第第5頁(yè)，共5頁(yè)計(jì)算機(jī)系《線性代數(shù)與概率統(tǒng)計(jì)》（線性代數(shù)）課程試卷(A)參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)一、單項(xiàng)選擇題（本大題共5題，每小題3分，共15分)線3 1 x線行列式4 x 0 的展開式中，x2的系數(shù)為（B ）1 0 xA.-1 B.2 C.3 D.4n階方陣A可逆的充分必要條件( B 。r(A)rn B.AnC.A的每一個(gè)行向量都是非零向量

D.伴隨矩陣存在n維向量組,, ,(s2)線性相關(guān)的充要條件( D )訂 1 2 s,, ,中至少有一個(gè)零向量1 2 s,, ,中至少有兩個(gè)向量成比例1 2 s,, ,中任意兩個(gè)向量不成比例1 2 s,, ,中至少有一向量可由其它向量線性表示1 2 sn階對(duì)稱陣A為正定矩陣的充分必要條件是（C ）裝A.0 B. A等價(jià)于單位矩陣EC. A的特征值都大于0 D.存在n階矩陣C，使ACTC當(dāng)r(A)=r(A,B)<n時(shí)，則n元線性方程組AX=A ）有無(wú)窮多解 B.無(wú)解 C.有唯一解 D.無(wú)法確定解的個(gè)數(shù)二、填空題（本大題共5題，每小題3分，共15分)AA23A54n維零向量一定線相 關(guān)。3.設(shè)向量 與 a)T正交，則a -1。1 2設(shè)A為正交矩陣，則ATA 1 設(shè)三階矩陣A的特征值-21、4，則 -8 21232123100023126231123=(1)213122314階行列式裝2123102123100023126231解： (4分) 線內(nèi)=-1*（1+8+27-6-6-6） (8分) 不=-18 (10準(zhǔn)1 2 1 答 求矩陣3 4 2 54 1 解法一： |A|20故A1存在

(2分)A A

A 4 2 0因?yàn)?A*

A3113 6 1A12

32142

(6分) 13 23 332 1 0所以 1

13311 |A|

2

2

(10分)167 1 2 1 1 0 0 解法二：3 4 2 0 1 0 (4分)5 4 1 0 0 1 110021001013310 0 1

2 2 16 7 1

(8分)所以2 1 0 13 1A1

2

32

(10分)167 1 線 線

設(shè)向量組 1

T， 2

T， 3

T， 4

2,3,1T的秩為2，求a,b。

,,

1 2 a 22 3 3 b

(3分)

1 1 1 31 1 1 3 0 1 a1 1

(7分) 0 0 2a b r訂 而,r3 4

,,1

=2,

(8分)所以a=2,b=5。

(10分)x8x10x2x021x42x5x3x4018x26x32401 2 3 4 解對(duì)系數(shù)矩陣進(jìn)行初等行變換有1810 2r 10 4 0 A2 4 5 1~ 013/44裝 3 8 6 2 00 0 0 于是得

x

4x(3/4)x

(5分)2 3 43 4 1 3 4 1 取(xx)T(40)T得x)T(163)T取(xx)T(04)T得x)T(01)T3 4 1 3 4 1 (16340)T(0104)T

(7(9(10分)1 25f(xxx1 2 3

)2x1

6x2

4x3

2xx1

2xx1

的正定性。

1 1

1 6 0

(3分) 1 0 4(52 11 6

110 (72 1 11 6 0 380 (91 0 4裝所以f為負(fù)定的。 (10)訂2 1 1 線 6、求矩陣A0 2 0的全部特征值和特征向量 內(nèi)4 1 3 不2 1 1 準(zhǔn)解：AI= 0 2 0 (2分)4 1 3 答題22所以A的特征值為1

=1，2

=3

=2． (4當(dāng) =1時(shí)，因?yàn)?1 1 1

1 0 1A

EAE1

0 3 0r0 1 0 4 1 4 Ex1p0解得基礎(chǔ)解系

1 1 kp（k0）就是對(duì)應(yīng)的特征向量。1當(dāng) = =2時(shí)，因?yàn)? 34 1 1 4 1 1

(7分)A2E0 0 00 0 0 4 1 1 線解方程組(A2E)x=0．線1 0p0,p1解得基礎(chǔ)解系 2 3 ．4 4 kp+kp （k,k 不同時(shí)為零）2 2 3 3 2 3

(10分)四、證明題（本題10分)1.已知n維向量,,線性無(wú)關(guān)，證明向量組, ,線性無(wú)關(guān)。1 2 3 1 2 2 3 3 1訂證明：

k1

)k2 2

)k3 3

)O1

(3分)整理得：(kk(kk(k kO1 3 1 1 2 2 2 3 3,,