學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE10-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精3.3模擬方法-—概率的應(yīng)用一、選擇題1．1升水中有1只微生物,任取0。1升水化驗(yàn)，則有微生物的概率為（)A．0。1 B．0.2C．0。3 D．0.4答案A解析本題為幾何概型題，所有基本事件對(duì)應(yīng)的區(qū)域的幾何度量為總的水的體積(1升)，事件A＝｛任取0.1升水中含有微生物｝包含的基本事件所對(duì)應(yīng)的區(qū)域的幾何度量為所取的水的體積(0。1升)，由幾何概型概率公式可得p＝eq\f(0。1,1）＝0。1.2．兩根電線桿相距100m，若電線遭受雷擊，且雷擊點(diǎn)距電線桿距離為10m之內(nèi)時(shí),電線桿上的輸電設(shè)備將受損，則遭受雷擊時(shí)設(shè)備受損的概率為(）A．0。1 B．0。2C．0.05 D．0.5答案B解析如下圖，兩根電線桿相距MN＝100m，MP＝10m,QN＝10m，則當(dāng)雷擊點(diǎn)在MP或QN上時(shí)，設(shè)備受損，故所求概率為P＝eq\f(MP＋QN，MN）＝0.2.3．在半徑為1的半圓內(nèi)，放置一個(gè)邊長(zhǎng)為eq\f(1,2)的正方形ABCD,在半圓內(nèi)任取一點(diǎn)，落在正方形內(nèi)的概率為（）A.eq\f(1,2） B.eq\f(1，4)C.eq\f(1，4π） D.eq\f(1,2π)答案D解析如右圖,半圓的面積為eq\f(π,2）,正方形的面積為eq\f(1,4),所求概率為P＝eq\f(S正方形,S半圓）＝eq\f（1，2π)，故選D.4．四邊形ABCD為長(zhǎng)方形，AB＝2，BC＝1，O為AB的中點(diǎn)．在長(zhǎng)方形ABCD內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，取到的點(diǎn)到O的距離大于1的概率為()A。eq\f(π,4） B．1－eq\f(π,4)C.eq\f(π,8) D．1－eq\f（π，8）答案B解析如圖，根據(jù)幾何概型概率公式得概率為P＝eq\f（陰影部分面積，S長(zhǎng)方形ABCD)＝eq\f（2－\f（1，2）π·12，2)＝1－eq\f（π，4).故選B。5．為了測(cè)算如右圖陰影部分的面積，作一個(gè)邊長(zhǎng)為6的正方形將其包含在內(nèi)，并向正方形內(nèi)隨機(jī)投擲800個(gè)點(diǎn)，已知恰有200個(gè)點(diǎn)落在陰影部分內(nèi)，據(jù)此,可估計(jì)陰影部分的面積是(）A．12 B．9C．8 D．6答案B解析正方形面積為36,陰影部分面積為eq\f（200，800）×36＝9。6．已知k∈[－2,2],則k的值使得過(guò)A(1，1）可以作兩條直線與圓x2＋y2＋kx－2y－eq\f（5,4)k＝0相切的概率等于()A。eq\f(1,2） B。eq\f（1,4)C.eq\f（3，4) D．不確定答案B解析圓的方程化為eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（x＋\f(k，2）））2＋（y－1）2＝eq\f（5k,4)＋eq\f（k2,4)＋1，∴5k＋k2＋4〉0，∴k〈－4或k>－1。∵過(guò)A（1,1）可以作兩條直線與圓eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(k,2)))2＋(y－1）2＝eq\f（5k,4）＋eq\f（k2，4)＋1相切，∴A（1,1）在圓外，得eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(1＋\f(k,2)))2＋(1－1)2〉eq\f(5k，4）＋eq\f（k2，4)＋1，∴k<0，故k∈（－1,0)，區(qū)間長(zhǎng)度為1，因?yàn)閗∈[－2，2]，則長(zhǎng)度為4，∴P＝eq\f(1,4)。二、填空題7．在區(qū)間[－1,2］上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x，則|x|≤1的概率為________．答案eq\f(2,3)解析由|x|≤1得，－1≤x≤1，故易知所求概率為eq\f（1－－1,2－－1）＝eq\f（2,3）.故填eq\f(2,3）.8．在面積為S的△ABC的內(nèi)部任取一點(diǎn)P，則△PBC的面積大于eq\f（S，4)的概率是________．答案eq\f(9，16）解析設(shè)AB，AC上分別有點(diǎn)D，E滿足AD＝eq\f（3,4)AB且AE＝eq\f（3,4)AC，則△ADE∽△ABC，DE∥BC且DE＝eq\f（3,4）BC.∵點(diǎn)A到DE的距離等于點(diǎn)A到BC的距離的eq\f（3，4)，∴DE到BC的距離等于△ABC高的eq\f(1，4）.當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P在△ADE內(nèi)時(shí)，P到BC的距離大于DE到BC的距離,∴當(dāng)P在△ADE內(nèi)部運(yùn)動(dòng)時(shí)，△PBC的面積大于eq\f(S,4）,∴所求概率為eq\f（S△ADE，S△ABC)＝eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（3，4）)）2＝eq\f(9，16)。9．函數(shù)f(x)＝x2－x－2，x∈[－5，5]，那么任取一點(diǎn)x0∈[－5，5］，使f（x0）≤0的概率是________．答案eq\f（3，10）解析畫出函數(shù)f（x）的圖像，由圖像得當(dāng)x0∈[－1,2]時(shí),f(x0)≤0.任取一點(diǎn)x0∈[－5,5］的結(jié)果有無(wú)限個(gè)，屬于幾何概型．設(shè)使f（x0)≤0為事件A,則事件A構(gòu)成的區(qū)域長(zhǎng)度是2－(－1)＝3,全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域長(zhǎng)度是5－(－5)＝10，則P(A)＝eq\f(3,10).三、解答題10．某商場(chǎng)為了吸引顧客，設(shè)立了一個(gè)可以自由轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)盤(轉(zhuǎn)盤被分成20個(gè)相等的扇形)，如圖，并規(guī)定顧客每購(gòu)買100元的商品,就能獲得一次轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤的機(jī)會(huì)．如果轉(zhuǎn)盤停止后,指針正好對(duì)準(zhǔn)紅，黃或綠色區(qū)域顧客就可以分別獲得100元，50元,20元的購(gòu)物券．甲顧客購(gòu)物120元，他獲得購(gòu)物券的概率是多少？他得到100元，50元，20元購(gòu)物券的概率分別是多少？解轉(zhuǎn)盤被等分成20個(gè)扇形，并且每一個(gè)顧客自由轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤，說(shuō)明指針落在每個(gè)區(qū)域的概率相同，對(duì)于參加轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤的顧客來(lái)說(shuō),每轉(zhuǎn)動(dòng)一次轉(zhuǎn)盤,獲得購(gòu)物券的概率相同，獲得100元，50元，20元購(gòu)物券的概率也相同，因此游戲是公平的,這是一個(gè)幾何概型問(wèn)題．根據(jù)題意，甲顧客的消費(fèi)額超過(guò)100元,因此可以獲得一次轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤的機(jī)會(huì)．由于轉(zhuǎn)盤被等分成20個(gè)扇形，其中1個(gè)紅色，2個(gè)黃色，4個(gè)綠色,因此對(duì)于甲顧客來(lái)說(shuō)P（獲得購(gòu)物券)＝eq\f(1＋2＋4，20）＝eq\f(7,20)；P（獲得100元購(gòu)物券）＝eq\f（1,20）;P（獲得50元購(gòu)物券）＝eq\f（2，20)＝eq\f(1,10）；P（獲得20元購(gòu)物券）＝eq\f（4,20)＝eq\f(1,5).11．射箭比賽的箭靶涂有五個(gè)彩色的圓環(huán)，從外向內(nèi)為白色、黑色、藍(lán)色、紅色，靶心為金色．金色靶心叫“黃心"．奧運(yùn)會(huì)的比賽靶面直徑為122cm，靶心直徑為12.2cm。運(yùn)動(dòng)員在70m外射箭．假設(shè)射箭都能中靶，且射中靶面內(nèi)任一點(diǎn)都是等可能的，那么射中黃心的概率為多少？解把射中靶面看成一次試驗(yàn)，其結(jié)果可以是靶面直徑為122cm的大圓內(nèi)的任意一點(diǎn),有無(wú)限個(gè)，屬于幾何概型．設(shè)射中黃心為事件A，全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域面積是eq\f(1，4)×π×1222cm2，事件A的結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域面積是eq\f（1,4）×π×12.22cm2，則P(A）＝eq\f（\f（1，4)×π×12.22,\f（1，4）×π×1222）＝0。01，即射中黃心的概率為0。01.12．在區(qū)間(0,1)上隨機(jī)地取兩個(gè)數(shù)，求下列事件的概率．(1)兩個(gè)數(shù)中較小的小于eq\f(1,2)；(2）兩數(shù)之和小于eq\f(3，2)。解設(shè)x,y∈(0,1)，則0〈x〈1，0〈y〈1,所有（x，y）是圖中正方形區(qū)域．（1)設(shè)事件A＝eq\b\lc\｛\rc\｝（\a\vs4\al\co1（兩個(gè)數(shù)中較小的小于\f（1,2））），則①若x<y，則x<eq\f（1,2）時(shí)事件A發(fā)生．②若y<x，則y<eq\f（1，2）時(shí)事件A發(fā)生．如圖，事件A發(fā)生對(duì)應(yīng)的區(qū)域是陰影部分．所以P(A)＝eq\f(S陰影,S正方形)＝eq\f（1－\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(1,2）)）2,1)＝eq\f(3，4）。（2)設(shè)事件B＝eq\b\lc\｛\rc\}（\a\vs4\al\co1（兩數(shù)之和小于\f(3,2）))，則當(dāng)x＋y<eq\f(3,2）時(shí)事件B發(fā)生,如圖，事件B發(fā)生對(duì)應(yīng)的區(qū)域是陰影部分．所以P(B）＝eq\f(S陰影，S正方形）＝eq\f（1－\f(1，2)×\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(1,2)))2，1）＝eq\f(7,8）。13．設(shè)關(guān)于x的一元二次方程x2＋2ax＋b2＝0.（1)若a是從0，1，2,3四個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù)，b是從0，1，2三個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù),求上述方程有實(shí)根的概率；(2)若a是從區(qū)間[0，3]任取的一個(gè)數(shù)，b是從區(qū)間［0,2］任取的一個(gè)數(shù),求上述方程有實(shí)根的概率．解設(shè)事件A為“方程x2＋2ax＋b2＝0有實(shí)根”．當(dāng)a≥0，b≥0時(shí)，方程x2＋2ax＋b2＝0有實(shí)根的充要條件為a≥b。（1）基本事件共有12個(gè)：(0,0），(0，1)，（0，2），(1，0)，(1,1），（1,2),（2,0)，(2,1）,(2,2)，（3,0），（3，1),（3,2）．