殘差ei；（2）進(jìn)行如下輔助回歸即殘差平方對(duì)所有原始變量、變量平方以及變量交叉積回歸，得到R2值；2.懷特檢驗(yàn)法(White’sGeneralHeter（3）進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)原假設(shè)H0：不存在異方差性（即方程（2）全部斜率系數(shù)均為零）

備擇假設(shè)H1：存在異方差性(即H0不成立)

懷特證明了下面的命題：在原假設(shè)H0成立的情況下，從（2）式得到的R2值與觀測(cè)值數(shù)目（n）的乘積（n×R2）服從自由度為k的2分布，自由度k為(2)式中解釋變量的個(gè)數(shù)。即

n·R2

~

2(k)

因此，懷特檢驗(yàn)的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量就是n·R2

，其抽樣分布為自由度為k的2分布。檢驗(yàn)步驟類似于t檢驗(yàn)和F檢驗(yàn)。（3）進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)3．布魯奇-帕根檢驗(yàn)法

設(shè)模型滿足擾動(dòng)項(xiàng)均值為0的假設(shè)，因而OLS估計(jì)量無偏且一致。檢驗(yàn)該模型是否存在異方差性的原假設(shè)為：3．布魯奇-帕根檢驗(yàn)法滿足擾動(dòng)項(xiàng)均值為0的假設(shè)，因而OLS估檢驗(yàn)的思路是將對(duì)異方差性的檢驗(yàn)轉(zhuǎn)換為對(duì)是否與一個(gè)或多個(gè)解釋變量相關(guān)的檢驗(yàn)。如果不成立，則的期望值可以表示為各解釋變量的函數(shù)，簡(jiǎn)單的方法是假定線性函數(shù)：其中v是均值為0的誤差項(xiàng)。這里的因變量是原回歸方程（5.15）中誤差項(xiàng)的平方。同方差性的原假設(shè)（5.16）轉(zhuǎn)換為：檢驗(yàn)的思路是將對(duì)異方差性的檢驗(yàn)轉(zhuǎn)換為對(duì)是否與一個(gè)或多個(gè)解釋要檢驗(yàn)此假設(shè)，可用我們?cè)诘谒恼轮薪榻B的檢驗(yàn)全部斜率系數(shù)為0的F檢驗(yàn)，唯一的問題是作為因變量的無法觀測(cè)，可以用原模型（5.15）回歸得到的OLS殘差平方代替之，要估計(jì)的方程變?yōu)椋合鄳?yīng)的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為要檢驗(yàn)此假設(shè)，可用我們?cè)诘谒恼轮薪榻B的檢驗(yàn)全部斜率系其中是（5.19）式回歸得到的決定系數(shù)，以區(qū)別于原方程（5.15）回歸的決定系數(shù)。我們也可以計(jì)算LM檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量來檢驗(yàn)原假設(shè)（5.18):此檢驗(yàn)通常稱為布魯奇-帕根異方差性檢驗(yàn)（BP檢驗(yàn)）。其中是（5.19）式回歸得到的決定系數(shù)，以區(qū)別于原下面總結(jié)一下BP檢驗(yàn)的步驟：（1）用OLS法估計(jì)模型（5.15），得到OLS殘差序列，計(jì)算序列；（2）對(duì)方程（5.19）執(zhí)行OLS回歸，保存該回歸的值；（3）計(jì)算F或LM統(tǒng)計(jì)值，若大于臨界值，則拒絕原假設(shè)，判斷存在異方差性。下面總結(jié)一下BP檢驗(yàn)的步驟：三廣義最小二乘法1．消除異方差性的思路基本思路：變換原模型，使經(jīng)過變換后的模型具有同方差性，然后再用OLS法進(jìn)行估計(jì)。對(duì)于模型

Yt=β0+β1X1t+…+βkXkt+ut

（1）若擾動(dòng)項(xiàng)滿足E(ut)=0，E(uiuj)=0,i≠j，但E(ut2)=σt2≠常數(shù).

也就是說，該模型只有同方差性這一條件不滿足，則只要能將具有異方差性的擾動(dòng)項(xiàng)的方差表示成如下形式：

三廣義最小二乘法

由于所以變換后模型的擾動(dòng)項(xiàng)的方差為常數(shù)，可以應(yīng)用OLS法進(jìn)行估計(jì)，得到的參數(shù)估計(jì)量為BLUE。但這里得到的OLS估計(jì)量是變模后模型（2）的OLS估計(jì)量。對(duì)于原模型而言，它已不是OLS估計(jì)量，稱為廣義最小二乘估計(jì)量（GLS估計(jì)量）。

其中為一未知常數(shù)，表示一組已知數(shù)值，則用λt去除模型各項(xiàng)，得變換模型:其中為一未知常數(shù)，表示一組已知數(shù)值，則用2． 廣義最小二乘法(Generalizedleastsquares)

下面用矩陣形式的模型來推導(dǎo)出GLS估計(jì)量的一般計(jì)算公式。設(shè)GLS模型為（1）滿足E(u）=0，E(uu′)=2Ω，X

非隨機(jī)，

X的秩=K+1＜n,其中Ω為正定矩陣。

2． 廣義最小二乘法(Generalizedleasts

根據(jù)矩陣代數(shù)知識(shí)可知，對(duì)于任一正定矩陣Ω，存在著一個(gè)滿秩（非退化，非奇異）矩陣P，使得用P-1左乘原模型（1）（對(duì)原模型進(jìn)行變換）：令Y*=P-1Y，X*=P-1X，u*=P-1u，得到

Y*=X*β+u*

（2）

下面的問題是，模型（2）的擾動(dòng)項(xiàng)u*是否滿足OLS法的基本假設(shè)條件。根據(jù)矩陣代數(shù)知識(shí)可知，對(duì)于任一正定矩陣Ω，存在著一個(gè)滿秩我們有我們有這表明，模型（2）中的擾動(dòng)項(xiàng)u*滿足OLS法的基本假設(shè)，可直接用OLS估計(jì)，估計(jì)量向量這就是廣義最小二乘估計(jì)量（GLS估計(jì)量）的公式，該估計(jì)量是BLUE。從上述證明過程可知，我們可將GLS法應(yīng)用于Ω為任意正定矩陣的情形。這表明，模型（2）中的擾動(dòng)項(xiàng)u*滿足OLS法的基本假設(shè)，可直如果只存在異方差性，則其中我們顯然有如果只存在異方差性，則其中我們顯然有初計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)之模型的建立與估計(jì)中的問題及對(duì)策課件四、解決異方差問題的方法1.可行廣義最小二乘法（FGLS法）廣義最小二乘法從理論上解決了擾動(dòng)項(xiàng)存在異方差性的情況下模型的估計(jì)問題，但在實(shí)踐中是否可行呢?從GLS估計(jì)量的公式可知，要計(jì)算GLS估計(jì)值，我們必須知道矩陣。而實(shí)際問題中矩陣極少為已知。因此，在實(shí)踐中直接應(yīng)用GLS法基本上不可行。四、解決異方差問題的方法

但在很多情況下，我們可以根據(jù)實(shí)際問題提供的信息估計(jì)矩陣，再應(yīng)用GLS法，這種方法稱為可行廣義最小二乘法（FeasibleGeneralizedLeastSquares,FGLS）。例如在僅存在異方差性的情況下，如果在實(shí)際問題中，研究人員確信可以準(zhǔn)確估計(jì)異方差性的結(jié)構(gòu)，如擾動(dòng)項(xiàng)方差與某個(gè)解釋變量成正比，就可以采用FGLS法。由于FGLS法的核心是估計(jì)矩陣，因此亦稱為估計(jì)的廣義最小二乘法（EstimatedGeneralizedLeastSquares,EGLS）。但在很多情況下，我們可以根據(jù)實(shí)際問題提供的信息估計(jì)FGLS法的第一步是確定異方差性的具體形式，也就是找出決定擾動(dòng)項(xiàng)方差與某組已知數(shù)值之間關(guān)系的函數(shù)形式，然后用這個(gè)關(guān)系得到每個(gè)擾動(dòng)項(xiàng)方差的估計(jì)值，從而得到矩陣的估計(jì)值，最后計(jì)算FGLS估計(jì)量：FGLS法的第一步是確定異方差性的具體形式，也就是找出例1Yt=β1+β2Xt+utt=1,2,…,n.其中Y=家庭消費(fèi)支出X=家庭可支配收入我們?cè)谇懊嬉逊治鲞^，高收入家庭有較大的擾動(dòng)項(xiàng)方差，因此不妨假定擾動(dòng)項(xiàng)方差與可支配收入成正比，即Var(ut)=δXt,t=1,2,…,n.

式中δ是一未知常數(shù)，由于Xt為已知，相當(dāng)于，而δ相當(dāng)于，因此

應(yīng)用GLS法，即可得出β的FGLS估計(jì)量。例1Yt=β1+β2Xt+utt=1,2,…

在上例中我們假設(shè)擾動(dòng)項(xiàng)方差與解釋變量的取值成正比，這種假設(shè)是否真正合理呢？根據(jù)經(jīng)驗(yàn)和分析做出的這種假設(shè)，雖然有一定道理，但未免顯得過于武斷，這方面還可做一些比較細(xì)致的工作。

Glesjer檢驗(yàn)法不僅可檢驗(yàn)異方差性的存在，還可用于提供有關(guān)異方差形式的進(jìn)一步信息，對(duì)于確定Ω矩陣很有用，下面我們扼要說明格里瑟檢驗(yàn)法的思路和步驟。

初計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)之模型的建立與估計(jì)中的問題及對(duì)策課件格里瑟檢驗(yàn)法的思路格里瑟檢驗(yàn)法的思路是假定擾動(dòng)項(xiàng)方差與解釋變量之間存在冪次關(guān)系，方法是用對(duì)被認(rèn)為與擾動(dòng)項(xiàng)方差有關(guān)的解釋變量回歸，確定和該解釋變量的關(guān)系。由于與該解釋變量之間關(guān)系的實(shí)際形式是未知的，因此需要用該解釋變量的不同冪次進(jìn)行試驗(yàn)，選擇出最佳擬合形式。具體步驟如下：格里瑟檢驗(yàn)法的思路

(1)因變量Y對(duì)所有解釋變量回歸，計(jì)算殘差et

（t=1,2,…,n）（2）對(duì)所選擇解釋變量的各種冪次形式回歸，如然后利用決定系數(shù)，選擇擬合最佳的函數(shù)形式。（3）對(duì)β1進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)，若顯著異于0，則表明存在異方差性，否則再試其它形式。(1)因變量Y對(duì)所有解釋變量回歸，計(jì)算殘差et

例2Yt=β1+β2X1t+…+βkXkt+ut

假設(shè)我們根據(jù)經(jīng)驗(yàn)知道擾動(dòng)項(xiàng)方差與Xjt有關(guān)，并用格里瑟法試驗(yàn)，得出：

則

在大多數(shù)應(yīng)用中，由于通過矩陣運(yùn)算計(jì)算相對(duì)復(fù)雜，因而對(duì)于僅存在異方差性的問題，通常采用另一種等價(jià)的方法－加權(quán)最小二乘法（WLS）。例2Yt=β1+β2X1t+…+βkXk加權(quán)最小二乘法對(duì)于僅存在異方差性的問題，其Ω矩陣是一個(gè)對(duì)角矩陣，即在這種情況下應(yīng)用廣義最小二乘法，也就是在原模型兩端左乘矩陣變換原模型，再對(duì)變換后的模型應(yīng)用普通最小二乘法進(jìn)行估計(jì)。加權(quán)最小二乘法變換原模型，再對(duì)變換后的模型應(yīng)用普通最小二乘法這種作法實(shí)際上等價(jià)于在代數(shù)形式的原模型

Yt=β0+β1X1t+…+βkXkt+ut

的兩端除以

t，得變換模型：相當(dāng)于在回歸中給因變量和解釋變量的每個(gè)觀測(cè)值都賦予一個(gè)與相應(yīng)擾動(dòng)項(xiàng)的方差相聯(lián)系的權(quán)數(shù)，然后再對(duì)這些變換后的數(shù)據(jù)進(jìn)行OLS回歸，因而被稱為加權(quán)最小二乘法（WLS法,WeightedLeastSquares）。這種作法實(shí)際上等價(jià)于在代數(shù)形式的原模型相當(dāng)于在回歸中給因變量

加權(quán)最小二乘法是FGLS法的一個(gè)特例，在矩陣為對(duì)角矩陣這種特殊情形下，我們既可以直接應(yīng)用矩陣形式的可行廣義最小二乘估計(jì)量公式得到FGLS估計(jì)值，亦可避開矩陣運(yùn)算，采用加權(quán)最小二乘法得到其WLS估計(jì)值，兩者結(jié)果完全相同，無論你稱之為FGLS估計(jì)值還是WLS估計(jì)值，二者是一碼事。例:

其中：Y=R&D支出，X=銷售額采用美國1988年18個(gè)行業(yè)的數(shù)據(jù)估計(jì)上述方程，結(jié)果如下（括號(hào)中數(shù)字為t值）：加權(quán)最小二乘法是FGLS法的一個(gè)特例，在矩

這里是橫截面數(shù)據(jù)，由于行業(yè)之間的差別，可能存在異方差性。

假設(shè)

應(yīng)用格里瑟法試驗(yàn)，得到異方差性形式為：將原模型（1）的兩端除以，得假設(shè)應(yīng)用格里瑟法試驗(yàn)，得到異方差性形式為：將原模型（

用OLS法估計(jì)（2）式，結(jié)果如下（括號(hào)中數(shù)字為t值）：

與（1）式的結(jié)果比較，兩個(gè)方程斜率系數(shù)的估計(jì)值相差不大，但采用WLS法估計(jì)的比直接用OLS法估計(jì)的系數(shù)更為顯著。初計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)之模型的建立與估計(jì)中的問題及對(duì)策課件2.仍采用OLS法估計(jì)系數(shù)，但采用OLS估計(jì)量標(biāo)準(zhǔn)誤差的異方差性一致估計(jì)值代替其OLS估計(jì)值懷特（H.White）在1980年提出的產(chǎn)生OLS估計(jì)量的異方差性一致標(biāo)準(zhǔn)誤差的方法，為解決異方差性問題提供了另一種途徑。懷特的貢獻(xiàn)是解決了異方差性造成系數(shù)的置信區(qū)間和假設(shè)檢驗(yàn)結(jié)果不可信賴的問題，該后果是由于方差的OLS估計(jì)量不再是無偏估計(jì)量而造成的。2.仍采用OLS法估計(jì)系數(shù)，但采用OLS估計(jì)量標(biāo)準(zhǔn)誤差的

我們用簡(jiǎn)單線性回歸模型對(duì)懷特方法作一說明。在異方差的情況下，的方差是可以證明，將涉及所有的，而不是一個(gè)共同的。這意味著回歸軟件包所報(bào)告的作為的方差估計(jì)值有兩個(gè)錯(cuò)誤。第一，它用的不是方差的正確公式（5.25）；第二，它用估計(jì)一個(gè)共同的，而事實(shí)上諸是不同的。我們用簡(jiǎn)單線性回歸模型對(duì)懷特方法作一說明。在異方差的懷特的方法是在（5.25）式中用取代，這里是第i個(gè)OLS殘差，即請(qǐng)注意，我們并不能用得到的一致估計(jì)量，因?yàn)樵谶@種情況下，每個(gè)要估計(jì)的參數(shù)僅有一個(gè)觀測(cè)值，當(dāng)樣本增大時(shí)，未知的的數(shù)目也在同步增加。懷特得到的是的一致估計(jì)量，它是的加權(quán)平均。同樣的分析適用于多元回歸OLS估計(jì)量的情況，在這種情況下，用懷特方法得到的第K個(gè)OLS回歸系數(shù)的方差的異方差性一致估計(jì)值由下式給出：懷特的方法是在（5.25）式中用取代，這其中是從對(duì)方程中所有其它解釋變量回歸得到的OLS殘差的平方，為原多元回歸模型的第i個(gè)OLS殘差。很多回歸軟件包提供諸方差的懷特異方差性一致估計(jì)值以及對(duì)應(yīng)的穩(wěn)健t統(tǒng)計(jì)值（robustt-statistics）。例如，使用EViews，先點(diǎn)擊Quick，選擇EstimateEquation，再擊Options，從下拉菜單中選其中的一個(gè)選項(xiàng)White，即可得到諸方差的異方差性一致估計(jì)值。

初計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)之模型的建立與估計(jì)中的問題及對(duì)策課件通過使用諸方差的懷特異方差性一致估計(jì)值代替其OLS估計(jì)值，我們解決了異方差性造成系數(shù)的置信區(qū)間和假設(shè)檢驗(yàn)結(jié)果不可信賴的問題，從而也就解決了在異方差性存在的情況下能否使用OLS法估計(jì)方程的問題。結(jié)論是我們?nèi)钥捎肙LS法估計(jì)方程的系數(shù)，因?yàn)楸M管存在異方差性，系數(shù)的OLS估計(jì)量畢竟還是無偏和一致估計(jì)量，應(yīng)該說還是具有良好性質(zhì)的估計(jì)量。只不過方差-協(xié)方差矩陣不能再用OLS法估計(jì)，而要采用懷特之類的方法，得到一致估計(jì)量，如懷特的異方差性一致估計(jì)量。通過使用諸方差的懷特異方差性一致估計(jì)值代替其OLS估

這類估計(jì)量的性質(zhì)不是“最好”，但它們對(duì)于某些假設(shè)條件（在這里是同方差性）的違背不敏感，這類的估計(jì)量稱為穩(wěn)健估計(jì)量（robustestimators）。與我們前面介紹的FGLS法相比，本段介紹的解決異方差性的方法的優(yōu)越之處在于，不需要知道異方差性的具體形式。因此，在異方差性的基本結(jié)構(gòu)未知的情況下，建議仍采用OLS法估計(jì)系數(shù)，而采用其方差的穩(wěn)健估計(jì)量，如懷特的異方差性一致估計(jì)量。這類估計(jì)量的性質(zhì)不是“最好”，但它們對(duì)于某些假設(shè)五、實(shí)例

表5-4給出世界31個(gè)國家2008年居民人均消費(fèi)支出和人均國民總收入的數(shù)據(jù)（以2000價(jià)格計(jì)算）。使用表5-4中的數(shù)據(jù)回歸如下方程：OLS回歸結(jié)果如下（括號(hào)中數(shù)字為標(biāo)準(zhǔn)誤差）：

由于是各國的橫截面數(shù)據(jù)，有可能存在異方差性，我們用本節(jié)介紹的幾種方法檢驗(yàn)之。五、實(shí)例1．格里瑟法檢驗(yàn)我們用上面的OLS回歸得到的殘差的絕對(duì)值對(duì)解釋變量的不同冪次回歸，得到下列結(jié)果（括號(hào)中數(shù)字為t值）：1．格里瑟法檢驗(yàn)不難看出，這些回歸中大部分的斜率系數(shù)的t值絕對(duì)值大于2，表明其顯著異于0，因此拒絕同方差性的原假設(shè)。不難看出，這些回歸中大部分的斜率系數(shù)的t值絕對(duì)值大于2，表明2．戈德弗爾德－匡特檢驗(yàn)

我們對(duì)因變量C的觀測(cè)值進(jìn)行排序后，去掉中間的11個(gè)觀測(cè)值，然后用前10個(gè)和后10個(gè)觀測(cè)值分別進(jìn)行回歸。第一個(gè)回歸得到

第2個(gè)回歸得到

在原假設(shè)H0下，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量2．戈德弗爾德－匡特檢驗(yàn)分子分母的自由度均為10-2=8，查F表，5%顯著性水平下的臨界值

，，由于F=86.44>3.44，故拒絕原假設(shè)，表明存在異方差性。

3．懷特檢驗(yàn)在本例中，該檢驗(yàn)基于

，對(duì)Y、Y2

回歸，其EViews結(jié)果如表5-5所示：分子分母的自由度均為10-2=8，查F表，5%顯著性水平下的表5-5懷特檢驗(yàn)結(jié)果表5-5懷特檢驗(yàn)結(jié)果由表中第二行看出，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為

服從自由度為2的

分布，對(duì)應(yīng)的P值為0.047，在5％顯著性水平上拒絕同方差性的原假設(shè)。

4．布魯奇－帕根檢驗(yàn)在本例中，該檢驗(yàn)基于

對(duì)Y回歸，其EViews結(jié)果如表5-6所示：由表中第二行看出，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為表5-6布魯奇－帕根檢驗(yàn)結(jié)果表5-6布魯奇－帕根檢驗(yàn)結(jié)果由輸出結(jié)果可知，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為服從自由度為1的分布，對(duì)應(yīng)的P值為0.024，在5％顯著性水平上拒絕同方差性的原假設(shè)。由上面的檢驗(yàn)結(jié)果可知，所有檢驗(yàn)結(jié)果都拒絕同方差性的原假設(shè)，因而表明模型存在異方差性。由輸出結(jié)果可知，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為5．懷特異方差性一致標(biāo)準(zhǔn)誤差估計(jì)值

由于異方差性的存在，我們采用OLS法估計(jì)方程，得到的方差估計(jì)值不再是無偏的，從而導(dǎo)致系數(shù)的置信區(qū)間和假設(shè)檢驗(yàn)結(jié)果不可信賴。為解決這個(gè)問題，我們采用懷特異方差性一致標(biāo)準(zhǔn)誤差估計(jì)值代替之。應(yīng)用EViews，得到如下結(jié)果：

5．懷特異方差性一致標(biāo)準(zhǔn)誤差估計(jì)值表5-7White異方差性一致標(biāo)準(zhǔn)誤差表5-7White異方差性一致標(biāo)準(zhǔn)誤差據(jù)此寫出方程的回歸結(jié)果如下：不難看出，解釋變量的異方差性一致標(biāo)準(zhǔn)誤差大于用OLS法估計(jì)的標(biāo)準(zhǔn)誤差，但這并不是必然的，對(duì)于其它數(shù)據(jù)集來說，未必如此。據(jù)此寫出方程的回歸結(jié)果如下：6．加權(quán)最小二乘法在前面格里瑟法試驗(yàn)方程中，第一個(gè)方程的

最高，故模型異方差形式為

將原模型兩端除以Yi

，回歸結(jié)果如下（括號(hào)中數(shù)字為標(biāo)準(zhǔn)誤差）：對(duì)上述回歸結(jié)果進(jìn)行懷特檢驗(yàn)，得到檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)值nR2=0.958，對(duì)應(yīng)的P值為0.620，故接受同方差性的原假設(shè)，說明模型已消除異方差性。6．加權(quán)最小二乘法對(duì)上述回歸結(jié)果進(jìn)行懷特檢驗(yàn)，得到檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)第四節(jié)自相關(guān)一定義

若Cov(ui,uj)=E(uiuj)=0,i≠j不成立，即線性回歸模型擾動(dòng)項(xiàng)的方差—協(xié)方差矩陣的非主對(duì)角線元素不全為0，則稱為擾動(dòng)項(xiàng)自相關(guān)，或序列相關(guān)（SerialCorrelation）。二自相關(guān)的原因及后果1．原因自相關(guān)主要發(fā)生在時(shí)間序列數(shù)據(jù)的情形，因而亦稱為序列相關(guān)，主要有以下兩種原因：第四節(jié)自相關(guān)二自相關(guān)的原因及后果（1）沖擊的延期影響（慣性）在時(shí)間序列數(shù)據(jù)的情況下，隨機(jī)沖擊（擾動(dòng)）的影響往往持續(xù)不止一個(gè)時(shí)期。例如，地震、洪水、罷工或戰(zhàn)爭(zhēng)等將在發(fā)生期的后續(xù)若干期中影響經(jīng)濟(jì)運(yùn)行。微觀經(jīng)濟(jì)中也與此類似，如一個(gè)工廠的產(chǎn)量，由于某種外部偶然因素的影響（如某種原材料的供應(yīng)出了問題），該廠某周產(chǎn)量低于正常水平，那么，隨后的一周或幾周中，由于這種影響的存在或延續(xù)，產(chǎn)量也很可能低于正常水平（即擾動(dòng)項(xiàng)為負(fù)）。不難看出，觀測(cè)的周期越長，這種延期影響的嚴(yán)重性就越小，因此，年度數(shù)據(jù)比起季度數(shù)據(jù)來，序列相關(guān)成為一個(gè)問題可能性要小。（1）沖擊的延期影響（慣性）

（2）誤設(shè)定如果忽略了一個(gè)有關(guān)的解釋變量，而該變量是自相關(guān)的，則將使擾動(dòng)項(xiàng)自相關(guān)，不正確的函數(shù)形式也將導(dǎo)致同樣后果。在這些情況下，解決的方法是糾正誤設(shè)定。本章后面將介紹的糾正自相關(guān)的方法都不適用于這種情況的自相關(guān)。

2．后果

自相關(guān)的后果與異方差性類似。（1）在擾動(dòng)項(xiàng)自相關(guān)的情況下，盡管OLS估計(jì)量仍為無偏估計(jì)量，但不再具有最小方差的性質(zhì),

即不是BLUE。（2）OLS估計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn)誤差不再是真實(shí)標(biāo)準(zhǔn)誤差的無偏估計(jì)量，使得在自相關(guān)的情況下，無法再信賴回歸參數(shù)的置信區(qū)間或假設(shè)檢驗(yàn)的結(jié)果。2．后果三自相關(guān)的檢驗(yàn)1．檢驗(yàn)一階自相關(guān)的德賓—沃森檢驗(yàn)法（Durbin—Watsontest）（1）一階自相關(guān)自相關(guān)的最簡(jiǎn)單模式為：

其中ρ稱為自相關(guān)系數(shù)（-1≤ρ≤1），這種擾動(dòng)項(xiàng)的自相關(guān)稱為一階自相關(guān)，即擾動(dòng)項(xiàng)僅與其前一期的值有關(guān)。

ρ>0正自相關(guān)

ρ<0負(fù)自相關(guān)

ρ=0無自相關(guān)三自相關(guān)的檢驗(yàn)

在一階自相關(guān)模式中，假定εt具有以下性質(zhì)：

E(εt)=0,E(εt2)=σ2=常數(shù)，

E(εiεj)=0,i≠j,εt服從正態(tài)分布。在計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)中，具備上述性質(zhì)的量稱為白噪聲（Whitenoise），表示為

εt=Whitenoise

或

εt=白噪聲在一階自相關(guān)模式中，假定εt具有以下性質(zhì)：（2）德賓—沃森檢驗(yàn)法(Durbin－Watsondtest)

統(tǒng)計(jì)軟件包和研究報(bào)告在提供回歸結(jié)果時(shí)通常都給出DW（或d）統(tǒng)計(jì)量的值，該統(tǒng)計(jì)量是從OLS回歸的殘差中計(jì)算得來的，它被用于一階自相關(guān)的檢驗(yàn)，計(jì)算公式為：

（2）德賓—沃森檢驗(yàn)法(Durbin－WatsondteDW和一階自相關(guān)系數(shù)ρ的估計(jì)值之間存在以下近似關(guān)系（具體推導(dǎo)過程見書上P135－136)：

由于-1≤ρ≤1，因而0≤DW≤4。不難看出，直觀判斷準(zhǔn)則是，當(dāng)DW統(tǒng)計(jì)量接近2時(shí)，則無自相關(guān)，DW值離2越遠(yuǎn)，則自相關(guān)存在的可能性越大。DW和一階自相關(guān)系數(shù)ρ的估計(jì)值之間存在以下近似關(guān)系DW檢驗(yàn)的缺陷

我們當(dāng)然期望有一張能夠給出相應(yīng)的n、k和α值下各種DW臨界值的表（就象t檢驗(yàn)，F(xiàn)檢驗(yàn)一樣），使得我們可以按常規(guī)假設(shè)檢驗(yàn)?zāi)菢痈鶕?jù)臨界值作出判斷。不幸的是，DW統(tǒng)計(jì)量的分布依賴于解釋變量的具體觀測(cè)值（即依賴于X矩陣）。因此不象t、F檢驗(yàn)?zāi)菢?，有一張能夠給出DW臨界值的表。為解決這一問題，德賓和沃森證明，DW統(tǒng)計(jì)量的真實(shí)分布位于兩個(gè)極限分布之間，這兩個(gè)分布分別稱為下分布和上分布，如下圖所示：DW檢驗(yàn)的缺陷概率密度

下分布上分布

0ABCDDW值

每個(gè)分布的95%臨界水平用A，B，C，D表示。每個(gè)分布的95%臨界水平用A，B，C，D表示。

現(xiàn)假設(shè)DW統(tǒng)計(jì)量的值位于A的左邊，則不管這種情況下的DW統(tǒng)計(jì)量服從何種分布（上，下或中間），無自相關(guān)的原假設(shè)將被拒絕。與此類似，若DW統(tǒng)計(jì)量的值位于D的右邊，則亦可拒絕無自相關(guān)的原假設(shè)。若DW統(tǒng)計(jì)量的值位于B和C之間，則可接受原假設(shè)。而當(dāng)DW統(tǒng)計(jì)量的值位于A和B之間或C和D之間時(shí)，則無法得出結(jié)論。上述分析可以概括為：

DW<A或DW>D存在自相關(guān)

B<DW<C無自相關(guān)

A<DW<B或C<DW<D無結(jié)論區(qū)

現(xiàn)假設(shè)DW統(tǒng)計(jì)量的值位于A的左邊，則不管這種情況

德賓和沃森據(jù)此導(dǎo)出了一個(gè)下界dL和一個(gè)上界du來檢驗(yàn)自相關(guān)，dL和du僅依賴于觀測(cè)值的數(shù)目n、解釋變量k，以及顯著性水平α，而不依賴于解釋變量所取的值。（請(qǐng)參閱DW表）無結(jié)論區(qū)的存在是DW法的最大缺陷。

實(shí)際的檢驗(yàn)程序可用下面的示意圖說明。

正自相關(guān)無結(jié)論區(qū)無自相關(guān)無結(jié)論區(qū)負(fù)自相關(guān)

0dL du 24—du4—dL4初計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)之模型的建立與估計(jì)中的問題及對(duì)策課件檢驗(yàn)程序如下：用OLS法對(duì)原模型進(jìn)行回歸，得殘差et

(t=1,2,…,n)。

(2)計(jì)算DW值（計(jì)算機(jī)程序給出DW值）。

(3)用N，K和α查表得dL，dU。（4）判別

若DW＜dL，存在自相關(guān)若dL＜DW＜dU，無結(jié)論若dU

＜DW，無自相關(guān)若DW>2，則令DW′=4-DW，按上述準(zhǔn)則進(jìn)行判別。若DW＜2檢驗(yàn)程序如下：若DW＜2

例：DW=3.5，則DW′=4-3.5=0.5

查表（n=30,k=2,α=5%）得：

dL=1.28

DW′=0.5

＜1.28

結(jié)論：存在自相關(guān)。

2.布魯奇－戈弗雷檢驗(yàn)法DW檢驗(yàn)法的優(yōu)點(diǎn)是簡(jiǎn)單方便，各類回歸軟件包的回歸輸出中都會(huì)提供DW值，通常為判斷是否存在一階自相關(guān)提供了直觀的依據(jù)?？墒荄W檢驗(yàn)法除了我們上面討論過的存在無結(jié)論區(qū)的缺陷外，還有一些使用范圍上的限制：

（1）只能檢驗(yàn)一階自相關(guān)；

（2）在方程的解釋變量中包括滯后因變量（如Yt-1、Yt-2等）時(shí)，用DW法容易產(chǎn)生偏差；

（3）當(dāng)回歸中無常數(shù)項(xiàng)時(shí)，也不宜采用DW法。

2.布魯奇－戈弗雷檢驗(yàn)法

針對(duì)DW檢驗(yàn)法的上述缺陷和限制，計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)家提出了不少檢驗(yàn)擾動(dòng)項(xiàng)自相關(guān)的方法，其中用得最廣泛的是布魯奇（T.S.Breusch）和戈弗雷（L.G.Godfrey）在20世紀(jì)70年代末期提出的方法，由于該方法源自拉格朗日乘數(shù)原理，因此也被稱為拉格朗日乘數(shù)法（LM法）。

布魯奇和戈弗雷的思路是用原模型的OLS殘差et對(duì)et-1以及原模型中的諸解釋變量進(jìn)行回歸，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量是nR2，它在原假設(shè)（et-1的系數(shù)為0）下的分布是自由度為1的

分布。

針對(duì)DW檢驗(yàn)法的上述缺陷和限制，計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)家提出

布魯奇－戈弗雷檢驗(yàn)法解決了DW法的缺陷和限制，用起來也不復(fù)雜。該方法的優(yōu)勢(shì)在于它不僅可檢驗(yàn)一階自相關(guān)，而且很容易推廣到高階自相關(guān)的檢驗(yàn)?？紤]回歸模型A式中諸X也可以包括滯后因變量。布魯奇－戈弗雷檢驗(yàn)法解決了DW法的缺陷和限制，用起我們要檢驗(yàn)的是：，即擾動(dòng)項(xiàng)不存在任何階數(shù)的自相關(guān)。LM檢驗(yàn)步驟如下：

(1)用OLS法估計(jì)A式，得到最小二乘殘差；

(2)然后估計(jì)下面的方程：計(jì)算常規(guī)R2統(tǒng)計(jì)值.我們要檢驗(yàn)的是：（3）檢驗(yàn)是否所有的系數(shù)都等于0。這里通常不用F檢驗(yàn)而用檢驗(yàn)，因?yàn)長M檢驗(yàn)是大樣本檢驗(yàn)。檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為nR2，該統(tǒng)計(jì)量服從自由度為P的分布，即LM檢驗(yàn)的缺點(diǎn)是，滯后長度P不能先驗(yàn)地確定，需要反復(fù)試，可以考慮用赤池和施瓦茨信息準(zhǔn)則來選擇滯后長度。（3）檢驗(yàn)是否所有的系數(shù)都等于0。這里通常不用四、消除自相關(guān)的方法從自相關(guān)的定義和所造成的后果來看，自相關(guān)與異方差性有很多類似之處。這不是偶然的，它們都涉及擾動(dòng)項(xiàng)的方差-協(xié)方差矩陣等于的假設(shè)條件遭到了破壞。因此可以將它們歸為同一類問題：非球形擾動(dòng)項(xiàng)（Non-sphericaldisturbances）。由于這個(gè)原因，消除自相關(guān)的方法也與異方差性類似，一是采用FGLS法，二是仍用OLS法，但使用方差-協(xié)方差矩陣的穩(wěn)健估計(jì)值。四、消除自相關(guān)的方法1.FGLS法我們?cè)谏弦还?jié)介紹時(shí)提到，F(xiàn)GLS法的核心是估計(jì)矩陣。對(duì)于單純異方差性的情況，只涉及主對(duì)角線元素的估計(jì)，結(jié)合實(shí)際問題提供的有關(guān)異方差性基本結(jié)構(gòu)的信息，就有可能估計(jì)出矩陣。自相關(guān)的情況下，需要估計(jì)的元素要多得多，事實(shí)上，由于