合作博弈討價(jià)還價(jià)問題探討小組成員：崔清德周建棟郭思尼合作博弈討價(jià)還價(jià)問題探討小組成員：1合作博弈一般地，我們將允許存在有約束力協(xié)議的博弈稱為“合作博弈”合作博弈亦稱為正和博弈，是指博弈雙方的利益都有所增加，或者至少是一方的利益增加，而另一方的利益不受損害，因而整個(gè)社會(huì)的利益有所增加的。合作博弈一般地，我們將允許存在有約束力協(xié)議的博弈稱為“合作博2合作博弈與非合作博弈的區(qū)別非合作博弈與合作博弈的根本區(qū)別，是前者不考慮博弈方之間可以運(yùn)用有約束力協(xié)議的情況，而后者則允許這種協(xié)議的存在。合作博弈是研究人們達(dá)成合作時(shí)如何分配合作得到的收益，即收益分配問題。而非合作博弈是研究人們?cè)诶嫦嗷ビ绊懙木謩?shì)中如何選決策使自己的收益最大，即策略選擇問題。非合作博弈排斥有約束力的協(xié)議，就把分析對(duì)象限制在個(gè)體理性基礎(chǔ)上的個(gè)體決策上，個(gè)體理性決策是經(jīng)濟(jì)主體最基本的行為邏輯，個(gè)體理性決策相對(duì)于聯(lián)合理性基礎(chǔ)上的合作行為而言比較簡(jiǎn)單，因而非合作博弈分析不僅有很強(qiáng)的現(xiàn)實(shí)基礎(chǔ)，而且比較容易分析和標(biāo)準(zhǔn)化。合作博弈與非合作博弈的區(qū)別非合作博弈與合作博弈的根本區(qū)別，是3為什么需要合作博弈理論個(gè)體理性并不是人類經(jīng)濟(jì)行為背后的唯一邏輯，其中聯(lián)合理性的集體決策行為也相當(dāng)普遍。非合作博弈理論雖然非常有效，但它無(wú)法分析現(xiàn)實(shí)中普遍存在的聯(lián)合理性行為。合作博弈理論的發(fā)展也是非合作博弈理論本身的要求。非合作博弈分析經(jīng)常會(huì)遇到無(wú)帕累托優(yōu)劣關(guān)系的多重納什均衡問題。

例如兩個(gè)人分100元，作為非合作博弈，兩博弈方策略就是各自所要求的數(shù)額0≤si≤100,雙方的策略組合（s1，s2）滿足s1+s2≤100,他們得益與策略相等，否則得益為0。所有滿足0≤si≤100且s1+s2=100的（s1，s2）都是納什均衡。非合作博弈之所以無(wú)法解決上述問題，就在于忽視了博弈雙方之間可能的聯(lián)合理性行為。如果博弈方可能采用聯(lián)合理性行為，就能發(fā)現(xiàn)通過博弈方的協(xié)調(diào)行為（協(xié)調(diào)方法正是本章要討論的），完全可以解決這個(gè)非合作博弈理論無(wú)法解決的多重納什均衡問題。

為什么需要合作博弈理論個(gè)體理性并不是人類經(jīng)濟(jì)行為背后的唯一邏4合作博弈理論的特征和結(jié)構(gòu)“協(xié)議”產(chǎn)生的本質(zhì)原因博弈方之間既存在共同利益但利益又不完全一致。如果博弈方之間的利益完全對(duì)立或完全一致，就不能產(chǎn)生這樣一個(gè)“協(xié)議”。如果博弈方之間利益完全對(duì)立或完全一致，就沒有協(xié)調(diào)的余地或不需要協(xié)調(diào)。合作博弈理論的特征和結(jié)構(gòu)5“協(xié)議”的內(nèi)容約定行為利益分配關(guān)于利益分配的討價(jià)還價(jià)（bargain），是合作博弈的共同特征?！皡f(xié)議”達(dá)成的前提通過討價(jià)還價(jià)對(duì)利益分割達(dá)成一致不管合作博弈問題來(lái)源于經(jīng)濟(jì)交易，合作還是競(jìng)爭(zhēng)，也不管人數(shù)多少，合作博弈問題本質(zhì)上都是關(guān)于利益分割的討價(jià)還價(jià)。“協(xié)議”的內(nèi)容約定行為“協(xié)議”達(dá)成的前提通過討價(jià)還價(jià)對(duì)利益分6舉例說明用合作博弈的思想分析兩人分100元現(xiàn)金的問題，可以考慮博弈方用協(xié)議協(xié)調(diào)雙方的可能性。但簽訂協(xié)議的前提是雙方對(duì)分配的方案達(dá)成共識(shí)，而這種共識(shí)是通過討價(jià)還價(jià)形成，因此兩人分100元現(xiàn)金的合作博弈是關(guān)于利益分配的討價(jià)還價(jià)問題。市場(chǎng)交易也是利益分配的討價(jià)還價(jià)問題。設(shè)兩人對(duì)某個(gè)物品進(jìn)行交易，如果賣方的主觀價(jià)值評(píng)價(jià)是50元，買方的主觀價(jià)值評(píng)價(jià)是80元，兩人交易能夠?qū)崿F(xiàn)總共80-50=30的交易利益，也就是消費(fèi)者剩余和生產(chǎn)者剩余之和。雙方對(duì)交易價(jià)格的討價(jià)還價(jià)，實(shí)際上就是對(duì)30元交易利益分配的討價(jià)還價(jià)。博弈方數(shù)量的增加也不會(huì)改變合作博弈的這種本質(zhì)特征。舉例說明用合作博弈的思想分析兩人分100元現(xiàn)金的問題，可以考7合作博弈的研究對(duì)象兩人討價(jià)還價(jià)博弈純粹討價(jià)還價(jià)的兩人合作博弈，博弈方選擇只有合作或不合作，以那個(gè)方案合作。如:兩個(gè)人分100元的問題聯(lián)盟博弈多人合作博弈，博弈方之間可以聯(lián)盟,三人分300元，分配方案按民主表決（少數(shù)服從多數(shù)）通過。博弈方1和博弈方2可以結(jié)成聯(lián)盟，強(qiáng)行通過剝奪博弈方3的利益并對(duì)他們兩人有利的分配方案。當(dāng)然博弈方3也可以通過分化瓦解博弈方1和2的聯(lián)盟，并與其中一方形成聯(lián)盟加以對(duì)抗等等。合作博弈的研究對(duì)象兩人討價(jià)還價(jià)博弈8兩人討價(jià)還價(jià)問題兩人討價(jià)還價(jià)是合作博弈理論的基本問題，也是博弈論最早研究的問題，兩人討價(jià)還價(jià)實(shí)質(zhì)上都是兩個(gè)經(jīng)濟(jì)主體之間對(duì)特定利益的分配分割。交易雙方的價(jià)格談判勞資雙方的工資爭(zhēng)端合作者的利潤(rùn)獎(jiǎng)金分配等等兩人討價(jià)還價(jià)問題兩人討價(jià)還價(jià)是合作博弈理論的基9兩人討價(jià)還價(jià)問題兩人討價(jià)還價(jià)博弈的分配一般用s=(s1,s2)表示，其中s1和s2分別代表兩個(gè)博弈方的分配。分配受問題條件和基本理性要求的約束，例如在兩個(gè)人分100元的問題中，分配必須滿足雙方利益之和不超過100，其次雙方的利益分配必須都在0到100之間。滿足上述兩個(gè)要求的分配稱為本博弈的“可行分配”兩人討價(jià)還價(jià)的可行分配可以用集合，其中i=1,2,m是最大可分配利益，集合S也稱為“可行分配集”。

可行分配集：滿足問題條件和基本理性要求約束的分配構(gòu)成的集合。分配與可行分配：可行分配集兩人討價(jià)還價(jià)問題兩人討價(jià)還價(jià)博弈的分配一般用s=(s110兩人討價(jià)還價(jià)問題

效用配置與效用函數(shù)兩人討價(jià)還價(jià)問題

效用配置與效用函數(shù)11兩人討價(jià)還價(jià)問題談判破裂時(shí)博弈雙方的利益稱為“談判破裂點(diǎn)”或“破裂點(diǎn)”通常用d=(d1,d2)表示，其中di是博弈方i在談判破裂時(shí)可以得到的收益。談判破裂點(diǎn)也是討價(jià)還價(jià)雙方的可行選擇之一假如甲乙兩人進(jìn)行一個(gè)項(xiàng)目的合作談判，假設(shè)該項(xiàng)目的預(yù)期利潤(rùn)是10000元。但甲不搞這個(gè)項(xiàng)目還有另外一個(gè)能獲利2000元的項(xiàng)目，而乙則沒有其他的獲利機(jī)會(huì)，那么如果甲和乙之間的談判破裂，甲可獲得2000元，乙則一無(wú)所有。用談判破裂點(diǎn)表示就是

d=(d1,d2)=(2000,0)

談判破裂點(diǎn)兩人討價(jià)還價(jià)問題談判破裂時(shí)博弈雙方的利益稱為“談判破裂點(diǎn)”或12其中S是可行分配集，d為破裂點(diǎn)，u1，u2是兩個(gè)博弈方各自的效用函數(shù)

兩人討價(jià)還價(jià)問題定義：其中S是可行分配集，d為破裂點(diǎn)，u1，u2是兩個(gè)博弈方13兩人討價(jià)還價(jià)問題納什解導(dǎo)出分配滿足效率和公平兩個(gè)基本要求。

效率要求可以包含帕累托效率和總體利益最大化兩個(gè)層次的要求，而總體利益最大化經(jīng)常與個(gè)體理性相矛盾，因而效率要求我們采用與個(gè)體理性沒有矛盾的帕累托效率。帕累托效率公理

兩人討價(jià)還價(jià)問題納什解導(dǎo)出分配滿足效率和公平兩個(gè)基本要14兩人討價(jià)還價(jià)問題

帕累托效率公理也可以表達(dá)為“討價(jià)還價(jià)問題的解落在帕累托邊界上”。帕累托效率公理表明雖然討價(jià)還價(jià)的結(jié)果可能與雙方的談判技巧相關(guān)，但兩個(gè)對(duì)手討價(jià)還價(jià)的結(jié)果必須落在該邊界上，雙方談判的內(nèi)容只是究竟取決該邊界上哪一點(diǎn)而已。兩人討價(jià)還價(jià)問題

帕累托效率公理也可以表達(dá)為“討15對(duì)稱性公理介紹在自愿交易、合作活動(dòng)中，人們比較容易接受公平的交易或合作方案，如果人們認(rèn)為一個(gè)方案不公平，即使能夠帶來(lái)更大的利益，也常常會(huì)拒絕接受。如果雙方的情況是對(duì)稱的，雙方得到相同待遇顯然是普遍接受的公平原則。這可以歸納為如下所列的“對(duì)稱性公理”對(duì)稱性公理

圖1對(duì)稱性公理圖示

對(duì)稱線

對(duì)稱性公理介紹在自愿交易、合作活動(dòng)中，人們比較容16有了上述帕累托效率和對(duì)稱性兩個(gè)公理，就可以找到兩人討價(jià)還價(jià)問題的解了，下面以100元現(xiàn)金討價(jià)還價(jià)問題為例進(jìn)行說明。

1）兩人分100元的討價(jià)還價(jià)問題是對(duì)稱的，即兩人均可以在[0,100]之間進(jìn)行討價(jià)還價(jià)。2)以橫、縱軸分別表示兩個(gè)博弈方得到的效用（此處等于利益）。3)同時(shí)滿足對(duì)稱性和有效性兩個(gè)公理的分配。

以圖2進(jìn)行解釋：圖2兩人分100元的合作博弈解

對(duì)稱線(100,0)(0,100)(50,50)

這樣，(50,50)同時(shí)滿足了公平與效率兩方面要求，是該種情況下的唯一分配，是雙方最能夠接受的的“合理”分配解。有了上述帕累托效率和對(duì)稱性兩個(gè)公理，就可以找到兩人討17事實(shí)上，所有兩人對(duì)稱的討價(jià)還價(jià)問題，都可以用對(duì)稱性和帕累托效率兩個(gè)公理進(jìn)行求解。然而，現(xiàn)實(shí)生活中的許多種因素會(huì)造成討價(jià)雙方的處境不對(duì)稱。對(duì)于非對(duì)稱的討價(jià)還價(jià)問題，對(duì)稱行公理無(wú)法直接運(yùn)用。引起兩人討價(jià)還價(jià)博弈不對(duì)稱的原因：雙方談判破裂點(diǎn)d的差異，如圖3所示。

圖3兩人談判破裂點(diǎn)示意圖

事實(shí)上，所有兩人對(duì)稱的討價(jià)還價(jià)問題，都可以用對(duì)稱18非對(duì)稱討價(jià)還價(jià)博弈問題的求解

圖4談判破裂點(diǎn)非對(duì)稱問題的解決對(duì)稱線

非對(duì)稱討價(jià)還價(jià)博弈問題的求解

圖4談判破裂點(diǎn)非對(duì)稱問題19

20線性變換不變性公理介紹現(xiàn)實(shí)生活中，除了談判破裂點(diǎn)外，還有許多因素會(huì)引起討價(jià)還價(jià)問題的不對(duì)稱性，如博弈方來(lái)自物價(jià)差異較大的不同地方，同樣的收入有不同的購(gòu)買力等等情況。

線性變換不變性公理介紹現(xiàn)實(shí)生活中，除了談判破裂點(diǎn)21線性變換不變性公理

線性變換不變性公理表明了討價(jià)還價(jià)問題解的不變性，是指實(shí)質(zhì)性的結(jié)果，也就是利益分配不變，效用配置的結(jié)果其實(shí)還是變化的，也要做與效用函數(shù)相同的線性變換。公理應(yīng)用：

利用線性變換不變性公理，可以把許多非線性討價(jià)還價(jià)問題通過線性變化轉(zhuǎn)化為對(duì)稱問題，根據(jù)對(duì)稱性和帕累托效率公理求解以后，再得到原討價(jià)還價(jià)問題的解。下面針對(duì)果農(nóng)和糧農(nóng)分100畝土地的問題，對(duì)線性變換不變性公理進(jìn)行進(jìn)一步解釋。線性變換不變性公理

線性變換不變性公理表明了討價(jià)還22果農(nóng)和糧農(nóng)分100畝土地的問題

圖5兩人分土地問題的效用配置集8000050000

果農(nóng)和糧農(nóng)分100畝土地的問題

圖5兩人分土地問題的效23圖6分土地問題的線性不變性公理示意圖對(duì)稱線100100(50,50)

果農(nóng)和糧農(nóng)分100畝土地的問題

圖6分土地問題的線性不變性公理示意圖對(duì)稱線100100(24這樣，根據(jù)線性變換不變性公理，類似上述不影響偏好結(jié)構(gòu)的博弈方本身因素引起非對(duì)稱問題都可以得到解決。

但是如果存在有博弈方風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度和效用偏好引起的偏好結(jié)構(gòu)差異，且理論上討價(jià)還價(jià)的效用配置集可以很不規(guī)則，無(wú)法用線性變換轉(zhuǎn)變成對(duì)稱集合的情況，就無(wú)法用線性變換不變性公理得到解決。需要用另外一種對(duì)稱化的方法進(jìn)行求解，如下所述：求解無(wú)法用線性變換對(duì)稱化的討價(jià)還價(jià)問題的方法思路：增加實(shí)際上不會(huì)被選擇的“無(wú)關(guān)”分配方案，把非對(duì)稱的效用配置集擴(kuò)展成對(duì)稱的效用配置集，從而用對(duì)稱性公理和帕累托效率公理進(jìn)行求解，如圖7所示：

圖7對(duì)稱擴(kuò)展問題和原問題的解示意圖這樣，根據(jù)線性變換不變性公理，類似上述不影響偏好結(jié)構(gòu)25獨(dú)立于無(wú)關(guān)選擇公理介紹上述對(duì)稱擴(kuò)展問題和原問題的求解實(shí)際上用到了一個(gè)普遍意義的結(jié)論，那就是如果一個(gè)具有更大選擇范圍問題的最優(yōu)解在其中的一個(gè)小范圍內(nèi)，那么這個(gè)小范圍中的最優(yōu)解就是大范圍內(nèi)的最優(yōu)解。在兩人討價(jià)還價(jià)問題中這個(gè)結(jié)論可以歸結(jié)為下列“獨(dú)立與無(wú)關(guān)選擇公理”。獨(dú)立與無(wú)關(guān)選擇公理

求解思路：1）利用獨(dú)立與無(wú)關(guān)選擇公理解決非對(duì)稱討價(jià)還價(jià)問題的關(guān)鍵，是要讓擴(kuò)展問題的解在原問題的效用配置集中。2）由于擴(kuò)展問題是對(duì)稱的，其解一定在對(duì)稱線與帕累托交點(diǎn)處，因此只有當(dāng)原問題的效用配置集與擴(kuò)展問題的效用配置集邊界在該點(diǎn)相切才符合要求，但這并不一定能夠做到，如圖7所示：

獨(dú)立于無(wú)關(guān)選擇公理介紹上述對(duì)稱擴(kuò)展問題和原問題的求26

圖7擴(kuò)展問題的解在原問題效用配置集外

圖7擴(kuò)展問題的解在原問題效用配置集外

27圖8線性變換和無(wú)關(guān)選擇公理的結(jié)合

2)然后,用逆線性變換的到原來(lái)效用的解，從而進(jìn)一步得到分配集合的解。有了上述一系列處理方法，不管問題是對(duì)稱的還是非對(duì)稱的，也不管非對(duì)稱的原因和情況如何，理論上可以解決所有討價(jià)還價(jià)的問題。

實(shí)際上，上述在四個(gè)基本公理基礎(chǔ)上的兩人討價(jià)還價(jià)解，早已被納什總結(jié)在其著名的納什解法中了，因此并不需要根據(jù)上述公理去逐步求解。下面介紹“納什討價(jià)還價(jià)解法”：圖8線性變換和無(wú)關(guān)選擇公理的結(jié)合

2)然后28納什討價(jià)還價(jià)解法同時(shí)滿足帕累托效率、對(duì)稱性、線性變換不變性、獨(dú)立于無(wú)關(guān)選擇四個(gè)公理的，兩人討價(jià)還價(jià)問題的唯一解，就是下列約束最優(yōu)化問題的解：

這個(gè)最優(yōu)化問題的解被稱為討價(jià)還價(jià)問題的“納什解”，或者“納什討價(jià)還價(jià)解”，是非線性優(yōu)化問題的最優(yōu)化點(diǎn)，其目標(biāo)函數(shù)也稱為“納什積”。

因?yàn)樵摷{什積一般是凹函數(shù)，效用配置集合一般是凸緊集，因此該最優(yōu)化問題通常有唯一的解。

納什討價(jià)還價(jià)解法同時(shí)滿足帕累托效率、對(duì)稱性、線性變29

圖9討價(jià)還價(jià)問題的納什解

圖9討價(jià)還價(jià)問題的納什解

30運(yùn)用“納什解法”求解兩人分100元現(xiàn)金的問題

圖10風(fēng)險(xiǎn)偏好差異博弈方分100元的效用配置集和納什解100

運(yùn)用“納什解法”求解兩人分100元現(xiàn)金的問題

圖1031

運(yùn)用“納什解法”求解兩人分100元現(xiàn)金的問題

運(yùn)用“納什解法”求解兩人分100元現(xiàn)金的問題32納什解法總結(jié)：從上述求解結(jié)果可以看出，討價(jià)還價(jià)雙方風(fēng)險(xiǎn)偏好的差異對(duì)討價(jià)還價(jià)的結(jié)果有明顯影響。雙方所得分配的差異取決于反映風(fēng)險(xiǎn)偏好的系數(shù)b，b越小，風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避程度越嚴(yán)重，所得的分配就越小，所得效用更小。如b=0.5時(shí)，博弈方2所得只為博弈方1的一半。納什解法的重要性所在：滿足對(duì)稱性、帕累托效率、線性變換不變性和獨(dú)立于無(wú)關(guān)選擇四個(gè)公理，滿足公平與效率兩方面的要求。納什解優(yōu)化分析目標(biāo)函數(shù)中的聯(lián)動(dòng)效用函數(shù)，也就是納什積，也顯示了納什解對(duì)雙方的利益分配都很重視，不鼓勵(lì)一味追求自身利益而忽略對(duì)方利益等。納什解法實(shí)際上是一種尋找討價(jià)還價(jià)“合理”結(jié)果的公理化方法，其關(guān)鍵是能夠反映公平、效率和一些技術(shù)要求的公理。然而這些公理始終有一定的主觀性，不一定能夠被普遍接受，因此納什解并不是在所有情況下都是合理的，例如討價(jià)還價(jià)雙方在對(duì)標(biāo)的的要求權(quán)方面存在差異，解決破產(chǎn)清算中的債權(quán)人之間持有債券不同時(shí)，納什解的合理性就可能存在問題，下面介紹解決這個(gè)問題K-S解法。納什解法總結(jié)：從上述求解結(jié)果可以看出，討價(jià)還價(jià)33兩人討價(jià)還價(jià)問題分析擴(kuò)展—K-S解法介紹：

兩人討價(jià)還價(jià)問題分析擴(kuò)展—K-S解法介紹：

34

兩人討價(jià)還價(jià)問題分析擴(kuò)展—K-S解法介紹：

K

K

對(duì)稱線

兩人討價(jià)還價(jià)問題分析擴(kuò)展—K-S解法介紹：

K

K

35

K

K

對(duì)稱線

K

K

對(duì)稱線

36

兩人討價(jià)還價(jià)問題分析擴(kuò)展—K-S解法介紹：解決思路：根據(jù)上述分析中提到的按照清償比例構(gòu)造合理解是很重要思路。

兩人討價(jià)還價(jià)問題分析擴(kuò)展—K-S解法介紹：解決思路：

37K

K

對(duì)稱線

K

K

對(duì)稱線

K-S線K-S線若討價(jià)還價(jià)問題的談判破裂點(diǎn)并不一定在原點(diǎn)，那么上述解法可進(jìn)一步改進(jìn)為解分配與博弈方要求權(quán)減去破裂點(diǎn)利益成比例，也就是K-S線是從談判破裂點(diǎn)到雙方要求權(quán)決定的最大效用配置組合點(diǎn)的連線。根據(jù)不同情況，以及人們對(duì)于公平和效率的不同理解，兩人討價(jià)還價(jià)問題還有其他的合作博弈解法，例如平均主義的平均分配方法等等，具體應(yīng)根據(jù)實(shí)際情況、邏輯而定。K

K

對(duì)稱線

K

K

對(duì)稱線

K-S線38謝謝老師！

謝謝大家！謝謝老師！

謝謝大家！39合作博弈討價(jià)還價(jià)問題探討小組成員：崔清德周建棟郭思尼合作博弈討價(jià)還價(jià)問題探討小組成員：40合作博弈一般地，我們將允許存在有約束力協(xié)議的博弈稱為“合作博弈”合作博弈亦稱為正和博弈，是指博弈雙方的利益都有所增加，或者至少是一方的利益增加，而另一方的利益不受損害，因而整個(gè)社會(huì)的利益有所增加的。合作博弈一般地，我們將允許存在有約束力協(xié)議的博弈稱為“合作博41合作博弈與非合作博弈的區(qū)別非合作博弈與合作博弈的根本區(qū)別，是前者不考慮博弈方之間可以運(yùn)用有約束力協(xié)議的情況，而后者則允許這種協(xié)議的存在。合作博弈是研究人們達(dá)成合作時(shí)如何分配合作得到的收益，即收益分配問題。而非合作博弈是研究人們?cè)诶嫦嗷ビ绊懙木謩?shì)中如何選決策使自己的收益最大，即策略選擇問題。非合作博弈排斥有約束力的協(xié)議，就把分析對(duì)象限制在個(gè)體理性基礎(chǔ)上的個(gè)體決策上，個(gè)體理性決策是經(jīng)濟(jì)主體最基本的行為邏輯，個(gè)體理性決策相對(duì)于聯(lián)合理性基礎(chǔ)上的合作行為而言比較簡(jiǎn)單，因而非合作博弈分析不僅有很強(qiáng)的現(xiàn)實(shí)基礎(chǔ)，而且比較容易分析和標(biāo)準(zhǔn)化。合作博弈與非合作博弈的區(qū)別非合作博弈與合作博弈的根本區(qū)別，是42為什么需要合作博弈理論個(gè)體理性并不是人類經(jīng)濟(jì)行為背后的唯一邏輯，其中聯(lián)合理性的集體決策行為也相當(dāng)普遍。非合作博弈理論雖然非常有效，但它無(wú)法分析現(xiàn)實(shí)中普遍存在的聯(lián)合理性行為。合作博弈理論的發(fā)展也是非合作博弈理論本身的要求。非合作博弈分析經(jīng)常會(huì)遇到無(wú)帕累托優(yōu)劣關(guān)系的多重納什均衡問題。

例如兩個(gè)人分100元，作為非合作博弈，兩博弈方策略就是各自所要求的數(shù)額0≤si≤100,雙方的策略組合（s1，s2）滿足s1+s2≤100,他們得益與策略相等，否則得益為0。所有滿足0≤si≤100且s1+s2=100的（s1，s2）都是納什均衡。非合作博弈之所以無(wú)法解決上述問題，就在于忽視了博弈雙方之間可能的聯(lián)合理性行為。如果博弈方可能采用聯(lián)合理性行為，就能發(fā)現(xiàn)通過博弈方的協(xié)調(diào)行為（協(xié)調(diào)方法正是本章要討論的），完全可以解決這個(gè)非合作博弈理論無(wú)法解決的多重納什均衡問題。

為什么需要合作博弈理論個(gè)體理性并不是人類經(jīng)濟(jì)行為背后的唯一邏43合作博弈理論的特征和結(jié)構(gòu)“協(xié)議”產(chǎn)生的本質(zhì)原因博弈方之間既存在共同利益但利益又不完全一致。如果博弈方之間的利益完全對(duì)立或完全一致，就不能產(chǎn)生這樣一個(gè)“協(xié)議”。如果博弈方之間利益完全對(duì)立或完全一致，就沒有協(xié)調(diào)的余地或不需要協(xié)調(diào)。合作博弈理論的特征和結(jié)構(gòu)44“協(xié)議”的內(nèi)容約定行為利益分配關(guān)于利益分配的討價(jià)還價(jià)（bargain），是合作博弈的共同特征?！皡f(xié)議”達(dá)成的前提通過討價(jià)還價(jià)對(duì)利益分割達(dá)成一致不管合作博弈問題來(lái)源于經(jīng)濟(jì)交易，合作還是競(jìng)爭(zhēng)，也不管人數(shù)多少，合作博弈問題本質(zhì)上都是關(guān)于利益分割的討價(jià)還價(jià)。“協(xié)議”的內(nèi)容約定行為“協(xié)議”達(dá)成的前提通過討價(jià)還價(jià)對(duì)利益分45舉例說明用合作博弈的思想分析兩人分100元現(xiàn)金的問題，可以考慮博弈方用協(xié)議協(xié)調(diào)雙方的可能性。但簽訂協(xié)議的前提是雙方對(duì)分配的方案達(dá)成共識(shí)，而這種共識(shí)是通過討價(jià)還價(jià)形成，因此兩人分100元現(xiàn)金的合作博弈是關(guān)于利益分配的討價(jià)還價(jià)問題。市場(chǎng)交易也是利益分配的討價(jià)還價(jià)問題。設(shè)兩人對(duì)某個(gè)物品進(jìn)行交易，如果賣方的主觀價(jià)值評(píng)價(jià)是50元，買方的主觀價(jià)值評(píng)價(jià)是80元，兩人交易能夠?qū)崿F(xiàn)總共80-50=30的交易利益，也就是消費(fèi)者剩余和生產(chǎn)者剩余之和。雙方對(duì)交易價(jià)格的討價(jià)還價(jià)，實(shí)際上就是對(duì)30元交易利益分配的討價(jià)還價(jià)。博弈方數(shù)量的增加也不會(huì)改變合作博弈的這種本質(zhì)特征。舉例說明用合作博弈的思想分析兩人分100元現(xiàn)金的問題，可以考46合作博弈的研究對(duì)象兩人討價(jià)還價(jià)博弈純粹討價(jià)還價(jià)的兩人合作博弈，博弈方選擇只有合作或不合作，以那個(gè)方案合作。如:兩個(gè)人分100元的問題聯(lián)盟博弈多人合作博弈，博弈方之間可以聯(lián)盟,三人分300元，分配方案按民主表決（少數(shù)服從多數(shù)）通過。博弈方1和博弈方2可以結(jié)成聯(lián)盟，強(qiáng)行通過剝奪博弈方3的利益并對(duì)他們兩人有利的分配方案。當(dāng)然博弈方3也可以通過分化瓦解博弈方1和2的聯(lián)盟，并與其中一方形成聯(lián)盟加以對(duì)抗等等。合作博弈的研究對(duì)象兩人討價(jià)還價(jià)博弈47兩人討價(jià)還價(jià)問題兩人討價(jià)還價(jià)是合作博弈理論的基本問題，也是博弈論最早研究的問題，兩人討價(jià)還價(jià)實(shí)質(zhì)上都是兩個(gè)經(jīng)濟(jì)主體之間對(duì)特定利益的分配分割。交易雙方的價(jià)格談判勞資雙方的工資爭(zhēng)端合作者的利潤(rùn)獎(jiǎng)金分配等等兩人討價(jià)還價(jià)問題兩人討價(jià)還價(jià)是合作博弈理論的基48兩人討價(jià)還價(jià)問題兩人討價(jià)還價(jià)博弈的分配一般用s=(s1,s2)表示，其中s1和s2分別代表兩個(gè)博弈方的分配。分配受問題條件和基本理性要求的約束，例如在兩個(gè)人分100元的問題中，分配必須滿足雙方利益之和不超過100，其次雙方的利益分配必須都在0到100之間。滿足上述兩個(gè)要求的分配稱為本博弈的“可行分配”兩人討價(jià)還價(jià)的可行分配可以用集合，其中i=1,2,m是最大可分配利益，集合S也稱為“可行分配集”。

可行分配集：滿足問題條件和基本理性要求約束的分配構(gòu)成的集合。分配與可行分配：可行分配集兩人討價(jià)還價(jià)問題兩人討價(jià)還價(jià)博弈的分配一般用s=(s149兩人討價(jià)還價(jià)問題

效用配置與效用函數(shù)兩人討價(jià)還價(jià)問題

效用配置與效用函數(shù)50兩人討價(jià)還價(jià)問題談判破裂時(shí)博弈雙方的利益稱為“談判破裂點(diǎn)”或“破裂點(diǎn)”通常用d=(d1,d2)表示，其中di是博弈方i在談判破裂時(shí)可以得到的收益。談判破裂點(diǎn)也是討價(jià)還價(jià)雙方的可行選擇之一假如甲乙兩人進(jìn)行一個(gè)項(xiàng)目的合作談判，假設(shè)該項(xiàng)目的預(yù)期利潤(rùn)是10000元。但甲不搞這個(gè)項(xiàng)目還有另外一個(gè)能獲利2000元的項(xiàng)目，而乙則沒有其他的獲利機(jī)會(huì)，那么如果甲和乙之間的談判破裂，甲可獲得2000元，乙則一無(wú)所有。用談判破裂點(diǎn)表示就是

d=(d1,d2)=(2000,0)

談判破裂點(diǎn)兩人討價(jià)還價(jià)問題談判破裂時(shí)博弈雙方的利益稱為“談判破裂點(diǎn)”或51其中S是可行分配集，d為破裂點(diǎn)，u1，u2是兩個(gè)博弈方各自的效用函數(shù)

兩人討價(jià)還價(jià)問題定義：其中S是可行分配集，d為破裂點(diǎn)，u1，u2是兩個(gè)博弈方52兩人討價(jià)還價(jià)問題納什解導(dǎo)出分配滿足效率和公平兩個(gè)基本要求。

效率要求可以包含帕累托效率和總體利益最大化兩個(gè)層次的要求，而總體利益最大化經(jīng)常與個(gè)體理性相矛盾，因而效率要求我們采用與個(gè)體理性沒有矛盾的帕累托效率。帕累托效率公理

兩人討價(jià)還價(jià)問題納什解導(dǎo)出分配滿足效率和公平兩個(gè)基本要53兩人討價(jià)還價(jià)問題

帕累托效率公理也可以表達(dá)為“討價(jià)還價(jià)問題的解落在帕累托邊界上”。帕累托效率公理表明雖然討價(jià)還價(jià)的結(jié)果可能與雙方的談判技巧相關(guān)，但兩個(gè)對(duì)手討價(jià)還價(jià)的結(jié)果必須落在該邊界上，雙方談判的內(nèi)容只是究竟取決該邊界上哪一點(diǎn)而已。兩人討價(jià)還價(jià)問題

帕累托效率公理也可以表達(dá)為“討54對(duì)稱性公理介紹在自愿交易、合作活動(dòng)中，人們比較容易接受公平的交易或合作方案，如果人們認(rèn)為一個(gè)方案不公平，即使能夠帶來(lái)更大的利益，也常常會(huì)拒絕接受。如果雙方的情況是對(duì)稱的，雙方得到相同待遇顯然是普遍接受的公平原則。這可以歸納為如下所列的“對(duì)稱性公理”對(duì)稱性公理

圖1對(duì)稱性公理圖示

對(duì)稱線

對(duì)稱性公理介紹在自愿交易、合作活動(dòng)中，人們比較容55有了上述帕累托效率和對(duì)稱性兩個(gè)公理，就可以找到兩人討價(jià)還價(jià)問題的解了，下面以100元現(xiàn)金討價(jià)還價(jià)問題為例進(jìn)行說明。

1）兩人分100元的討價(jià)還價(jià)問題是對(duì)稱的，即兩人均可以在[0,100]之間進(jìn)行討價(jià)還價(jià)。2)以橫、縱軸分別表示兩個(gè)博弈方得到的效用（此處等于利益）。3)同時(shí)滿足對(duì)稱性和有效性兩個(gè)公理的分配。

以圖2進(jìn)行解釋：圖2兩人分100元的合作博弈解

對(duì)稱線(100,0)(0,100)(50,50)

這樣，(50,50)同時(shí)滿足了公平與效率兩方面要求，是該種情況下的唯一分配，是雙方最能夠接受的的“合理”分配解。有了上述帕累托效率和對(duì)稱性兩個(gè)公理，就可以找到兩人討56事實(shí)上，所有兩人對(duì)稱的討價(jià)還價(jià)問題，都可以用對(duì)稱性和帕累托效率兩個(gè)公理進(jìn)行求解。然而，現(xiàn)實(shí)生活中的許多種因素會(huì)造成討價(jià)雙方的處境不對(duì)稱。對(duì)于非對(duì)稱的討價(jià)還價(jià)問題，對(duì)稱行公理無(wú)法直接運(yùn)用。引起兩人討價(jià)還價(jià)博弈不對(duì)稱的原因：雙方談判破裂點(diǎn)d的差異，如圖3所示。

圖3兩人談判破裂點(diǎn)示意圖

事實(shí)上，所有兩人對(duì)稱的討價(jià)還價(jià)問題，都可以用對(duì)稱57非對(duì)稱討價(jià)還價(jià)博弈問題的求解

圖4談判破裂點(diǎn)非對(duì)稱問題的解決對(duì)稱線

非對(duì)稱討價(jià)還價(jià)博弈問題的求解

圖4談判破裂點(diǎn)非對(duì)稱問題58

59線性變換不變性公理介紹現(xiàn)實(shí)生活中，除了談判破裂點(diǎn)外，還有許多因素會(huì)引起討價(jià)還價(jià)問題的不對(duì)稱性，如博弈方來(lái)自物價(jià)差異較大的不同地方，同樣的收入有不同的購(gòu)買力等等情況。

線性變換不變性公理介紹現(xiàn)實(shí)生活中，除了談判破裂點(diǎn)60線性變換不變性公理

線性變換不變性公理表明了討價(jià)還價(jià)問題解的不變性，是指實(shí)質(zhì)性的結(jié)果，也就是利益分配不變，效用配置的結(jié)果其實(shí)還是變化的，也要做與效用函數(shù)相同的線性變換。公理應(yīng)用：

利用線性變換不變性公理，可以把許多非線性討價(jià)還價(jià)問題通過線性變化轉(zhuǎn)化為對(duì)稱問題，根據(jù)對(duì)稱性和帕累托效率公理求解以后，再得到原討價(jià)還價(jià)問題的解。下面針對(duì)果農(nóng)和糧農(nóng)分100畝土地的問題，對(duì)線性變換不變性公理進(jìn)行進(jìn)一步解釋。線性變換不變性公理

線性變換不變性公理表明了討價(jià)還61果農(nóng)和糧農(nóng)分100畝土地的問題

圖5兩人分土地問題的效用配置集8000050000

果農(nóng)和糧農(nóng)分100畝土地的問題

圖5兩人分土地問題的效62圖6分土地問題的線性不變性公理示意圖對(duì)稱線100100(50,50)

果農(nóng)和糧農(nóng)分100畝土地的問題

圖6分土地問題的線性不變性公理示意圖對(duì)稱線100100(63這樣，根據(jù)線性變換不變性公理，類似上述不影響偏好結(jié)構(gòu)的博弈方本身因素引起非對(duì)稱問題都可以得到解決。

但是如果存在有博弈方風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度和效用偏好引起的偏好結(jié)構(gòu)差異，且理論上討價(jià)還價(jià)的效用配置集可以很不規(guī)則，無(wú)法用線性變換轉(zhuǎn)變成對(duì)稱集合的情況，就無(wú)法用線性變換不變性公理得到解決。需要用另外一種對(duì)稱化的方法進(jìn)行求解，如下所述：求解無(wú)法用線性變換對(duì)稱化的討價(jià)還價(jià)問題的方法思路：增加實(shí)際上不會(huì)被選擇的“無(wú)關(guān)”分配方案，把非對(duì)稱的效用配置集擴(kuò)展成對(duì)稱的效用配置集，從而用對(duì)稱性公理和帕累托效率公理進(jìn)行求解，如圖7所示：

圖7對(duì)稱擴(kuò)展問題和原問題的解示意圖這樣，根據(jù)線性變換不變性公理，類似上述不影響偏好結(jié)構(gòu)64獨(dú)立于無(wú)關(guān)選擇公理介紹上述對(duì)稱擴(kuò)展問題和原問題的求解實(shí)際上用到了一個(gè)普遍意義的結(jié)論，那就是如果一個(gè)具有更大選擇范圍問題的最優(yōu)解在其中的一個(gè)小范圍內(nèi)，那么這個(gè)小范圍中的最優(yōu)解就是大范圍內(nèi)的最優(yōu)解。在兩人討價(jià)還價(jià)問題中這個(gè)結(jié)論可以歸結(jié)為下列“獨(dú)立與無(wú)關(guān)選擇公理”。獨(dú)立與無(wú)關(guān)選擇公理

求解思路：1）利用獨(dú)立與無(wú)關(guān)選擇公理解決非對(duì)稱討價(jià)還價(jià)問題的關(guān)鍵，是要讓擴(kuò)展問題的解在原問題的效用配置集中。2）由于擴(kuò)展問題是對(duì)稱的，其解一定在對(duì)稱線與帕累托交點(diǎn)處，因此只有當(dāng)原問題的效用配置集與擴(kuò)展問題的效用配置集邊界在該點(diǎn)相切才符合要求，但這并不一定能夠做到，如圖7所示：

獨(dú)立于無(wú)關(guān)選擇公理介紹上述對(duì)稱擴(kuò)展問題和原問題的求65

圖7擴(kuò)展問題的解在原問題效用配置集外

圖7擴(kuò)展問題的解在原問題效用配置集外

66圖8線性變換和無(wú)關(guān)選擇公理的結(jié)合

2)然后,用逆線性變換的到原來(lái)效用的解，從而進(jìn)一步得到分配集合的解。有了上述一系列處理方法，不管問題是對(duì)稱的還是非對(duì)稱的，也不管非對(duì)稱的原因和情況如何，理論上可以解決所有討價(jià)還價(jià)的問題。

實(shí)際上，上述在四個(gè)基本公理基礎(chǔ)上的兩人討價(jià)還價(jià)解，早已被納什總結(jié)在其著名的納什解法中了，因此并不需要根據(jù)上述公理去逐步求解。下面介紹“納什討價(jià)還價(jià)解法”：圖8線性變換和無(wú)關(guān)選擇公理的結(jié)合

2)然后67納什討價(jià)還價(jià)解法同時(shí)滿足帕累托效率、對(duì)稱性、線性變換不變性、獨(dú)立于無(wú)關(guān)選擇四個(gè)公理的，兩人討價(jià)還價(jià)問題的唯一解，就是下列約束最優(yōu)化問題的解：

這個(gè)最優(yōu)化問題的解被稱為討價(jià)還價(jià)問題的“納什解”，或者“納什討價(jià)還價(jià)解