第一部分資產(chǎn)定價理論第五章均值－方差前沿和beta表達(dá)式1資產(chǎn)定價AssetPricing5第一部分資產(chǎn)定價理論第五章均值－方差前沿和b本章要點(diǎn)許多資產(chǎn)定價中的經(jīng)驗(yàn)研究論文是用期望收益－beta表達(dá)式和均值－方差前沿的語言來寫的。這一章介紹期望收益－beta表達(dá)式和均值－方差前沿。我在這里討論因子定價模型的beta表達(dá)式。第六章指出期望收益－beta模型是如何等價于一個折現(xiàn)因子為m=b’f的線性模型。第九章討論諸如CAPM,ICAPM和APT那樣的流行因子模型的推導(dǎo)。2本章要點(diǎn)許多資產(chǎn)定價中的經(jīng)驗(yàn)研究論文是用期望收益－beta本章要點(diǎn)（續(xù)）我對均值－方差前沿概述了經(jīng)典的Lagrange方法。然后，我引入由HansenandRichard(1987)提出的均值－方差前沿的強(qiáng)有力而有用的表達(dá)式。這個表達(dá)式由存在定理來運(yùn)用熟知的狀態(tài)空間幾何。在無限維償付空間(當(dāng)我們再加上條件信息、動態(tài)交易或者期權(quán)時，我們將立即遇到這樣的空間)中，它也成立，因而它也很有用。3本章要點(diǎn)（續(xù)）我對均值－方差前沿概述了經(jīng)典的Lagrang5.1期望收益－beta表達(dá)式因子定價模型的期望收益－beta表達(dá)式為該模型等價于一種限制：在時間序列回歸中對于所有資產(chǎn)的截距是一樣的。許多金融學(xué)中的經(jīng)驗(yàn)研究是用線性因子定價模型的期望收益－beta表達(dá)式來寫的。其形式為45.1期望收益－beta表達(dá)式因子定價模型的期望收益

項(xiàng)的計算項(xiàng)定義為下列收益關(guān)于因子的多重回歸中的系數(shù)，它通常稱為時間序列回歸?！耙蜃印眆是邊際效用增長的代理。第九章中將討論它從哪里來。這個回歸式并不是用來預(yù)測收益，其目標(biāo)是度量當(dāng)前關(guān)系或風(fēng)險暴露。5項(xiàng)的計算項(xiàng)定義為下列收益關(guān)于因子的多重回歸中的系數(shù)，與是公共的在期望收益－beta表達(dá)式中，與

是公共的。模型表明，越高，資產(chǎn)的平均收益就越高。也可解釋為風(fēng)險暴露。模型可說成是：“每單位關(guān)于風(fēng)險因子a的暴露,你必須向投資者提供期望收益溢價?！?與是公共的在期望收益－beta表達(dá)式中，怎樣估計與？自由參數(shù)與的估計是通過平均收益關(guān)于beta的橫截面回歸：是定價誤差。模型的預(yù)測是為零。因此，它應(yīng)該在檢驗(yàn)中統(tǒng)計上是不顯著的，經(jīng)濟(jì)上很小。以后將專門討論基于平方定價誤差和的統(tǒng)計檢驗(yàn)。7怎樣估計與？自由參數(shù)與的估計是通過平均收的含義

是回歸系數(shù)的事實(shí)極為重要。如果也是自由參數(shù)，那么模型就沒有任何內(nèi)容。更為重要的是，不可能是資產(chǎn)或公司專有的特征，例如公司規(guī)模，BTM比，或者（取極端狀況）其標(biāo)記的第一個字母等等那樣的特征。期望收益確實(shí)聯(lián)系或相關(guān)許多這樣的特征，但是這種相關(guān)性必須用某些回歸系數(shù)來解釋。真正的應(yīng)該導(dǎo)出橫截面回歸中的特征。它刻劃的是你的行為，而并非說你是誰。8的含義是回歸系數(shù)的事實(shí)極為重要。如果也是自由某些公共的特殊情形如果存在無風(fēng)險利率，那么它相應(yīng)的都是零。因此，如果不存在無風(fēng)險利率，通過橫截面回歸來估計，并稱為零-利率。對于一般的超額收益，有這里沒有.9某些公共的特殊情形如果存在無風(fēng)險利率，那么它相應(yīng)的都是某些公共的特殊情形（續(xù)）在許多情況下，因子也是收益或超額收益。這時，等等成立。因此，上式是橫截面回歸，而不是時間序列回歸。應(yīng)該注意其中的區(qū)別。這里尤其是截矩上的區(qū)別?！癘necanalwaysrunaregressionofanythingonanything.”10某些公共的特殊情形（續(xù)）在許多情況下，因子也是收益或超額收益5.2均值－方差前沿：直觀刻劃和Lagrange刻劃典型的均值－方差前沿如圖。注意：本書的“前沿”不要求“有效”。115.2均值－方差前沿：直觀刻劃和Lagrange刻劃均值－方差前沿的存在定理給定資產(chǎn)集的均值－方差前沿是給定資產(chǎn)的所有組合上的收益的均值和方差的集合的邊界。通過給定平均收益最小化收益方差可求得或定義這一邊界。定理：如果收益的方差－協(xié)方差矩陣非異，那么均值－方差前沿存在。12均值－方差前沿的存在定理給定資產(chǎn)集的均值－方差前沿是給定資產(chǎn)均值－方差前沿的Lagrange方法問題：設(shè)R為資產(chǎn)收益向量。EE(R)為均值收益向量，＝E[(R-E)(R-E)’]為協(xié)方差矩陣。組合向量定義為滿足w’1=1的w.于是“對于給定均值選取組合，是方差最小”的問題為13均值－方差前沿的Lagrange方法問題：設(shè)R為資產(chǎn)收益組合選擇問題的解解：令那么對于給定的平均組合收益，最小方差組合的方差為（拋物線）組合權(quán)重為14組合選擇問題的解解：令14最小方差組合和“二基金分離”把前面得到的方差對求最小值，可得其相應(yīng)的最小方差為,而相應(yīng)的組合權(quán)重為由于w是的線性函數(shù)，整個前沿可由兩個前沿收益生成（二基金分離定理）。15最小方差組合和“二基金分離”把前面得到的方差對求最小值組合選擇問題求解的推導(dǎo)對兩個約束條件引入Lagrange乘子2和2，由一階條件可得再由約束條件可得16組合選擇問題求解的推導(dǎo)對兩個約束條件引入Lagrange組合選擇問題求解的推導(dǎo)（續(xù)）它也可以寫成因此，17組合選擇問題求解的推導(dǎo)（續(xù)）它也可以寫成175.3均值－方差前沿的正交特征上面介紹的是經(jīng)典的均值－方差前沿理論。除Markowitz(1952)的開創(chuàng)性研究外，主要是Merton(1972),Roll(1977)

等所作的貢獻(xiàn)。這種方法很直接，但比較笨拙。HansenandRichard(1987)提出了一種均值－方差前沿的新的討論方法，它甚至適用于無限維償付空間。185.3均值－方差前沿的正交特征上面介紹的是經(jīng)典的均值－方和的定義

的定義的定義19和的定義的定義為什么要選取這兩個收益？

是代表折現(xiàn)因子的收益。是代表超額收益。它們的主要性質(zhì)可由下式看出：20為什么要選取這兩個收益？是代表折現(xiàn)因子的收益。20正交分解定理定理：每個收益可表達(dá)為其中是一個數(shù)，是有下列性質(zhì)的超額收益三個分量是正交的：21正交分解定理定理：每個收益可表達(dá)為21均值－方差前沿定理定理：在均值方差前沿上當(dāng)且僅當(dāng)對于某個實(shí)數(shù)w成立。這是一種新形式的二基金分離定理。22均值－方差前沿定理定理：在均值方差前沿上當(dāng)且僅當(dāng)2定理的幾何構(gòu)造我們要注意的是：任何收益的價格等于1！23定理的幾何構(gòu)造我們要注意的是：任何收益的價格等于1！23定理的代數(shù)論證一種直截了當(dāng)?shù)淖C明是取另一種證明是注意到對于任何收益，有1.于是問題就轉(zhuǎn)化為一個超額收益超平面上的向量的正交分解問題。此外，還要注意到=0.24定理的代數(shù)論證一種直截了當(dāng)?shù)淖C明是取24在均值－標(biāo)準(zhǔn)差空間中的分解。均值－標(biāo)準(zhǔn)差空間與狀態(tài)空間不一樣，無法顯示正交關(guān)系，但是可以看出“異質(zhì)風(fēng)險”。注意R*的特殊地位。25在均值－標(biāo)準(zhǔn)差空間中的分解。均值－標(biāo)準(zhǔn)差空間與狀態(tài)空間不一樣5.4生成均值－方差前沿用和來表示的均值－方差前沿的特征在我們的框架中是最自然的。然而，你也可以用任何兩個前沿上的組合，即任何兩個和的不同線性組合，來生成均值－方差前沿。但是這時權(quán)重的系數(shù)將有所變化。特別是在無風(fēng)險利率存在時，可利用它來生成均值－方差前沿。265.4生成均值－方差前沿用和來表示的均5.5,和x*的性質(zhì)匯總(1)(2)(3)275.5,和x*的性質(zhì)匯總(1)(4)(5)(6)(7)(8)是方差最小的收益。

5.5,和x*的性質(zhì)匯總28(4)5.5,和x*的性質(zhì)匯總25.5,和x*的性質(zhì)匯總(9)(10)如果存在無風(fēng)險利率，那么(11)295.5,和x*的性質(zhì)匯總(9)29(12)(13)(14)5.5,和x*的性質(zhì)匯總30(12)5.5,和x*的性質(zhì)匯總5.6對于折現(xiàn)因子的均值－方差前

沿:Hansen-Jagannathan界限對給定的資產(chǎn)集定價的所有折現(xiàn)因子的均值－方差前沿通過Sharpe比來構(gòu)造。即由可得315.6對于折現(xiàn)因子的均值－方差前

沿:HaHansen-Jagannathan界限這個等式就稱為Hansen-Jagannathan界限。它對于理解和克服股權(quán)溢價之謎來說，是一個重要的工具。它也可以通過左面的圖來理解。32Hansen-Jagannathan界限這個等式就稱為Ha折現(xiàn)因子波動率和Sharpe比關(guān)系由此可得到一個美妙的對偶關(guān)系：對此，我們可求得明確的計算。我們曾經(jīng)求得其中33折現(xiàn)因子波動率和Sharpe比關(guān)系由此可得到一個美妙的對Hansen-Jagannathan界限公式由此可導(dǎo)得為進(jìn)一步進(jìn)行估計，記折現(xiàn)因子m全體為M.類似與以前的討論，m也可有下列分解：其中34Hansen-Jagannathan界限公式由此可導(dǎo)得34分解式的圖解35分解式的圖解35折現(xiàn)因子的均值－方差前沿與均值－方差前沿的討論一樣，由可得其折現(xiàn)因子的均值方差前沿為這就是說，下列關(guān)系成立：36折現(xiàn)因子的均值－方差前沿與均值－方差前沿的討論一樣，由3進(jìn)一步計算我們?nèi)钥衫靡郧暗挠嬎悖涸儆煽傻眠@樣折現(xiàn)因子的均值－方差前沿為37進(jìn)一步計算我們?nèi)钥衫靡郧暗挠嬎悖?7進(jìn)一步計算（續(xù)）由此可得再由我們再次導(dǎo)得38進(jìn)一步計算（續(xù)）由此可得38

Hansen-Jagannathan界限的意義從數(shù)學(xué)上來看，Hansen-Jagannathan

界限的討論是一種對偶關(guān)系的討論。這在討論框架條件變更時，非常有用。例如，增加一種證券對均值－方差前沿的影響，就可通過討論對Hansen-Jagannathan界限的影響來進(jìn)行。更深入的討論，還可要求折現(xiàn)因子為正：39Hansen-Jagannathan界限的意義從數(shù)學(xué)上來第一部分資產(chǎn)定價理論第五章均值－方差前沿和beta表達(dá)式40資產(chǎn)定價AssetPricing5第一部分資產(chǎn)定價理論第五章均值－方差前沿和b本章要點(diǎn)許多資產(chǎn)定價中的經(jīng)驗(yàn)研究論文是用期望收益－beta表達(dá)式和均值－方差前沿的語言來寫的。這一章介紹期望收益－beta表達(dá)式和均值－方差前沿。我在這里討論因子定價模型的beta表達(dá)式。第六章指出期望收益－beta模型是如何等價于一個折現(xiàn)因子為m=b’f的線性模型。第九章討論諸如CAPM,ICAPM和APT那樣的流行因子模型的推導(dǎo)。41本章要點(diǎn)許多資產(chǎn)定價中的經(jīng)驗(yàn)研究論文是用期望收益－beta本章要點(diǎn)（續(xù)）我對均值－方差前沿概述了經(jīng)典的Lagrange方法。然后，我引入由HansenandRichard(1987)提出的均值－方差前沿的強(qiáng)有力而有用的表達(dá)式。這個表達(dá)式由存在定理來運(yùn)用熟知的狀態(tài)空間幾何。在無限維償付空間(當(dāng)我們再加上條件信息、動態(tài)交易或者期權(quán)時，我們將立即遇到這樣的空間)中，它也成立，因而它也很有用。42本章要點(diǎn)（續(xù)）我對均值－方差前沿概述了經(jīng)典的Lagrang5.1期望收益－beta表達(dá)式因子定價模型的期望收益－beta表達(dá)式為該模型等價于一種限制：在時間序列回歸中對于所有資產(chǎn)的截距是一樣的。許多金融學(xué)中的經(jīng)驗(yàn)研究是用線性因子定價模型的期望收益－beta表達(dá)式來寫的。其形式為435.1期望收益－beta表達(dá)式因子定價模型的期望收益

項(xiàng)的計算項(xiàng)定義為下列收益關(guān)于因子的多重回歸中的系數(shù)，它通常稱為時間序列回歸?！耙蜃印眆是邊際效用增長的代理。第九章中將討論它從哪里來。這個回歸式并不是用來預(yù)測收益，其目標(biāo)是度量當(dāng)前關(guān)系或風(fēng)險暴露。44項(xiàng)的計算項(xiàng)定義為下列收益關(guān)于因子的多重回歸中的系數(shù)，與是公共的在期望收益－beta表達(dá)式中，與

是公共的。模型表明，越高，資產(chǎn)的平均收益就越高。也可解釋為風(fēng)險暴露。模型可說成是：“每單位關(guān)于風(fēng)險因子a的暴露,你必須向投資者提供期望收益溢價?！?5與是公共的在期望收益－beta表達(dá)式中，怎樣估計與？自由參數(shù)與的估計是通過平均收益關(guān)于beta的橫截面回歸：是定價誤差。模型的預(yù)測是為零。因此，它應(yīng)該在檢驗(yàn)中統(tǒng)計上是不顯著的，經(jīng)濟(jì)上很小。以后將專門討論基于平方定價誤差和的統(tǒng)計檢驗(yàn)。46怎樣估計與？自由參數(shù)與的估計是通過平均收的含義

是回歸系數(shù)的事實(shí)極為重要。如果也是自由參數(shù)，那么模型就沒有任何內(nèi)容。更為重要的是，不可能是資產(chǎn)或公司專有的特征，例如公司規(guī)模，BTM比，或者（取極端狀況）其標(biāo)記的第一個字母等等那樣的特征。期望收益確實(shí)聯(lián)系或相關(guān)許多這樣的特征，但是這種相關(guān)性必須用某些回歸系數(shù)來解釋。真正的應(yīng)該導(dǎo)出橫截面回歸中的特征。它刻劃的是你的行為，而并非說你是誰。47的含義是回歸系數(shù)的事實(shí)極為重要。如果也是自由某些公共的特殊情形如果存在無風(fēng)險利率，那么它相應(yīng)的都是零。因此，如果不存在無風(fēng)險利率，通過橫截面回歸來估計，并稱為零-利率。對于一般的超額收益，有這里沒有.48某些公共的特殊情形如果存在無風(fēng)險利率，那么它相應(yīng)的都是某些公共的特殊情形（續(xù)）在許多情況下，因子也是收益或超額收益。這時，等等成立。因此，上式是橫截面回歸，而不是時間序列回歸。應(yīng)該注意其中的區(qū)別。這里尤其是截矩上的區(qū)別?！癘necanalwaysrunaregressionofanythingonanything.”49某些公共的特殊情形（續(xù)）在許多情況下，因子也是收益或超額收益5.2均值－方差前沿：直觀刻劃和Lagrange刻劃典型的均值－方差前沿如圖。注意：本書的“前沿”不要求“有效”。505.2均值－方差前沿：直觀刻劃和Lagrange刻劃均值－方差前沿的存在定理給定資產(chǎn)集的均值－方差前沿是給定資產(chǎn)的所有組合上的收益的均值和方差的集合的邊界。通過給定平均收益最小化收益方差可求得或定義這一邊界。定理：如果收益的方差－協(xié)方差矩陣非異，那么均值－方差前沿存在。51均值－方差前沿的存在定理給定資產(chǎn)集的均值－方差前沿是給定資產(chǎn)均值－方差前沿的Lagrange方法問題：設(shè)R為資產(chǎn)收益向量。EE(R)為均值收益向量，＝E[(R-E)(R-E)’]為協(xié)方差矩陣。組合向量定義為滿足w’1=1的w.于是“對于給定均值選取組合，是方差最小”的問題為52均值－方差前沿的Lagrange方法問題：設(shè)R為資產(chǎn)收益組合選擇問題的解解：令那么對于給定的平均組合收益，最小方差組合的方差為（拋物線）組合權(quán)重為53組合選擇問題的解解：令14最小方差組合和“二基金分離”把前面得到的方差對求最小值，可得其相應(yīng)的最小方差為,而相應(yīng)的組合權(quán)重為由于w是的線性函數(shù)，整個前沿可由兩個前沿收益生成（二基金分離定理）。54最小方差組合和“二基金分離”把前面得到的方差對求最小值組合選擇問題求解的推導(dǎo)對兩個約束條件引入Lagrange乘子2和2，由一階條件可得再由約束條件可得55組合選擇問題求解的推導(dǎo)對兩個約束條件引入Lagrange組合選擇問題求解的推導(dǎo)（續(xù)）它也可以寫成因此，56組合選擇問題求解的推導(dǎo)（續(xù)）它也可以寫成175.3均值－方差前沿的正交特征上面介紹的是經(jīng)典的均值－方差前沿理論。除Markowitz(1952)的開創(chuàng)性研究外，主要是Merton(1972),Roll(1977)

等所作的貢獻(xiàn)。這種方法很直接，但比較笨拙。HansenandRichard(1987)提出了一種均值－方差前沿的新的討論方法，它甚至適用于無限維償付空間。575.3均值－方差前沿的正交特征上面介紹的是經(jīng)典的均值－方和的定義

的定義的定義58和的定義的定義為什么要選取這兩個收益？

是代表折現(xiàn)因子的收益。是代表超額收益。它們的主要性質(zhì)可由下式看出：59為什么要選取這兩個收益？是代表折現(xiàn)因子的收益。20正交分解定理定理：每個收益可表達(dá)為其中是一個數(shù)，是有下列性質(zhì)的超額收益三個分量是正交的：60正交分解定理定理：每個收益可表達(dá)為21均值－方差前沿定理定理：在均值方差前沿上當(dāng)且僅當(dāng)對于某個實(shí)數(shù)w成立。這是一種新形式的二基金分離定理。61均值－方差前沿定理定理：在均值方差前沿上當(dāng)且僅當(dāng)2定理的幾何構(gòu)造我們要注意的是：任何收益的價格等于1！62定理的幾何構(gòu)造我們要注意的是：任何收益的價格等于1！23定理的代數(shù)論證一種直截了當(dāng)?shù)淖C明是取另一種證明是注意到對于任何收益，有1.于是問題就轉(zhuǎn)化為一個超額收益超平面上的向量的正交分解問題。此外，還要注意到=0.63定理的代數(shù)論證一種直截了當(dāng)?shù)淖C明是取24在均值－標(biāo)準(zhǔn)差空間中的分解。均值－標(biāo)準(zhǔn)差空間與狀態(tài)空間不一樣，無法顯示正交關(guān)系，但是可以看出“異質(zhì)風(fēng)險”。注意R*的特殊地位。64在均值－標(biāo)準(zhǔn)差空間中的分解。均值－標(biāo)準(zhǔn)差空間與狀態(tài)空間不一樣5.4生成均值－方差前沿用和來表示的均值－方差前沿的特征在我們的框架中是最自然的。然而，你也可以用任何兩個前沿上的組合，即任何兩個和的不同線性組合，來生成均值－方差前沿。但是這時權(quán)重的系數(shù)將有所變化。特別是在無風(fēng)險利率存在時，可利用它來生成均值－方差前沿。655.4生成均值－方差前沿用和來表示的均5.5,和x*的性質(zhì)匯總(1)(2)(3)665.5,和x*的性質(zhì)匯總(1)(4)(5)(6)(7)(8)是方差最小的收益。

5.5,和x*的性質(zhì)匯總67(4)5.5,和x*的性質(zhì)匯總25.5,和x*的性質(zhì)匯總(9)(10)如果存在無風(fēng)險利率，那么(11)685.5,和x*的性質(zhì)匯總(9)29(12)(13)(14)5.5,和x*的性質(zhì)匯總69(12)