學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE8-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精4反證法[A組基礎(chǔ)鞏固]1．命題“關(guān)于x的方程ax＝b(a≠0)的解是唯一的”的結(jié)論的否定是（)A．無解 B．兩解C．至少兩解 D．無解或至少兩解解析：解是唯一的否定應(yīng)為“無解或至少兩解"．答案：D2．有下列敘述:①“a>b”的反面是“a〈b”；②“x＝y(tǒng)"的反面是“x>y或x〈y”；③“三角形的外心在三角形外”的反面是“三角形的外心在三角形內(nèi)”；④“三角形的內(nèi)角中最多有一個(gè)鈍角”的反面是“三角形的內(nèi)角沒有鈍角”．其中正確的敘述有（）A．0個(gè) B．1個(gè)C．2個(gè) D．3個(gè)解析：①錯(cuò),應(yīng)為a≤b；②對(duì);③錯(cuò)，應(yīng)為“三角形的外心在三角形內(nèi)或三角形的邊上”;④錯(cuò)，應(yīng)為三角形的內(nèi)角中有2個(gè)或2個(gè)以上的鈍角．答案：B3．用反證法證明命題“三角形的內(nèi)角中至多有一個(gè)鈍角”時(shí)，反設(shè)正確的是()A．三個(gè)內(nèi)角中至少有一個(gè)鈍角B．三個(gè)內(nèi)角中至少有兩個(gè)鈍角C．三個(gè)內(nèi)角都不是鈍角D．三個(gè)內(nèi)角都不是鈍角或至少有兩個(gè)鈍角解析:“至多有一個(gè)”即要么一個(gè)都沒有，要么有一個(gè)，故反設(shè)為“至少有兩個(gè)”．答案：B4．用反證法證明命題：“a、b∈N，ab可被5整除，那么a,b中至少有一個(gè)能被5整除”時(shí)，假設(shè)的內(nèi)容應(yīng)為（)A．a(chǎn),b都能被5整除B．a(chǎn),b都不能被5整除C．a(chǎn)，b不都能被5整除D．a(chǎn)不能被5整除解析：“至少有一個(gè)”的否定是“一個(gè)也沒有”，即“a，b都不能被5整除”．答案：B5．用反證法證明命題：“設(shè)a，b為實(shí)數(shù)，則方程x3＋ax＋b＝0至少有一個(gè)實(shí)根”時(shí)，要做的假設(shè)是()A．方程x3＋ax＋b＝0沒有實(shí)根B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一個(gè)實(shí)數(shù)C．方程x3＋ax＋b＝0至多有兩個(gè)實(shí)根D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有兩個(gè)實(shí)根解析:方程x3＋ax＋b＝0至少有一個(gè)實(shí)根的反面是方程x3＋ax＋b＝0沒有實(shí)根,故應(yīng)選A.答案：A6．“任何三角形的外角都至少有兩個(gè)鈍角"的否定應(yīng)是________________________________________________________________________。解析：“任何三角形"的否定是“存在一個(gè)三角形”，“至少有兩個(gè)”的否定是“最多有一個(gè)"．答案：存在一個(gè)三角形，其外角最多有一個(gè)鈍角7．用反證法證明命題“若x2－（a＋b）x＋ab≠0，則x≠a且x≠b”時(shí),應(yīng)假設(shè)為________．解析:對(duì)“且"的否定應(yīng)為“或”,所以“x≠a且x≠b”的否定應(yīng)為“x＝a或x＝b”．答案：x＝a或x＝b8．將“函數(shù)f（x)＝4x2－2(p－2）x－2p2－p＋1在區(qū)間［－1，1］上至少存在一個(gè)實(shí)數(shù)c，使f(c）〉0"反設(shè)，所得命題為________________．解析：“至少存在”的反面為“不存在"．“不存在c，使f（c)〉0"即“f(x)≤0恒成立”．答案：函數(shù)f（x）＝4x2－2（p－2）x－2p2－p＋1在區(qū)間[－1,1]上恒有f（x)≤0。9．求證：一個(gè)三角形中至少有一個(gè)內(nèi)角不小于60°.證明：已知：∠A、∠B、∠C為△ABC的三個(gè)內(nèi)角．求證:∠A、∠B、∠C中至少有一個(gè)不小于60°.證明：假設(shè)△ABC的三個(gè)內(nèi)角∠A、∠B、∠C都小于60°，即∠A〈60，∠B〈60°，∠C<60°，三式相加得∠A＋∠B＋∠C〈180°.這與三角形內(nèi)角和定理矛盾，∴∠A、∠B、∠C都小于60°的假設(shè)不能成立．∴一個(gè)三角形中，至少有一個(gè)內(nèi)角不小于60°。10．求證：拋物線上任取四點(diǎn)所組成的四邊形不可能是平行四邊形．證明：如圖，設(shè)拋物線方程為y2＝ax（a>0),設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2），C(x3，y3)，D(x4，y4)是拋物線上不同的四點(diǎn)，則有yeq\o\al（2,i）＝axi，xi＝eq\f（y\o\al(2，i)，a）（i＝1,2,3，4），于是kAB＝eq\f(y2－y1，x2－x1）＝eq\f（y2－y1，\f（y\o\al(2,2）,a）－\f(y\o\al(2，1）,a))＝eq\f（a,y2＋y1），同理kBC＝eq\f(a,y3＋y2），kCD＝eq\f(a，y4＋y3）,kDA＝eq\f(a,y1＋y4）.假設(shè)四邊形ABCD是平行四邊形，則kAB＝kCD，kBC＝kDA，從而得y1＝y(tǒng)3，y2＝y(tǒng)4,進(jìn)而得x1＝x3，x2＝x4，于是點(diǎn)A，C重合，點(diǎn)B,D重合，這與假設(shè)A，B,C,D是拋物線上不同的四點(diǎn)相矛盾．故四邊形ABCD不可能是平行四邊形．［B組能力提升]1．如果△A1B1C1的三個(gè)內(nèi)角的余弦值分別等于△A2B2C2的三個(gè)內(nèi)角的正弦值，則(）A．△A1B1C1和△A2B2C2都是銳角三角形B．△A1B1C1和△A2B2C2都是鈍角三角形C．△A1B1C1是鈍角三角形，△A2B2C2是銳角三角形D．△A1B1C1是銳角三角形，△A2B2C2是鈍角三角形解析：易知△A1B1C1的三個(gè)內(nèi)角的余弦值均大于0，故△A1B1C1為銳角三角形，設(shè)△A2B2C2也為銳角三角形，由eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(sinA2＝cosA1＝sin\f（π,2）－A1，，sinB2＝cosB1＝sin\f(π，2)－B1,,sinC2＝cosC1＝sin\f(π,2）－C1，））得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(∠A2＝\f（π,2)－∠A1，，∠B2＝\f(π,2)－∠B1，,∠C2＝\f（π,2）－∠C1，）)那么∠A2＋∠B2＋∠C2＝eq\f(π,2），這與三角形內(nèi)角和為180°矛盾,所以假設(shè)不成立,所以△A2B2C2是鈍角三角形．答案：D2．已知f(x）是R上的增函數(shù),a，b∈R,下列四個(gè)命題:①若a＋b≥0,則f(a)＋f(b）≥f(－a)＋f(－b);②若f（a)＋f（b)≥f(－a）＋f(－b)，則a＋b≥0；③若a＋b<0，則f（a）＋f(b)〈f(－a)＋f（－b)；④若f(a）＋f（b)<f（－a）＋f（－b)，則a＋b<0。其中真命題個(gè)數(shù)為（)A．1 B．2C．3 D．4解析：易知①③正確，②用反證法．假設(shè)a＋b<0,則a<－b，b〈－a,∴f（a）<f（－b），f（b）<f（－a)，∴f(a)＋f（b)<f(－a）＋f（－b)與條件矛盾，故a＋b≥0，從而②為真命題，④類似于②用反證法．答案：D3．用反證法證明命題“若a2＋b2＝0，則a，b全為0(a，b為實(shí)數(shù)）”,其反設(shè)為________．解析：“a，b全為0"即是“a＝0且b＝0”，因此它的反設(shè)為“a≠0或b≠0”,即a，b不全為0。答案:a，b不全為04．用反證法證明“一個(gè)三角形不能有兩個(gè)直角”有三個(gè)步驟：①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C>180°,這與三角形內(nèi)角和為180°矛盾，故假設(shè)錯(cuò)誤．②所以一個(gè)三角形不能有兩個(gè)直角．③假設(shè)△ABC中有兩個(gè)直角，不妨設(shè)∠A＝90°，∠B＝90°.上述步驟的正確順序?yàn)開_______．解析:由反證法的一般步驟可知,正確的順序應(yīng)為③①②。答案：③①②5．a(chǎn)、b∈R,用反證法證明a2＋ab與b2＋ab中至少有一個(gè)因式為非負(fù)數(shù)．證明：假設(shè)a2＋ab與b2＋ab都是負(fù)數(shù)，即a2＋ab<0，b2＋ab<0，則a2＋ab＋b2＋ab〈0,即a2＋2ab＋b2<0，也就是（a＋b）2〈0,這與（a＋b）2≥0矛盾．所以假設(shè)錯(cuò)誤,原結(jié)論正確．6．已知函數(shù)f(x)在區(qū)間［1，＋∞）上是增函數(shù),設(shè)當(dāng)x0≥1，f（x0)≥1時(shí)，有f[f（x0)］＝x0，求證：f(x0)＝x0.證明：假設(shè)f(x0)≠x0，則必有f（x0）>x0或f(x0）〈x0。若f(x0）>