信號(hào)時(shí)頻分析的重要性：時(shí)間和頻率是描述信號(hào)的兩個(gè)最重要的物理量。信號(hào)的時(shí)域和頻域之間具有緊密的聯(lián)系。1信號(hào)時(shí)頻分析的重要性：時(shí)間和頻率是描述信號(hào)的兩個(gè)最重要的物理

對(duì)于各種信號(hào)，可以有不同的分類方法，如確定性信號(hào)與隨機(jī)信號(hào)、周期信號(hào)與非周期信號(hào)、連續(xù)信號(hào)與離散信號(hào)、平穩(wěn)信號(hào)與非平穩(wěn)信號(hào)等。所謂信號(hào)分析就是在時(shí)(間)域或變換域?qū)π盘?hào)進(jìn)行分析處理的過程。信號(hào)分析的最直接的方法就是在時(shí)域內(nèi)對(duì)信號(hào)進(jìn)行分析，其突出特點(diǎn)是方法簡(jiǎn)單、物理概念明確。然而，對(duì)于某些信號(hào)在時(shí)域很難分析、或特征不明顯，需要進(jìn)行某種變換，典型的方法是Fourier變換，即在變換域進(jìn)行分析。在信號(hào)變換域分析中，變換的目的就是尋求對(duì)信號(hào)的另外一種表示，使得比較復(fù)雜、特征不明顯的信號(hào)在變換域更加明顯，利于分析。Fourier變換及其反變換建立了時(shí)域信號(hào)和頻域譜(變換域)的一對(duì)一關(guān)系，時(shí)域和頻域構(gòu)成了兩種不同的分析信號(hào)方法。信號(hào)時(shí)域和頻域分析可以截然分開是以信號(hào)的頻率特性時(shí)不變或統(tǒng)計(jì)特性平穩(wěn)為前提條件的。

2對(duì)于各種信號(hào)，可以有不同的分類方法，如確定性

實(shí)際中的許多信號(hào)往往都表現(xiàn)出非平穩(wěn)性，在這種情況下，時(shí)、頻兩域的分析便不能截然分開，而這種不完全可分性會(huì)使得Fourier變換無能為力。另外Fourier變換在時(shí)域中沒有任何分辨率，即)(ωF在任何有限頻段上的信息均不足以刻畫任意小范圍內(nèi)的，也就是說經(jīng)典的Fourier變換分析法在理論與實(shí)際應(yīng)用中都受到一定的限制。

3344FT在信號(hào)處理中的局限性用傅立葉變換提取信號(hào)的頻譜需要利用信號(hào)的全部時(shí)域信息。傅立葉變換沒有反映出隨著時(shí)間的變化信號(hào)頻率成分的變化情況。5FT在信號(hào)處理中的局限性用傅立葉變換提取信號(hào)的頻譜需要利用信66在不少實(shí)際問題中，我們關(guān)心的是信號(hào)在局部范圍中的特征,例如：在音樂信號(hào)中人們關(guān)心的是什么時(shí)刻演奏什么樣的音符；對(duì)地震波的記錄人們關(guān)心的是什么位置出現(xiàn)什么樣的反射波；圖像識(shí)別中的邊緣檢測(cè)關(guān)心的是信號(hào)突變部分的位置，即紋理結(jié)構(gòu)。這些FT不能完成，需要引入時(shí)頻局部化分析7在不少實(shí)際問題中，我們關(guān)心的是信號(hào)在局部范圍中的特征,例如短時(shí)Fourier變換若是窗函數(shù)，則短時(shí)Fourier變換定義為短時(shí)Fourier變換也叫窗口Fourier變換短時(shí)FT是說明時(shí)頻局部化分析思想的很好例子8短時(shí)Fourier變換若是窗函數(shù)，8相空間是指以“時(shí)間”為橫坐標(biāo)，“頻域”為縱坐標(biāo)的歐氏空間，而相空間中的有限區(qū)域被稱為窗口，沿時(shí)間軸的一段區(qū)間被稱為時(shí)間窗，沿頻率軸的一段區(qū)間被稱為頻率窗。9相空間是指以“時(shí)間”為橫坐標(biāo)，“頻域”為1010實(shí)際中信號(hào)分析的要求：信號(hào)高頻部分對(duì)應(yīng)時(shí)域中的快變成分，如陡峭的前沿、后沿、尖脈沖等，分析時(shí)對(duì)時(shí)域分辨率要求高，對(duì)頻域分辨率要求低。信號(hào)低頻成分對(duì)應(yīng)時(shí)域中的慢變成分，分析對(duì)時(shí)域分辨率要求低，對(duì)頻域分辨率要求高。

因此，短時(shí)Fourier變換不能敏感地反映信號(hào)的突變，不能很好地刻畫信息。11實(shí)際中信號(hào)分析的要求：信號(hào)高頻部分對(duì)應(yīng)時(shí)域中的快變成分，如陡小波(wavelet)分析發(fā)展歷史1807年Fourier提出傅里葉分析，1822年發(fā)表“熱傳導(dǎo)解析理論”論文1910年Haar提出最簡(jiǎn)單的小波1980年Morlet首先提出平移伸縮的小波公式，用于地質(zhì)勘探。1985年Meyer和稍后的Daubeichies提出“正交小波基”，此后形成小波研究的高潮。1988年Mallat提出的多分辨度分析理論（MRA），統(tǒng)一了語(yǔ)音識(shí)別中的鏡向?yàn)V波，子帶編碼，圖象處理中的金字塔法等幾個(gè)不相關(guān)的領(lǐng)域。12小波(wavelet)分析發(fā)展歷史1807年Fourier小波的特點(diǎn)和發(fā)展“小波分析”是分析原始信號(hào)各種變化的特性，進(jìn)一步用于數(shù)據(jù)壓縮、噪聲去除、特征選擇等。例如歌唱信號(hào)：是高音還是低音，發(fā)聲時(shí)間長(zhǎng)短、起伏、旋律等。從平穩(wěn)的波形發(fā)現(xiàn)突變的尖峰。小波分析是利用多種“小波基函數(shù)”對(duì)“原始信號(hào)”進(jìn)行分解。小波變換及時(shí)頻分析的目的就是根據(jù)實(shí)際非穩(wěn)定信號(hào)的分析特點(diǎn)，結(jié)合信號(hào)的時(shí)、頻特性，對(duì)其信號(hào)進(jìn)行時(shí)頻分析，以達(dá)到最佳的分析效果。

13小波的特點(diǎn)和發(fā)展“小波分析”是分析原始信號(hào)各種變小波的時(shí)間和頻率特性運(yùn)用小波基，可以提取信號(hào)中的“指定時(shí)間”和“指定頻率”的變化。時(shí)間：提取信號(hào)中“指定時(shí)間”（時(shí)間A或時(shí)間B）的變化。顧名思義，小波在某時(shí)間發(fā)生的小的波動(dòng)。頻率：提取信號(hào)中時(shí)間A的比較慢速變化，稱較低頻率成分；而提取信號(hào)中時(shí)間B的比較快速變化，稱較高頻率成分。

時(shí)間A時(shí)間B14小波的時(shí)間和頻率特性運(yùn)用小波基，可以提取信號(hào)中的“指定時(shí)間”小波基表示發(fā)生的時(shí)間和頻率“時(shí)頻局域性”圖解：Fourier變換的基（上）小波變換基（中）和時(shí)間采樣基（下）的比較

傅里葉變換(Fourier)基小波基時(shí)間采樣基15小波基表示發(fā)生的時(shí)間和頻率“時(shí)頻局域性”圖解：Fourie小波的3個(gè)特點(diǎn)小波變換，既具有頻率分析的性質(zhì)，又能表示發(fā)生的時(shí)間。有利于分析確定時(shí)間發(fā)生的現(xiàn)象。（傅里葉變換只具有頻率分析的性質(zhì)）小波變換的多分辨度的變換，有利于各分辨度不同特征的提?。▓D象壓縮，邊緣抽取，噪聲過濾等）小波變換比快速Fourier變換還要快一個(gè)數(shù)量級(jí)。信號(hào)長(zhǎng)度為M時(shí)，F(xiàn)ourier變換（左）和小波變換（右）計(jì)算復(fù)雜性分別如下公式：

16小波的3個(gè)特點(diǎn)小波變換，既具有頻率分析的性質(zhì)，又能表示發(fā)生連續(xù)小波函數(shù)定義：設(shè)，則下面的函數(shù)族

叫小波分析或連續(xù)小波，叫基本小波或

小波。若是窗函數(shù)，就叫為窗口小波函數(shù)，一般我們恒假定為窗口小波函數(shù)。17連續(xù)小波函數(shù)定義：設(shè)，則下面的18181919連續(xù)小波函數(shù)窗口的“變焦”特性:當(dāng)a變小時(shí)，時(shí)域觀察范圍變窄，但頻率觀察的范圍變寬，且觀察的中心頻率向高頻處移動(dòng)；當(dāng)a變大時(shí)，時(shí)域觀察范圍變寬，頻域的觀察范圍變窄，且分析的中心頻率向低頻處移動(dòng).

20連續(xù)小波函數(shù)窗口的“變焦”特性:20多分辨分析1988年Mallat提出的多分辨度分析理論，統(tǒng)一了幾個(gè)不相關(guān)的領(lǐng)域：包括語(yǔ)音識(shí)別中的鏡向?yàn)V波，圖象處理中的金字塔方法，地震分析中短時(shí)波形處理等。當(dāng)在某一個(gè)分辨度檢測(cè)不到的現(xiàn)象，在另一個(gè)分辨度卻很容易觀察處理。例如：21多分辨分析1988年Mallat提出的多分辨度分析理論，

多分辨分析

22多分辨分析22小波分解和小波基

小波基D小波基A原始信號(hào)小波系數(shù)wd小波系數(shù)wa正變換：原始信號(hào)在小波基上，獲得“小波系數(shù)”分量反變換：所有“小波分解”合成原始信號(hào)例如：小波分解a=小波系數(shù)wa×小波基A23小波分解和小波基

Daubechies小波24Daubechies小波24

Coiflets小波25Coiflets小波25

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小波除噪算法

傳統(tǒng)的建立在付氏變換基礎(chǔ)上的濾波方法在提高信噪比和提高分辨率之間存在矛盾。低通濾波器雖然能通過平滑抑制噪音，但同時(shí)也會(huì)使信號(hào)的邊沿模糊。高通濾波器可以使邊沿更加陡峭，但背景噪音同時(shí)被加強(qiáng)。與之相比基于小波變換的多分辨分析有明顯的優(yōu)點(diǎn)。基于小波變換分析的多分辨分析即相當(dāng)于對(duì)信號(hào)進(jìn)行低通和高通濾波，可將信號(hào)分解為位于不同頻帶和時(shí)段內(nèi)的各個(gè)成分。因此，通過Mallat算法將信號(hào)分解后，就可根據(jù)先驗(yàn)知識(shí)，引入門限來作為甄別受到噪聲污染的小波系數(shù)。將等于和小于門限的小波系數(shù)認(rèn)為由噪聲產(chǎn)生，置其為零而舍去。對(duì)于大于門限的小波系數(shù),即認(rèn)為是含有用信號(hào)成分，給予保留。再由Mallat重構(gòu)算法根據(jù)形成新的信號(hào)成分序列來重建信號(hào),從而即獲得濾除噪聲后的信號(hào)，又不致于引起重建結(jié)果的明顯失真。這就是非線性小波方法用于從噪聲中恢復(fù)信號(hào)的實(shí)質(zhì)。要用小波方法很好地實(shí)現(xiàn)信噪分離，關(guān)鍵的問題是如何設(shè)計(jì)出好的門限。

27小波除噪算法27

圖Donoho噪聲抑制信號(hào)

28圖Donoho噪聲抑制信號(hào)28

小波函數(shù)(bior2.2)分解濾波器系數(shù)如下：h0(-2,-1,0,1,2)={0，0，0.3536，0.7071，0.3536}；h1(-2,-1,0,1,2)={0.1768，0.3536，-1.0607，0.3536，0.1768}。小波函數(shù)(bior2.2)重構(gòu)濾波器系數(shù)如下：g0(-2,-1,0,1,2)={-0.1768，0.3536，1.0607，0.3536，-0.1768}；g1(-2,-1,0,1,2)={0，0.3536，-0.7071，0.3536，0}。含噪音的心電信號(hào)小波分解

29小波函數(shù)(bior2.2)分解濾波器系數(shù)如下：含噪音的心

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信號(hào)突變點(diǎn)的小波檢測(cè)原理

在信號(hào)的自動(dòng)分析與識(shí)別的過程中，很難根據(jù)原始觀察數(shù)據(jù)給出直接解釋，故總要提取它的某些特征來表征它。提取何種特征需要根據(jù)信號(hào)特點(diǎn)和分析目的決定，但也不排斥提取一些具有共性的特征，如信號(hào)的過零點(diǎn)、極值點(diǎn)以及過零間隔等。信號(hào)的急劇變化處常常是分析特性的關(guān)鍵點(diǎn)，例如心電圖中的QRS波群。由信號(hào)的小波變換的奇異點(diǎn)(如過零點(diǎn)、極值點(diǎn)等)來表征信號(hào)(特別是信號(hào)的突變或瞬態(tài)特征)是小波變換引人注意的應(yīng)用領(lǐng)域。31信號(hào)突變點(diǎn)的小波檢測(cè)原理31

對(duì)于信號(hào)奇異性檢測(cè)來說，小波變換最重要的應(yīng)用就是用模極大值定位奇異點(diǎn)．第一，從直觀角度，小波變換的實(shí)質(zhì)就是一種度量波形相似程度的方法．信號(hào)與小波越相似，則小波系數(shù)越大．這也就可理解為出現(xiàn)了小波變換的模極大值．因?yàn)楫?dāng)信號(hào)出現(xiàn)奇異點(diǎn)時(shí)，或是間斷點(diǎn)，或是一階導(dǎo)數(shù)不連續(xù)點(diǎn)，其在各個(gè)尺度下都將必然出現(xiàn)大的小波系數(shù)．從而可以定位奇異點(diǎn)！

第二個(gè)方面從小波的取法來看，當(dāng)小波取為光滑函數(shù)一階導(dǎo)數(shù)或二階導(dǎo)數(shù)時(shí)，從公式可以推導(dǎo)出小波變換將出現(xiàn)模極大值點(diǎn)或是過零點(diǎn)．也就是模極大值檢測(cè)和零交叉檢測(cè)。

第三個(gè)方面小波變換能夠通過多尺度分析提取信號(hào)的奇異點(diǎn)。基本原理是當(dāng)信號(hào)在奇異點(diǎn)附近的Lipschitz指數(shù)a>0時(shí)，其小波變換的模極大值隨尺度的增大而增大;當(dāng)a<0時(shí)，則隨尺度的增大而減小。噪聲對(duì)應(yīng)的Lipschitz指數(shù)小于0,而信號(hào)邊沿對(duì)應(yīng)的Lipschitz指數(shù)大于或等于0,因此，利用小波變換可以區(qū)分噪聲和信號(hào)邊沿，有效地檢測(cè)出強(qiáng)嗓聲背景下的信號(hào)邊沿(緩變或突變)。32對(duì)于信號(hào)奇異性檢測(cè)來說，小波變換最重要的應(yīng)用

3333

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3535小波分析的應(yīng)用

小波變換用于圖象壓縮有良好的效果，已形成圖象壓縮的標(biāo)準(zhǔn)如JPEG2000。視頻壓縮標(biāo)準(zhǔn)H.264、MPEG4等。新一代通信系統(tǒng)OFDMA等。36小波分析的應(yīng)用36小波變換用于圖象特征抽取

第1級(jí)斜線細(xì)節(jié)第1級(jí)水平細(xì)節(jié)第1級(jí)垂直細(xì)節(jié)水平細(xì)節(jié)近似圖象垂直細(xì)節(jié)斜線細(xì)節(jié)37小波變換用于圖象特征抽取第1級(jí)第1級(jí)第1級(jí)水平細(xì)節(jié)近似

第1級(jí)L1斜線細(xì)節(jié)第1級(jí)L1水平細(xì)節(jié)第1級(jí)L1垂直細(xì)節(jié)第2級(jí)L2細(xì)節(jié)近似圖象第3級(jí)L3小波系數(shù)分級(jí)方塊表示法38第1級(jí)L1第1級(jí)L1第1級(jí)L1第2級(jí)L2細(xì)節(jié)

第3級(jí)L3分辨率第2級(jí)L2分辨率第1級(jí)L1分辨率小波系數(shù)分級(jí)樹形表示法39第3級(jí)L3分辨率第2級(jí)L2分辨率第1小波變換用于圖象壓縮采用小波進(jìn)行壓縮。作“小波變換”后，統(tǒng)計(jì)特性有改善，消除行和列之間的相關(guān)關(guān)系。有損壓縮：根據(jù)視覺原理，不同分辨率小波系數(shù)進(jìn)行比特分配。然后轉(zhuǎn)換到一維作熵編碼，如算術(shù)編碼或霍夫曼編碼。無損壓縮：

40小波變換用于圖象壓縮采用小波進(jìn)行壓縮。作“小波變換”后，統(tǒng)計(jì)小波變換用于圖象壓縮

第3級(jí)L3水平、斜線、垂直細(xì)節(jié)第2級(jí)L2水平、斜線、垂直細(xì)節(jié)第1級(jí)L1水平、斜線、垂直細(xì)節(jié)兩閾值線之間的直方圖被去除（有損壓縮）41小波變換用于圖象壓縮第3級(jí)L3水平、斜線、垂直小波變換用于無損數(shù)據(jù)隱藏?zé)o損數(shù)據(jù)隱藏：是基于無損壓縮：選擇“整數(shù)小波變換”，無舍入誤差。例如可以采用第二代小波。無損數(shù)據(jù)隱藏：避免在嵌入數(shù)據(jù)后小波反變換時(shí)圖象灰度的溢出。小波變換前要作預(yù)處理，作直方圖調(diào)整，將圖象中灰度出現(xiàn)少的數(shù)據(jù)，合并入隱藏?cái)?shù)據(jù)。

42小波變換用于無損數(shù)據(jù)隱藏?zé)o損數(shù)據(jù)隱藏：是基于無損壓小波變換用于無損數(shù)據(jù)隱藏（交通圖象）

原始圖象（1024768）信息隱藏后的偽裝圖象（1024768）同時(shí)隱藏5張（320×280）圖象（見下頁(yè)）43小波變換用于無損數(shù)據(jù)隱藏（交通圖象）原始圖象（1024同時(shí)隱藏的5張（320×280）交通圖象，可完全恢復(fù)

（1）上海延安路（3）上海曲陽(yáng)路（2）外地（4）上海曲陽(yáng)路（5）上海曲陽(yáng)路44同時(shí)隱藏的5張（320×280）交通圖象，可完全恢復(fù)小波變換用于圖象水印

指紋原始圖象嵌入水印(取款密碼等)后圖象指紋傳感器：標(biāo)準(zhǔn)的Veridicom指紋鼠標(biāo)指紋開發(fā)工具：VeridicomAuthenticationSDK以Windows的DLL庫(kù)方式提供指紋庫(kù)：(FingerprintVerificationCompetition,FVC)。銀行取款密碼嵌入指紋，網(wǎng)上進(jìn)行身份認(rèn)證45小波變換用于圖象水印指紋原始圖象嵌入小波變換用于圖象水印

小波正變換小波反變換小波正變換小波反變換數(shù)據(jù)嵌入數(shù)據(jù)提取原始圖象加水印后圖象輸入原始圖象加水印后圖象輸出隱藏?cái)?shù)據(jù)隱藏?cái)?shù)據(jù)46小波變換用于圖象水印小波正變換小波反變換小波

小波的新進(jìn)展

（1）第二代小波，稱提升算法，可用于整數(shù)小波。

（2）嵌入零樹法，獲得更優(yōu)良的效果。

（3）小波與統(tǒng)計(jì)理論結(jié)合。

（4）商品化，如“JPEG2000”小波圖象壓縮標(biāo)準(zhǔn)，MATLAB小波計(jì)算包等。

脊波變換47小波的新進(jìn)展

（1）第二代小波，稱提升算法，可用于整數(shù)小信號(hào)時(shí)頻分析的重要性：時(shí)間和頻率是描述信號(hào)的兩個(gè)最重要的物理量。信號(hào)的時(shí)域和頻域之間具有緊密的聯(lián)系。48信號(hào)時(shí)頻分析的重要性：時(shí)間和頻率是描述信號(hào)的兩個(gè)最重要的物理

對(duì)于各種信號(hào)，可以有不同的分類方法，如確定性信號(hào)與隨機(jī)信號(hào)、周期信號(hào)與非周期信號(hào)、連續(xù)信號(hào)與離散信號(hào)、平穩(wěn)信號(hào)與非平穩(wěn)信號(hào)等。所謂信號(hào)分析就是在時(shí)(間)域或變換域?qū)π盘?hào)進(jìn)行分析處理的過程。信號(hào)分析的最直接的方法就是在時(shí)域內(nèi)對(duì)信號(hào)進(jìn)行分析，其突出特點(diǎn)是方法簡(jiǎn)單、物理概念明確。然而，對(duì)于某些信號(hào)在時(shí)域很難分析、或特征不明顯，需要進(jìn)行某種變換，典型的方法是Fourier變換，即在變換域進(jìn)行分析。在信號(hào)變換域分析中，變換的目的就是尋求對(duì)信號(hào)的另外一種表示，使得比較復(fù)雜、特征不明顯的信號(hào)在變換域更加明顯，利于分析。Fourier變換及其反變換建立了時(shí)域信號(hào)和頻域譜(變換域)的一對(duì)一關(guān)系，時(shí)域和頻域構(gòu)成了兩種不同的分析信號(hào)方法。信號(hào)時(shí)域和頻域分析可以截然分開是以信號(hào)的頻率特性時(shí)不變或統(tǒng)計(jì)特性平穩(wěn)為前提條件的。

49對(duì)于各種信號(hào)，可以有不同的分類方法，如確定性

實(shí)際中的許多信號(hào)往往都表現(xiàn)出非平穩(wěn)性，在這種情況下，時(shí)、頻兩域的分析便不能截然分開，而這種不完全可分性會(huì)使得Fourier變換無能為力。另外Fourier變換在時(shí)域中沒有任何分辨率，即)(ωF在任何有限頻段上的信息均不足以刻畫任意小范圍內(nèi)的，也就是說經(jīng)典的Fourier變換分析法在理論與實(shí)際應(yīng)用中都受到一定的限制。

503514FT在信號(hào)處理中的局限性用傅立葉變換提取信號(hào)的頻譜需要利用信號(hào)的全部時(shí)域信息。傅立葉變換沒有反映出隨著時(shí)間的變化信號(hào)頻率成分的變化情況。52FT在信號(hào)處理中的局限性用傅立葉變換提取信號(hào)的頻譜需要利用信536在不少實(shí)際問題中，我們關(guān)心的是信號(hào)在局部范圍中的特征,例如：在音樂信號(hào)中人們關(guān)心的是什么時(shí)刻演奏什么樣的音符；對(duì)地震波的記錄人們關(guān)心的是什么位置出現(xiàn)什么樣的反射波；圖像識(shí)別中的邊緣檢測(cè)關(guān)心的是信號(hào)突變部分的位置，即紋理結(jié)構(gòu)。這些FT不能完成，需要引入時(shí)頻局部化分析54在不少實(shí)際問題中，我們關(guān)心的是信號(hào)在局部范圍中的特征,例如短時(shí)Fourier變換若是窗函數(shù)，則短時(shí)Fourier變換定義為短時(shí)Fourier變換也叫窗口Fourier變換短時(shí)FT是說明時(shí)頻局部化分析思想的很好例子55短時(shí)Fourier變換若是窗函數(shù)，8相空間是指以“時(shí)間”為橫坐標(biāo)，“頻域”為縱坐標(biāo)的歐氏空間，而相空間中的有限區(qū)域被稱為窗口，沿時(shí)間軸的一段區(qū)間被稱為時(shí)間窗，沿頻率軸的一段區(qū)間被稱為頻率窗。56相空間是指以“時(shí)間”為橫坐標(biāo)，“頻域”為5710實(shí)際中信號(hào)分析的要求：信號(hào)高頻部分對(duì)應(yīng)時(shí)域中的快變成分，如陡峭的前沿、后沿、尖脈沖等，分析時(shí)對(duì)時(shí)域分辨率要求高，對(duì)頻域分辨率要求低。信號(hào)低頻成分對(duì)應(yīng)時(shí)域中的慢變成分，分析對(duì)時(shí)域分辨率要求低，對(duì)頻域分辨率要求高。

因此，短時(shí)Fourier變換不能敏感地反映信號(hào)的突變，不能很好地刻畫信息。58實(shí)際中信號(hào)分析的要求：信號(hào)高頻部分對(duì)應(yīng)時(shí)域中的快變成分，如陡小波(wavelet)分析發(fā)展歷史1807年Fourier提出傅里葉分析，1822年發(fā)表“熱傳導(dǎo)解析理論”論文1910年Haar提出最簡(jiǎn)單的小波1980年Morlet首先提出平移伸縮的小波公式，用于地質(zhì)勘探。1985年Meyer和稍后的Daubeichies提出“正交小波基”，此后形成小波研究的高潮。1988年Mallat提出的多分辨度分析理論（MRA），統(tǒng)一了語(yǔ)音識(shí)別中的鏡向?yàn)V波，子帶編碼，圖象處理中的金字塔法等幾個(gè)不相關(guān)的領(lǐng)域。59小波(wavelet)分析發(fā)展歷史1807年Fourier小波的特點(diǎn)和發(fā)展“小波分析”是分析原始信號(hào)各種變化的特性，進(jìn)一步用于數(shù)據(jù)壓縮、噪聲去除、特征選擇等。例如歌唱信號(hào)：是高音還是低音，發(fā)聲時(shí)間長(zhǎng)短、起伏、旋律等。從平穩(wěn)的波形發(fā)現(xiàn)突變的尖峰。小波分析是利用多種“小波基函數(shù)”對(duì)“原始信號(hào)”進(jìn)行分解。小波變換及時(shí)頻分析的目的就是根據(jù)實(shí)際非穩(wěn)定信號(hào)的分析特點(diǎn)，結(jié)合信號(hào)的時(shí)、頻特性，對(duì)其信號(hào)進(jìn)行時(shí)頻分析，以達(dá)到最佳的分析效果。

60小波的特點(diǎn)和發(fā)展“小波分析”是分析原始信號(hào)各種變小波的時(shí)間和頻率特性運(yùn)用小波基，可以提取信號(hào)中的“指定時(shí)間”和“指定頻率”的變化。時(shí)間：提取信號(hào)中“指定時(shí)間”（時(shí)間A或時(shí)間B）的變化。顧名思義，小波在某時(shí)間發(fā)生的小的波動(dòng)。頻率：提取信號(hào)中時(shí)間A的比較慢速變化，稱較低頻率成分；而提取信號(hào)中時(shí)間B的比較快速變化，稱較高頻率成分。

時(shí)間A時(shí)間B61小波的時(shí)間和頻率特性運(yùn)用小波基，可以提取信號(hào)中的“指定時(shí)間”小波基表示發(fā)生的時(shí)間和頻率“時(shí)頻局域性”圖解：Fourier變換的基（上）小波變換基（中）和時(shí)間采樣基（下）的比較

傅里葉變換(Fourier)基小波基時(shí)間采樣基62小波基表示發(fā)生的時(shí)間和頻率“時(shí)頻局域性”圖解：Fourie小波的3個(gè)特點(diǎn)小波變換，既具有頻率分析的性質(zhì)，又能表示發(fā)生的時(shí)間。有利于分析確定時(shí)間發(fā)生的現(xiàn)象。（傅里葉變換只具有頻率分析的性質(zhì)）小波變換的多分辨度的變換，有利于各分辨度不同特征的提?。▓D象壓縮，邊緣抽取，噪聲過濾等）小波變換比快速Fourier變換還要快一個(gè)數(shù)量級(jí)。信號(hào)長(zhǎng)度為M時(shí)，F(xiàn)ourier變換（左）和小波變換（右）計(jì)算復(fù)雜性分別如下公式：

63小波的3個(gè)特點(diǎn)小波變換，既具有頻率分析的性質(zhì)，又能表示發(fā)生連續(xù)小波函數(shù)定義：設(shè)，則下面的函數(shù)族

叫小波分析或連續(xù)小波，叫基本小波或

小波。若是窗函數(shù)，就叫為窗口小波函數(shù)，一般我們恒假定為窗口小波函數(shù)。64連續(xù)小波函數(shù)定義：設(shè)，則下面的65186619連續(xù)小波函數(shù)窗口的“變焦”特性:當(dāng)a變小時(shí)，時(shí)域觀察范圍變窄，但頻率觀察的范圍變寬，且觀察的中心頻率向高頻處移動(dòng)；當(dāng)a變大時(shí)，時(shí)域觀察范圍變寬，頻域的觀察范圍變窄，且分析的中心頻率向低頻處移動(dòng).

67連續(xù)小波函數(shù)窗口的“變焦”特性:20多分辨分析1988年Mallat提出的多分辨度分析理論，統(tǒng)一了幾個(gè)不相關(guān)的領(lǐng)域：包括語(yǔ)音識(shí)別中的鏡向?yàn)V波，圖象處理中的金字塔方法，地震分析中短時(shí)波形處理等。當(dāng)在某一個(gè)分辨度檢測(cè)不到的現(xiàn)象，在另一個(gè)分辨度卻很容易觀察處理。例如：68多分辨分析1988年Mallat提出的多分辨度分析理論，

多分辨分析

69多分辨分析22小波分解和小波基

小波基D小波基A原始信號(hào)小波系數(shù)wd小波系數(shù)wa正變換：原始信號(hào)在小波基上，獲得“小波系數(shù)”分量反變換：所有“小波分解”合成原始信號(hào)例如：小波分解a=小波系數(shù)wa×小波基A70小波分解和小波基

Daubechies小波71Daubechies小波24

Coiflets小波72Coiflets小波25

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小波除噪算法

傳統(tǒng)的建立在付氏變換基礎(chǔ)上的濾波方法在提高信噪比和提高分辨率之間存在矛盾。低通濾波器雖然能通過平滑抑制噪音，但同時(shí)也會(huì)使信號(hào)的邊沿模糊。高通濾波器可以使邊沿更加陡峭，但背景噪音同時(shí)被加強(qiáng)。與之相比基于小波變換的多分辨分析有明顯的優(yōu)點(diǎn)。基于小波變換分析的多分辨分析即相當(dāng)于對(duì)信號(hào)進(jìn)行低通和高通濾波，可將信號(hào)分解為位于不同頻帶和時(shí)段內(nèi)的各個(gè)成分。因此，通過Mallat算法將信號(hào)分解后，就可根據(jù)先驗(yàn)知識(shí)，引入門限來作為甄別受到噪聲污染的小波系數(shù)。將等于和小于門限的小波系數(shù)認(rèn)為由噪聲產(chǎn)生，置其為零而舍去。對(duì)于大于門限的小波系數(shù),即認(rèn)為是含有用信號(hào)成分，給予保留。再由Mallat重構(gòu)算法根據(jù)形成新的信號(hào)成分序列來重建信號(hào),從而即獲得濾除噪聲后的信號(hào)，又不致于引起重建結(jié)果的明顯失真。這就是非線性小波方法用于從噪聲中恢復(fù)信號(hào)的實(shí)質(zhì)。要用小波方法很好地實(shí)現(xiàn)信噪分離，關(guān)鍵的問題是如何設(shè)計(jì)出好的門限。

74小波除噪算法27

圖Donoho噪聲抑制信號(hào)

75圖Donoho噪聲抑制信號(hào)28

小波函數(shù)(bior2.2)分解濾波器系數(shù)如下：h0(-2,-1,0,1,2)={0，0，0.3536，0.7071，0.3536}；h1(-2,-1,0,1,2)={0.1768，0.3536，-1.0607，0.3536，0.1768}。小波函數(shù)(bior2.2)重構(gòu)濾波器系數(shù)如下：g0(-2,-1,0,1,2)={-0.1768，0.3536，1.0607，0.3536，-0.1768}；g1(-2,-1,0,1,2)={0，0.3536，-0.7071，0.3536，0}。含噪音的心電信號(hào)小波分解

76小波函數(shù)(bior2.2)分解濾波器系數(shù)如下：含噪音的心

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信號(hào)突變點(diǎn)的小波檢測(cè)原理

在信號(hào)的自動(dòng)分析與識(shí)別的過程中，很難根據(jù)原始觀察數(shù)據(jù)給出直接解釋，故總要提取它的某些特征來表征它。提取何種特征需要根據(jù)信號(hào)特點(diǎn)和分析目的決定，但也不排斥提取一些具有共性的特征，如信號(hào)的過零點(diǎn)、極值點(diǎn)以及過零間隔等。信號(hào)的急劇變化處常常是分析特性的關(guān)鍵點(diǎn)，例如心電圖中的QRS波群。由信號(hào)的小波變換的奇異點(diǎn)(如過零點(diǎn)、極值點(diǎn)等)來表征信號(hào)(特別是信號(hào)的突變或瞬態(tài)特征)是小波變換引人注意的應(yīng)用領(lǐng)域。78信號(hào)突變點(diǎn)的小波檢測(cè)原理31

對(duì)于信號(hào)奇異性檢測(cè)來說，小波變換最重要的應(yīng)用就是用模極大值定位奇異點(diǎn)．第一，從直觀角度，小波變換的實(shí)質(zhì)就是一種度量波形相似程度的方法．信號(hào)與小波越相似，則小波系數(shù)越大．這也就可理解為出現(xiàn)了小波變換的模極大值．因?yàn)楫?dāng)信號(hào)出現(xiàn)奇異點(diǎn)時(shí)，或是間斷點(diǎn)，或是一階導(dǎo)數(shù)不連續(xù)點(diǎn)，其在各個(gè)尺度下都將必然出現(xiàn)大的小波系數(shù)．從而可以定位奇異點(diǎn)！

第二個(gè)方面從小波的取法來看，當(dāng)小波取為光滑函數(shù)一階導(dǎo)數(shù)或二階導(dǎo)數(shù)時(shí)，從公式可以推導(dǎo)出小波變換將出現(xiàn)模極大值點(diǎn)或是過零點(diǎn)．也就是模極大值檢測(cè)和零交叉檢測(cè)。

第三個(gè)方面小波變換能夠通過多尺度分析提取信號(hào)的奇異點(diǎn)。基本原理是當(dāng)信號(hào)在奇異點(diǎn)附近的Lipschitz指數(shù)a>0時(shí)，其小波變換的模極大值隨尺度的增大而增大;當(dāng)a<0時(shí)，則隨尺度的增大而減小。噪聲對(duì)應(yīng)的Lipschitz指數(shù)小于0,而信號(hào)邊沿對(duì)應(yīng)的Lipschitz指數(shù)大于或等于0,因此，利用小波變換可以區(qū)分噪聲和信號(hào)邊沿，有效地檢測(cè)出強(qiáng)嗓聲背景下的信號(hào)邊沿(緩變或突變)。79對(duì)于信號(hào)奇異性檢測(cè)來說，小波變換最重要的應(yīng)用

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8235小波分析的應(yīng)用

小波變換用于圖象壓縮有良好的效果，已形成圖象壓縮的標(biāo)準(zhǔn)如JPEG2000。視頻壓縮標(biāo)準(zhǔn)H.264、MPEG4等。新一代通信系統(tǒng)OFDMA等。83小波分析的應(yīng)用36小波變換用于圖象特征抽取

第1級(jí)斜線細(xì)節(jié)第1級(jí)水平細(xì)節(jié)第1級(jí)垂直細(xì)節(jié)水平細(xì)節(jié)近似圖象垂直細(xì)節(jié)斜線細(xì)節(jié)84小波變換用于圖象特征抽取第1級(jí)第