《小學(xué)數(shù)學(xué)疑難問題研究》第一章有關(guān)“數(shù)與代數(shù)”的疑難問題第一節(jié)數(shù)的認(rèn)識(shí)與大小比較A1—1自然數(shù)在現(xiàn)代數(shù)學(xué)中的定義與在小學(xué)數(shù)學(xué)課本中的說明有什么不同？【自然數(shù)】“數(shù)”（shù）起源于數(shù)（shǔ），一個(gè)、一個(gè)地?cái)?shù)東西。由此而產(chǎn)生的用來表示物體個(gè)數(shù)的數(shù)一，二，三，……就叫自然數(shù)。零表示沒有東西可數(shù)，零也是一個(gè)自然數(shù)?！耙弧笔亲匀粩?shù)的單位。任何一個(gè)自然數(shù)都是由若干個(gè)“1”組成的?！咀匀粩?shù)的產(chǎn)生】自然數(shù)概念的產(chǎn)生，經(jīng)過了漫長的歲月。首先，產(chǎn)生的是“有”、“無”的概念。原始人在打獵、捕魚或采集果實(shí)時(shí)，對(duì)于獵物或果實(shí)的有、無是最為關(guān)心的。然后，“有”的概念進(jìn)一步分化為“多”和“少”。為了比較多少而使用一一對(duì)應(yīng)的方法時(shí)，必然會(huì)遇到“同樣多”的物體集合（即等價(jià)集合）。等價(jià)集合被歸入一類，并且從中選出一個(gè)大家熟悉的集合來表示這類集合的共同性質(zhì)。其實(shí)質(zhì)就是用具體的集合形象地表示數(shù)目的多少。例如，用一個(gè)人的耳朵的集合作為一類等價(jià)集合的代表。逐漸地，這類等價(jià)集合被稱為“耳”。最后，脫離具體的事物集合，用專門術(shù)語表示一類等價(jià)集合的共同性質(zhì)。于是，“耳”就演化為“二”。自然數(shù)“二”的概念就這樣產(chǎn)生了。（圖1—1）有、無有、無多、少用具體集合來表示一類等價(jià)集合的共同性質(zhì)（如“耳”）脫離具體集合，出現(xiàn)專門名詞（如“二”）圖1—1表示自然數(shù)的名詞，許多都是從常見的實(shí)物演變而來的。如藏文“二”有“翼”的意思，梵文的“五”與波斯語的“手”相近。南美洲有些地方干脆把“五”叫做“手”，“六”叫做“手一”，“七”叫做“手二”等等。這些事實(shí)都說明自然數(shù)的概念來源于實(shí)踐?！靖トR格—羅素的自然數(shù)定義】1884年，德國數(shù)學(xué)家、邏輯學(xué)家弗萊格（F.L.G.Frege1848—1925）在他的著作《算術(shù)基礎(chǔ)》中，最先給出了自然數(shù)的定義。但這個(gè)成果當(dāng)時(shí)少為人知。直至1902年，英國數(shù)學(xué)家、邏輯學(xué)家和哲學(xué)家羅素（B.A.W.Russell1872—1970）重新給出這個(gè)定義。在他們作出的被后人稱之為“弗萊格—羅素的自然數(shù)定義”中，將每一個(gè)自然數(shù)定義為“可以建立一一對(duì)應(yīng)的所有的有限集組成的集?！蹦芎陀邢藜疉建立一一對(duì)應(yīng)的（即和A等價(jià)的）所有集組成的集稱為“集A的基數(shù)”。記為。即={B│B~A}其中，~表示集的等價(jià)關(guān)系。為了使自然數(shù)的這個(gè)定義通俗易懂，有些用于教師教育的《小學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)理論》教科書將每一個(gè)自然數(shù)定義為“可以建立一一對(duì)應(yīng)的一類有限集的共同性質(zhì)”。以往的人教版小學(xué)數(shù)學(xué)教科書在教學(xué)“5的認(rèn)識(shí)”時(shí)，首先引導(dǎo)小學(xué)生觀察畫面上的五位解放軍、五匹馬、五支槍，以及五根小棒、五粒算珠、五顆五角星等不同的物體集合。然后，引導(dǎo)小學(xué)生尋求這些物體集合的共同點(diǎn)：“它們都是五個(gè)”?！拔濉本褪沁@些物體集合的共同性質(zhì)。從而初步形成自然數(shù)“五”的概念?？梢姡W(xué)生對(duì)自然數(shù)的基數(shù)意義的認(rèn)識(shí)，和弗萊格-羅素的自然數(shù)定義實(shí)質(zhì)上是一致的?！酒喼Z公理】為了建立自然數(shù)的公理化體系，意大利數(shù)學(xué)家和邏輯學(xué)家G.皮亞諾（G.Peano1858—1932）在1891年給出了關(guān)于自然數(shù)的五條公理：①0是一個(gè)自然數(shù)。②0不是任何其它自然數(shù)的繼數(shù)。③每一個(gè)自然數(shù)a都有一個(gè)繼數(shù)。④如果自然數(shù)a與b的繼數(shù)相等，則a、b也相等。⑤（數(shù)學(xué)歸納法公理）如果一個(gè)由自然數(shù)組成的集合S包含0，并且當(dāng)S包含某一個(gè)自然數(shù)a時(shí)，它一定也含有a的繼數(shù)，那么S就包含全體自然數(shù)。皮亞諾的這一公理系統(tǒng)被稱之為“皮亞諾公理”，它標(biāo)志著數(shù)學(xué)分析算術(shù)化運(yùn)動(dòng)的終結(jié)。參考書[1]《中國大百科全書數(shù)學(xué)》中國大百科全書出版社1988年11月第1版，P220；321—322；461；510。[2]《中學(xué)數(shù)學(xué)教師手冊(cè)》上海教育出版社1986年5月第1版，P1—331。[3]《邏輯與小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)》金成梁著，北京師范大學(xué)出版社2001年9月第1版，P19—20。A1—2自然數(shù)的“基數(shù)意義”和“序數(shù)意義”有什么不同？【基數(shù)】當(dāng)自然數(shù)0，1，2，……用來表示有限集合中元素的個(gè)數(shù)時(shí)，這樣的數(shù)叫做“基數(shù)”。如“這幢住宅樓是5層樓”這里的“5”就是基數(shù)?！拘驍?shù)】當(dāng)自然數(shù)被用來表示事物的排列次序時(shí)，這樣的數(shù)就叫做“序數(shù)”。如“我住在這幢住宅樓的5樓”，這里的“5”就是序數(shù)，表示“第5”的意思。上體育課時(shí)排成一列橫隊(duì)“報(bào)數(shù)”，排頭從“1”開始，報(bào)到排尾是“35”，那么這個(gè)“35”既表示這一隊(duì)學(xué)生共有35人，也表示排尾的學(xué)生是第35個(gè)。在一個(gè)句子里出現(xiàn)的自然數(shù)究竟是基數(shù)、還是序數(shù)，要根據(jù)語言環(huán)境（即上下文）來判定。A1—3自然數(shù)、正整數(shù)和整數(shù)之間的區(qū)別和聯(lián)系是什么？【正整數(shù)】一個(gè)、一個(gè)地?cái)?shù)東西而產(chǎn)生的、用來表示物體個(gè)數(shù)的數(shù)1，2，3，……也叫正整數(shù)。當(dāng)我們數(shù)每一棵蘋果樹上有多少個(gè)蘋果時(shí)，可能遇到一個(gè)蘋果也沒有的情形。要數(shù)的東西一個(gè)也沒有，就用“0”表示。0與正整數(shù)統(tǒng)稱自然數(shù)?！矩?fù)整數(shù)】為了表示現(xiàn)實(shí)世界中具有相反意義的量，人們引用了正數(shù)與負(fù)數(shù)。如“盈利5元”用“+5元”表示，“虧損5元”就用“－5元”表示。這種在一個(gè)數(shù)前添加的表示它的“正”、“負(fù)”的符號(hào)叫做“性質(zhì)符號(hào)”。添加了性質(zhì)符號(hào)“+”或“－”的數(shù)分別稱為“正數(shù)”與“負(fù)數(shù)”。“0”既不是正數(shù)，也不是負(fù)數(shù)。正數(shù)中的正號(hào)可以省略不寫。添加了負(fù)號(hào)“－”的正整數(shù)叫做負(fù)整數(shù)。【整數(shù)】正整數(shù)、零與負(fù)整數(shù)統(tǒng)稱“整數(shù)”。（如圖1-2）自然數(shù)負(fù)整數(shù)正整數(shù)正整數(shù)自然數(shù)……，－3，－2，－1，0，+1，+2，+3，……整數(shù)零自然數(shù)負(fù)整數(shù)整數(shù)圖1—2【皮亞諾的整數(shù)系】皮亞諾在構(gòu)造了自然數(shù)系的公理后，又構(gòu)造了整數(shù)系。首先，用自然數(shù)偶（m，n）表示整數(shù)：用（m+n，m）表示正整數(shù)n；用(m，m)表示數(shù)0；用（m，m+n）表示負(fù)整數(shù)－n。第二步，定義數(shù)偶的加法、乘法與大小關(guān)系：（m,n）+(k,l)=(m+k,n+l);(m,n)·(k,l)=(mk+nl,ml+nk);(m,n)＜(k,l)當(dāng)且僅當(dāng)m+l＜n+k.可以證明：經(jīng)過這樣定義的整數(shù)集滿足加法與乘法的結(jié)合律、交換律和乘法對(duì)加法的分配律。它包含有數(shù)0，對(duì)任何整數(shù)n，有0+n=n還包含了單位元素1，對(duì)任何整數(shù)n，有1·n=n對(duì)于任何整數(shù)m、n，方程m+x=n總有唯一解。并且整數(shù)集關(guān)于“＜”構(gòu)成一個(gè)有序集。參考書《中學(xué)數(shù)學(xué)教師手冊(cè)》上海教育出版社1986年5月第1版，P1—309。A1—4為什么以前規(guī)定“零不是自然數(shù)”，現(xiàn)在又規(guī)定“零是自然數(shù)”？1891年，意大利數(shù)學(xué)家G·皮亞諾在建立自然數(shù)的公理化體系時(shí)，給出的第一個(gè)公理就是“0是一個(gè)自然數(shù)”?？梢?，在歐美各國的學(xué)術(shù)界，這樣的觀點(diǎn)處于主導(dǎo)地位。1949年中華人民共和國成立后，歐美的一些主要國家聯(lián)合起來，對(duì)我國實(shí)行經(jīng)濟(jì)封鎖。導(dǎo)致我國與原蘇聯(lián)訂立“中蘇友好互助同盟條約”，并且提出“向蘇聯(lián)學(xué)習(xí)”的口號(hào)。許多學(xué)科的教學(xué)大綱和教科書都是參照蘇聯(lián)的版本編譯的。M·K格列本卡著高等學(xué)校教學(xué)用書?！端阈g(shù)》P6中明確指出：數(shù)（shǔ）樹上的蘋果時(shí)，可能某一棵樹上一只蘋果也沒有。這時(shí)我們就說這棵樹上的蘋果數(shù)目為零。零就是沒有東西可數(shù)。零作為一個(gè)數(shù)，不屬于自然數(shù)。于是，“零不是自然數(shù)”的判斷在中小學(xué)數(shù)學(xué)課程中廣為傳播。20世紀(jì)80年代以來，為了實(shí)行對(duì)外開放，便于國際交流，在科技與教育上和國際接軌，在1993年頒布的《中華人民共和國國家標(biāo)準(zhǔn)》（GB3100-3102-93）《量和單位》（11-29）第311頁，規(guī)定：自然數(shù)包括零。隨后，在進(jìn)行中小學(xué)數(shù)學(xué)教材的修訂時(shí)，根據(jù)上述國家標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行了修改。數(shù)物體時(shí)如果一個(gè)物體也沒有，就用0表示。0也是自然數(shù)。1994年11月國家技術(shù)監(jiān)督局發(fā)布的《中華人民共和國國家標(biāo)準(zhǔn)，物理科學(xué)和技術(shù)中使用的數(shù)學(xué)符號(hào)》中，將自然數(shù)集記為N=｛0，1，2，3，…｝。而將原自然數(shù)集稱為非零自然數(shù)集N+（或N*）=｛1，2，3，…｝自然數(shù)集擴(kuò)充后，自然數(shù)的基數(shù)理論以及其他一些與自然數(shù)有關(guān)的理論問題隨之發(fā)生變化，如自然數(shù)加法與乘法的定義中要去掉原有的“非空”二字，對(duì)于與自然數(shù)有關(guān)的命題的論證，應(yīng)隨自然數(shù)擴(kuò)充后作相應(yīng)調(diào)整。如數(shù)學(xué)歸納法證明的步驟應(yīng)是：1°驗(yàn)證n=0時(shí)，命題成立；2°假設(shè)n=k－1時(shí)命題成立，證明n=k時(shí)命題仍然成立。從而與G·皮亞諾1891年給出的關(guān)于自然數(shù)的公理⑤一致?？茖W(xué)概念的定義，它的內(nèi)涵與外延的明確界定，本來就是一種人為的規(guī)定。它可以隨著科學(xué)、技術(shù)的發(fā)展而由權(quán)威科學(xué)家的群體重新定義。不久前，天文學(xué)家對(duì)“行星”的重新定義使得冥王星不再是我們這個(gè)太陽系的九大行星之一。【自然數(shù)的分類】規(guī)定“0是自然數(shù)”后，自然數(shù)按約數(shù)個(gè)數(shù)的分類也將發(fā)生變化（如圖1—3）：0，1質(zhì)數(shù)（有且只有2個(gè)約數(shù)）0，1自然數(shù)合數(shù)約數(shù)合數(shù)（有3個(gè)或3個(gè)以上的約數(shù)）自然數(shù)合數(shù)約數(shù)1（只有1個(gè)約數(shù)）自然數(shù)0（0以外的任何數(shù)都是它的約數(shù)）自然數(shù)圖1-3圖1-3參考書高等學(xué)校教學(xué)用書《算術(shù)》，M·K·格列來卡著，商務(wù)印書館，1957年4月5日版A1—5“自然數(shù)集”、“自然數(shù)列”和“擴(kuò)大的自然數(shù)列”有哪些區(qū)別和聯(lián)系？自然數(shù)列有哪些基本性質(zhì)？【自然數(shù)集】所有的自然數(shù)組成的集合叫做“自然數(shù)集”?！炯细拍睢颗c【非集合概念】“自然數(shù)”和“自然數(shù)集”是兩個(gè)不同的概念。我們可以說“3是自然數(shù)”，但不能說“3是自然數(shù)集”。因?yàn)椤白匀粩?shù)集”是一個(gè)集合概念，即從整體上反映一個(gè)集合體的概念?！白匀粩?shù)”則是非集合概念。作為練習(xí)，試區(qū)分下面的概念中，哪些是集合概念，哪些是非集合概念：（1）到A、B兩點(diǎn)距離相等的點(diǎn)；（2）到A、B兩點(diǎn)距離相等的點(diǎn)的軌跡；（3）中國數(shù)學(xué)家；（4）中國數(shù)學(xué)協(xié)會(huì)?！咀匀粩?shù)列】將所有的自然數(shù)按照從小到大的順序排成一列，0，1，2，3，…這樣的一列數(shù)叫做自然數(shù)列?！白匀粩?shù)列”和“自然數(shù)集”都必須包括所有的自然數(shù)，但它們的區(qū)別就在于自然數(shù)集不講究所含元素的順序，而自然數(shù)列中所有的自然數(shù)都必須按照從小到大的順序排列。只要有一處違反了這樣的順序，如0，2，1，3，……，它就不是自然數(shù)列。當(dāng)然，少了一個(gè)自然數(shù)的數(shù)集或數(shù)列也不再是自然數(shù)集或自然數(shù)列?！咀匀粩?shù)列的性質(zhì)】自然數(shù)列有以下性質(zhì)：（1）有始。自然數(shù)列是從0開始的。0不是任何其它自然數(shù)的繼數(shù)；（2）有序。每一個(gè)自然數(shù)都有且只有一個(gè)繼數(shù)；除了0，每個(gè)自然數(shù)都有且只有一個(gè)先行的數(shù)；（3）無限。自然數(shù)列是一個(gè)無限數(shù)列。沒有最后的（或者說最大的）自然數(shù)。【擴(kuò)大的自然數(shù)列】這是一個(gè)應(yīng)該消亡的數(shù)學(xué)名詞。當(dāng)我們認(rèn)為“0不是自然數(shù)”時(shí)，把1，2，3，……叫做“自然數(shù)列”。而將0，1，2，3，……稱為“擴(kuò)大的自然數(shù)列”?，F(xiàn)在，國家標(biāo)準(zhǔn)重新規(guī)定“0是自然數(shù)”，因此，后者順理成章地應(yīng)該稱之為“自然數(shù)列”?！皵U(kuò)大的自然數(shù)列”作為一個(gè)數(shù)學(xué)名詞已經(jīng)不再需要。A1—6“計(jì)數(shù)”、“記數(shù)”、“數(shù)數(shù)”、“寫數(shù)”、“讀數(shù)”各指什么？什么是計(jì)數(shù)的基本原理？為什么我們的計(jì)數(shù)制和記數(shù)制都是十進(jìn)制？【計(jì)數(shù)（count）】【數(shù)數(shù)】“計(jì)數(shù)”就是“數(shù)數(shù)”。指的是把一些事物與非負(fù)自然數(shù)列里的數(shù)1，2，3，……建立一一對(duì)應(yīng)的過程。【計(jì)數(shù)原理（countingprinciple）】計(jì)數(shù)的基本原理如下：只要不遺漏、不重復(fù)，計(jì)數(shù)的結(jié)果與計(jì)數(shù)的順序無關(guān)?！臼M(jìn)制計(jì)數(shù)法】計(jì)數(shù)時(shí)，可以一個(gè)，一個(gè)地?cái)?shù)，也可以幾個(gè)、幾個(gè)地?cái)?shù)。如二個(gè)、二個(gè)地?cái)?shù)；五個(gè)、五個(gè)地?cái)?shù)；十個(gè)、十個(gè)地?cái)?shù)等。二、五、十等都是計(jì)數(shù)單位。用一（個(gè)）、十、百、千、萬、……等作為計(jì)數(shù)單位的計(jì)數(shù)方法叫做十進(jìn)制計(jì)數(shù)法。這時(shí)，每十個(gè)較低的計(jì)數(shù)單位等于一個(gè)較高的單位。實(shí)際運(yùn)用十進(jìn)制計(jì)數(shù)法時(shí)，要從盡可能大的計(jì)數(shù)單位數(shù)起。如數(shù)一盤草莓，先十個(gè)、十個(gè)地?cái)?shù)，剩下不足十個(gè)時(shí)，再一個(gè)、一個(gè)地?cái)?shù)。最后弄清這盤草莓的個(gè)數(shù)是幾個(gè)十、幾個(gè)一。（這里的“幾”應(yīng)該是不大于9的自然數(shù)。）運(yùn)用十進(jìn)制計(jì)數(shù)法，我們就可以弄清一個(gè)自然數(shù)N是由幾個(gè)一、幾個(gè)十、幾個(gè)百、幾個(gè)千、……組成的。這里的“幾”都是不大于9的自然數(shù)。用符號(hào)表示就是，其中，0＜≤9，0≤，…，≤9?！居洈?shù)】【寫數(shù)】“記數(shù)”就是“寫數(shù)”。指的是如何用數(shù)字符號(hào)將一個(gè)數(shù)N（或者計(jì)數(shù)的結(jié)果）記錄下來?！臼M(jìn)制記數(shù)法】當(dāng)我們用十進(jìn)制計(jì)數(shù)法弄清了一個(gè)數(shù)的組成后，就可以按照十進(jìn)位記數(shù)制用數(shù)字符號(hào)0，1，2，…，9把這個(gè)數(shù)記錄下來。由于自然數(shù)有無限多個(gè)，要對(duì)每一個(gè)自然數(shù)都給一個(gè)獨(dú)立的名稱和記號(hào)是不可能的。現(xiàn)在國際上通用的記數(shù)方法是用0，1，2，…，9分別表示自然數(shù)列里的前十個(gè)數(shù)。其它自然數(shù)則用這些數(shù)字按“位值原則”表示出來。即每個(gè)數(shù)字占有一個(gè)位置，叫做“數(shù)位”。每個(gè)數(shù)位表示一種計(jì)數(shù)單位。同一個(gè)（0以外的）數(shù)字在所記的數(shù)里位置不同，所表示的數(shù)值也不同。在所記的數(shù)里，從右向左，第一位是個(gè)位，第二位是十位，第三位是百位，……。個(gè)位的計(jì)數(shù)單位是一，十位的計(jì)數(shù)單位是十，百位的計(jì)數(shù)單位是百，……。如果一個(gè)數(shù)是由八個(gè)百、三個(gè)十和五個(gè)一組成的。就把它寫作835。一般地，如果一個(gè)自然數(shù)，其中，0＜≤9，0≤，…，≤9。則此自然數(shù)就寫作。因?yàn)槊績蓚€(gè)相鄰數(shù)位的計(jì)數(shù)單位的進(jìn)率都是十，所以這種記數(shù)的方法叫做十進(jìn)制記數(shù)法。A1—7“數(shù)”和“數(shù)字”的區(qū)別和聯(lián)系是什么？【數(shù)字（numerals）】用來記數(shù)的符號(hào)叫做“數(shù)字”。數(shù)和數(shù)字是兩個(gè)不同的概念。數(shù)或?yàn)閱螖?shù)、或?yàn)殡p數(shù)，或?yàn)橘|(zhì)數(shù)、或?yàn)楹蠑?shù)。數(shù)字或?yàn)榱_馬數(shù)字、或?yàn)榘⒗當(dāng)?shù)字，或?yàn)槭謱懙臄?shù)字、或?yàn)橛∷⒌臄?shù)字。事實(shí)上，數(shù)字并不是數(shù)，而是表示數(shù)的記號(hào)。數(shù)是數(shù)字所表達(dá)的內(nèi)容而不是數(shù)字本身。中國是世界上的文明古國之一。用文字記數(shù)在我國已有悠久的歷史。早在三千多年前的商代的甲骨文里，就已經(jīng)記有數(shù)字。其中記載的最大的數(shù)是“三萬”，最小的數(shù)是“一”。一、十、百、千、萬各有專名。特別是當(dāng)時(shí)已經(jīng)采用了十進(jìn)制的記數(shù)方法，這和現(xiàn)在世界通用的“十進(jìn)制記數(shù)法”是一致的。A1—8說“43”表示數(shù)的符號(hào)叫做數(shù)字。因?yàn)椤?3”是一個(gè)數(shù)學(xué)符號(hào)，在十進(jìn)制記數(shù)法中，用來表示由四個(gè)十與三個(gè)一組成的自然數(shù)，所以它是一個(gè)數(shù)字。是由數(shù)字“4”與“3”排成一列組成的“復(fù)合數(shù)字”。此外，在許多上下文中，43也確實(shí)可以表示一個(gè)數(shù)，由四個(gè)十與三個(gè)一組成的數(shù)。另一方面，在一定的語言環(huán)境中出現(xiàn)的數(shù)字“43”，也可以用來表示一個(gè)k進(jìn)制的自然數(shù)，即四個(gè)k與三個(gè)一組成的數(shù)。在這里，因?yàn)槌霈F(xiàn)了數(shù)字“4”，所以k≥5?？傊?，“43”既是一個(gè)數(shù)，也是一個(gè)數(shù)字。當(dāng)它在一個(gè)語句中出現(xiàn)時(shí)，究竟何所指，要看特定的語言環(huán)境。A1—9“數(shù)的組成”、“數(shù)的名稱”和“數(shù)的讀寫”有什么聯(lián)系？【數(shù)的組成】我們?cè)谝龑?dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)某個(gè)范圍內(nèi)的自然數(shù)時(shí)，首先要認(rèn)識(shí)這些數(shù)的組成。如認(rèn)識(shí)一個(gè)千以內(nèi)的數(shù)，要弄清它是由幾個(gè)百、幾個(gè)十與幾個(gè)一組成的?？梢韵扔糜?jì)數(shù)單位“百”一百、一百地?cái)?shù)。剩下的不足一百個(gè)時(shí)，再用計(jì)數(shù)單位“十”十個(gè)、十個(gè)地?cái)?shù)。最后，如果剩下的不足十個(gè)，再一個(gè)、一個(gè)地?cái)?shù)。即用十進(jìn)制計(jì)數(shù)法弄清數(shù)的組成?！緮?shù)的名稱】每一個(gè)自然數(shù)的名稱都是根據(jù)它的組成規(guī)定的。為此，制定了根據(jù)自然數(shù)的組成來為它命名的規(guī)則。同時(shí)，也制定了按十進(jìn)制位值原則用數(shù)字符號(hào)0，1，2，…，9來表示一個(gè)自然數(shù)的規(guī)則（“寫數(shù)規(guī)則”），也就是“十進(jìn)制記數(shù)法”。數(shù)的名稱數(shù)的符號(hào)讀寫十進(jìn)制計(jì)數(shù)法數(shù)數(shù)的組成命名規(guī)則寫數(shù)規(guī)則（十進(jìn)制記數(shù)法）所謂“讀”，就是根據(jù)一個(gè)數(shù)的符號(hào)，說出它的名稱；所謂“數(shù)的名稱數(shù)的符號(hào)讀寫十進(jìn)制計(jì)數(shù)法數(shù)數(shù)的組成命名規(guī)則寫數(shù)規(guī)則（十進(jìn)制記數(shù)法）圖1—4總之，數(shù)的組成是用十進(jìn)制計(jì)數(shù)法計(jì)數(shù)的結(jié)果，數(shù)的組成是給這個(gè)數(shù)命名的依據(jù)，也是用數(shù)字符號(hào)表示這個(gè)數(shù)的依據(jù)。因而也是數(shù)的讀寫的基礎(chǔ)?？梢?，數(shù)的組成是認(rèn)數(shù)教學(xué)的核心問題。A1—10“十進(jìn)制”和“二進(jìn)制”的相同點(diǎn)和不同點(diǎn)有哪些？【進(jìn)位制】如果在所用的一系列計(jì)數(shù)單位中，每十個(gè)某單位都組成一個(gè)和它相鄰的較高的單位，即所謂“滿十進(jìn)一”，那么這種計(jì)數(shù)制就是“十進(jìn)制”。如果是“滿二進(jìn)一”，就是“二進(jìn)制”，十進(jìn)制和二進(jìn)制都是“進(jìn)位制”。十和二分別是這兩種進(jìn)位制的基數(shù)。進(jìn)位制的基數(shù)可以是大于1的任何自然數(shù)。運(yùn)用十進(jìn)制計(jì)數(shù)法，我們可以將任何一個(gè)自然數(shù)N 表為其中，0＜a0≤9；0≤a1，…，an≤9。運(yùn)用二進(jìn)制計(jì)數(shù)法，可將自然數(shù)表為其中，a0=1，0≤a1，…，an≤1?？梢?，十進(jìn)制和二進(jìn)制都可以將一個(gè)自然數(shù)分解為不同底數(shù)的冪的和。在十進(jìn)制記數(shù)法中，我們用十種不同的數(shù)字0，1，2，…，9按照位值計(jì)數(shù)法來表示不同的自然數(shù)。在二進(jìn)制記數(shù)法中，只用兩個(gè)不同的數(shù)字0，1就能表示任何自然數(shù)。表示自然數(shù)列中前幾個(gè)數(shù)的二進(jìn)制數(shù)字與十進(jìn)制數(shù)字的對(duì)應(yīng)關(guān)系如下表：十進(jìn)制數(shù)0123456789…二進(jìn)制數(shù)01101110010111011110001001…因此，作為記數(shù)法，他們運(yùn)用的不同數(shù)字的個(gè)數(shù)不同；表示同一個(gè)自然數(shù)時(shí)，所需數(shù)位的個(gè)數(shù)也不同。A1—11“精確數(shù)”和“近似數(shù)”、“相對(duì)誤差”和“絕對(duì)誤差”以及“有效數(shù)字”和“可靠數(shù)字”有什么區(qū)別？什么是科學(xué)記數(shù)法？（李同賢）【準(zhǔn)確數(shù)與近似數(shù)】在計(jì)數(shù)和計(jì)算過程中，有時(shí)能得到與實(shí)際完全相符的數(shù)，這些數(shù)叫準(zhǔn)確數(shù)，如某校的數(shù)學(xué)教師有15人、6×1.2=7.2等等，但在生產(chǎn)、生活和計(jì)算中得到的某些數(shù)，往往只是接近于準(zhǔn)確數(shù)，這種數(shù)叫近似數(shù)。如“某市人口有75萬，”75萬就是一個(gè)近似數(shù)。因?yàn)樵诮y(tǒng)計(jì)一個(gè)城市的人口時(shí)，由于居民的遷入和遷出，出生和死亡，人口的數(shù)目隨時(shí)都在變化，很難得出準(zhǔn)確的人口數(shù)。在計(jì)算圓周長的公式里，圓周率可以用3.14代入計(jì)算，3.14也是的近似數(shù)?？梢姡瑴?zhǔn)確數(shù)與近似數(shù)主要區(qū)別在于是否與實(shí)際情況完全相符?！静蛔憬浦蹬c過剩近似值】小于準(zhǔn)確數(shù)的近似值，叫不足近似值；大于準(zhǔn)確數(shù)的近似值，叫過剩近似值。例如，3.14、3.142分別是圓周率的不足近似值和過剩近似值?！菊`差、絕對(duì)誤差和相對(duì)誤差】準(zhǔn)確數(shù)A與它的近似值a之差A(yù)－a叫做這個(gè)近似數(shù)的誤差，誤差的絕對(duì)值叫絕對(duì)誤差。近似數(shù)的絕對(duì)誤差除以準(zhǔn)確數(shù)的絕對(duì)值所得的商叫做這個(gè)近似數(shù)的相對(duì)誤差。實(shí)際計(jì)算時(shí)，由于準(zhǔn)確數(shù)往往不得而知，所以只能用近似數(shù)的絕對(duì)值代替準(zhǔn)確數(shù)的絕對(duì)值來計(jì)算相對(duì)誤差。例如，甲、乙兩人量邊長為1米的正方形的對(duì)角線的長度。甲量得的結(jié)果是1.41米，乙量得的結(jié)果是1.42（米）；（米）相對(duì)誤差分別是：%和%絕對(duì)誤差一般用來比較同一個(gè)數(shù)量的兩個(gè)不同近似數(shù)的精確度，而相對(duì)誤差則往往用來比較兩個(gè)不同數(shù)量的近似數(shù)的精確度?！居行?shù)字與可靠數(shù)字】一個(gè)近似數(shù)，如果絕對(duì)誤差不超過它末位的半個(gè)單位，則從左端開頭的第一個(gè)非零數(shù)字起到末位數(shù)字止，所有的數(shù)字都叫這個(gè)近似數(shù)的有效數(shù)字。例如，取≈3.14，因?yàn)椋?.01÷2，所以圓周率的近似值3.14有三個(gè)有效數(shù)字；如果取≈3.1416，則＜0.0001÷2，所以近似值3.1416有5個(gè)有效數(shù)字。一個(gè)近似數(shù)，如果絕對(duì)誤差不超過它末位的一個(gè)單位，則從左端開頭的第一個(gè)非零數(shù)字起到末位數(shù)字止，所有數(shù)字都叫這個(gè)近似數(shù)的可靠數(shù)字。1、用四舍五入法截得的近似數(shù)，從它的左面第一個(gè)不是零的數(shù)字起到末位數(shù)字止，所有的數(shù)字都是有效數(shù)字。也都是可靠數(shù)字。2、用進(jìn)一法或去尾法截得的近似數(shù)，從它的左面第一個(gè)不是零的數(shù)字起到末位止，所有的數(shù)字都是可靠數(shù)字。在這些可靠數(shù)字中，除末位外，都是有效數(shù)字?！究茖W(xué)計(jì)數(shù)法】當(dāng)近似數(shù)是整十、整百、整千、……的數(shù)時(shí)，如果不加說明，我們就無法確定它們的有效數(shù)字和可靠數(shù)字。例如，近似數(shù)5700，如無說明，我們就不能確定它是用什么方法截取到那個(gè)數(shù)位得到的，它可能是精確數(shù)5698用四舍五入法截取到百位得到的，也可能是5698截取到十位得到的，如果是前一種情況，那么它有兩個(gè)有效數(shù)字（5、7），如果是后一種情況，那么它有三個(gè)有效數(shù)字（5、7、0），如果它是某個(gè)精確數(shù)用四舍五入法保留到個(gè)位得來的。那么它就有四個(gè)有效數(shù)字（5、7、0、0）。為了解決上述矛盾，我們規(guī)定：當(dāng)一個(gè)近似數(shù)a是整十、整百、整千、……的數(shù)時(shí)，就把他寫成的形式，其中是由近似數(shù)a的有效數(shù)字組成的數(shù)，且滿足1≤＜10，k是正整數(shù)。例如用四舍五入法把799.7分別截取到個(gè)位、十位、百位的近似數(shù)分別是：精確到個(gè)位：799.7≈8.00×102，有3個(gè)有效數(shù)字；精確到十位：799.7≈8.0×102，有2個(gè)有效數(shù)字；精確到百位：799.7≈8×102，有1個(gè)有效數(shù)字。又如，近似數(shù)3.6×106有兩個(gè)有效數(shù)字，9.81×105有三個(gè)有效數(shù)字。事實(shí)上，任何一個(gè)近似數(shù)都可以寫成的形式，其中是由近似數(shù)a的有效數(shù)字組成的數(shù)，且滿足1≤＜10，k是整數(shù)，這種記數(shù)法叫做科學(xué)記數(shù)法。參考書[1]《小學(xué)數(shù)學(xué)教材教法》第一冊(cè)．人民教育出版社1994年12月第一版，P201、227．[2]《中國中學(xué)教學(xué)百科全書》（數(shù)學(xué)卷），沈陽出版社，曹才翰主編．P14．A1—12截取近似數(shù)時(shí)，“去尾法”、“進(jìn)一法”與“四舍五入法”的主要區(qū)別是什么？為什么常用“四舍五入法”？【四舍五入法】在截取近似數(shù)時(shí)，通常規(guī)定：·如果去掉的尾數(shù)中，最高位數(shù)是5或比5大，那么就在留下的數(shù)的最低位加一；·如果去掉的尾數(shù)中，最高位數(shù)小于5（即是4或比4小），那么留下的數(shù)不變。像這樣的截取近似數(shù)的方法，叫做四舍五入法。如圓周率，用四舍五入法截取兩位小數(shù)的近似值時(shí)，得；截取四位小數(shù)的近似值時(shí)，得?！救ノ卜ā咳绻麨榻厝〗茢?shù)而去掉尾數(shù)時(shí)，不論去掉的尾數(shù)的最高位數(shù)是否小于5，留下的數(shù)都不變，那么這樣的截取近似數(shù)的方法叫做去尾法?！具M(jìn)一法】截取近似數(shù)時(shí)，如果不論去掉的尾數(shù)的最高位數(shù)是否小于5，留下的數(shù)的最低位都加一，那么這樣的截取近似數(shù)的方法叫做進(jìn)一法。在截取近似數(shù)的具體問題中，一般用四舍五入法。但有時(shí)要根據(jù)具體問題的不同情況運(yùn)用去尾法或進(jìn)一法。例如，做一套服裝要用4m布，50m布能做多少套服裝。50÷4=12.5≈12（套）。在這里，因?yàn)榉b的套數(shù)只能是自然數(shù)，所以商12.5必須用去尾法截取成自然數(shù)12。在這個(gè)問題中，用整數(shù)范圍內(nèi)的有余數(shù)除法50÷4=12……2更為合適。答案則是“能做12套，還余布料2又如，3840kg的糧食用每袋可裝100kg的口袋來裝，需要用多少口袋？3840÷100=38.4≈39（個(gè)），盡管最后只剩下了截取近似數(shù)的以上三種方法的主要區(qū)別在于所得近似數(shù)的誤差不同，列表說明如下：截取的方法所得近似數(shù)原精確數(shù)的范圍近似數(shù)和原數(shù)的絕對(duì)誤差不超過四舍五入法3.143.1350…~3.1449…0.005去尾法3.143.1400…~3.1499…0.01進(jìn)一法3.143.1301…~3.1399…0.01可見，用四舍五入法截取近似數(shù)時(shí)，誤差不超過保留部分的末位的半個(gè)單位；而用去尾法或進(jìn)一法截取近似數(shù)時(shí)，誤差不超過保留部分的末位的一個(gè)單位。A1—13在截取一個(gè)數(shù)的近似數(shù)時(shí)，為什么不宜連續(xù)兩次運(yùn)用“四舍五入法”？例如，要把724600四舍五入到萬位，下面的兩種做法得數(shù)為什么不同？方法一724600≈720000方法二724600≈725000≈730000方法一符合“四舍五入法”的操作規(guī)范的要求，所得近似數(shù)的誤差不會(huì)超過保留部分的末位的半個(gè)單位。方法二連續(xù)兩次運(yùn)用了“四舍五入”，不符合操作規(guī)范，所得近似數(shù)的誤差已超過保留的末位的半個(gè)單位。事實(shí)上，730000并不是724600的四舍五入到萬位的近似數(shù)，而是725000的四舍五入到萬位的近似數(shù)。因此，在實(shí)際操作中，不允許像上面那樣對(duì)于一個(gè)數(shù)連續(xù)兩次運(yùn)用四舍五入法。A1—14“小數(shù)”概念如何定義和分類？【小數(shù)】【十進(jìn)分?jǐn)?shù)】把單位“1”平均分成10份、100份、1000份、……，這樣的1份或幾份，可以用分母是10、100、1000、……的分?jǐn)?shù)來表示。如、、、……。這種分母是10的正整數(shù)次冪的分?jǐn)?shù)叫做十進(jìn)分?jǐn)?shù)。這些分?jǐn)?shù)的單位分別是、、、……，每兩個(gè)相鄰的單位間的進(jìn)率都是10。從到整數(shù)個(gè)位的計(jì)數(shù)單位1，進(jìn)率也是10。所以這些分?jǐn)?shù)可以仿照整數(shù)的寫法，寫在整數(shù)個(gè)位的右面，并用小圓點(diǎn)“·”隔開，寫成0.1、0.07、0.329、……。用這種形式寫出的用來表示十分之幾、百分之幾、千分之幾、……的數(shù)叫做小數(shù)?！拘?shù)點(diǎn)】在小數(shù)中，用來將個(gè)位與十分位隔開的小圓點(diǎn)叫做小數(shù)點(diǎn)。小數(shù)點(diǎn)左邊的部分稱為這個(gè)小數(shù)的整數(shù)部分；小數(shù)點(diǎn)右邊的部分稱為小數(shù)的小數(shù)部分。小數(shù)的整數(shù)部分可以是0，也可以不是0。【純小數(shù)與帶小數(shù)】根據(jù)一個(gè)小數(shù)的整數(shù)部分是不是0可以把小數(shù)分為純小數(shù)和帶小數(shù)。如果小數(shù)的整數(shù)部分是0，那么這個(gè)小數(shù)就稱為純小數(shù)。如果小數(shù)的整數(shù)部分不是0，那么這個(gè)小數(shù)就稱為帶小數(shù)。如0.1、0.07、0.329等都是純小婁；1.5、3.14、12.06等都是帶小數(shù)?！居邢扌?shù)與無限小數(shù)】小數(shù)還可以根據(jù)它的小數(shù)部分的位數(shù)是不是有限分為有限小數(shù)和無限小數(shù)。小數(shù)部分的位數(shù)是有限的這樣的小數(shù)叫做有限小數(shù)。小數(shù)部分的位數(shù)是無限的小數(shù)叫做無限小數(shù)。由十進(jìn)分?jǐn)?shù)改寫成的小數(shù)都是有限小數(shù)。以及圓周率等則是無限小數(shù)?！緹o限循環(huán)小數(shù)和無限不循環(huán)小數(shù)】一個(gè)無限小數(shù)，如果從小數(shù)部分的某一位起，有一個(gè)或幾個(gè)數(shù)字依次不斷地重復(fù)出現(xiàn)，這樣的小數(shù)叫做無限循環(huán)小數(shù)。（簡稱循環(huán)小數(shù)）如果在無限小數(shù)的小數(shù)部分中，沒有依次不斷重復(fù)出現(xiàn)的數(shù)字，那么這樣的小數(shù)就叫無限不循環(huán)小數(shù)。如3.33……和0.2727……都是循環(huán)小數(shù)。圓周率3.14159265……就是一個(gè)無限不循環(huán)小數(shù)?！狙h(huán)節(jié)】在循環(huán)小數(shù)的小數(shù)部分中，依次不斷地重復(fù)出現(xiàn)的數(shù)字叫做這個(gè)循環(huán)小數(shù)的循環(huán)節(jié)。如3.33……的循環(huán)節(jié)是“3”，0.2727……的循環(huán)節(jié)是“27”。為了簡便，寫循環(huán)小數(shù)時(shí)，小數(shù)的循環(huán)部分只寫出第一個(gè)循環(huán)節(jié)，并在這個(gè)循環(huán)節(jié)的首位和末位數(shù)字上各記一個(gè)小圓點(diǎn)。如循環(huán)小數(shù)3.33……寫作，0.2727……寫作，6.2416416……寫作.【純循環(huán)小數(shù)和混循環(huán)小數(shù)】如果循環(huán)小數(shù)的循環(huán)節(jié)是從小數(shù)部分的第一位開始的，那么這種循環(huán)小數(shù)就叫純循環(huán)小數(shù)。如果循環(huán)小數(shù)的循環(huán)節(jié)不是從小數(shù)部分的第一位開始的，就叫混循環(huán)小數(shù)。如和都是純循環(huán)小數(shù)。則是混循環(huán)小數(shù)?！拘?shù)的分類】按照小數(shù)部分的位數(shù)是有限還是無限，可以把小數(shù)分為有限小數(shù)和無限小數(shù)。按照無限小數(shù)的小數(shù)部分是否有一個(gè)或幾個(gè)數(shù)字依次不斷地重復(fù)出現(xiàn)，可以把無限小數(shù)分為（無限）循環(huán)小數(shù)和無限不循環(huán)小數(shù)。按照循環(huán)小數(shù)的循環(huán)節(jié)是否從小數(shù)部分的第一位開始，又可以把循環(huán)小數(shù)分為純循環(huán)小數(shù)和混循環(huán)小數(shù)。如下表所示。小數(shù)有限小數(shù)純循環(huán)小數(shù)小數(shù)（無限）循環(huán)小數(shù)無限小數(shù)混循環(huán)小數(shù)無限不循環(huán)小數(shù)其中，有限小數(shù)就是十進(jìn)分?jǐn)?shù)以及分母不含2、5以外的質(zhì)因數(shù)的最簡分?jǐn)?shù)改寫成的小數(shù)；循環(huán)小數(shù)是分母含有2、5以外的質(zhì)因數(shù)的最簡分?jǐn)?shù)改寫成的小數(shù)。無限不循環(huán)小數(shù)就是無理數(shù)。以上是根據(jù)小數(shù)的小數(shù)部分的不同特點(diǎn)所作的分類。此外，根據(jù)一個(gè)小數(shù)的整數(shù)部分是不是0，還可以把小數(shù)分為純小數(shù)與帶小數(shù)。純小數(shù)小數(shù)帶小數(shù)正的純小數(shù)大于0而小于1，正的帶小數(shù)大于1。A1—15整數(shù)、小數(shù)的計(jì)數(shù)單位有哪些？其中有沒有最小的和最大的？為什么“整數(shù)的數(shù)位順序表”與“小數(shù)的小數(shù)部分的數(shù)位順序表”可以統(tǒng)一起來？在十進(jìn)制中，整數(shù)的數(shù)位有個(gè)位、十位、百位、千位、萬位、……，它們的計(jì)數(shù)單位分別是一、十、百、千、萬、……。10個(gè)一是十，10個(gè)十是百，10個(gè)百是千，10個(gè)千是萬，……。最小的計(jì)數(shù)單位是一，沒有最大的計(jì)數(shù)單位。越是向左，數(shù)位越高，計(jì)數(shù)單位越大。每個(gè)數(shù)位上的10個(gè)單位，就是相鄰高位上的一個(gè)單位。在十進(jìn)制小數(shù)中，小數(shù)點(diǎn)右邊的數(shù)位依次是十分位、百分位、千分位……，它們的計(jì)數(shù)單位分別是十分之一、百分之一、千分之一，……。其中，最大的計(jì)數(shù)單位是十分之一，沒有最小的計(jì)數(shù)單位。它們也是十進(jìn)制的，即10個(gè)百分之一是1個(gè)十分之一，10個(gè)千分之一是1個(gè)百分之一，……。也是“滿十進(jìn)一”。因?yàn)?0個(gè)十分之一是一，所以小數(shù)點(diǎn)右邊的十分位的計(jì)數(shù)單位與小數(shù)點(diǎn)左邊的個(gè)位的計(jì)數(shù)單位之間也是“滿十進(jìn)一”的關(guān)系。因此，整數(shù)的數(shù)位順序表和小數(shù)的小數(shù)部分的數(shù)位順序表可以統(tǒng)一起來，如下表所示：數(shù)位順序表整數(shù)部分小數(shù)點(diǎn)小數(shù)部分?jǐn)?shù)位…千萬位百萬位十萬位萬位千位百位十位個(gè)位·十分位百分位千分位萬分位…計(jì)數(shù)單位…千萬百萬十萬萬千百十一（個(gè)）十分之一百分之一千分之一萬分之一…數(shù)級(jí)…萬級(jí)個(gè)級(jí)A1—16“一位數(shù)”、“兩位數(shù)”、“三位數(shù)”、……與“一位小數(shù)”、“兩位小數(shù)”、“三位小數(shù)”、……各是怎樣定義的？為什么0不是一位數(shù)？為什么最小的一位數(shù)是1而不是0？【一位數(shù)、兩位數(shù)、三位數(shù)、……】在非零自然數(shù)N*中，能用一個(gè)數(shù)字表示的叫一位數(shù)，能用兩個(gè)數(shù)字表示的叫二位數(shù)，能用三個(gè)數(shù)字表示的叫三位數(shù)，……，以下類推。因此，在十進(jìn)位記數(shù)制中，一位數(shù)是指1，2，3，……，9；兩位數(shù)是指10，11，12，……，99；三位數(shù)是指100，101，102，……999。以下類推。以上是針對(duì)十進(jìn)位記數(shù)制來說的。對(duì)于k進(jìn)位記數(shù)制來說（k≠10），上述解釋一位數(shù)、兩位數(shù)、三位數(shù)、……的語句雖然仍然適用，但含意已有所變化?！疽晃恍?shù)、兩位小數(shù)、三位小數(shù)、……】小數(shù)部分只有一個(gè)數(shù)字的小數(shù)叫一位小數(shù)，小數(shù)部分有兩個(gè)數(shù)字的小數(shù)叫兩位小數(shù)，小數(shù)部分有三個(gè)數(shù)字的小數(shù)叫三位小數(shù)，以下類推。在十進(jìn)制小數(shù)中，一位小數(shù)的末位是十分位，兩位小數(shù)的末位是百分位，三位小數(shù)的末位是千分位，……。在k進(jìn)位記數(shù)制中，上述解釋一位小數(shù)、兩位小數(shù)、三位小數(shù)、……的語句仍然適用，但含意已有所變化?！?不是一位數(shù)】為什么0不是一位數(shù)？為什么最小的一位數(shù)是1，而不是0？【有效數(shù)字】實(shí)際上，一位數(shù)、兩位數(shù)等自然數(shù)都可以用更多的數(shù)字來表示。如兩位數(shù)48可以表示為048；一位數(shù)6可以表示為006。為了分化出一位數(shù)、兩位數(shù)等概念，我們約定：在一個(gè)自然數(shù)中，從計(jì)數(shù)單位最大的、不是零的數(shù)字起到個(gè)位止的數(shù)字是這個(gè)自然數(shù)的有效數(shù)字。有效數(shù)字有幾個(gè)，這個(gè)自然數(shù)就稱之為幾位數(shù)。數(shù)0也可以用000來表示。事實(shí)上，不論用多少個(gè)0來表示都行，但其中沒有0以外的數(shù)字。所以表示0的數(shù)碼中沒有一個(gè)有效數(shù)字。因此，0不是一位數(shù)。當(dāng)然也不是兩位數(shù)、三位數(shù)……。不把0看作一位數(shù)，也是為了使一些數(shù)學(xué)規(guī)律得以成立。如關(guān)于常用對(duì)數(shù)的首數(shù)就有一個(gè)這樣的定理：“常用對(duì)數(shù)的首數(shù)等于真數(shù)的整數(shù)位數(shù)減一。”所以lg50的首數(shù)是1；lg5的首數(shù)是0；lg0.5的首數(shù)是－1。如果把0看作一位數(shù)，那么lg0.5的首數(shù)豈不也是0嗎？由于0不是一位數(shù)，一位數(shù)只有1，2，3，…，9共九個(gè)，所以，最大的一位數(shù)是9；最小的一位數(shù)是1，而不是0。在二進(jìn)制中，一位數(shù)只有一個(gè)，那就是1。參考書[1]高等學(xué)校教學(xué)用書《算術(shù)》，M．K．格列本卡著，商務(wù)印書館1957年4月5版，P7。A1—17怎樣認(rèn)識(shí)“小數(shù)”與“分?jǐn)?shù)”的關(guān)系？小學(xué)生最初認(rèn)識(shí)的“小數(shù)”僅僅是有限小數(shù)。有限小數(shù)相當(dāng)于十進(jìn)分?jǐn)?shù)，即分母中不含2、5以外的質(zhì)因數(shù)的最簡分?jǐn)?shù)。這時(shí)，可以說“小數(shù)”是“分?jǐn)?shù)”的種概念，“分?jǐn)?shù)”是“小數(shù)”的屬概念。“分?jǐn)?shù)”與“小數(shù)”是屬種關(guān)系。當(dāng)人們?cè)噲D用分子除以分母的方法將分母中含有2、5以外的質(zhì)因數(shù)的最簡分?jǐn)?shù)化為小數(shù)時(shí)，發(fā)現(xiàn)余數(shù)會(huì)出現(xiàn)相同的，致使商中有一個(gè)或幾個(gè)數(shù)字依次不斷地重復(fù)出現(xiàn)。這時(shí)，商的小數(shù)部分的位數(shù)是無限的。于是導(dǎo)致“小數(shù)”概念從“有限小數(shù)”發(fā)展為包括“有限小數(shù)”和“無限小數(shù)”。而分?jǐn)?shù)化小數(shù)時(shí)，要末化為有限小數(shù)，要末化為（無限）循環(huán)小數(shù)。而無限不循環(huán)小數(shù)則不可能由分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化而來，它們是分?jǐn)?shù)以外的另一類數(shù)?！緹o理數(shù)與有理數(shù)】無限不循環(huán)小數(shù)被數(shù)學(xué)家稱之為“無理數(shù)”。而整數(shù)與分?jǐn)?shù)則統(tǒng)稱為“有理數(shù)”；有理數(shù)與無理又統(tǒng)稱為“實(shí)數(shù)”。這些數(shù)的關(guān)系如下表所示?！?jǐn)?shù)……分?jǐn)?shù)有理數(shù)實(shí)數(shù)有限小數(shù)……小數(shù)（無限）循環(huán)小數(shù)無限小數(shù)無限不循環(huán)小數(shù)……無理數(shù)對(duì)于發(fā)展以后的“小數(shù)”概念，其中包括的有限小數(shù)與（無限）循環(huán)小數(shù)相當(dāng)于“分?jǐn)?shù)”。此外，還有一種無限不循環(huán)小數(shù)。因此，我們可以說“分?jǐn)?shù)”是“小數(shù)”的種概念，“小數(shù)”是“分?jǐn)?shù)”的屬概念?！靶?shù)”與“分?jǐn)?shù)”是屬種關(guān)系。和前面的結(jié)論正好相反。但實(shí)際上兩者并不矛盾。因?yàn)榍懊娴慕Y(jié)論中所說的“小數(shù)”僅僅指有限小數(shù)；后面的結(jié)論中所說的“小數(shù)”則包括了有限小數(shù)與無限小數(shù)?！胺?jǐn)?shù)”與“有限小數(shù)”的屬種關(guān)系以及“小數(shù)”與“分?jǐn)?shù)”的屬種關(guān)系都可以從上面的表中清楚地看出。A1—18分?jǐn)?shù)在現(xiàn)代數(shù)學(xué)中和在小學(xué)數(shù)學(xué)中的定義有什么不同？古埃及人在公元前17世紀(jì)就已經(jīng)使用分?jǐn)?shù)。我國成書于1世紀(jì)的《九章算術(shù)》中已載有分?jǐn)?shù)的各種運(yùn)算。分?jǐn)?shù)的使用源于除法運(yùn)算的需要。設(shè)p、q都是整數(shù)，。則方程未必有整數(shù)解，為了使這個(gè)方程總是有解，有必要將整數(shù)集擴(kuò)大成有理數(shù)集。【分?jǐn)?shù)在現(xiàn)代數(shù)學(xué)中的定義】我們?cè)谡麛?shù)的有序?qū)Γǎǎ┑募仙隙x如下等價(jià)關(guān)系：設(shè)\{0}。如果，則稱關(guān)于這個(gè)等價(jià)關(guān)系的等價(jià)類稱為有理數(shù)。（）所在的有理數(shù)記為。令整數(shù)p對(duì)應(yīng)于（p，1）所在的等價(jià)類，即對(duì)應(yīng)于，就能把整數(shù)集嵌入到有理數(shù)集中。習(xí)慣上仍記為p。在有理數(shù)集中，整數(shù)以外的數(shù)稱為分?jǐn)?shù)。自然數(shù)、整數(shù)、分?jǐn)?shù)與有理數(shù)的關(guān)系如下表所示：正整數(shù)自然數(shù)零整數(shù)負(fù)整數(shù)有理數(shù)分?jǐn)?shù)【分?jǐn)?shù)在小學(xué)數(shù)學(xué)中的定義】把單位“1”平均分成若干份，表示這樣的一份或幾份的數(shù)叫做分?jǐn)?shù)。分?jǐn)?shù)的一般形式是。這里的p、q都是整數(shù)，并且。當(dāng)p、q都是正整數(shù)時(shí)，分?jǐn)?shù)不僅可以看作把單位“1”平均分成q份，表示這樣的p份的數(shù)。也可以看成把p個(gè)單位平均分成 q份表示這樣的一份的數(shù)。整數(shù)與分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)。任何整數(shù)p都可以表示為的形式。對(duì)于有理數(shù)來說，如果，=0；如果，則當(dāng)pq＞0時(shí)，稱為正有理數(shù)；當(dāng)pq＜0時(shí)，稱為負(fù)有理數(shù)。所以對(duì)于有理數(shù)，可以作出以下兩種分類：有理數(shù)有理數(shù)零負(fù)有理數(shù)負(fù)整數(shù)有理數(shù)有理數(shù)零負(fù)有理數(shù)負(fù)整數(shù)負(fù)分?jǐn)?shù)整數(shù)零正有理數(shù)負(fù)整數(shù)正分?jǐn)?shù)正分?jǐn)?shù)分?jǐn)?shù)負(fù)分?jǐn)?shù)【兩者的比較】“分?jǐn)?shù)”在現(xiàn)代數(shù)學(xué)中的定義和在小學(xué)數(shù)學(xué)中的定義基本上是一致的。在小學(xué)數(shù)學(xué)中給出的“分?jǐn)?shù)”的定義實(shí)質(zhì)上是正有理數(shù)的定義，其中，≥2。整數(shù)p可以表示為，不能說明“整數(shù)也是分?jǐn)?shù)”。僅僅表示“整數(shù)是有理數(shù)”。因?yàn)椴⒉皇欠謹(jǐn)?shù)所特有的表示形式，而是有理數(shù)所特有的表示形式。參考書:《中國大百科全書數(shù)學(xué)》P374,603。A1—19“因?yàn)?，所?也是分?jǐn)?shù)”對(duì)嗎？整數(shù)是不是分?jǐn)?shù)？整數(shù)和分?jǐn)?shù)是什么關(guān)系？因?yàn)橐粋€(gè)數(shù)可以表示為（q≠0）的形式，就說這個(gè)數(shù)是分?jǐn)?shù)，理由是不充分的。因?yàn)?，其中p、q都是整數(shù)，并且q≠0，并不是分?jǐn)?shù)所特有的表示形式，而是有理數(shù)特有的表示形式。整數(shù)可以表為這樣的形式，只能說明整數(shù)是有理數(shù)。因此，根據(jù)只能得出“整數(shù)3是有理數(shù)”。不能得出“3是分?jǐn)?shù)”的結(jié)論。有理數(shù)【整數(shù)是不是分?jǐn)?shù)？】有理數(shù)當(dāng)時(shí)是整數(shù)，當(dāng)p時(shí)才是分?jǐn)?shù)。（圖1—）有理數(shù)整數(shù)分?jǐn)?shù)整數(shù)整數(shù)分?jǐn)?shù)有理數(shù)圖1-5分?jǐn)?shù)圖1-5【整數(shù)和分?jǐn)?shù)是什么關(guān)系？】可見，整數(shù)不是分?jǐn)?shù)。由于“整數(shù)”與“分?jǐn)?shù)”的外延是互相排斥的。并且它們的并集就是鄰近的屬概念“有理數(shù)”的外延。所以“整數(shù)”與“分?jǐn)?shù)”這兩個(gè)概念間的關(guān)系是矛盾關(guān)系。如圖1-5所示。參考書：《邏輯與小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)》P32。A1—20說“自然數(shù)1不同于單位1”對(duì)嗎？任何一個(gè)物體都可以作為自然數(shù)“1”的現(xiàn)實(shí)原型。哪些物體還可以作為分?jǐn)?shù)定義中的單位“【自然數(shù)的純邏輯定義】“1”是非零自然數(shù)中最小的一個(gè)，是自然數(shù)的最基本的單位。任何一個(gè)非零自然數(shù)都是由若干個(gè)“1”組合而成的。德國數(shù)學(xué)家弗雷格（F.L.G.Fregep.2201848—1925）首創(chuàng)由邏輯出發(fā)來定義自然數(shù)時(shí)，首先把空集定義為不與本身等同的事物組成的集：因?yàn)槿魏问挛锒嫉韧诒旧?，所以，不與本身等同的事物是不存在的?？占褪怯蛇@類不存在的事物組成的集合。自然數(shù)0被定義為空集的基數(shù)，即與空集等價(jià)的一切集合組成的集：所以，0是一個(gè)數(shù)。{0}是以0為元素的集合。自然數(shù)1被定義為與{0}等價(jià)的一切集合組成的集：然后，在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步定義自然數(shù)2，以及其它自然數(shù)：【自然數(shù)作為有限集的共同性質(zhì)的抽象】小學(xué)數(shù)學(xué)教科書根據(jù)小學(xué)生的心理特點(diǎn)，把每一個(gè)自然數(shù)作為可以建立一一對(duì)應(yīng)的有限集合的共同性質(zhì)從中抽象概括出來。如自然數(shù)“5”就是從畫面上的五位解放軍、五匹戰(zhàn)馬、五支沖鋒槍，以及五根小棒、五粒算珠、五顆五角星等事物集合中，作為它們的共同點(diǎn)——“都是5個(gè)”而抽象概括出來的。每一個(gè)自然數(shù)都可以作為對(duì)一類可以建立一一對(duì)應(yīng)的有限集進(jìn)行同一性抽象的結(jié)果。每一個(gè)這樣的有限集，都是這個(gè)自然數(shù)的現(xiàn)實(shí)原型?！菊f“自然數(shù)1不同于單位1”對(duì)嗎？】作為自然數(shù)“1”的現(xiàn)實(shí)原型，可以是一個(gè)蘋果，也可以是一堆蘋果。這個(gè)蘋果或這堆蘋果都可以平均分為若干份，而用分?jǐn)?shù)表示其中的一份或幾份。它們也是分?jǐn)?shù)定義中所說的平均分的對(duì)象，也是“單位1”的現(xiàn)實(shí)原型。分?jǐn)?shù)定義中所說的“單位1”，實(shí)質(zhì)上就是“自然數(shù)1”。說“自然數(shù)1不同于單位1”是不對(duì)的。不過“自然數(shù)1”和分?jǐn)?shù)定義中的“單位1”的現(xiàn)實(shí)原型仍然有一些不容忽視的差異。任何一個(gè)物體都可以作為“自然數(shù)1”的現(xiàn)實(shí)原型。但作為分?jǐn)?shù)定義中的“單位1”但現(xiàn)實(shí)原型的差異不能作為“自然數(shù)1”不同于“單位1”的理由。當(dāng)我們把“單位1”平均分為兩份，而用表示每一份后，自然有+=1我們能說：這個(gè)等式中的“1”是“單位1”、但不是“自然數(shù)1”嗎？參考書：《中國大百科全書數(shù)學(xué)》P220A1—21說“分?jǐn)?shù)可以分為真分?jǐn)?shù)、假分?jǐn)?shù)與帶分?jǐn)?shù)”對(duì)嗎？分?jǐn)?shù)可以按照不同的標(biāo)準(zhǔn)來分類。如按照分子與分母有沒有1以外的公約數(shù)，可以把分?jǐn)?shù)分為可約分?jǐn)?shù)和最簡分?jǐn)?shù)。分子與分母有1以外的公約數(shù)的分?jǐn)?shù)叫做可約分?jǐn)?shù)；分子與分母沒有1以外的公約數(shù)的分?jǐn)?shù)叫做最簡分?jǐn)?shù)（又稱既約分?jǐn)?shù)）。還可以按照分子是否小于分母分為真分?jǐn)?shù)和假分?jǐn)?shù)。分子小于分母的分?jǐn)?shù)叫真分?jǐn)?shù)；分子不小于分母（即分子大于或等于分母）的分?jǐn)?shù)叫做假分?jǐn)?shù)。根據(jù)分子與分母有沒有1以外的公約數(shù)根據(jù)分子是否小于分母根據(jù)分子與分母有沒有1以外的公約數(shù)根據(jù)分子是否小于分母分?jǐn)?shù)分?jǐn)?shù)最簡分?jǐn)?shù)假分?jǐn)?shù)┆┆在分?jǐn)?shù)的后一種分類中，分類的結(jié)果應(yīng)該是兩個(gè)子項(xiàng)——真分?jǐn)?shù)與假分?jǐn)?shù)。它們的外延的和（即外延的并集）等同于分?jǐn)?shù)的處延。因此，不應(yīng)該再有其它的子項(xiàng)。因此，說“分?jǐn)?shù)可以分為真分?jǐn)?shù)、假分?jǐn)?shù)與帶分?jǐn)?shù)”是不對(duì)的。此外，根據(jù)定義，“帶分?jǐn)?shù)”是“一個(gè)整數(shù)和一個(gè)真分?jǐn)?shù)合成的數(shù)”。實(shí)際上是一個(gè)整數(shù)與一個(gè)真分?jǐn)?shù)的和，而不是一個(gè)分?jǐn)?shù)。怎能成為分?jǐn)?shù)分類的一個(gè)子項(xiàng)呢？A1—22說“假分?jǐn)?shù)的分子大于分母”錯(cuò)在哪里？根據(jù)小學(xué)數(shù)學(xué)對(duì)假分?jǐn)?shù)所下的定義，分子等于或大于分母的分?jǐn)?shù)叫做假分?jǐn)?shù)。可見，假分?jǐn)?shù)有兩類：分子大于分母的假分?jǐn)?shù)和分子等于分母的假分?jǐn)?shù)。如果一個(gè)分?jǐn)?shù)是假分?jǐn)?shù)，那么它的分子大于分母或者分子等于分母。這時(shí)，我們可以根據(jù)一個(gè)“分?jǐn)?shù)是假分?jǐn)?shù)”推出“它的分子大于分母或者分子等于分母”。但我們推不出“分子大于分母”，也推不出“分子等于分母”。正如根據(jù)ab=0推不出a=0，也推出b=0，只能推出a=0或b=0。這樣看來，說“假分?jǐn)?shù)的分子大于分母”可能犯了“推不出”的邏輯錯(cuò)誤。此外，這樣說也可能是由于對(duì)“假分?jǐn)?shù)”的定義有誤解，把假分?jǐn)?shù)誤認(rèn)為是“分子大于分母的分?jǐn)?shù)”，犯了“定義過窄”的邏輯錯(cuò)誤。根據(jù)現(xiàn)代數(shù)學(xué)對(duì)分?jǐn)?shù)所下的定義，有理數(shù)當(dāng)時(shí)是整數(shù)；時(shí)是分?jǐn)?shù)。因此時(shí)，=1是整數(shù)；＞時(shí)，時(shí)才是分?jǐn)?shù)。所以說“假分?jǐn)?shù)的分子大于分母”還是正確的。A1—23“分?jǐn)?shù)單位”和“單位分?jǐn)?shù)”、“最簡分?jǐn)?shù)”和“既約分?jǐn)?shù)”有沒有區(qū)別？（李同賢）【分?jǐn)?shù)單位】分?jǐn)?shù)是由p個(gè)組成的，叫做的分?jǐn)?shù)單位，分?jǐn)?shù)單位的實(shí)際含義就是把單位“1”平均分成q份中的一份。分?jǐn)?shù)的分母不同，分?jǐn)?shù)單位也就不同。例如，的單位是，而的單位是，因此，分?jǐn)?shù)單位不是一個(gè)固定的數(shù)，分母越大，分?jǐn)?shù)單位就越小。最大的分?jǐn)?shù)單位是，比小的分?jǐn)?shù)單位有……，沒有最小的分?jǐn)?shù)單位?！締挝环?jǐn)?shù)】每個(gè)分?jǐn)?shù)單位本身也是一個(gè)分?jǐn)?shù)，這些分子是1分母是正整數(shù)的分?jǐn)?shù)，也叫單位分?jǐn)?shù)?！咀詈喎?jǐn)?shù)】【既約分?jǐn)?shù)】分子與分母互質(zhì)的分?jǐn)?shù)叫最簡分?jǐn)?shù)，也叫既約分?jǐn)?shù)。“最簡”是從化簡的角度提出的要求，“既約”是從約分的角度給出的標(biāo)準(zhǔn)。分?jǐn)?shù)要化簡，分子、分母就得約分，分子、分母約分的目的是化簡分?jǐn)?shù)。兩者最終統(tǒng)一到“分子與分母互質(zhì)”這一點(diǎn)上。有人建議把“最簡分?jǐn)?shù)”的定義修改為“分子、分母是互質(zhì)數(shù)、并且分子小于分母的分?jǐn)?shù)”。最簡分?jǐn)?shù)的概念是為約分提供最終結(jié)果的標(biāo)準(zhǔn)，按修改后的定義，約分后最終結(jié)果出現(xiàn)假分?jǐn)?shù)時(shí)就必須化為帶分?jǐn)?shù)，而帶分?jǐn)?shù)不便于進(jìn)行分?jǐn)?shù)的乘除運(yùn)算。從理論上講，帶分?jǐn)?shù)指的是一個(gè)自然數(shù)與一個(gè)真分?jǐn)?shù)的和，在進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和其他科學(xué)技術(shù)時(shí)并不是必不可少的，國內(nèi)外有些小學(xué)數(shù)學(xué)教科書甚至根本就不給出帶分?jǐn)?shù)的概念。因此，最簡分?jǐn)?shù)的定義還是表述為“分子與分母互質(zhì)的分?jǐn)?shù)叫最簡分?jǐn)?shù)”為宜。A1—24百分?jǐn)?shù)是不是一種數(shù)？“百分?jǐn)?shù)就是分母是100的分?jǐn)?shù)”對(duì)嗎？“百分?jǐn)?shù)”、“百分比”和“百分率”有什么不同？“成數(shù)”、“千分?jǐn)?shù)”、ppm、bpm各指什么？【百分?jǐn)?shù)】【百分比】【百分率】表示一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)（或一個(gè)量是另一個(gè)同類量）的百分之幾的數(shù)叫做百分?jǐn)?shù)。百分?jǐn)?shù)通常用來表示兩個(gè)數(shù)（或兩個(gè)同類量）的比，所以又叫“百分比”或“百分率”。百分?jǐn)?shù)實(shí)質(zhì)上是一個(gè)分母是100、分子是整數(shù)或小數(shù)的分?jǐn)?shù)。如、等。這些用于特定場合的、分母是100的分?jǐn)?shù)通常寫成71%、2.25%。1%即是百分?jǐn)?shù)的單位。在20世紀(jì)50年代前，百分?jǐn)?shù)有時(shí)也被定義為分母是100的分?jǐn)?shù)。這樣的定義不能突出它用來表示兩個(gè)數(shù)（或兩個(gè)同類量）的倍比關(guān)系的專門用途。百分?jǐn)?shù)與分?jǐn)?shù)的區(qū)別在于：分?jǐn)?shù)既可以表示兩個(gè)數(shù)或兩個(gè)同類量的倍比關(guān)系，也可以用來表示具體的數(shù)量。而百分?jǐn)?shù)只用于表示兩個(gè)數(shù)量的倍比關(guān)系。與“百分?jǐn)?shù)”類似的還有“成數(shù)”、“千分?jǐn)?shù)”，ppm和bpm。【成數(shù)】農(nóng)業(yè)的收成或其增減常用“成數(shù)”表示?！皫壮伞本褪鞘种畮?。如江蘇省城鎮(zhèn)居民的收入2005年比2001年增長6成7，即增長，也就是67%?！厩Х?jǐn)?shù)】表示一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的千分之幾的數(shù)叫做千分?jǐn)?shù)。如“千分之三十七”即記為37‰。千分?jǐn)?shù)的單位是千分之一，即1‰?！緋pm和bpm】在科學(xué)技術(shù)上，為了表示微量元素的含量，還用到更小的單位“百萬分之一”（即ppm）和“十億分之一”（即bpm）。A1—25自然數(shù)大小的“基數(shù)意義”和“序數(shù)意義”有什么區(qū)別和聯(lián)系？怎樣證明自然數(shù)沒有最大的？【自然數(shù)大小的基數(shù)意義】每個(gè)自然數(shù)都是所有可以建立一一對(duì)應(yīng)的有限集組成的集，或者說是一類可以建立一一對(duì)應(yīng)的有限集的共同性質(zhì)。（參看本書P.1）。設(shè)A、B是兩個(gè)有限集，a、b是它們的基數(shù)，即，則自然數(shù)a、b的大小可作如下規(guī)定：如果有集合，并且~B即A有一個(gè)真子集和B等價(jià)，則a＞b；如果有集合~（即B有一個(gè)真子集和A等價(jià)），則a＜b；如果A~B，則a=b。因?yàn)榭占侨魏我粋€(gè)非空有限集的真子集，所以空集的基數(shù)0小于任何一個(gè)非空有限集的基數(shù)（即零小于任何一個(gè)零以外的自然數(shù)）。小學(xué)教科書在解釋兩個(gè)數(shù)的大小的意義時(shí)，和上面的定義實(shí)質(zhì)上是一致的。如下圖所示?！睢睢睢瞟詈汀锿瑯佣唷！铩铩铩?=4讀作：4等于4┆等號(hào)○○○○○┆┆┆●●●○比●多。●比○少。5＞3讀作：5大于3。3＜5讀作：3小于5。┆┆大于號(hào)小于號(hào)【自然數(shù)大小的序數(shù)意義】在自然數(shù)的序數(shù)理論中，自然數(shù)的大小是根據(jù)它們?cè)谧匀粩?shù)列中的前后位置來定義的。根據(jù)皮安諾公理②，“0不是任何其它自然數(shù)的繼數(shù)?！保▍⒖幢緯鳳.2）。所以0應(yīng)該排在自然數(shù)列的最前面，是所有自然數(shù)中最小的一個(gè)。根據(jù)皮安諾公理③，“每一個(gè)自然數(shù)a都有一個(gè)繼數(shù)”，（參看本書P.2），所以對(duì)于自然數(shù)列中的任何一個(gè)數(shù)來說，都有比它大的自然數(shù)。進(jìn)而推出：自然數(shù)沒有最大的；自然數(shù)列是無限的。自然數(shù)大小的以上兩種意義雖然說法不同，但實(shí)質(zhì)上是不矛盾的。A1—26為什么0是最小的自然數(shù)，但不是最小的一位數(shù)？“0是最小的自然數(shù)”是根據(jù)皮安諾公理②“0不是任何其它自然數(shù)的繼數(shù)”推出的結(jié)論。（參看本書P.2），也可以根據(jù)“空集是任何一個(gè)非空有限集的真子集”推出。但由于0不是一位數(shù)（參看本書P.12），所以也就不可能是最小的一位數(shù)。A1—27怎樣構(gòu)造最小的（或最大的）一位數(shù)，兩位數(shù)，三位數(shù)，…，n位數(shù)？在一位數(shù)1，2，…，9中，顯然，最小的是1，最大的是9。兩位數(shù)有兩個(gè)有效數(shù)字，有效數(shù)字的最高位是十位。當(dāng)十位是“1”，個(gè)位是“0”時(shí)，兩位數(shù)最??；當(dāng)個(gè)位與十位都是“9”時(shí)兩位數(shù)最大。即兩位數(shù)中最小的是10，最大的是99。從兩位數(shù)在自然數(shù)列中的排列10，11，12，…，99也可以看出：在兩位數(shù)中，最小是10，最大的是99。同理，三位數(shù)的有效數(shù)字的最高位是百位。當(dāng)百位是“1”，十位與個(gè)位都是“0”時(shí)三位數(shù)最小，當(dāng)百位、十位與個(gè)位都是“9”時(shí)三位數(shù)最大。以下類推。一般地說，在n位數(shù)中，最小的是，即；最大的是，即。在這些數(shù)之間還存在下面的關(guān)系：最小的n位數(shù)=最大的n－1位數(shù)＋1最大的n位數(shù)=最小的n＋1位數(shù)－1A1—28為什么多位數(shù)大小的比較法則推廣到小數(shù)大小的比較后，只適用于有限小數(shù)，不適用于無限小數(shù)？＜對(duì)嗎？【多位數(shù)大小的比較】多位數(shù)大小的比較法則如下：（1）如果兩個(gè)多位數(shù)的位數(shù)不同，則位數(shù)多的數(shù)較大；（2）如果兩個(gè)多位數(shù)的位數(shù)相同，則最高位上的數(shù)較大的數(shù)較大；如果最高位上的數(shù)又相同，則第二位數(shù)（即次高位上的數(shù)）較大的數(shù)較大?！ㄒ韵骂愅疲?）如果兩個(gè)多位數(shù)的位數(shù)相同，并且各個(gè)相同數(shù)位上的數(shù)也分別相等，那么這兩個(gè)多位數(shù)相等。如下表所示：位數(shù)不同——（1）比位數(shù)位數(shù)相同，比不等——（2）最高位上的數(shù)相等，比次不等——（2）高位上的數(shù)不等——（2）相等……相等——（3）這是經(jīng)過有限次操作就能執(zhí)行完畢的程序?！居邢扌?shù)大小的比較】多位數(shù)大小的比較法則可以推廣，用于比較兩個(gè)有限小數(shù)的大小。（1）如果兩個(gè)有限小數(shù)的整數(shù)部分不等，則整數(shù)部分較大的有限小數(shù)較大；（2）如果兩個(gè)有限小數(shù)的整數(shù)部分相等，則比十分位上的數(shù)。十分位上的數(shù)較大的有限小數(shù)較大；如果十分位上的數(shù)也相等，則比百分位上的數(shù)，百分位上的數(shù)較大的有限小數(shù)較大；……（以下類推）（3）如果兩個(gè)有限小數(shù)的整數(shù)部分相等，并且小數(shù)部分各個(gè)相同數(shù)位上的數(shù)也分別相等，那么這兩個(gè)有限小數(shù)相等。如下表：不等——（1）比整數(shù)部分不等——（2）相等，比十不等——（2）分位上的數(shù)相等，比百不等——（2）分位上的數(shù)相等……相等——（3）【無限小數(shù)大小的比較】多位數(shù)大小的比較法則推廣到小數(shù)后，不適用于某些無限小數(shù)的大小比較。如根據(jù)循環(huán)小數(shù)化分?jǐn)?shù)的法則：但運(yùn)用上述有限小數(shù)的大小比較法則，則得如下錯(cuò)誤結(jié)果：＜這就說明：有限小數(shù)的大小比較法則不適用于無限小數(shù)。一般地說，為了比較兩個(gè)循環(huán)小數(shù)的大小，可以按法則先把它們分別化為分?jǐn)?shù)，再比較兩個(gè)分?jǐn)?shù)的大小?；蛘甙阉鼈兓癁檠h(huán)節(jié)所在的數(shù)位相同的循環(huán)小數(shù)，再依次比較小數(shù)部分中不循環(huán)的部分和循環(huán)節(jié)中數(shù)的大小。事實(shí)上，如果被比較的無限小數(shù)中，沒有循環(huán)節(jié)是9的循環(huán)小數(shù)，則有限小數(shù)的大小比較法則對(duì)它們一般仍然適用。例如，，∵，，∴＜或者，∵454545＜461538，∴＜A1—29分?jǐn)?shù)的大小如何定義和判定？【兩個(gè)分?jǐn)?shù)相等以及大小的定義】兩個(gè)正分?jǐn)?shù)與，當(dāng)ps=rq時(shí)被認(rèn)為是相等的。如果，則由上述定義，ps≠rq。于是有ps＞rq，或者ps＜rq。當(dāng)ps＞rq時(shí)，就說＞；當(dāng)ps＜rq時(shí)，就說＜?！緝蓚€(gè)分?jǐn)?shù)相等以及大小的判定】兩個(gè)正分?jǐn)?shù)與（1）如果ps=rq，則；（2）如果ps＞rq，則＞；（3）如果ps＜rq，則＜?！拘W(xué)數(shù)學(xué)中比較分?jǐn)?shù)大小的法則】（1）分母相同時(shí)比分子。如果分子也相同則分?jǐn)?shù)相等；如果分子不等則分子大的分?jǐn)?shù)較大；（2）分子相同時(shí)比分母。如果分母也相同則分?jǐn)?shù)相等；如果分母不等則分母大的分?jǐn)?shù)較?。唬?）分子與分母都不同時(shí)先通分，轉(zhuǎn)化為同分母分?jǐn)?shù)后再比較大小。參考書：《大百科全書數(shù)學(xué)卷》P634A1—30最小的分?jǐn)?shù)單位是什么？最大的分?jǐn)?shù)單位是什么？真分?jǐn)?shù)有沒有最小的？有沒有最大的？【自然數(shù)的單位和計(jì)數(shù)單位】“1”是自然數(shù)的單位，任何一個(gè)自然數(shù)都是由若干個(gè)“1”組成的?！?”也是自然數(shù)的最小的計(jì)數(shù)單位，因?yàn)橐?、十、百、千、萬、……都是自然數(shù)的計(jì)數(shù)單位，其中最小的計(jì)數(shù)單位是一，沒有最大的計(jì)數(shù)單位?！痉?jǐn)?shù)的單位】分子是1的分?jǐn)?shù)叫做分?jǐn)?shù)單位。如，，，……都是分?jǐn)?shù)單位。任何一個(gè)分?jǐn)?shù)都是由若干個(gè)分?jǐn)?shù)單位組成的。分?jǐn)?shù)單位是將自然數(shù)單位1平均分成若干份的結(jié)果。在所有的分?jǐn)?shù)單位中，最大的是；但沒有最小的。設(shè)q是一個(gè)大于1的自然數(shù)，則就是一個(gè)分?jǐn)?shù)單位。因?yàn)樽匀粩?shù)q沒有最大的，所以分?jǐn)?shù)單位沒有最小的?！咀畲蟮暮妥钚〉恼娣?jǐn)?shù)】分子小于分母的分?jǐn)?shù)叫做真分?jǐn)?shù)。在同分母的分?jǐn)?shù)中，最小的只含一個(gè)分?jǐn)?shù)單位的分?jǐn)?shù)，即分?jǐn)?shù)單位本身。所以最小的真分?jǐn)?shù)就是最小的分?jǐn)?shù)單位。因?yàn)榉謹(jǐn)?shù)單位沒有最小的，所以真分?jǐn)?shù)也沒有最小的。在分母同為q的真分?jǐn)?shù)中，p=1時(shí)最小，p=q－1時(shí)最大。因?yàn)?。所以，如果真分?jǐn)?shù)有最大的，則分?jǐn)?shù)單位就必然有最小的，與已經(jīng)證明的結(jié)論矛盾。第二節(jié)數(shù)的運(yùn)算約數(shù)和倍數(shù)A2—1怎樣定義四則運(yùn)算？怎樣得出四則運(yùn)算中各部分間的關(guān)系？【在自然數(shù)的基數(shù)理論中加法的定義】設(shè)A、B分別表示以a、b為基數(shù)，且無公共元素的集合，C是A、B的并集，則C的基數(shù)c稱為a、b的和，記為c=a+b。a、b都叫“加數(shù)”。求兩個(gè)數(shù)的和的運(yùn)算稱為加法，表示加法的符號(hào)“＋”叫做加號(hào)。小數(shù)數(shù)學(xué)中借助具體情境向小學(xué)生暗示的加法的意義與基數(shù)理論中加法的定義是一致的。但說法不妥：“把兩個(gè)數(shù)合并成一個(gè)數(shù)的運(yùn)算叫做加法?！币?yàn)楹喜⒌氖莾蓚€(gè)集合，而不是兩個(gè)數(shù)。這里是用集合的運(yùn)算“并”來定義自然數(shù)的運(yùn)算“加法”。如果用數(shù)的“合并”來解釋數(shù)的“加法”，那么數(shù)的合并又是什么意思呢？【在遞歸算術(shù)中加法的定義】設(shè)S表示求一個(gè)數(shù)的繼數(shù)的運(yùn)算。即S0=1，S1=2，S2=3，……。則自然數(shù)的加法“＋”的意義可以用求繼數(shù)的運(yùn)算S定義如下：a＋0=a…①a＋Sb=S（a＋b）…②例如，5＋3的意義可以這樣理解：根據(jù)②5＋3=5＋S2=S（5＋2）5＋2=5＋S1=S（5＋1）5＋1=5＋S0=S（5＋0）根據(jù)①，5＋0=5所以，5＋3=SSS5=8即5＋3的和指的是5的繼數(shù)的繼數(shù)的繼數(shù)。即在自然數(shù)列中，是從5往后數(shù)3個(gè)數(shù)所得出的8。【減法的定義】設(shè)a、b是兩個(gè)自然數(shù)。如果有一個(gè)這樣的自然數(shù)c，能使b＋c=a，就說c是a與b的差，記作a－b=c。其中a叫做被減數(shù)，b叫做減數(shù)，求兩個(gè)數(shù)的差的運(yùn)算叫做減法。表示減法的符號(hào)“－”叫做減號(hào)。也可以這樣說：已知兩個(gè)數(shù)的和與其中的一個(gè)加數(shù)求另一個(gè)加數(shù)的運(yùn)算叫做“減法”。在減法中，已知的和叫做“被減數(shù)”，已知的加數(shù)叫做“減數(shù)”，求出的未知的加數(shù)叫做“差”?！境朔ǖ亩x】b個(gè)相同加數(shù)a的和叫做a與b的積，記作a×b。即求兩個(gè)數(shù)的積的運(yùn)算叫做乘法。在乘法算式a×b中，相同的加數(shù)a叫做被乘數(shù)，相同加數(shù)的個(gè)數(shù)b叫做乘數(shù)。被乘數(shù)與乘數(shù)都叫做積的因數(shù)。表示乘法的符號(hào)“×”叫做乘號(hào)。以上定義中的乘數(shù)b是大于或等于2的自然數(shù)。關(guān)于乘數(shù)是0或1的乘法的意義，另行補(bǔ)充規(guī)定如下：a×1=a，a×0=0?！驹谶f歸算術(shù)中乘法的定義】在遞歸算術(shù)中，乘法和加法一樣，也是作為一個(gè)遞歸函數(shù)來定義的。定義加法，只用了求繼數(shù)的運(yùn)算S，而定義乘法，要同時(shí)用加法和求繼數(shù)的運(yùn)算S：a×0=0a×Sb=a×b＋a所謂“遞歸函數(shù)”，是數(shù)論函數(shù)的一種，是以自然數(shù)集為定義域和值域的函數(shù)。【除法的定義】設(shè)a、b是兩個(gè)自然數(shù)，b≠0。如果有一個(gè)這樣的自然數(shù)c，能使b×c=a，就說c是a與b的商，記作a÷b=c。其中a叫做被除數(shù)，b叫做除數(shù)。求兩個(gè)數(shù)的商的運(yùn)算叫做除法。表示除法的符號(hào)“÷”叫做除號(hào)。在小學(xué)數(shù)學(xué)里，一般把“除法”定義為“已知兩個(gè)因數(shù)的積與其中的一個(gè)因數(shù)，求另一個(gè)因數(shù)的運(yùn)算?！痹诔ㄖ校阎姆e叫做“被除數(shù)”，已知的因數(shù)叫做“除數(shù)”，求出的未知的因數(shù)，作為除法運(yùn)算的結(jié)果，叫做“商”?！炯?、減法各部分間的關(guān)系】根據(jù)減法的定義，可以推出加、減法中各部分之間的關(guān)系：（1）兩個(gè)數(shù)相加，每一個(gè)加數(shù)都等于和減去另一個(gè)加數(shù)；（2）被減數(shù)等于減數(shù)加差；（3）減數(shù)等于被減數(shù)減去差。下圖中每一個(gè)推理的根據(jù)都是減法的定義。加數(shù)+加數(shù)=和和－一個(gè)加數(shù)=另一個(gè)加數(shù)┆┆┆被減數(shù)－減數(shù)=差減數(shù)+差=被減數(shù)被減數(shù)－差=減數(shù)圖1-6【乘、除法各部分間的關(guān)系】同理，根據(jù)除法的定義，可以推出乘、除法中各部分之間的關(guān)系：（1）兩個(gè)數(shù)相乘，每一個(gè)因數(shù)都等于積除以另一個(gè)因數(shù)；（2）被除數(shù)等于除數(shù)乘商；（3）除數(shù)等于被除數(shù)除以商。如圖1-7所示。因數(shù)×因數(shù)=積積÷一個(gè)因數(shù)=另一個(gè)因數(shù)┆┆┆被除數(shù)÷除數(shù)=商除數(shù)×商=被除數(shù)被除數(shù)÷商=除數(shù)圖1-7A2—2“運(yùn)算”、“計(jì)算”、“演算”有什么不同？【運(yùn)算（Operation）】定義在集合A上的運(yùn)算是指從直積集合A×A到集合A的一種對(duì)應(yīng)。如果對(duì)于集合A中的任何兩個(gè)元素的序偶即A×A的一個(gè)元素（a，b），集合A中都有唯一確定的元素c和它對(duì)應(yīng)，就說在集合A上定義了一種運(yùn)算。例如，對(duì)于自然數(shù)集N中的任何兩個(gè)自然數(shù)a，b，都有這樣一個(gè)唯一確定的自然數(shù)c，使a＋b=c。所以加法是定義在自然數(shù)集N上的一種運(yùn)算。然后，加法被推廣到整數(shù)集、有理數(shù)集、實(shí)數(shù)集和復(fù)數(shù)集。類此，可以給出減法、乘法與除法的定義。加、減、乘、除四種運(yùn)算統(tǒng)稱為四則運(yùn)算或算術(shù)運(yùn)算（arithmeticOperation）。小學(xué)數(shù)學(xué)中所說的“運(yùn)算”通常就是指算術(shù)運(yùn)算或四則運(yùn)算，計(jì)算機(jī)中的運(yùn)算器（Arithemeticunit）就是進(jìn)行四則運(yùn)算的裝置?！居?jì)算（Calculation）】根據(jù)算式中所給的數(shù)據(jù)和運(yùn)算，按照一定的程序操作，以求出運(yùn)算結(jié)果的過程叫做“計(jì)算”。【演算（Calculus）】在小學(xué)數(shù)學(xué)中，人們常常用“演算”表示求一個(gè)算式的運(yùn)算結(jié)果的操作過程。除了各種運(yùn)算，“演算”還包括約分、通分之類的恒等變換，以及求最大公約數(shù)或最小公倍數(shù)，輾轉(zhuǎn)相除法等操作。在數(shù)學(xué)科學(xué)中，還用“演算”表示某種理論的體系。如命題演算（Calculusofproposition）、類演算（Calculusofclasses）等。此外“Calculus”一詞還用來表示“微積分學(xué)”。計(jì)算機(jī)或計(jì)算器本身則被稱之為“Calculator”。A2—3“口算”、“心算”、“簡算”、“速算”、“驗(yàn)算”有什么不同？【口算】不借助計(jì)算工具，直接通過思維算出得數(shù)的一種計(jì)算方法?？谒慵仁枪P算、估算和簡算的基礎(chǔ)，也是計(jì)算能力的重要組成部分?！拘乃恪靠谒阋卜Q心算?！竞喫恪考础昂啽阌?jì)算”，又稱“速算”。指的是一類快速、巧妙的計(jì)算。如===6154×11=67694簡算有多種不同的方法和不同的理論依據(jù)。它與各種計(jì)算法則所包含的“程序性操作”不同，沒有常規(guī)的思維模式可套，沒有現(xiàn)成的操作程序可循。需要有對(duì)數(shù)據(jù)的敏感和對(duì)算式整體上的洞察力和敏銳的直覺，要求人們探索和發(fā)現(xiàn)，以找出簡算的途徑?！舅偎恪俊昂喫恪庇址Q“速算”?！掘?yàn)算】式題計(jì)算或應(yīng)用題解答后，為了確保結(jié)果正確，采用一定的方法核對(duì)。這種核對(duì)的過程叫做“驗(yàn)算”。A2—4在數(shù)的計(jì)算中，“橫式”、“豎式”、“遞等式”各指什么？（經(jīng)玲玲）【橫式】通過運(yùn)算符號(hào)，把一些數(shù)字連結(jié)起來，從左往右排列的式子叫做橫式。橫式可以筆算，也可以口算，并把算出的得數(shù)寫在等號(hào)的后面。如53+24=77，29+75－63=41。125×48125+48125×48125+48125－48加法減法乘法用豎式計(jì)算的實(shí)質(zhì)是將當(dāng)前對(duì)于二個(gè)數(shù)的計(jì)算歸結(jié)為它們各個(gè)數(shù)位上的數(shù)的計(jì)算，以求得得數(shù)的各個(gè)數(shù)位上的數(shù)?！具f等式】在進(jìn)行混合運(yùn)算時(shí)，要按運(yùn)算順序逐步計(jì)算。并用計(jì)算結(jié)果代替原式中的部分算式。用等號(hào)與原式相聯(lián)。直至求出最后結(jié)果，這樣的書寫形式叫做遞等式。如：125+48×2125÷（4+1）┆┆=125+96=125÷5┆┆=221=25一般情況下豎式用于數(shù)目較大，數(shù)位較多的四則計(jì)算，用于口算比較困難的場合。遞等式用于四則混合運(yùn)算。A2—5“精確計(jì)算”、“近似計(jì)算”和“估算”的主要區(qū)別是什么？【精確計(jì)算】為解決實(shí)際問題而進(jìn)行數(shù)值計(jì)算時(shí)，有時(shí)需要得到與實(shí)際情況完全符合的準(zhǔn)確數(shù)，有時(shí)只需要或只能得到同準(zhǔn)確數(shù)相差不多的近似數(shù)。如購物該付多少錢？這是需要精確計(jì)算才能回答的問題。為了通過計(jì)算得到準(zhǔn)確數(shù)，首先要求計(jì)算的原始數(shù)據(jù)準(zhǔn)確無誤；所用的計(jì)算公式正確表達(dá)了有關(guān)的幾個(gè)數(shù)量間的關(guān)系，（而不是“近似公式”）并且計(jì)算過程中的每一步都是按相關(guān)的計(jì)算法則正確地進(jìn)行的?！窘朴?jì)算】在工程技術(shù)的計(jì)算中，所用的原始數(shù)據(jù)大多數(shù)不是準(zhǔn)確數(shù)。許多數(shù)量都不要求完全準(zhǔn)確，允許數(shù)據(jù)有一定的誤差，只要誤差不超出規(guī)定的范圍就可以了。為了使計(jì)算結(jié)果的誤差不超過允許的范圍，計(jì)算過程必須遵守相應(yīng)的規(guī)則。這就是近似計(jì)算。通過近似計(jì)算，可以得到誤差不超出指定范圍的近似數(shù)?！竟浪恪俊肮浪恪笔歉鶕?jù)具體條件和有關(guān)知識(shí)，對(duì)事物的數(shù)量或計(jì)算的結(jié)果作出估計(jì)或大概的判斷。如參加一次旅游，大概需要多少費(fèi)用？這就是一個(gè)需要通過估算來解決的問題。總之，精確計(jì)算得到的是準(zhǔn)確數(shù)；近似計(jì)算得到的是誤差不超出指定范圍的近似數(shù)。如果對(duì)計(jì)算結(jié)果的誤差范圍也沒有提出要求，那就可以用估算來解決。A2—6怎樣處理好“算法多樣化”與“算法系列化”之間的關(guān)系？2001年頒布的義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)提倡“算法多樣化”和“解題策略多樣化”。這對(duì)于拓寬學(xué)生的解題思路、培養(yǎng)思維的靈活性、發(fā)散性和創(chuàng)造性都是有益的。不過多種不同的算法往往反映了不同的思維水平。盡管在訓(xùn)練學(xué)生掌握一種算法的初期，應(yīng)該允許學(xué)生達(dá)到不同的思維水平，允許學(xué)生運(yùn)用他理解得最快的某種算法。但從不斷提高學(xué)生的理性思維的根本目標(biāo)來看，我們應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生逐步掌握思維水平更高的算法，而不應(yīng)該以學(xué)生主觀上的“喜歡”作為選擇算法的主要依據(jù)。此外，算法或解決問題的方法往往是以學(xué)生已經(jīng)掌握的某種算法或解題方法為基礎(chǔ)的。例如，20以內(nèi)退位減的“湊十法”和“破十法”都是以10以內(nèi)的減法及20以內(nèi)數(shù)的組成為基礎(chǔ)的。如：17－9=817－9=810727101而“算減想加”：17－9=（），想9+（）=17。因?yàn)?+（8）=17，所以17－9=（8）。則是對(duì)一年級(jí)小學(xué)生進(jìn)行的一次典型的推理訓(xùn)練。這是根據(jù)加、減法的關(guān)系（或者說減法的意義）進(jìn)行的推理，它把20以內(nèi)退位減的計(jì)算歸結(jié)為20以內(nèi)的進(jìn)位加。許多法則的實(shí)質(zhì)都是將當(dāng)前有待解決的問題。轉(zhuǎn)化和歸結(jié)為以前已經(jīng)能解決的問題。認(rèn)識(shí)算法的前后聯(lián)系，弄清它們根據(jù)化歸思想組成的體系，似乎比單純的“算法多樣化”更重要。A2—736＋88＋64=36＋64＋88？根據(jù)什么來證明常見的誤解是：36+88+64=36+64+88是根據(jù)加法交換律來證明的。似乎在“36+88+64”中，將88與64交換位置，就可以得到“36+64+88加法交換律告訴我們：“兩個(gè)數(shù)相加，交換加數(shù)的位置，和不變?！彼膭t混合運(yùn)算的順序規(guī)定：“沒有括號(hào)并且只含有同一級(jí)運(yùn)算的算式，從左到或依次計(jì)算”。這就是說，（36+88）+64中的括號(hào)可以省去。也就是說，對(duì)于36+88+64應(yīng)該理解為（36+88）+64。因此，在算式“36+88+64”（36+88）+64=36+（88+64）……加法結(jié)合律=36+（64+88）……加法交換律=（36+64）+88……加法結(jié)合律或者，這樣證明：（36+88）+64=64+（36+88）……加法交換律=（64+36）+88……加法結(jié)合律=（36+64）+88……加法交換律A2—8整數(shù)加減法、小數(shù)加減法以及分?jǐn)?shù)加減法有什么相同點(diǎn)和不同點(diǎn)？（蔣寶紅）整數(shù)加減法、小數(shù)加減法以及分?jǐn)?shù)加減法的意義相同，但計(jì)算法則不同。不過計(jì)算法則的理論依據(jù)又是相同的：計(jì)數(shù)單位或分?jǐn)?shù)單位相同的數(shù)才能直接相加（減），所以整數(shù)或小數(shù)加減法用豎式演算時(shí)，先要將數(shù)位對(duì)齊或小數(shù)點(diǎn)對(duì)齊。分母不同的分?jǐn)?shù)加減時(shí)要先通分，使分?jǐn)?shù)單位相同。A2—9乘法在現(xiàn)代數(shù)學(xué)中的定義與在小學(xué)數(shù)學(xué)課本中的意義有什么不同？【自然數(shù)的基數(shù)理論中乘法的定義】因?yàn)樽匀粩?shù)的加法適合結(jié)合律，所以任意b個(gè)a相加的