人教A版選擇性必修第二冊(cè)第四章數(shù)列綜合測(cè)試1一、單選題1．在等差數(shù)列{an}中，已知a5=3，a9=6，則a13=（）A．9 B．12 C．15 D．182．在等差數(shù)列中，若為其前項(xiàng)和，，則的值是（）A．60 B．11 C．50 D．553．已知q為等比數(shù)列的公比，且，，則（）A． B．4C． D．4．等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，，則的值是（）A．48 B．60 C．72 D．245．已知數(shù)列{xn}滿足x1＝1，x2＝，且(n≥2)，則xn等于（）A．()n－1 B．()n C． D．6．已知數(shù)列1，,,,…，則數(shù)列的第k項(xiàng)是（）A． B．C． D．7．?dāng)?shù)列{an}滿足(n∈N*)，數(shù)列{an}前n和為Sn，則S10等于（）A． B． C． D．8．歷史上數(shù)列的發(fā)展，折射出很多有價(jià)值的數(shù)學(xué)思想方法，對(duì)時(shí)代的進(jìn)步起了重要的作用，比如意大利數(shù)學(xué)家列昂納多·斐波那契以兔子繁殖為例，引入“兔子數(shù)列”：即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233……即F（1）=F（2）=1，F(xiàn)（n）=F（n－1）＋F（n－2），，此數(shù)列在現(xiàn)代物理及化學(xué)等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用，若此數(shù)列被4整除后的余數(shù)構(gòu)成一個(gè)新數(shù)列，則b2020=（）A．3 B．2 C．1 D．09．已知數(shù)列的首項(xiàng)，前項(xiàng)的和為，且滿足，則滿足的的最大值為（）.A．7 B．8 C．9 D．1010．已知數(shù)列滿足則數(shù)列的最大項(xiàng)為（）A． B． C． D．11．已知單調(diào)遞增數(shù)列的前n項(xiàng)和滿足，且，記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則使得成立的n的最小值為（）A．7 B．8C．10 D．1112．函數(shù)，數(shù)列滿足，，且為遞增數(shù)列．則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B．C． D．二、填空題13．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則______.14．?dāng)?shù)列的前項(xiàng)和為，則_________________.15．設(shè)是數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則________.16．我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》有如下問(wèn)題：“今有金箠，長(zhǎng)五尺，斬本一尺，重四斤，斬末一尺，重二斤，問(wèn)次一尺各重幾何？”意思是：“現(xiàn)有一根金杖，長(zhǎng)5尺，一頭粗，一頭細(xì)，在粗的一端截下1尺，重4斤；在細(xì)的一端截下1尺，重2斤；問(wèn)依次每一尺各重多少斤？”設(shè)該金杖由粗到細(xì)是均勻變化的，現(xiàn)將該金杖截成長(zhǎng)度相等的15段，記第n段的重量為斤(n=1，2，…，15)，且，若(其中表示不超過(guò)的最大整數(shù))，則數(shù)列的所有項(xiàng)和為_(kāi)_______.三、解答題17．在等比數(shù)列中，已知，．求的通項(xiàng)公式；若，分別為等差數(shù)列的前兩項(xiàng)，求的前n項(xiàng)和．18．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）記，的前項(xiàng)和為，求.19．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為.（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列；（2）求的最大值及取得最大值時(shí)的值.20．已知等差數(shù)列，為其前項(xiàng)和，（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.21．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，數(shù)列的通項(xiàng)公式為．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求；（3）設(shè)，，求使得對(duì)任意，均有成立的最大整數(shù)22．已知是數(shù)列的前項(xiàng)和，，．（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．參考答案1．A【分析】在等差數(shù)列{an}中，利用等差中項(xiàng)由求解.【詳解】在等差數(shù)列{an}中，a5=3，a9=6，所以，所以，故選：A2．D【分析】根據(jù)題中條件，由等差數(shù)列的性質(zhì)，以及等差數(shù)列的求和公式，即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)樵诘炔顢?shù)列中，若為其前項(xiàng)和，，所以.故選：D.3．C【分析】利用等比通項(xiàng)公式直接代入計(jì)算，即可得答案；【詳解】，故選：C.4．A【分析】根據(jù)條件列方程組，求首項(xiàng)和公差，再根據(jù)，代入求值.【詳解】由條件可知，解得：，.故選：A5．C【分析】由已知可得數(shù)列是等差數(shù)列，求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，進(jìn)而得出答案．【詳解】由已知可得數(shù)列是等差數(shù)列，且，故公差則，故故選：C6．D【分析】根據(jù)已知中數(shù)列的前4項(xiàng)，分析數(shù)列的項(xiàng)數(shù)及起始項(xiàng)的變化規(guī)律，進(jìn)而可得答案【詳解】解：由已知數(shù)列的前4項(xiàng)：1，,,,歸納可知該數(shù)列的第項(xiàng)是一個(gè)以1為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列第項(xiàng)開(kāi)始的連續(xù)項(xiàng)和，所以數(shù)列的第項(xiàng)為：故選：D7．B【分析】根據(jù)題意得到，（），與條件兩式作差，得到，（），再驗(yàn)證滿足，得到，進(jìn)而可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)閿?shù)列滿足，，（）則，則，（），又滿足，所以，因此.故選：B8．A【分析】根據(jù)條件得出數(shù)列的周期即可.【詳解】由題意可知“兔子數(shù)列”被4整除后的余數(shù)構(gòu)成一個(gè)新數(shù)列為：1，1，2，3，1，0，1，1，2，3，1，0，……則可得到周期為6，所以b2020=b4=3，故選：A9．C【分析】根據(jù)可求出的通項(xiàng)公式，然后利用求和公式求出，結(jié)合不等式可求的最大值.【詳解】相減得，，；則是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列，，，則的最大值為9.故選：C10．B【分析】本題先根據(jù)遞推公式進(jìn)行轉(zhuǎn)化得到．然后令，可得出數(shù)列是等比數(shù)列．即．然后用累乘法可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，根據(jù)通項(xiàng)公式及二次函數(shù)的知識(shí)可得數(shù)列的最大項(xiàng)．【詳解】解：由題意，可知：．令，則．，數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列．．．，，．各項(xiàng)相乘，可得：．．令，則，根據(jù)二次函數(shù)的知識(shí)，可知：當(dāng)或時(shí)，取得最小值．，，的最小值為．．?dāng)?shù)列的最大項(xiàng)為．故選：．【點(diǎn)睛】本題主要考查根據(jù)遞推公式得出通項(xiàng)公式，構(gòu)造新數(shù)列的方法，累乘法通項(xiàng)公式的應(yīng)用，以及利用二次函數(shù)思想求最值；11．B【分析】由數(shù)列與的關(guān)系轉(zhuǎn)化條件可得，結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)可得，再由錯(cuò)位相減法可得，即可得解.【詳解】由題意，，當(dāng)時(shí)，，所以，整理得，因?yàn)閿?shù)列單調(diào)遞增且，所以，即，當(dāng)時(shí)，，所以，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，公差為1的等差數(shù)列，所以，所以，，所以，所以，所以，，所以成立的n的最小值為8.故選：B.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵是數(shù)列與關(guān)系的應(yīng)用及錯(cuò)位相減法的應(yīng)用.12．B【分析】根據(jù)分段函數(shù)的特征，以及數(shù)列在是單調(diào)遞增數(shù)列，列式求解.【詳解】是單調(diào)遞增數(shù)列，所以，數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列.故選：B．【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查分段函數(shù)的單調(diào)性和數(shù)列單調(diào)性的簡(jiǎn)單綜合應(yīng)用，本地的易錯(cuò)點(diǎn)是和時(shí)，數(shù)列的單調(diào)性，容易和函數(shù)時(shí)函數(shù)單調(diào)性搞混，此時(shí)函數(shù)單調(diào)性和數(shù)列單調(diào)性的式子是不一樣的，需注意這點(diǎn).13．【分析】根據(jù)題中條件，由等差數(shù)列的性質(zhì)，求出，再由等差數(shù)列的求和公式，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)榈炔顢?shù)列的前項(xiàng)和為，且，由等差數(shù)列的性質(zhì)可得，，所以，因此.故答案為：.14．【分析】利用計(jì)算可得出數(shù)列的通項(xiàng)公式.【詳解】當(dāng)時(shí)，;而不適合上式，.故答案為：.15．【分析】令計(jì)算得出，然后推導(dǎo)出當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，利用等比數(shù)列的求和公式可求得的值.【詳解】當(dāng)時(shí)，，解得；當(dāng)時(shí)，.當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，可得，則；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，可得，則.因此，.故答案為：.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查已知與的關(guān)系求和，常用的數(shù)列求和方法如下：（1）對(duì)于等差等比數(shù)列，利用公式法直接求和；（2）對(duì)于型數(shù)列，其中是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，利用錯(cuò)位相減法求和；（3）對(duì)于型數(shù)列，利用分組求和法；（4）對(duì)于型數(shù)列，其中是公差為的等差數(shù)列，利用裂項(xiàng)相消法求和.16．【分析】先根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式列方程求出公差與首項(xiàng)，可得，結(jié)合新定義與等差數(shù)列的求和公式可得答案.【詳解】由題意，由細(xì)到粗每段的重量成等差數(shù)列，設(shè)公差為，則解得，，所以．所以因此數(shù)列的所有項(xiàng)和為．故答案為：【點(diǎn)睛】與實(shí)際應(yīng)用相結(jié)合的題型也是高考命題的動(dòng)向，這類問(wèn)題的特點(diǎn)是通過(guò)現(xiàn)實(shí)生活的事例考查書(shū)本知識(shí)，解決這類問(wèn)題的關(guān)鍵是耐心讀題、仔細(xì)理解題，只有吃透題意，才能將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型進(jìn)行解答..17．（1）；（2）.【分析】(1)求出等比數(shù)列的公比q，進(jìn)而得到其通項(xiàng)公式；（2）求出等差數(shù)列公差d，再利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求解.【詳解】（1）∵公比，∴.（2）∵，，-8+4=12,∴，公差.故.【點(diǎn)睛】本題考查了等比數(shù)列的基本量計(jì)算和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了等差數(shù)列的基本量計(jì)算和前n項(xiàng)和公式.是基礎(chǔ)題.18．（1）（2）【分析】（1）由，可得，即，從而可得公差，從而得出答案.

（2）由條件可得，由等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式可得答案.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，又，，又，得，則所以（2）所以19．（1）證明見(jiàn)解析；（2）前16項(xiàng)或前17項(xiàng)和最大，最大值為.【分析】（1）先由求通項(xiàng)公式，再利用定義法證明即可；（2）先判斷的n的范圍，得到數(shù)列的正負(fù)分布，即得何時(shí)最大.【詳解】解：（1）證明：當(dāng)時(shí)，，又當(dāng)時(shí)，，滿足，故的通項(xiàng)公式為，∴.故數(shù)列是以32為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列；（2）令，即，解得，故數(shù)列的前16項(xiàng)或前17項(xiàng)和最大，此時(shí).20．（1）；（2）.【分析】（1）設(shè)數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，然后根據(jù)題目條件列出關(guān)于和的方程組求解；（2）將（1）中所得的數(shù)列的通項(xiàng)公式代入，得到的通項(xiàng)公式，再根據(jù)通項(xiàng)公式確定該用哪個(gè)方法求前項(xiàng)和.【詳解】解：（1）設(shè)數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，則根據(jù)題意得：由，解得，所以.（2），則.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的基本公式的運(yùn)用，考查利用分組求和法求數(shù)列的前項(xiàng)和.解答時(shí)，如果已知數(shù)列為等差數(shù)列或等比數(shù)列求通項(xiàng)公式，只需將題目條件翻譯成數(shù)學(xué)表達(dá)式，然后通過(guò)方程解出首項(xiàng)和公差或公比，然后得出數(shù)列的通項(xiàng)公式.對(duì)于數(shù)列，當(dāng)和分別為等差數(shù)列與等比數(shù)列時(shí)，可采用分組求和法求和.21．（1）；（2）；（3）存在最大的整數(shù)滿足題意．【分析】（1）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，將已知代入化簡(jiǎn)計(jì)算可得數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）利用錯(cuò)位相減法計(jì)算，分和兩種情況，分別得出答案；（3）利用裂項(xiàng)相消法計(jì)算出，并得出單調(diào)性和最值，代入不等式解出的范圍，得到答案．【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，即數(shù)列的通項(xiàng)公式為（2），，①則，②①﹣②，得．當(dāng)時(shí)，，則．當(dāng)時(shí)，綜上可得，（3）由（1）可得，則顯然為關(guān)于的增函數(shù)，故．于是欲使恒成立，則，解得．存在最大的整數(shù)滿足題意．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查數(shù)列的求和，數(shù)列求和的方法總結(jié)如下：1.公式法，利用等差數(shù)列和等比數(shù)列的求和公式進(jìn)行計(jì)算即可；2.裂項(xiàng)相消法，通過(guò)把數(shù)列的通項(xiàng)公式拆成兩項(xiàng)之差，在求和時(shí)中間的一些項(xiàng)可以相互抵消，從而求出數(shù)列的和；3.錯(cuò)位相減法，當(dāng)數(shù)列的通項(xiàng)公式由一個(gè)等差數(shù)列與一個(gè)等比數(shù)列的乘積構(gòu)成時(shí)使用此方法；4.倒序相加法，如果一個(gè)數(shù)列滿足首末兩項(xiàng)等距離的兩項(xiàng)之和相等，可以使用此方法求和．22．（1）證明見(jiàn)解析，；（2）.【分析】（1）首先根據(jù)，兩式相減得，即可得到的通項(xiàng)公式.（2）首先求出，再利用錯(cuò)位相減法求前項(xiàng)和即可.【詳解】（1）證明：由，當(dāng)時(shí)，，兩式相減得，當(dāng)時(shí)，即，∴，∴，∴時(shí)都有，∴數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為3的等比數(shù)列，∴．（2）解：，∴，，∴，∴∴．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)